Aula 10 Curso Online de Estatísitica e Mat Fin

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AULA 10 
 
 Olá, amigos! 
 Chegamos hoje ao nosso último simulado! 
 Uma pequena diferença: em vez de catorze questões, teremos dezesseis. Por 
desatenção, repeti, nos simulados anteriores, as questões 02 e 19 de Matemática 
Financeira. Seguem hoje, portanto, todas as questões faltantes! E aí, sim, concluiremos 
as 140 resoluções! 
 Antes de apresentar o simulado, quero me desculpar por todos por alguns 
(pequenos) atrasos que tivemos: algumas semanas em que só consegui veicular uma 
aula, em vez de duas. Por sorte que estamos encerrando os trabalhos com pelo menos 
três semanas de antecedência ao concurso! (Isso, é claro, se a Esaf não resolver adiar a 
data da prova para janeiro...)! 
 E é neste clima, já cheio de saudades, que lhes apresento as questões de hoje! 
 Marque o seu tempo e pode começar. 
 
 
Q U E S T Õ E S 
 
22. (AFC-94) Entre os funcionários de um órgão do governo, foi retirada uma amostra 
de dez indivíduos. Os números que representam as ausências ao trabalho registradas 
para cada um deles, no último ano, são: 0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6 e 10. Sendo assim, 
o valor do desvio padrão desta amostra é: 
a) 3 b) 9 c) 10 d) 30 
 
27. (FTE MG-96) No conjunto de dados A={3, 5, 7, 9, 11}, o valor do desvio médio é: 
a) 2,1 b) 2,4 c) 2,6 d) 2,8 e) 3,1 
 
37. (FISCAL INSS - 2002) Dada a seqüência de valores 4, 4, 2, 7 e 3 assinale a opção 
que dá o valor da variância. Use o denominador 4 em seus cálculos. 
a) 5,5 b) 4,5 c) 3,5 d) 6,0 e) 16,0 
 
39. (TJ CE – 2002) Aplicando a transformação z = (x - 14)/4 aos pontos médios das 
classes (x) obteve-se o desvio padrão de 1,10 salários mínimos. Assinale a opção 
que corresponde ao desvio padrão dos salários não transformados. 
a) 6,20 b) 4,40 c) 5,00 d) 7,20 e) 3,90 
 
47. (TCU-93) Os montantes de venda a um grupo de clientes de um supermercado 
forneceram os seguintes sumários: média aritmética=$1,20 , mediana=$0,53 e 
moda=$0,25. Com base nestas informações, assinale a opção correta: 
a) A distribuição é assimétrica à direita. 
b) A distribuição é assimétrica à esquerda. 
c) A distribuição é simétrica. 
d) Entre os três indicadores de posição apresentados, a média aritmética é a melhor 
medida de tendência central. 
e) O segundo quartil dos dados acima é dado por $0,25. 
 
 
 
 
 
 
 
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60. (AFRF-2003) Dadas as três séries de índices de preços abaixo, assinale a opção 
correta. 
 
Ano S1 S2 S3 
1999 50 75 100 
2000 75 100 150 
2001 100 125 200 
2002 150 175 300 
 
a) As três séries mostram a mesma evolução de preços. 
b) A série S2 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S3. 
c) A série S3 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S2. 
d) A série S1 mostra evolução de preços distinta das series S2 e S3. 
e) As três séries não podem ser comparadas pois têm períodos-base distintos. 
 
(AFRF-2002/2) No tempo t0+2 o preço médio de um bem é 30% maior do que em 
t0+1, 20% menor do que em t0 e 40% maior do que em t0+3. Assinale a opção que dá o 
relativo de preços do bem em t0+3 com base em t0+1. 
a) 162,5% d) 092,9% 
b) 130,0% e) 156,0% 
c) 120,0% 
 
67. (AFC-2005) Um carro pode ser financiado no regime de juros compostos em dois 
pagamentos. Uma entrada de R$ 20.000,00 e uma parcela de R$ 20.000,00 seis meses 
após a entrada. Um comprador propõe como segunda parcela o valor de R$ 17.000,00, 
que deverá ser pago oito meses após a entrada. Sabendo-se que a taxa contratada é de 
2 % ao mês, então, sem considerar os centavos, o valor da entrada deverá ser igual a: 
a) R$ 23.455,00 
b) R$ 23.250,00 
c) R$ 24.580,00 
d) R$ 25.455,00 
e) R$ 26.580,00 
 
68. (AFC-2005) Ana comprou, no regime de juros compostos, um apartamento 
financiado a uma taxa de 2% ao mês. O apartamento deverá ser pago em 12 
prestações mensais iguais a R$ 8.000,00, vencendo a primeira delas 30 dias após a 
compra. Após pagar a sétima prestação, Ana resolveu transferir o contrato de compra 
para Beatriz, que seguirá pagando as prestações restantes. Assim, para assumir a 
dívida de modo que nenhuma das duas seja prejudicada, Beatriz deverá pagar a Ana, 
sem considerar os centavos, o valor de: 
a) R$ 61.474,00 
b) R$ 51.775,00 
c) R$ 59.474,00 
d) R$ 59.775,00 
e) R$ 61.775,00 
 
69. (AFC-2005) O preço a vista de um imóvel é R$ 180.000,00. Um comprador propõe 
pagar 50% do preço a vista em 18 prestações mensais iguais, vencíveis a partir do final 
do primeiro mês após a compra, a uma taxa de 3% ao mês. Os 50% restantes do valor 
a vista ele propõe pagar em 4 parcelas trimestrais iguais, vencíveis a partir do final do 
primeiro trimestre após a compra, a uma taxa de 9 % ao trimestre. Desse modo, o 
valor que o comprador desembolsará no final do segundo trimestre, sem considerar os 
centavos, será igual a: 
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3
a) R$ 34.323,00 
b) R$ 32.253,00 
c) R$ 35.000,00 
d) R$ 37.000,00 
e) R$ 57.000,00 
 
70. (AFC-2005) Em janeiro de 2005, uma empresa assumiu uma dívida, 
comprometendo liquidá-la em dois pagamentos. O primeiro de R$ 2.500,00 com 
vencimento para o final de fevereiro. O segundo de R$ 3.500,00 com vencimento para o 
final de junho. Contudo, no vencimento da primeira parcela, não dispondo de recursos 
para honrá-la, o devedor propôs um novo esquema de pagamento. Um pagamento de 
R$ 4.000,00 no final de setembro e o saldo em dezembro do corrente ano. Sabendo que 
a taxa de juros compostos da operação é de 3 % ao mês, então, sem considerar os 
centavos, o saldo a pagar em dezembro será igual a 
a) R$ 2.168,00 
b) R$ 2.288,00 
c) R$ 2.000,00 
d) R$ 3.168,00 
e) R$ 3.288,00 
 
71. (FTE/MG-2005) A que taxa mensal de juros compostos um capital aplicado 
aumenta 80% ao fim de quinze meses. 
a) 4%. 
b) 5%. 
c) 5,33%. 
d) 6,5%. 
e) 7%. 
 
72. (FTE/MG-2005) Um cheque pré-datado é adquirido com um desconto de 20% por 
uma empresa especializada, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa de 
desconto mensal da operação considerando um desconto simples por dentro. (Nula) 
a) 6,25%. 
b) 6%. 
c) 4%. 
d) 5%. 
e) 5,5%. 
 
73. (FTE/MG-2005) Um empréstimo contraído no início de abril, no valor de R$ 
15.000,00 deve ser pago em dezoito prestações mensais iguais, a uma taxa de juros 
compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação no fim de abril, a segunda no 
fim de maio e assim sucessivamente. Calcule quanto está sendo pago de juros na 
décima prestação, desprezando os centavos. 
a) R$ 300,00 
b) R$ 240,00 
c) R$ 163,00 
d) R$ 181,00 
e) R$ 200,00 
 
 
 
 
 
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74. (Gestor/MG-2005) Ao fim de quantos trimestres um capital aplicado a juros 
compostos de 8% ao trimestre aumenta 100%. 
a) 12,5 
b) 12 
c) 10 
d) 9 
e) 8 
 
75. (Gestor/MG-2005) Um título no valor nominal de R$ 13.400,00 é resgatado seis 
meses antes de seu vencimento, sofrendo um desconto de R$ 3.400,00 sobre o seu 
valor nominal. Calcule a taxa de desconto mensal, considerando um desconto composto 
por dentro. 
a) 4,2% 
b) 4,5% 
c) 5% 
d) 5,5% 
e) 5,67% 
 
76. (Gestor/MG-2005) Um financiamento no valor de R$ 3.000,00 foi contraído no 
início de um determinado mês, para ser pago em dezoito prestações iguais e mensais 
de R$ 200,00, com a primeira prestação vencendo no fim daquele mês, a segunda no 
fim do mês seguinte e assim por diante. Imediatamente após o pagamento da oitava 
prestação, determine o valor mais próximoda dívida restante do tomador do 
financiamento, considerando a mesma taxa de juros do financiamento e desprezando os 
centavos. 
a) R$ 2.000,00 
b) R$ 1.796,00 
c) R$ 1.700,00 
d) R$ 1.522,00 
e) R$ 1.400,00 
 
 
2ª Etapa) Resolução das Questões 
 
 Acompanhemos juntos as resoluções de hoje! 
 
 
22. (AFC-94) Entre os funcionários de um órgão do governo, foi retirada uma amostra 
de dez indivíduos. Os números que representam as ausências ao trabalho registradas 
para cada um deles, no último ano, são: 0, 0, 0, 2, 2, 2, 4, 4, 6 e 10. Sendo assim, 
o valor do desvio padrão desta amostra é: 
a) 3 b) 9 c) 10 d) 30 
 
Sol.: Questão muito simples, o que às vezes se torna algo perigoso! Sim! A coisa fica 
parecendo tão fácil que deixamos passar detalhes importantes. 
 Neste caso, tudo o que precisaríamos nos lembrar é de que o desvio padrão 
recebe um fator de correção em sua fórmula, caso o conjunto trabalhado seja uma 
amostra. Estamos falando do menos um no denominador! É o tal fator de correção de 
Bessel. Nossa fórmula será, portanto, a seguinte: 
 
( )
1
2
−
−=
n
XXiS 
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5
 
 Olhando para a fórmula, vemos a necessidade de descobrirmos a Média do 
conjunto! Teremos, pois que: 
 
( ) 0,3
10
30
10
10644222000 ==+++++++++== ∑
n
Xi
X 
 
 Daí, faremos o conjunto (Xi- X ). Teremos: 
 
 (Xi- X )={(0-3), (0-3), (0-3), (2-3), (2-3), (2-3), (4-3), (4-3), (6-3), (10-3)} 
 
 (Xi- X )={(-3), (-3), (-3), (-1), (-1), (-1), (1), (1), (3), (7)} 
 
 Agora, faremos (Xi- X )2. Teremos: 
 
 (Xi- X )2={(-3)2, (-3)2, (-3)2, (-1)2, (-1)2, (-1)2, (1)2, (1)2, (3)2, (7)2} 
 
 (Xi- X )2={9, 9, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 9, 49} Æ Daí: ∑(Xi- X )2=90 
 
 Finalmente, aplicando a fórmula do desvio padrão de uma amostra em forma de 
rol, teremos: 
 
 
( ) 10
9
90
1
2
==−
−=
n
XXiS Æ Resposta! 
 
 Caso nos esquecêssemos de usar o fator de correção de Bessel (o menos um no 
denominador!) chegaríamos a uma resposta diferente! Vejamos: 
 
 
( ) 9
10
90
2
==−=
n
XXiS Æ Opção B Æ Errada! 
 
 
 
27. (FTE MG-96) No conjunto de dados A={3, 5, 7, 9, 11}, o valor do desvio médio é: 
a) 2,1 b) 2,4 c) 2,6 d) 2,8 e) 3,1 
 
Sol.: Teremos que nos lembrar da fórmula do Desvio Médio para um rol. Teremos: 
 
 
n
XXi
DMA
∑ −= 
 
 Essa medida não sofre o fator de correção de Bessel! Este só se aplica ao desvio 
padrão e à variância! 
 Pois bem! Passemos à fórmula. Como primeiro passo, calcularemos a média do 
conjunto. Teremos: 
 
 
( ) 0,7
5
35
5
119753 ==++++== ∑
n
Xi
X 
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6
 
Teremos agora que construir o conjunto (Xi- X ). Teremos: 
 
 Æ (Xi- X )={(3-7), (5-7), (7-7), (9-7), (11-7)} 
 
 Æ (Xi- X )={-4, -2, 0, 2, 4} 
 
 Agora, a fórmula pede o módulo de (Xi- X ). Teremos: 
 
 Æ |(Xi- X )|={+4, +2, 0, 2, 4} Æ Daí: ∑|(Xi- X )|=12 
 
 Como vimos, o efeito do módulo é apenas o de tornar positivo quem era 
negativo! 
 
 Finalmente, aplicando a fórmula do Desvio Médio Absoluta para um rol, teremos: 
 
Æ 4,2
5
12 ==−= ∑
n
XXi
DMA Æ Resposta! 
 
 
37. (FISCAL INSS - 2002) Dada a seqüência de valores 4, 4, 2, 7 e 3 assinale a opção 
que dá o valor da variância. Use o denominador 4 em seus cálculos. 
a) 5,5 b) 4,5 c) 3,5 d) 6,0 e) 16,0 
 
Sol.: Como sempre, o ponto de partida da resolução é a fórmula. Teremos: 
 
 Æ ( )
n
XXi
S ∑ −= 22 
 
Daí, como primeiro passo, calcularemos a média do conjunto. Teremos. 
 
 
( ) 0,4
5
20
5
37244 ==++++== ∑
n
Xi
X 
 
(Xi- X ). Teremos: 
 
 Æ (Xi- X )={(4-4), (4-4), (2-4), (7-4), (3-4)} Æ (Xi- X )={0, 0, -2, 3, -1} 
 
 Æ (Xi- X )2={(0)2, (0)2, (-2)2, (3)2, (-1)2} Æ (Xi- X )2={0, 0, 4, 9, 1} 
 
Æ ∑(Xi- X )2=14 
 
 Pronto! Chegamos ao nosso numerador! Daí, teremos: 
 
 Æ ( )
n
XXi
S ∑ −= 22 Æ S2=(14)/4 Æ S2=3,5 Æ Resposta! 
 
 
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39. (TJ CE – 2002) Aplicando a transformação z = (x - 14)/4 aos pontos médios das 
classes (x) obteve-se o desvio padrão de 1,10 salários mínimos. Assinale a opção 
que corresponde ao desvio padrão dos salários não transformados. 
b) 6,20 b) 4,40 c) 5,00 d) 7,20 e) 3,90 
 
Sol.: Questão de variável transformada. Façamos logo o desenho desta transformação 
trazida pelo enunciado. Teremos: 
 
 1ª)-14 2ª)÷4 
 
 
 X Z 
 
 
 2ª)+14 1ª)x4 
 
Daí, vemos que foi fornecido pela questão o valor do desvio padrão da variável Z 
(Sz=1,10). E solicita que calculemos o desvio padrão da variável X (Sx). Ora, partindo 
do valor de desvio padrão fornecido, seguiremos o caminho de baixo (em vermelho), 
lembrando-nos das propriedades do desvio padrão, e chegaremos à resposta. 
Teremos: 
 
Æ 1º) 1,10 x 4 = 4,40 
 
Æ 2º) Soma não altera o Desvio Padrão! 
 
Daí: Sx=4,40 Æ Resposta! 
 
47. (TCU-93) Os montantes de venda a um grupo de clientes de um supermercado 
forneceram os seguintes sumários: média aritmética=$1,20 , mediana=$0,53 e 
moda=$0,25. Com base nestas informações, assinale a opção correta: 
a) A distribuição é assimétrica à direita. 
b) A distribuição é assimétrica à esquerda. 
c) A distribuição é simétrica. 
d) Entre os três indicadores de posição apresentados, a média aritmética é a melhor 
medida de tendência central. 
e) O segundo quartil dos dados acima é dado por $0,25. 
 
Sol.: Esta questão trata acerca de Assimetria, mas não solicita que calculemos um valor 
numérico, senão que indiquemos qual é a situação de assimetria do conjunto. Ou seja, 
quer que digamos se o conjunto é simétrico, ou se a assimetria é positiva (assimetria à 
direita), ou negativa (assimetria à esquerda)! 
 Já sabemos que, somente para definir tal situação, basta que conheçamos o valor 
de duas medidas de tendência central (média e moda, ou média e mediana, ou moda e 
mediana). Aqui o enunciado foi camarada, e nos deu logo o valor das três medidas! 
 Resta nos lembrarmos daqueles desenhos que relacionam média, moda e 
mediana com a assimetria do conjunto. Teremos: 
 
 
 
 
 
 
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Figura 01 
 
 
 
 Moda < Mediana < Média 
 
 
Figura 02 
 
 
 
 Média < Mediana < Moda 
 
Figura 03 
 
 Média=Mediana=Moda 
 
 No caso desta questão, temos que média=1,20 , mediana=0,53 e 
moda=0,25. Ou seja, Média>Mediana>Moda, o que se enquadra perfeitamente na 
situação da Figura 01 acima. 
 Conclusão: estamos diante de uma distribuição assimétrica à direita, ou de 
assimetria positiva! Æ Resposta! 
 
 
 
 
 
 
 
 
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60. (AFRF-2003) Dadas as três séries de índices de preços abaixo, assinale a opção 
correta. 
 
Ano S1 S2 S3 
1999 50 75 100 
2000 75 100 150 
2001 100 125 200 
2002 150 175 300 
 
a) As três séries mostram a mesma evolução de preços. 
b) A série S2 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S3. 
c) A série S3 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S2. 
d) A série S1 mostra evolução de preços distinta das series S2 e S3. 
e) As três séries não podem ser comparadas pois têm períodos-base distintos. 
 
Sol.: Esta questão vem nos falar em evolução dos preços. São quatro anos (de 1999 
a 2002).Daí, partindo do primeiro ano (1999), vai haver três acréscimos percentuais de 
preço. Só precisamos descobrir quais são esses percentuais. 
 
 Para a série 1 (S1), teremos: 
 Æ De 2000 para 1999: (75/50)=1,50 Æ Acréscimo de 50%. 
 Æ De 2001 para 2000: (100/75)=1,3333 Æ Acréscimo de 33,33% 
 Æ De 2002 para 2001: (150/100)=1,50 Æ Acréscimo de 50%. 
 
 Para a série 2 (S2), teremos: 
 Æ De 2000 para 1999: (100/75)=1,3333 Æ Acréscimo de 33,33%. 
 Æ De 2001 para 2000: (125/100)=1,25 Æ Acréscimo de 25% 
 Æ De 2002 para 2001: (175/125)=1,40 Æ Acréscimo de 40%. 
 
 Para a série 1 (S1), teremos: 
 Æ De 2000 para 1999: (150/100)=1,50 Æ Acréscimo de 50%. 
 Æ De 2001 para 2000: (200/150)=1,3333 Æ Acréscimo de 33,33% 
 Æ De 2002 para 2001: (300/200)=1,50 Æ Acréscimo de 50%. 
 
 Para enxergarmos melhor esses percentuais da evolução dos preços, nas três 
séries, vejamos a tabela seguinte: 
 
Acréscimos da Série 1 50% 33,33% 50% 
Acréscimos da Série 2 33,33% 25% 40% 
Acréscimos da Série 3 50% 33,33% 50% 
 
 Propositadamente, já coloquei em destaque a evolução dos preços das séries 1 e 
3, pois são exatamente iguais. E diferentes da série 2. É precisamente o que diz a 
opção b: 
 
b) A série S2 mostra evolução de preços distinta das séries S1 e S3 Æ Resposta! 
 
 Outra forma de chegar a essa conclusão era simplesmente fazendo a mudança 
de base nas séries S1 e S2, de modo que o índice 100 ficasse no início da série (no ano 
de 1999). Com isso, ficaria bem fácil fazer uma comparação da evolução dos preços das 
três séries. Para a série S1, teremos: 
 
 
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10
Ano S1 
1999 50 
2000 75 
2001 100 
2002 150 
 
 Ora, para o preço em 1999 (50) virar 100, temos que multiplicá-lo por 2. Daí, 
isso terá também que ser feito para todos os preços da série. Teremos: 
 
Ano S1 
1999 100 (50x2) 
2000 150 (75x2) 
2001 200 (100x2) 
2002 300 (150x2) 
 
 Comparemos agora esses resultados com os preços da série S3. São iguais? Sim! 
 Agora, se fizermos o mesmo com a série S2, encontraremos valores diferentes. 
Daí, chegamos à mesma conclusão já conhecida, só que por outro caminho! 
 
 
(AFRF-2002/2) No tempo t0+2 o preço médio de um bem é 30% maior do que em t0+1, 
20% menor do que em t0 e 40% maior do que em t0+3. Assinale a opção que dá o 
relativo de preços do bem em t0+3 com base em t0+1. 
a) 162,5% d) 092,9% 
b) 130,0% e) 156,0% 
c) 120,0% 
 
Sol.: Essa questão fala de variações de preços de um bem em diferentes períodos de 
tempo. Daí, no final, pergunta um relativo de preços de um ano, em relação a outro 
ano! Como se calcula isso? Fazendo o quociente entre esses dois preços. 
 No caso, é pedido o relativo de preços do bem em t0+3 com base em t0+1. Ou seja: 
 
 Æ [Preço(t0+3)]/[ Preço(t0+1)]=? 
 
 De resto, só teremos que utilizar as informações trazidas pelo enunciado. 
Teremos: 
 
 Æ O preço médio em t0+2 é 30% maior que em t0+1: P(t0+2)=1,30.P(t0+1) 
 
 Æ O preço médio em t0+2 é 20% menor que em t0: P(t0+2)=0,80.P(t0) 
 
 Æ O preço médio em t0+2 é 40% maior que em t0+3: P(t0+2)=1,40.P(t0+3) 
 
 Comparemos as duas equações em vermelho. São iguais. Certo? Daí, igualando a 
segunda parte da igualdade de ambas, teremos: 
 
 Æ 1,40.P(t0+3) = 1,30.P(t0+1) 
 
 Æ [P(t0+3)]/[ P(t0+1)]=(1,30)/(1,40) 
 
 Daí, finalmente, achamos que: 
 
 Æ [P(t0+3)]/[ P(t0+1)] = 0,929 = 92,9% Æ Resposta! 
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11
67. (AFC-2005) Um carro pode ser financiado no regime de juros compostos em dois 
pagamentos. Uma entrada de R$ 20.000,00 e uma parcela de R$ 20.000,00 seis meses 
após a entrada. Um comprador propõe como segunda parcela o valor de R$ 17.000,00, 
que deverá ser pago oito meses após a entrada. Sabendo-se que a taxa contratada é de 
2 % ao mês, então, sem considerar os centavos, o valor da entrada deverá ser igual a: 
a) R$ 23.455,00 
b) R$ 23.250,00 
c) R$ 24.580,00 
d) R$ 25.455,00 
e) R$ 26.580,00 
 
Sol.: Questãozinha típica de Equivalência de Capitais! Havia uma forma original de 
pagamento do carro, e alguém propõe uma nova forma de pagamento! Para que 
ninguém saia perdendo, é preciso que a segunda forma de pagamento seja equivalente 
à primeira! 
 Sigamos o passo-a-passo das resoluções de equivalência: 
1º Passo) Desenhar a questão! Teremos: 
 X 
 20.000, 20.000, 
 17.000, 
 
 
 0 6m 8m 
 
2º Passo) Definir quais são as parcelas da 1ª obrigação (=1ª forma de pagamento) e da 
2ª obrigação (=2ª forma de pagamento). Teremos: 
 X 
 20.000, 20.000, 
 17.000, 
 
 
 (II) (I) (I) (II) 
 0 6m 8m 
 
3º Passo) Colocar taxa e tempos na mesma unidade. 
 Esse passo já veio feito, pois os tempos estão todos em meses e a taxa fornecida 
pela questão é também mensal (2% ao mês). 
 
4º Passo) Definir qual o regime e qual a modalidade das operações de desconto que 
iremos realizar. 
 Ora, o enunciado disse que o regime da operação é o composto! Daí, a 
Equivalência é composta e, assim sendo, trabalharemos com operações de desconto 
composto por dentro (composto racional)! 
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12
5º Passo) Escolher a data focal. 
 Sabemos que a escolha da data focal, na equivalência composta, é livre! A título 
de sugestão, podemos escolher aquela que fica mais à direita do desenho. 
 Com isso, trocaremos divisões por produtos! Além disso, as operações de 
desconto composto racional se confundirão com operações de juros compostos! 
 Pronto! Terminaram os passos preliminares! Nos passos efetivos, levaremos as 
parcelas da 1ª obrigação para a data focal (1º passo efetivo) e as da 2ª obrigação (2º 
passo) todos para a data focal. 
 Assim, teremos: 
1º Passo Efetivo) 
 Æ E=20000.(1+0,02)8=20000x1,171659=23.433,18 
 Æ F=20000.(1+0,02)2=20000x1,0404=20.808,00 
 
2º Passo Efetivo) 
 Æ G=X.(1+0,02)8=X.1,171659=1,171659X 
 
3º Passo Efetivo) Aplicar a equação de equivalência. Teremos: 
∑(parcelas da 1ª obrigação na data focal)= ∑(parcelas da 1ª obrigação na data focal) 
 Daí, teremos: 
 Æ E + F = G + 17000 
 Æ 23.433,18+20.808,00=1,171659X+17.000 
 Æ 1,171659X=27.241,18 
 Æ X=27.241,18/1,171659 
 Æ X=23.250, Æ Resposta! 
 
 
 
68. (AFC-2005) Ana comprou, no regime de juros compostos, um apartamento 
financiado a uma taxa de 2% ao mês. O apartamento deverá ser pago em 12 
prestações mensais iguais a R$ 8.000,00, vencendo a primeira delas 30 dias após a 
compra. Após pagar a sétima prestação, Ana resolveu transferir o contrato de compra 
para Beatriz, que seguirá pagando as prestações restantes. Assim, para assumir a 
dívida de modo que nenhuma das duas seja prejudicada, Beatriz deverá pagar a Ana, 
sem considerar os centavos, o valor de: 
a) R$ 61.474,00 
b) R$ 51.775,00 
c) R$ 59.474,00 
d) R$ 59.775,00 
e) R$ 61.775,00 
Sol.: Essa questão é muito fácil, se pensarmos com atenção! A situação é a seguinte: a 
Ana está comprando um apartamento, e tem que fazê-lo por meio de doze parcelas 
mensais de R$8000. Ou seja, o desenho da compra da Ana é o seguinte: 
 
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13
 
 
 
 8.000 8.000 8000 
 
 Ocorre que a Ana acabou de pagar a sétima parcela, e resolveu que não queria 
mais o imóvel. Vejamos no desenho abaixo o que já foi pago pela Ana. Teremos: 
 
 
 
 8.000 8.000 800 
 
Ocorre que Beatriz, amiga de Ana, resolveu que assumiria o contrato e as 
parcelas vincendas. Ora, obviamente que Ana só iria transferir o contrato para Beatriz, 
se esta lhe pagasse alguma coisa, concordam? E o que teria que Beatriz pagar a Ana? 
Não é óbvio isso? Claro: vai pagar a Ana o que Ana já pagou pelo apartamento! 
E quanto às parcelas restantes? Ora, essas Beatriz irá pagar normalmente nas 
datas dos respectivos vencimentos. Mas tais parcelas, as restantes, não interessam para 
essa questão! O que Beatriz terá que pagar, na data em que Ana quitou a sétima 
parcela, é somente o que Ana já havia pago até então. Nosso desenho agora é o 
seguinte: 
 X 
 
 
 
 
 
 
 8.000 8000 
 
Daí, percebemos que caímos no desenho modelo das Rendas Certas. Antes vamos 
dar uma conferida, para saber se estão presentes as três características das Rendas 
Certas: 
Æ Parcelas de mesmo valor? Confere! 
Æ Intervalos de tempos iguais entre as parcelas? Confere! 
Æ Regime composto? Confere! 
Pronto! Nenhuma dúvida mais! Resta aplicarmos a fórmula das Rendas Certas, 
para chegarmos à resposta. Teremos: 
Æ X=P.Sn⎤i Æ X=8000. S7⎤2% Æ X=8000x7,434283=59.474, Æ Resposta! 
 
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69. (AFC-2005) O preço a vista de um imóvel é R$ 180.000,00. Um comprador propõe 
pagar 50% do preço a vista em 18 prestações mensais iguais, vencíveis a partir do final 
do primeiro mês após a compra, a uma taxa de 3% ao mês. Os 50% restantes do valor 
a vista ele propõe pagar em 4 parcelas trimestrais iguais, vencíveis a partir do final do 
primeiro trimestre após a compra, a uma taxa de 9 % ao trimestre. Desse modo, o 
valor que o comprador desembolsará no final do segundo trimestre, sem considerar os 
centavos, será igual a: 
a) R$ 34.323,00 
b) R$ 32.253,00 
c) R$ 35.000,00 
d) R$ 37.000,00 
e) R$ 57.000,00 
 
Sol.: O que esta questão faz é dividir o valor do imóvel ao meio, e cada uma dessas 
metades será paga de uma forma diferente. Daí, o que teremos que fazer são dois 
desenhos, em vez de um só! Teremos, pois, o seguinte: 
 
 
 90.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 90.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Agora vejamos o que a questão quer mesmo saber: qual o valor que deverá ser 
desembolsado no final do segundo trimestre. Ora, nesta data estabelecida pela questão, 
vemos pelo desenho que deverão ser pagas duas parcelas, uma de cada desenho. 
Senão, vejamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 90.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 90.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ora, olhando para os dois desenhos acima, vemos que em ambos faremos 
operações de amortização! Claro: estão presentes as três características que devem 
estar presentes em toda operação de amortização: 
 1ª) Parcelas de mesmo valor; 
 2ª) Intervalos de tempos iguais entre as parcelas; 
 3ª) Regime composto! 
 Daí, usando a fórmula da amortização duas vezes (uma para cada desenho), 
descobriremos o valor das parcelas nas duas situações. Teremos: 
Æ T=P.An⎤i Æ 90.000=P. A18⎤3% Æ P=90000/13,753513 Æ P=6.543,78 
Æ T=P.An⎤i Æ 90.000=P. A4⎤9% Æ P=90000/3,239720 Æ P=27.780,18 
 
Daí, somando o valor das duas parcelas, que terão que ser pagas naquela data. 
Teremos, pois, que: 
Æ 6.543,78+27.780,18= 34.323, Æ Resposta! 
 
70. (AFC-2005) Em janeiro de 2005, uma empresa assumiu uma dívida, 
comprometendo liquidá-la em dois pagamentos. O primeiro de R$ 2.500,00 com 
vencimento para o final de fevereiro. O segundo de R$ 3.500,00 com vencimento para o 
final de junho. Contudo, no vencimento da primeira parcela, não dispondo de recursos 
para honrá-la, o devedor propôs um novo esquema de pagamento. Um pagamento de 
R$ 4.000,00 no final de setembro e o saldo em dezembro do corrente ano. Sabendo que 
a taxa de juros compostos da operação é de 3 % ao mês, então, sem considerar os 
centavos, o saldo a pagar em dezembro será igual a 
a) R$ 2.168,00 
b) R$ 2.288,00 
c) R$ 2.000,00 
d) R$ 3.168,00 
e) R$ 3.288,00 
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Sol.: Mais uma questão de Equivalência Composta. Aliás, nesta prova do AFC/2005, a 
Esaf usou e abusou deste tipo de questão! O que temos a fazer é seguir o passo-a-
passo que já conhecemos. Teremos: 
1º Passo) Desenhar a questão! Teremos: 
 4.000, X 
 3.500, 
 2.500, 
 
 
 0 4m 7m 10m 
 
2º Passo) Definir quais são as parcelas da 1ª obrigação (=1ª forma de pagamento) e da 
2ª obrigação (=2ª forma de pagamento). Teremos: 
 4.000, X 
 3.500, 
 2.500, 
 
 
 0 4m 7m 10m 
 (I) (I) (II) (II) 
 
3º Passo) Colocar taxa e tempos na mesma unidade. 
 Esse passo já veio feito, pois os tempos estão todos em meses e a taxa fornecida 
pela questão é também mensal (3% ao mês). 
 
4º Passo) Definir qual o regime e qual a modalidade das operações de desconto que 
iremos realizar. 
 Ora, o enunciado disse que a taxa da operação é de juros compostos! Daí, a 
Equivalência é composta e, assim sendo, trabalharemos com operações de desconto 
composto por dentro (composto racional)! 
5º Passo) Escolher a data focal. 
 Sabemos que a escolha da data focal, na equivalência composta, é livre! A título 
de sugestão, podemos escolher – e escolheremos – aquela que fica mais à direita do 
desenho. 
 Já sabemos que essa escolha nos proporcionará trocar divisões por produtos! 
 Pronto! Terminaram os passos preliminares! Nos passos efetivos, levaremos as 
parcelas da 1ª obrigação para a data focal (1º passo efetivo) e as da 2ª obrigação (2º 
passo) todos para a data focal. 
 Assim, teremos: 
1º Passo Efetivo) 
 Æ E=2500.(1+0,03)10=2500x1,343916=3.359,79 
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 Æ F=3500.(1+0,03)6=3500x1,194052=4.179,18 
 
2º Passo Efetivo) 
 Æ G=4000.(1+0,03)3=4000.1,092727=4.370,91 
 
3º Passo Efetivo) Aplicar a equação de equivalência. Teremos: 
∑(parcelas da 1ª obrigação na data focal)= ∑(parcelas da 1ª obrigação na data focal) 
 Daí, teremos: 
 Æ E + F = G + X 
 Æ 3.359,79+4.179,18=4.370,91+X 
 Æ X=3.168, Æ Resposta! 
 
71. (FTE/MG-2005) A que taxa mensal de juros compostos um capital aplicado 
aumenta 80% ao fim de quinze meses. 
a) 4%. 
b) 5%. 
c) 5,33%. 
d) 6,5%. 
e) 7%. 
 
Sol.: Essa é uma questãozinha muito batida pela Esaf. Basta que chamemos o capital 
de R$100. E se ele iráaumentar 80%, é porque irá para R$180,00. Ou seja: 
Æ Capital = C = 100,00 ; 
Æ Montante = M = 180,00 e; 
Æ Juros = M – C = J = 80,00. 
Como o enunciado falou expressamente que estamos trabalhando com os Juros 
Compostos, então aplicaremos a equação fundamental dos juros compostos. Teremos: 
 Æ M=C.(1+i)n 
 Æ 180=100.(1+i)15 
 Daí: 
 Æ (1+i)15=180/100 Æ Æ (1+i)15=1,8 
 Finalmente, consultando a Tabela Financeira do parêntese famoso (1+i)n, 
descobriremos que i=0,04 = 4% Æ Resposta! 
 
72. (FTE/MG-2005) Um cheque pré-datado é adquirido com um desconto de 20% por 
uma empresa especializada, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule a taxa de 
desconto mensal da operação considerando um desconto simples por dentro. 
a) 6,25%. 
b) 6%. 
c) 4%. 
d) 5%. 
e) 5,5%. 
 
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Sol.: Esse enunciado não foi feliz. Mas, o que quis dizer o elaborador foi algo mais ou 
menos nesse sentido: o cheque, suponhamos, custava R$100,00. Ou seja: Valor 
Nominal = N=100. Como houve um desconto de 20%, ele foi adquirido por R$80,00. 
Daí, temos o seguinte desenho: 
 
 100, 
 
 80, 
 
 100 100+i.n 
 
 Dd=20, 
 
 (i.n) 
 
 
 Daí, considerando um tempo de antecipação de n=4 meses, e igualando a fração 
do Atual com a do Desconto, teremos que: 
 
 Æ (80/100)=20/(4.i) Æ 0,8 = 20/4i 
 Lembremos sempre que, se o tempo está em meses, encontraremos uma taxa 
mensal. Teremos: 
 Æ 3,2i=20 Æ i=6,25% ao mês Æ Resposta! 
 
73. (FTE/MG-2005) Um empréstimo contraído no início de abril, no valor de R$ 
15.000,00 deve ser pago em dezoito prestações mensais iguais, a uma taxa de juros 
compostos de 2% ao mês, vencendo a primeira prestação no fim de abril, a segunda no 
fim de maio e assim sucessivamente. Calcule quanto está sendo pago de juros na 
décima prestação, desprezando os centavos. 
a) R$ 300,00 
b) R$ 240,00 
c) R$ 163,00 
d) R$ 181,00 
e) R$ 200,00 
 
Sol.: Este tipo de pergunta tem se tornado cada vez mais freqüente em provas da Esaf. 
Numa operação de amortização, o enunciado pergunta qual os juros de uma 
determinada parcela. Daí, teremos que calcular o valor do Saldo Devedor, exatamente 
antes do pagamento da parcela em análise. Ou seja, se se deseja calcular os juros 
contidos na décima parcela, então calcularemos primeiro o saldo devedor na data da 
nona parcela. Mas antes, temos que saber o valor das prestações. Teremos: 
 
 15.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 P P P P P P P P P P P P P P P P P P 
 
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 Daí, uma vez que o desenho acima já está perfeitamente de acordo com o 
desenho modelo da amortização, faremos: 
 
Æ T=P.An⎤i Æ 15.000=P. A18⎤2% Æ P=15000/14,992031 Æ P=1.000,53 
 Agora descobriremos qual o saldo devedor, logo após o pagamento da nona 
prestação. Teremos: 
 
 X 
 
 
 
 
 
 
 
 P P P P P P P P P P P P P P P P P P 
 
 
 Teremos que: 
Æ X=1000,53.A9⎤2% Æ X=1000,53x8,162237 Æ X=8.166,56 
 
Finalmente, os juros contidos na décima parcela serão encontrados fazendo-se 
incidir a taxa da operação sobre o valor do saldo devedor encontrado. Teremos: 
Æ Juros = 0,02 x 8.116,56 Æ Juros=163, Æ Resposta! 
 
74. (Gestor/MG-2005) Ao fim de quantos trimestres um capital aplicado a juros 
compostos de 8% ao trimestre aumenta 100%. 
a) 12,5 
b) 12 
c) 10 
d) 9 
e) 8 
 
Sol.: Novamente usaremos aquele truque: chamaremos Capital de R$100. Se este 
capital terá que aumentar 100%, significa que irá virar R$200,00, que é nosso 
montante! Daí, os Juros, que são a diferença entre montante e capital, serão iguais a 
R$100,00. Teremos: 
 
 Æ M=C.(1+i)n 
 Æ 200=100.(1+0,08)n 
 Daí: 
 Æ (1+0,08)n=200/100 Æ Æ (1+0,08)n=2,00 
 Mediante rápida consulta à Tabela Financeira do parêntese famoso, e lembrando-
se que estamos trabalhando com a taxa trimestral (logo, encontraremos um tempo em 
trimestres!),concluiremos que: 
Æ n=9 trimestres Æ Resposta! 
 
 
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20
75. (Gestor/MG-2005) Um título no valor nominal de R$ 13.400,00 é resgatado seis 
meses antes de seu vencimento, sofrendo um desconto de R$ 3.400,00 sobre o seu 
valor nominal. Calcule a taxa de desconto mensal, considerando um desconto composto 
por dentro. 
a) 4,2% 
b) 4,5% 
c) 5% 
d) 5,5% 
e) 5,67% 
 
Sol.: Trata o enunciado de uma operação de desconto composto por dentro. Os dados 
fornecidos pela questão são os seguintes: 
 Æ N=13.400, 
 Æ n=6 meses 
 Æ Dd=3.400, 
 Æ i=? %a.m. 
 Ora, sempre que a questão apresentar, simultaneamente, o Valor Nominal e o 
valor do Desconto, imediatamente temos como calcular o Valor Atual. Basta aplicarmos 
a seguinte relação: 
 Æ D=N-A 
 Daí: 
 Æ A=N-D Æ A=13400 – 3400 Æ A=10.000, 
 Pois bem! Agora, só nos resta aplicarmos a equação do desconto composto por 
dentro, que é a seguinte: 
 Æ N=A.(1+i)n 
 Teremos: 
 Æ 13.400=10000.(1+i)6 Æ (1+i)6=1,34 
 Agora, por meio de uma consulta rápida à Tabela Financeira do (1+i)n, 
descobriremos facilmente que: 
 Æ i=5% ao mês Æ Resposta! 
 
76. (Gestor/MG-2005) Um financiamento no valor de R$ 3.000,00 foi contraído no 
início de um determinado mês, para ser pago em dezoito prestações iguais e mensais 
de R$ 200,00, com a primeira prestação vencendo no fim daquele mês, a segunda no 
fim do mês seguinte e assim por diante. Imediatamente após o pagamento da oitava 
prestação, determine o valor mais próximo da dívida restante do tomador do 
financiamento, considerando a mesma taxa de juros do financiamento e desprezando os 
centavos. 
a) R$ 2.000,00 
b) R$ 1.796,00 
c) R$ 1.700,00 
d) R$ 1.522,00 
e) R$ 1.400,00 
Sol.: Trabalharemos aqui com uma operação de amortização! Vejamos o desenho 
original da situação da compra: 
 
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21
 3.000, 
 
 
 
 
 
 
 
 200, 200, 200, 200, 200, 
 
 A primeira coisa que vamos descobrir é a taxa de juros compostos desta 
operação! Alguém pode perguntar: e como sabemos que essa questão ocorre no regime 
composto? A palavra-chave do enunciado, a nos indicar o regime composto é 
financiamento. Aprendemos isso pelo histórico das questões da Esaf. Mesmo que ela 
não fale expressamente qual o regime, havendo no enunciado a palavra financiamento, 
entenderemos que é o composto! 
 Pois bem! Daí, aplicando diretamente a equação da amortização, chegaremos ao 
seguinte: 
Æ T=P.An⎤i Æ 3.000=200. A18⎤ i% 
Æ A18⎤ i%=3000/200 Æ Æ A18⎤ i%=15,00 
Daí, mediante uma rápida consulta à Tabela Financeira do Fator de Amortização, 
encontraremos que: 
Æ i=2% ao mês 
Sabendo disso, a questão agora nos pergunta o saldo devedor imediatamente 
após o pagamento da oitava prestação. Ou seja, o referente às dez parcelas restantes. 
Teremos: 
 X 
 
 
 
 
 
 
 
 200, 200, 200, 200, 200, 
 
Daí, nova operação de amortização. Teremos: 
Æ T=P.An⎤i Æ X=200. A10⎤ 2% Æ X=200x8,982585E: 
Æ X=1.796, Æ Resposta! 
 
 
 
 
 
 
 
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22
 Na seqüência, conforme combinado, um resumo das equações usadas nas 
resoluções de Matemática Financeira. 
 
# Juros Simples: 
 
Æ 
ni
JC
.100
= Æ 
ni
MC
.100100 += Æ ni
M
ni
J
.100. += 
 
Æ Prazo Médio: 
 
).(...).().(
)..(...)..()..(
2211
222111
kk
kkk
iCiCiC
niCniCniCPM +++
+++= 
 
Æ Taxa Média: 
 
).(...).().(
)..(...)..()..(
2211
222111
kk
kkk
nCnCnC
niCniCniCTM +++
+++= 
 
# Desconto Simples por Dentro: 
 
Æ 
ni
DA d
.100
= Æ 
ni
NA
.100100 += Æ ni
N
ni
Dd
.100. += 
 
# Desconto Simples por Fora: 
 
Æ 
ni
DN f
.100
= Æ 
ni
AN
.100100 −= Æ ni
A
ni
Df
.100. −= 
 
Æ Relação Desconto Simples por Dentro x Desconto Simples por Fora: 
 
Df=Dd.(1+i.n) 
 
# Equivalência Simples de Capitais: 
 Passos Preliminares: 
Æ 1º Passo) Desenhar a questão; 
Æ 2º Passo) Definir quais são as parcelas de primeira e segunda obrigação; 
Æ 3º Passo) Colocar taxa e tempos na mesma unidade; 
Æ 4º Passo) Definir qual é o regime e qual a modalidade das operações de desconto que 
serão realizadas na questão; 
Æ 5º Passo) Definir qual será a data focal. (Quem manda na data focal na equivalência 
simples é a questão!) 
 Passos Efetivos de resolução: 
Æ 1º Passo) Levar para a data focal os valores da primeira obrigação. 
Æ 2º Passo) Levar para a data focal os valores da segunda obrigação. 
Æ 3º Passo) Aplicar a equação de equivalência: ∑(I)DF=∑(II)DF 
 
 
 
 
 
 
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# Juros Compostos: 
 
Æ M=C.(1+i)n (=convenção exponencial) 
 
Æ Convenção Linear: M=C.(1+i)a.(1+i.b) 
 
Onde: a é a parte inteira do tempo e b, a parte quebrada! 
 
Obs.: o montante da convenção linear será ligeiramente maior que o da convenção 
exponencial. 
 
 
# Desconto Composto por Dentro: 
 
Æ N=A.(1+i)n Æ A=N/(1+i)n 
 
 
# Desconto Composto por Fora: 
 
Æ A=N.(1-i)n Æ N=A/(1-i)n 
 
# Equivalência Composta de Capitais: 
 Passos Preliminares: 
Æ 1º Passo) Desenhar a questão; 
Æ 2º Passo) Definir quais são as parcelas de primeira e segunda obrigação; 
Æ 3º Passo) Colocar taxa e tempos na mesma unidade; 
Æ 4º Passo) Definir qual é o regime e qual a modalidade das operações de desconto que 
serão realizadas na questão. (Na equivalência composta, as operações serão sempre de 
desconto composto por dentro!) 
Æ 5º Passo) Definir qual será a data focal. (Quem manda na data focal na equivalência 
composta é você!) 
 Passos Efetivos de resolução: 
Æ 1º Passo) Levar para a data focal os valores da primeira obrigação. 
Æ 2º Passo) Levar para a data focal os valores da segunda obrigação. 
Æ 3º Passo) Aplicar a equação de equivalência: ∑(I)DF=∑(II)DF 
 
# Rendas Certas: Æ T=P.Sn¬i 
 
# Amortização: Æ T=P.An¬i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 É isso, meus queridos amigos! 
 Alguns números do curso: 
 Æ 10 simulados; 
 Æ 140 resoluções; 
 Æ 293 páginas(!!); 
 Æ Dois resumos de fórmulas; 
 (Æ Muitas horas de sono não dormidas...) 
 
 Quero agradecer, sinceramente, a todos vocês que participaram deste projeto! 
 
 Espero, de coração, que não tenha sido apenas mais um curso, mas que tenha 
valido a pena, e que continue valendo! Encadernem esse material e que ele seja um 
manual para vocês. 
 
 Agradeço ao Ponto dos Concursos, na pessoa do Prof. Vicente Paulo, por mais 
essa oportunidade! 
 
 Agradeço a Deus e a minha família. 
 
 Dedico esse curso a Sílvia Helena, minha esposa, pela paciência, pela 
compreensão e por seu amor, sempre presentes! 
 
 Fiquem todos com Deus, e até a próxima!