MATERIAL DE APOIO ENG ECONOMICA

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Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 1 
 
 
 
 
 
MATERIAL DE APOIO 
 
 
 
ENGENHARIA ECONÔMICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROF MARCELINO SERRETTI LEONEL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 2 
 
SUMÁRIO 
 
CAPÍTULO 1 ........................................................................................ 4 
1. JUROS SIMPLES ......................................................................... 4 
1.1. RAZÃO ........................................................................................... 4 
1.2. PORCENTAGEM ......................................................................... 5 
1.2.1 Taxa percentual e taxa unitária ................................................. 6 
1.3. CÁLCULO DO JURO SIMPLES ............................................... 8 
1.4. TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES ... 11 
1.4.1 Taxas proporcionais .............................................................. 11 
1.4.2 Taxas equivalentes................................................................. 11 
1.5. CONTAGEM DO TEMPO ........................................................ 11 
1.6. MONTANTE................................................................................ 13 
1.7. ATIVIDADES RESOLVIDAS ................................................... 14 
1.8. ATIVIDADES PROPOSTAS ..................................................... 22 
CAPÍTULO 2 ...................................................................................... 25 
2. DESCONTO.................................................................................... 25 
2.1 DESCONTO SIMPLES (COMERCIAL ou POR FORA)....... 25 
2.2 TAXA EFETIVA NO DESCONTO SIMPLES ........................ 27 
2.3 DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) ........................... 29 
2.4 DESCONTO COM DESPESAS BANCARIAS........................ 30 
2.5 PRAZO e TAXA MÉDIA EM DESCONTO SIMPLES ......... 32 
2.6 ATIVIDADES RESOLVIDAS ................................................... 33 
2.7 ATIVIDADES PROPOSTAS ..................................................... 35 
CAPÍTULO 3 ...................................................................................... 38 
3 CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA ............................................. 38 
3.1. MONTANTE................................................................................ 38 
3.2. CAPITAL INICIAL .................................................................... 41 
3.3. PERÍODOS .................................................................................. 42 
3.4. TAXA ............................................................................................ 43 
3.5. EQUIVALÊNCIA DE TAXAS .................................................. 45 
3.6. TAXAS .......................................................................................... 47 
3.6.1. Taxa efetiva .......................................................................... 47 
3.6.2. Taxa nominal ....................................................................... 48 
3.6.3. Taxa aparente – taxa real – taxa inflacionária................. 49 
3.7. ATIVIDADES RESOLVIDAS ................................................... 53 
3.8. ATIVIDADES PROPOSTAS ..................................................... 64 
CAPÍTULO 4 ...................................................................................... 67 
4. SÉRIES PERIÓDICAS UNIFORMES ..................................... 67 
4.1 FLUXO DE CAIXA .................................................................... 67 
4.2 SÉRIE POSTECIPADA ............................................................. 68 
4.2.1 Cálculo do Valor Presente ..................................................... 68 
4.2.2 Cálculo do Valor das Parcelas .............................................. 70 
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4.2.3 Cálculo do Valor Futuro ........................................................ 71 
4.2.4 Cálculo do Número de Parcelas ............................................ 73 
4.2.5 Cálculo da Taxa ...................................................................... 74 
4.3 SÉRIE ANTECIPADA ............................................................... 75 
4.3.1 Cálculo do Valor Presente ..................................................... 75 
4.3.2 Cálculo do Valor das Parcelas .............................................. 77 
4.3.3 Cálculo do Valor Futuro ........................................................ 78 
4.3.4 Cálculo do Número de Parcelas ............................................ 79 
4.3.5 Cálculo da taxa ....................................................................... 80 
4.4 SÉRIE DIFERIDA ...................................................................... 81 
4.5 ATIVIDADES RESOLVIDAS ................................................... 84 
4.6 ATIVIDADES PROPOSTAS ................................................... 104 
CAPÍTULO 5 .................................................................................... 111 
5. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO .......................................... 111 
5.1 DEFINIÇÃO BÁSICA .............................................................. 111 
5.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC ...... 112 
5.3 SISTEMA FRANCÊS – TABELA PRICE ............................. 113 
5.4 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO AMERICANO - SAA ...... 120 
5.5 SISTEMA SACRE .................................................................... 120 
5.6 ATIVIDADES RESOLVIDAS ................................................. 121 
5.7 ATIVIDADES PROPOSTAS ................................................... 130 
CAPÍTULO 6 .................................................................................... 131 
6. FERRAMENTAS DE AVALIAÇÃO ECONÔMICA ........... 131 
6.1 FLUXO UNIFORME EQUIVALENTE - FUE .................... 131 
6.1.1 Alternativas de durações iguais .......................................... 139 
6.1.2 Alternativas de durações desiguais ..................................... 143 
6.2 VALOR PRESENTE LÍQUIDO - VPL .................................. 146 
6.3 TAXA INTERNA DE RETORNO – TIR ............................... 152 
6.4 ÍNDICE DE LUCRATIVIDADE (IL) – TAXA DE 
RENTABILIDADE (TR) ................................................................. 156 
6.5 ANÁLISE INCREMENTAL .................................................... 159 
6.6 ANÁLISE DE PROJETOS MUTUAMENTES 
EXCLUDENTES COM DURAÇÕES DESIGUAIS .................... 160 
6.7 ATIVIDADES RESOLVIDAS ................................................. 164 
6.8 ATIVIDADES PROPOSTAS ................................................... 174 
REFERÊNCIAS ............................................................................... 179 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CAPÍTULO 1 
 
1. JUROS SIMPLES 
 
1.1. RAZÃO 
 
Em diversos aspectos da vida cotidiana, deparamo-nos com situações nas quais necessitamos 
comparar valores de uma grandeza, ou mesmo valores de grandezas diferentes. Essa 
comparação pode ser feita de várias maneiras. 
 
Uma delas é determinar a diferença entre os dois números. 
 
Se o salário de Renata é de $ 2500,00 e o salário de Caio é igual a $ 2000,00, então pela 
diferença 2500 – 2000 = 500 podemos dizer que o salário de Renata é maior do que o de Caio, 
e essa diferença é de $ 500,00. Se o salário de Renata fosse de $ 20.500,00 e o de Caio $ 
20.000,00, poderíamos também dizer que o salário de Renata é maior do que o de Caio, e essa 
diferença é de $ 500,000,mas, neste caso, essa diferença seria muito menos significativa 
quando comparada aos valores de cada salário. 
 
Um outro modo de compararmos os salários de Caio e Renata seria através do quociente, ou 
seja, o resultado da divisão desses valores. No primeiro caso, dividindo o salário de Renata pelo 
de Caio, obtemos: 
2500 25 5
1,25
2000 20 4
  
 
 
No segundo caso, temos: 
 
20500 205 41
1,025
20000 200 40
  
. 
 
Se os dois salários fossem iguais, o quociente seria igual a 1. Veja que os valores 1,25 e 1,025, 
por serem maiores do que 1, indicam que o salário de Renata é maior do que o de Caio, mas a 
relação entre os salários não é a mesma nas duas situações, pois no segundo caso esses salários 
estão bem mais próximos um do outro. 
 
Como se vê, a comparação por meio do quociente pode dar uma idéia melhor da relação 
existente entre os números que desejamos comparar. 
 
Tomemos o exemplo de uma dona-de-casa que tem uma receita de bolo de 1 quilograma (1.000 
gramas) e que por essa receita ela deva usar 700 gramas de farinha. Se, por alguma razão, a 
dona-de-casa tiver que fazer um bolo pesando apenas 800 gramas, as quantidades dos 
ingredientes deverão ser adaptadas. Assim, para todos os ingredientes da receita, a dona-de-casa 
terá de reduzir as quantidades na proporção de 
1000
800
 (oitocentos em mil - é conveniente que 
ambos os valores da grandeza estejam na mesma unidade, no caso gramas). Essa fração pode ser 
simplificada, dividindo-se tanto o numerador quanto o denominador por 100, o que resulta 
800 8
0,8
1000 10
 
. Portanto, a quantidade de cada ingrediente da receita de 1 quilograma, 
deveria ser reduzida para 
10
8
 do seu valor, para achar a quantidade necessária à receita de um 
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mesmo bolo pesando 800 gramas. A quantidade de 700 gramas de farinha passaria a ser de 
8
700 700 0,8 560
10
   
 gramas. 
 
O cálculo também poderia ser feito por meio de uma regra de três simples: se uma receita de 
1000 gramas contém 700 gramas de farinha, uma receita de 800 gramas deve conter quantos 
gramas de farinha? Esquematicamente, temos: 
 
X

800
7001000
 
de onde resulta 
700 800
560
1000
X

 
gramas. 
A fração 
800 8
0,8
1000 10
 
, que é o resultado da divisão dos números 800 e 1000, 
denomina-se razão. 
 
A razão é o número que expressa o quociente entre dois números dados. 
 
Em uma razão, temos o numerador (também chamado antecedente) e o denominador (também 
chamado conseqüente): 
antecedente numerador
razão
conseqüente denominador
 
 
e, como em toda fração, o denominador deve ser diferente de zero. 
 
Para termos uma idéia da importância do conceito de razão em Finanças, consideremos o 
exemplo de uma empresa que toma um financiamento por determinado período de tempo. Ao 
final desse período, ela terá que restituir o capital e pagar o juro. Pode-se fazer uma comparação 
entre o juro e o capital, construindo a razão 
Juro
Capital
, e esta razão é muito importante no estudo 
da matemática financeira, como veremos adiante. 
 
1.2. PORCENTAGEM 
 
A percentagem ou porcentagem é um tipo de razão muito especial e muito utilizado. 
 
A porcentagem é um símbolo que expressa uma razão em que o denominador é igual a 100. 
 
Por exemplo, a razão 
53
100
 é uma porcentagem, simplesmente porque o denominador é igual a 
100. Esta fração é equivalente, é claro, a 0,53. 
 
Não parece haver motivo especial para a escolha do número 100. Porém, relacionar um número 
qualquer ao número 100 parece facilitar o entendimento da respectiva razão. Entretanto, o 
motivo maior do uso do valor 100 no denominador, é devido a questão da quantidade máxima 
da medida em questão. Ou seja, se em um certo lugar há 30 pessoas, dizemos que ali, a 
totalidade corresponde a 100%. Outro motivo é porque quando temos um valor fracionário, 
podemos colocar esse número em forma de fração, e essa o denominador será sempre múltiplos 
de 100. 
 
Por ter-se tornado um símbolo muito comum e muito utilizado, resolveu-se simplificar a forma 
de se escrever e falar a porcentagem, com o uso do símbolo %, ou seja, sempre que o número 
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100 aparece como denominador, ele é substituído pelo símbolo % (por cento). Desta forma, a 
razão 
53
100
 escreve-se como 53% (cinquenta e três por cento). Temos, portanto: 
53
0,53 53%
100
 
. 
 
Tomemos um grupo de 10 pessoas. Como, normalmente, cada pessoa tem 10 dedos nas mãos, 
temos no grupo um total de 100 dedos. Fazer a relação entre o número de dedos de uma 
determinada pessoa do grupo com o total de dedos de todas as pessoas do grupo é um exercício 
que caracteriza bem essa facilidade de entendimento. Teremos, assim, 10 dedos da pessoa em 
100 dedos do grupo 
10
100
 
 
 
, ou seja, um elemento do grupo é portador de 10% (dez por cento) 
do total de dedos do grupo. Temos: 
10
0,10 10%
100
 
. 
 
Vamos citar um dado estatístico obtido em determinada pesquisa em 2006: 40% dos alunos que 
estudam administração são mulheres. Daí conclui-se que, de cada 100 alunos, 40 são mulheres. 
 
1.2.1 Taxa percentual e taxa unitária 
 
A matemática financeira trabalha com valores monetários ($) e utiliza intensivamente a notação 
percentual. Quando comparamos entre si duas quantias (em qualquer unidade monetária, como 
real, dólar, euro, etc), a razão entre essas duas quantias é denominada taxa. 
Uma taxa é representada freqüentemente de duas formas: taxa percentual e taxa unitária. Por 
exemplo, ao compararmos uma quantia de $ 1.200,00 com a quantia de $ 60.000,00, 
simplesmente calculamos a razão desses valores, que é dada por 
1200 12 2
2% 0,02
60000 600 100
   
. Veja que a mesma razão foi indicada nestas expressões de 
cinco modos diferentes. A notação 2% é a taxa percentual, enquanto que a notação 0,02 é a taxa 
unitária. 
 
Assim, para expressar a taxa que representa a relação entre $ 400,00 (quatrocentos reais, 
dólares, euros etc.) e um total de $ 2.000,00, poderemos escrever: 
 
400 40 20
20% 0,20
2000 200 100
   
. 
 
A taxa percentual é 20% e a taxa unitária é 0,20. Concluímos que 400 está para 2.000 na mesma 
proporção em que 20 está para 100, ou seja, 
400 20
2000 100

. 
 
Nota: Conceito de proporção. Uma proporção é uma igualdade entre razões. 
Se uma primeira grandeza assume sucessivamente os valores 
36, 72, 24, 6, 84, 120 
e uma segunda grandeza assume sucessivamente os valores 
54, 108, 36, 9, 126 e 180, 
observa-se que 
36 72 24 6 84 120
54 108 36 9 126 180
    
, 
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pois todas estas razões são iguais a 
2
3
. Dizemos, então, que as duas seqüências de valores são 
proporcionais. 
 Como 
36 72
54 108

, dizemos que 36 está para 54 na mesma proporção em que 72 está para 
108. 
 
Vimos, então, que as formas de expressar a razão entre valores têm nomes diferentes. Quando 
dizemos que a taxa é de 20% (vinte por cento), estamos utilizando a forma percentual, e se 
dizemos que a taxa é 0,20 (vinte centésimos), estamos utilizando a forma unitária. 
 
Para converter a taxa percentual em unitária basta dividir a taxa percentual por 100. 
Para converter a taxa unitária em percentual faz-se o inverso, multiplicando por 100. 
 
Veja alguns exemplos na tabela: 
Tabela-1: Comparações entre taxas percentuais e taxas unitárias 
TAXA PERCENTUAL TAXA UNITÁRIA 
15% 0,15 
8% 0,08 
0,15% 0,0015 
125% 1,25A seguir, veremos alguns casos onde se usa o conceito de taxa. 
Calcular 40% de $ 20.000,00 
Basta multiplicar a taxa pelo valor dado, fazendo 
40% 20.000
. 
Podemos escrever: 
40 40 20.000,00 800.000,00
40% 20.000,00 20.000,00 8.000,00
100 100 100

     
 
 
Porém, é mais prático utilizar a taxa unitária, ou seja, primeiramente transformamos a taxa 
percentual em taxa unitária, para depois efetuarmos o produto. 
Assim, como: 
40
40% 0,40
100
 
 (taxa unitária), fazemos 
0,40 20.000,00 8.000,00 
. 
 
Usando a HP-12C: 40 ENTER 100 
 /
 20000 
 
 
ou 
20000 ENTER 40 [%] 
 
Como regra, para calcular o valor que representa uma porcentagem de um total dado, basta 
multiplicar a taxa pelo total: 
valor taxa total 
 
 
Quanto fazemos uma transferência de valores de uma conta bancária para outra, o banco cobra 
uma taxa sobre o valor transferido. Suponhamos que a taxa percentual seja de 0,3%. Qual o 
valor cobrado se a transferência foi de $ 3.800,00? 
Podemos calcular o resultado de dois modos: 
1º.) Usando a taxa percentual. Nesse caso, o valor cobrado é: 
0,3 0,3 3800 1140
0,3% 3800 3800 $ 11,40
100 100 100

     
 
2º.) Usando a taxa unitária. Nesse caso, como a taxa unitária é 0,3% = 0,003, o valor cobrado é: 
0,003 3800 $ 11,40 
. 
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Usando a HP-12C: 3800 ENTER 0,3 
 %
 
ou 
3800 ENTER 0,003 
 
 
 
O exemplo sugere que a taxa unitária apresenta um cálculo bem mais prático, por isso ela é 
mais utilizada em cálculos com calculadoras comuns. Na HP-12C, os dois modos se equivalem, 
devido aos recursos dessa calculadora. 
 
O preço de uma mercadoria apresenta a seguinte formação: 
 34% de impostos; 
 16% de custos fixos; 
 35% de custos variáveis; 
 15% de lucro. 
 
Supondo que o preço da mercadoria seja de $ 250,00, calculemos os valores dos seus 
componentes: 
 34% de impostos: 
34
250,00 0,34 250,00 $85,00
100
   
 
Usando a HP-12C: 250 ENTER 34 
 %
 
 16% de custos fixos: 
16
250,00 0,16 250,00 $40,00
100
   
 
Usando a HP-12C: 250 ENTER 16 
 %
 
 35% de custos variáveis: 
35
250,00 0,35 250,00 $87,50
100
   
 
Usando a HP-12C: 250 ENTER 35 
 %
 
 15% de lucro: 
15
250,00 0,15 250,00 $37,50
100
   
 
Usando a HP-12C: 250 ENTER 15 
 %
 
 
Se somarmos esses valores, teremos: 
$ 85,00 + $ 40,00 + $ 87,50 + $ 37,50 = $ 250,00 (preço total da mercadoria). 
 
1.3. CÁLCULO DO JURO SIMPLES 
 
Chamada, pejorativamente, de usura, a atividade de empréstimo de dinheiro a juros foi, até a 
idade média, proibida pela Igreja de ser praticada pelos cristãos. Porém, já a partir do final do 
século XV, alguns pensadores começaram a defender a idéia de que seria natural que o dinheiro 
fosse tratado como outro bem qualquer. Assim, se é absolutamente normal que alguém tenha 
um imóvel desocupado e cobre determinado valor (aluguel) para que um interessado possa 
ocupá-lo, por que não seria natural que alguém que tenha uma soma em dinheiro (capital), que 
não pretenda utilizar durante determinado período de tempo, possa alugá-lo (empréstimo), 
cobrando uma determinada taxa (%) por isso? 
 
Noção de capital. Na matemática financeira, capital pode ser entendido como qualquer valor 
expresso em moeda e disponível no presente ou no futuro. 
 
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Noção de juro. Podemos definir “juro” como a remuneração recebida ou paga por uma 
aplicação ou empréstimo de uma soma de dinheiro (capital), ou seja, é o rendimento (aluguel) 
do dinheiro emprestado. 
 
Antes de iniciarmos o estudo do juro simples, vamos definir siglas para alguns dos argumentos 
financeiros: 
PV – valor presente (do inglês present value), capital inicial, valor aplicado ou valor tomado 
na data presente; 
FV – valor futuro (do inglês future value), montante, resultado de aplicações ou de tomadas 
de valores; 
n – número de períodos de uma determinada aplicação; 
i – taxa de juro - no caso de juro simples ou capitalização simples a taxa de juros incide 
sempre sobre o capital inicial aplicado, e não incide sobre os juros acumulados. 
J – juro 
 
1.Seu amigo pede a você, emprestada, a quantia de $ 300,00 por um período de 1 (um) mês e 
propõe pagar 2% de juro no período. 
Para calcular quanto você receberia de juro (o aluguel do dinheiro que você empresta), basta 
fazer como visto anteriormente, ou seja, calcular 2% de $ 300,00. Ficaria assim: 
2% de juro: 
2
300,00 0,02 300,00 $ 6,00
100
   
 
 
Usando a HP-12C: 300 ENTER 2 
 %
 
 
Consideremos, porém, que você queira escrever o cálculo que acabou de efetuar de uma 
maneira que possa ser utilizado para qualquer outro cálculo desse tipo, ou seja, montar uma 
fórmula para ser usada sempre que surgir uma situação semelhante. Para tanto basta substituir, 
no cálculo, os valores pelas respectivas siglas. 
Temos então os seguintes dados: 
i (taxa de juro) = 2% no período, ou seja: 
2
2% 0,02
100
i   
; 
PV (valor presente) = $ 300,00; 
J (juro, valor que você quer calcular) = ? 
 
Ora, se J (juro) é o valor que você quer calcular (aquilo que você desconhece), quando colocado 
em uma fórmula ele deve ser escrito em primeiro lugar e igualado àquilo que você conhece. 
Tendo o valor presente (PV) e a taxa de juro (i), então para calcularmos o juro (J), basta fazer o 
seguinte cálculo: 
J PV i 
 
No exemplo numérico acima, esta fórmula foi aplicada assim: 
2
300,00 2% 300,00 300,00 0,02 6,00
100
J       
 
 
Porém, esta fórmula aplica-se apenas para um período. Lembre-se que seu amigo combinou que 
o empréstimo seria pelo período de 1 (um) mês (n = 1). Caso o empréstimo fosse por mais de 
um período, faríamos a soma dos respectivos juros por quantos períodos fossem considerados 
no fechamento do negócio. 
 
1.Imagine que o seu amigo tivesse pedido os $ 300,00 emprestados por 3 (três) meses. Teríamos 
então os seguintes dados: 
i (taxa de juro) = 2% no período, ou seja: 
2
2% 0,02
100
i   
; 
PV (valor presente) = $ 300,00; 
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n = 3 
J (juro, valor que você quer calcular) = ? 
 
 
e faríamos o seguinte cálculo: 
 1º período 2º período 3º período 
J = 
 PV i
 + 
 PV i
 + 
 PV i
 
     300,00 0,02 300,00 0,02 300,00 0,02 6,00 6,00 6,00 3 6,00 18,00J            
 
Observe que o que acabamos de fazer foi: 
 J PV i n  
 
Podemos, então, generalizar, ou seja, escrever uma fórmula que sirva para qualquer situação: 
 
     
1º 2º º
n vezes
período período n período
J PV i PV i PV i       
 
que é equivalente à fórmula 
J PV i n  
 
 
Esta fórmula pode ser escrita de vários modos, conforme as variáveis que são dadas e aquela 
que desejamos calcular: 
J
PV
i n


 ou 
J
n
PV i


 ou 
J
i
PV n


 
 
Qualquer que seja a incógnita (o valor a ser calculado), tem-se a respectiva fórmula para o 
cálculo. 
 
2.Imagine que, em determinado problema, tivéssemos os seguintes dados: 
$1.000,00PV 
 
4n 
 períodos 
2%i 
 ao período 
?J 
 
Utilizando a fórmula: 
J PV i n  
, obtemos: 
1000 0,02 4J   
, logo 
80,00J 
 
 
Usando a HP-12C: 1000 ENTER .02 
 
 4 
 
 
 
Suponhamos, porém, que tivéssemos: 
?PV 
 
4n 
 períodos 
2%i 
 ao período 
$ 80,00J Utilizaríamos então a fórmula: 
80
0,02 4
J
PV
i n
 
 
, de onde 
$1.000,00PV 
 
 
Usando a HP-12C: 80 ENTER .02 ENTER 4 
 
 
 
 
 
Poderíamos, também, ter: 
PV = $ 1.000,00 n = ? i = 2% ao período e J = 80,00 
Utilizaríamos então a fórmula: 
80
1000 0,02
J
n
PV i
 
 
, de onde n = 4 períodos 
 
Usando a HP-12C: 80 ENTER 1000 ENTER .02 
 
 
 
 
 
Finalmente, poderíamos ter: 
PV = $ 1.000,00 n = 4 períodos i = ? e J = 80,00 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 11 
 
 
Utilizaríamos a fórmula: 
80
1000.4
J
i
PV n
 

, de onde i = 0,02 = 2% 
Usando a HP-12C: 80 ENTER 1000 ENTER 4 
 
 
 
 
 
Uma observação muito importante: 
Em cálculos na matemática financeira envolvendo taxa e período, devemos ter o cuidado de 
colocar os dois argumentos na mesma unidade. Por exemplo: se a taxa for ao mês (a.m.) o 
período também deverá estar em meses, se o período estiver em anos, a taxa deverá ser ao ano 
(a.a.) e assim por diante. 
 
1.4. TAXAS PROPORCIONAIS E TAXAS EQUIVALENTES 
 
1.4.1 Taxas proporcionais 
 
Imagine dois empréstimos, envolvendo taxas e períodos diferentes, como por exemplo: 
 2% ao mês 
 24% ao ano 
Note que 
2%
1 mês
 = 
24%
12 meses
, ou seja, 2% ao mês = 24% ao ano. 
 
Quando as taxas foram comparadas com os respectivos períodos utilizando uma mesma unidade 
de tempo, as razões obtidas resultaram iguais. Neste caso, dizemos que as taxas são taxas 
proporcionais. Este conceito também pode ser aplicado a três ou mais taxas. 
 
1.4.2 Taxas equivalentes 
 
Imagine agora que dois empréstimos, envolvendo taxas por períodos diferentes, produzem sobre 
um dado capital (PV) o mesmo montante (FV) em um mesmo prazo. 
Por exemplo: 
1º) Empréstimo de $ 100,00 a 2% a.m., pelo prazo de 12 meses (1 ano) 
PV = $ 100,00, i = 2% a.m. (ao mês), n = 12 meses 
100 0,02 12 $ 24,00J    
 
O montante será 
100 24 $ 124,00FV PV J    
 
 
2º) Empréstimo de $ 100,00 a 24% a.a., pelo prazo de 1 ano (12 meses) 
PV = $ 100,00, i = 24% a.a. (ao ano), n = 1 ano 
100 0,24 1 $ 24,00J    
 
O montante será 
100 24 $ 124,00FV PV J    
 
 
Como podemos ver, a taxa de 2% ao mês e a taxa de 24% ao ano, no mesmo prazo de 1 ano, 
produzem montantes iguais a partir do capital dado. 
Estas taxas são denominadas taxas equivalentes. 
 
Observação: No caso de juro simples, que estamos estudando até agora, taxas que são 
proporcionais também são equivalentes e podem ser chamadas de taxas lineares, pois o 
crescimento do juro ao longo dos períodos é linear (ou seja, é representado por uma função do 
primeiro grau). No caso de juro composto, que veremos posteriormente, taxas proporcionais não 
são necessariamente equivalentes. 
 
1.5. CONTAGEM DO TEMPO 
 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 12 
 
Em operações onde o prazo é menor que um mês, a taxa geralmente se refere à unidade diária. 
Pode-se contar o número de dias na forma ordinal ou na forma cardinal. 
Na contagem ordinal, contamos os dias desde o dia do fechamento do negócio até o término. 
Exemplo: se o financiamento foi liberado no dia 2 de janeiro para ser pago no dia 10 do mesmo 
mês, conta-se: 
 
02/01 03/01 04/01 05/01 06/01 07/01 08/01 09/01 10/01 
1º dia 2º dia 3º dia 4º dia 5º dia 6º dia 7º dia 8º dia 9º dia 
 
Portanto, a duração do financiamento é de 9 dias (n = 9). 
 
Na contagem cardinal, contamos a quantidade de passagens de um dia para o outro. Exemplo: 
para o mesmo financiamento do exemplo acima, temos: 
02/01 03/01 04/01 05/01 06/01 07/01 08/01 09/01 10/01 
1º dia 2º dia 3º dia 4º dia 5º dia 6º dia 7º dia 8º dia 9º dia 
 
 1 dia 
 
1 dia 
 
1 dia 
 
1 dia 
 
1 dia 
 
1 dia 
 
1 dia 
 
1 dia 
 
Portanto, na contagem cardinal, a duração do financiamento é de 8 dias (n = 8). 
 
De acordo com o Código de Processo Civil brasileiro (CPC), a contagem de tempo deve ser 
feita da seguinte forma: exclui-se o dia do começo e inclui-se o do vencimento, com 
prorrogação do início ou do vencimento para o primeiro dia útil subseqüente, caso haja feriado. 
 
1.Vejamos o caso de uma dívida feita na data 18 de dezembro de 2006 (segunda-feira) para ser 
paga com 7 dias: 
18/12 19/12 20/12 21/12 22/12 23/12 24/12 25/12 26/12 
segunda terça quarta quinta sexta sábado domingo segunda terça 
exclui conta conta conta conta conta conta exclui 7º dia 
 
O pagamento deverá ser executado no dia 26 de dezembro de 2007 (terça-feira) em virtude do 
feriado do dia 25/12 (Natal). 
 
Os agentes financeiros não praticam a contagem da forma processual, contam o tempo de duas 
formas, chamadas período exato e período comercial. 
 Período exato: para este caso é usado o calendário do ano civil, ou seja, 365 dias. 
 Período comercial: neste caso, admite-se o mês com 30 dias, logo, o ano com 360 dias. 
 
2.Para um caso de uma negociação que teve início na data de 20/05/2007 e término em 
25/10/2007. 
I. Período exato: início: 20/05/2007 , término: 25/10/2007 (158 dias) 
 
Usando a HP-12c: (colocar na forma D.MY (dia, mês, ano)) 
 G
 
 4
 20.052007 ENTER 25.102007 
 G
 
 EEX
 
 
II. Período comercial: início: 20/05/2007 término: 25/10/2007 (155 dias) 
 
Usando a HP-12c: (colocar na forma D.MY (dia, mês, ano)) 
 G
 
 4
 20.052007 ENTER 25.102007 
 G
 
 EEX
 
 YX 
 
 
Para transformarmos taxas anuais (juro linear) em taxas diárias, basta fazer como nos exemplos 
a seguir: 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 13 
 
i = 12% ao ano equivale a i = 
365
12,0
 i = 0,0329 % ao dia ( período exato) 
i = 12% ao ano equivale a i = 
360
12,0
 i = 0,0333 % ao dia ( período comercial) 
 
1.6. MONTANTE 
 
Vamos estudar agora como se calcula o montante ou valor futuro (FV) de um determinado valor 
presente (PV) que deverá ser pago ou recebido no futuro, acrescido de juro. Para tanto suponha, 
por exemplo, que uma mercadoria seja vendida por uma empresa com um prazo de um mês para 
o pagamento. O vendedor, buscando compensar o prazo que levará para receber, bem como o 
risco envolvido neste processo, reajusta o preço a uma determinada taxa i. O cálculo é feito da 
seguinte forma: 
 Multiplica-se a taxa pelo preço da mercadoria, encontrando o valor do reajuste. 
 Soma-se o valor encontrado com o preço da mercadoria, obtendo-se o preço final. 
 
1.Vamos supor que a mercadoria tenha seu preço à vista estipulado em $ 100,00 (PV), e que 
será paga ao final de um período, no caso 1 mês (n = 1) e o vendedor corrige o preço à taxa de 
2% a.m. (i = 0,02). Qual é o preço final? 
Se seguirmos os passos acima, teremos: 
100 0,02 2,00J   
 
100 2,00 102,00FV   
 
 
Aqui, o resultado $ 102,00 é o valor da mercadoria adicionado ao reajuste. Note que o cálculo 
feito é: 
100 100 0,02FV   
 
 
Colocando em evidência a parcela 100, temos: 
 
 100 1 0,02FV  
 
ou seja, 
 1FV PV i 
 
 
Chamamos o fator (1 + i) de “fator de reajuste”. 
 
Quando fazemos o empréstimo de um capital PV por um determinado número n de períodos a 
certa taxa i, queremos que seja restituído, ao final do período, o valor do empréstimo 
adicionado o juro. Desta forma, temos o MONTANTE (FV): 
 
FV PV J 
 
FV PV PV i n   
 
 1FV PV i n  
 
O fator 
 1 i n 
 é chamado de “fator de capitalização simples” para n períodos. 
Usando as propriedades da álgebra podemos deduzir que: 
(1 )
FV
PV
i n

 2.Por exemplo, se o valor emprestado é de 
$ 1000,00PV 
 por 
4n 
 períodos a uma taxa de 
juros linear de 
2%i 
 ao período, então: 
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   1 1000 1 0,02 4 1000 1,08 $ 1080,00FV PV i n        
 
 
Figura 1. Demonstrativo de fluxo de caixa da atividade proposta. 
 
 
Se desejarmos encontrar o valor do período (n) ou da taxa (i) e forem dados os valores de PV e 
FV, o mais indicado é obter o valor do juro: J = FV – PV e usar as fórmulas: 
J
n
PV i


 ou 
J
i
PV n


. 
 
 
1.7. ATIVIDADES RESOLVIDAS 
 
1. Uma empresa aplica $ 1.000,00 a uma taxa de juros simples de valor 2% ao mês. Qual o 
valor do juro pago ao final de um semestre? 
1000,00PV 
, 
2%i 
 ao mês, 
1 6n semestre meses 
 
1000 0,02 6 120J PV i n      
 
HP-12C: 1000 ENTER 0,02 
 
 6 
 
 
 
Usando os argumentos financeiros da calculadora financeira HP-12c, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
2. Um capital de valor $ 1.000,00 foi aplicado por 2 anos resultando $ 500,00 de juro. 
Calcular a taxa percentual a) em anos e b) em meses. 
a) Em anos: 
1000,00PV 
, 
2n anos
, 
500J 
 
500 1
0,25 25%
1000 2 4
J
i ao ano
PV n
    
 
. 
 
HP-12C: 500 ENTER 1000 ENTER 2 
 
 
 /
 100 
 
 
 
b) Em meses: 
1000,00PV 
, 
24n meses
, 
500J 
 
500 1
0,02083 2,083%
1000 24 48
J
i ao mês
PV n
    
 
. 
 
HP-12C: 500 ENTER 1000 ENTER 24 
   /
100 
 
 
 
HP-12C: 1000 
 PV
 24 
 i
 180 
 n
 
 F  i
 
Para o caso de juros simples a taxa deve 
estar no período anual e o período em dias 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 15 
 
3. Uma aplicação a taxa de juros linear de 18% ao ano, durante 3 trimestres rendeu $ 
400,00 de juros. Calcule o valor da aplicação. 
 
1º. modo: reduzir a taxa e os períodos à unidade meses. 
3 9n trimestres meses 
, 
18%
18%
12
i ao ano ao mês 
, 
400J 
 
400
$ 2962,96
0,18
9
12
J
PV
i n
  


 
 
HP-12C: 400 ENTER 0,18 ENTER 12 
 /
 9 
 
 
 /
 
ou 
HP-12C: 400 ENTER 0,18 ENTER 9 ENTER 12
 /
 
 
 
 /
 
 
 2º. modo: reduzir a taxa e os períodos à unidade anos. 
3
3
4
n trimestres ano 
, 
18%i ao ano
, 
400J 
 
400
$ 2962,96
3
0,18
4
J
PV
i n
  


 
HP-12C: 400 ENTER 0,18 ENTER 4 
 /
 3 
 
 
 /
 
ou 
HP-12C: 400 ENTER 0,18 ENTER 3 ENTER 3
 /
 
 
 
 /
 
 
 
4. O valor de $ 2.000,00 foi aplicado a uma taxa de juro linear de 9% ao semestre, 
rendendo $ 500,00 de juro. Por qual período ficou este valor aplicado? 
2000PV 
, 
9%i ao semestre
, 
500J 
 
500
2,78
2000 0,09
J
n semestres
PV i
  
 
. 
 
HP-12C: 500 ENTER 2000 ENTER 0,09 
 
 
 /
 
 
 O resultado pode ser dado de várias formas: 
 em meses: 
2,78 6 16,68n meses  
 
 em dias: 
16,68 30 500n dias  
 
 em meses e dias: 
16,68 16 0,68 30 16 20n meses meses dias meses dias     
, 
 ou seja, 16 meses e 20 dias. 
 em anos, meses e dias: 
16 20 12 4 20 1 4 20n meses dias meses meses dias ano meses dias       
 
 ou seja, 1 ano, 4 meses e 20 dias. 
 
5. Um empréstimo de $ 2.000,00 foi liquidado por $ 2.600,00 no final de 140 dias. 
Calcular a taxa percentual i: 
a) ao dia. 
2000PV 
, 
2600FV 
, 
140n dias
 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 16 
 
2600 2000 600J FV PV    
 
600
0,002143 0,2143%
2000 140
J
i ao dia
PV n
   
 
. 
HP-12C: 600 ENTER 2000 ENTER 140 
 
 
 /
100 
 
 
 
b) ao mês (mês comercial). 
 O mês comercial tem 30 dias, logo 
0,002143 30 0,06429 6,429%i ao mês   
 
 Outro modo de calcular a taxa ao mês é fazer 
600
0,06429 6,429%
2000 140
30
i ao mês  

. 
 
HP-12C: 600 ENTER 2000 ENTER 140 ENTER 30 
 /  
 
 /
100 
 
 
 
6. Calcule o montante gerado por um empréstimo no valor de $ 1.000,00 que ficou por 6 
meses e 20 dias emprestado a uma taxa de 3% ao mês. 
1000PV 
, 
3%i ao mês
, 
6 20n meses e dias
 
 1º. modo: período em dias. Devemos fazer 
6 20 200n meses e dias dias 
 e 
3% 0,1%i ao mês ao dia 
 
(admitindo mês comercial). Neste caso, 
   1 1000 1 0,001 200 $ 1200,00FV PV in     
 
 
HP-12C: 200 ENTER 0,001 
 
 1 
 
 1000 
 
 
 
 2º. modo: período em meses. Devemos fazer 
20 200
6 20 6
30 30
n meses e dias meses
 
    
 
 e 
3%i ao mês
 
(admitindo mês comercial). Neste caso, 
 
200
1 1000 1 0,03 $ 1200,00
30
FV PV in
 
      
 
 
 
HP-12C: 0,03 ENTER 30 
 /
 200 
 
 1 
 
 1000 
 
 
 
7. O capital de valor $ 2.000,00 ficou aplicado por 3 trimestres a uma taxa de juro simples 
de 20% ao ano. Qual o montante ao final deste período? 
2000PV 
, 
20%i ao ano
, 
3
3 9
4
n trimestres meses anos  
 
 
3
1 2000 1 0,20 $ 2300,00
4
FV PV in
 
      
 
 
 
HP-12C: 0,20 ENTER 3 ENTER 4
 /
 
 
 1 
 
 2000 
 
 
ou 
HP-12C: 0,20 ENTER 4
 /
 3 
 
 1 
 
 2000 
 
 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 17 
 
 
8. Um empréstimo de $ 2.000,00 gerou um montante de $ 2.700,00 a 5% ao semestre. 
Determinar o período mensal desta aplicação. 
2000PV 
, 
2700FV 
, 
5%
5%
6
i ao semestre ao mês 
 
2700 2000 700J FV PV    
 
700
42
0,05
2000
6
J
n meses
PV i
  


. 
HP-12C: 700 ENTER 0,05 ENTER 6 
 /
 2000 
 
 
 /
 
 
9. O banco A emprestou a empresa MS o valor de $ 4.000,00 na data 20/04/07, para ser 
pago no dia 02/05/07. Considerando o mês comercial, qual o valor do juro pago e o 
montante, se a taxa linear combinada foi de 18% ao ano? 
4000PV 
, 
18%
18% . .
360
i a a ao dia 
 
 Para o número de dias, temos 
20 / 04 / 07 02 / 05 / 07 12n a dias 
 
 
HP-12C: 700 ENTER 0,05 ENTER 6 
 /
 2000 
 
 
 /
 
 
 Em seguida, fazemos: 
0,18
4000 12 $ 24,00
360
J PV i n      
 
 Sendo assim, 
4000 24 $ 4024,00FV PV J    
 
 
10. A loja SS vendeu para um cliente uma mercadoria no valor de $ 2.500,00, no dia 
12/03/2007 para ser paga na data 20/08/2007, sendo a taxa no valor de 12% ao 
semestre, calcular o valor do montante pago: a) considerando o mês comercial; b) 
considerando o mês civil. 
 
a) Considerando o mês comercial 
2500PV 
, 
12%
12%
180
i ao semestre ao dia 
 
 Para o número de dias, temos: 
12 / 03/ 07 20 / 08 / 2007 158n a dias 
 
 
HP-12C: 
 G
 
 4
 12.032007 ENTER 20.082007 
 G  EEX
 
 YX 
) 
 
 
0,12
1 2500 1 158 $ 2763,33
180
FV PV i n
 
       
 
 
 
HP-12C: 0,12 ENTER 180 
 /
 158 
 
 1 
 
 2500 
 
 
 
 
b) Considerando o mês civil. 
2500PV 
, 
12%
12%
182,5
i ao semestre ao dia 
 
 Para o número de dias, temos: 
12 / 03/ 07 20 / 08 / 2007 161n a dias 
 
 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 18 
 
HP-12C: 
 G
 
 4
 12.032007 ENTER 20.082007 
 G  EEX 
0,12
1 2500 1 161 $ 2764,66
182,5
FV PV i n
 
       
 
 
 
HP-12C: 0,12 ENTER 182,5 
 /
 161 
 
 1 
 
 2500 
 
 
 
11. Uma dívida de $ 320.000,00 irá vencer daqui a 3 meses e 20 dias (mês comercial). Se o 
juro é de $ 42.000,00, calcule a taxa linear a) diária b) mensal c) anual 
 
a) taxa linear diária 
320.000PV 
, 
3 20 110n meses e dias dias 
, 
32.000J 
 
42000
0,0011932 0,11932%
320000 110
J
i ao dia
PV n
   
 
 
 
HP-12C: 42000 ENTER 320000 ENTER 110 
   /
100 
 
 
 
b) taxa linear mensal 
0,11932% 30 3,57954%i ao mês  
 
 
HP-12C: 0,11932 ENTER 30 
 
 
 
c) taxa linear anual 
3,57954% 12 42,95454%i ao ano  
 
 
HP-12C: 3,57954 ENTER 12 
 
 
 
12. Determine a taxa linear que triplica o capital aplicado em 8 anos. 
 
Neste caso, podemos supor que o capital aplicado é de $ 100,00, e assim o montante será de FV 
= $ 300,00: 
100PV 
, 
8n anos
, 
300FV 
 
200J FV PV  
 
200
0,25 25%
100 8
J
i ao ano
PV n
   
 
 
 
HP-12C: 200 ENTER 100 ENTER 8 
 
 
 /
100
 
 
 
13. Determinar o valor presente (valor atual) de um título cujo valor nominal é de $ 
40.000,00, e sobre o qual foi cobrada uma taxa de juros linear de 3,5% ao mês para um 
prazo de vencimento de 80 dias. 
 
40000FV 
, 
80n dias
, 
3,5%i ao mês
 
40000
$ 36.585,36
0,035 801
1
30
FV
PV
in
  


 
 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 19 
 
HP-12C: 40000 ENTER 0,035 ENTER 80 
 
 30 
 /
1
 
 
 /
 
14. Certo capital, aplicado por 4 meses, torna-se $ 4.000,00. Caso ficasse aplicado por mais 
6 meses, chegaria ao valor de $ 6.000,00. Sendo assim, qual o valor da taxa linear 
mensal e do capital aplicado? 
 
 
4000PV 
, 
6000FV 
 
2000J FV PV  
 
2000
0,0833 8,33%
4000 6
J
i ao mês
PV n
   
 
 
 
HP-12C: 20000 ENTER 4000 ENTER 6 
 
 
 /
100 
 
 
 
4000
$ 3.000,00
1 1 0,0833 4
FV
PV
in
  
  
 
 
HP-12C: 4000 ENTER 0,0833 ENTER 4 
 
 1 
 
 
 /
 
 
 
15. A empresa MSL ltda toma emprestado $ 20.000,00 do Banco AGS, e promete pagar ao 
final de 6 meses. A taxa combinada por ambos é de 36% ao ano e o banco AGS cobra 
uma taxa bancaria de 2% sobre o valor do empréstimo. Portanto, determine: 
a) o montante pago ao final do prazo estipulado; 
b) a taxa de juros realmente paga pelo tomador, ou seja, a taxa efetiva do negocio; 
 
PV = 20000, n = 6 meses i = 36% a a = 3% a m 
a) FV = PV (1 + i n) 
FV = 20000 (1 + 0,03 . 6) 
FV = 23600 
 
HP-12C: 20000 ENTER 0,03 ENTER 6 
 
 1 
 
 
 
 
 
b) PV = 20000 – 0,02 * 2000 PV = 19600 
 
HP-12C: 20000 ENTER 0,02 ENTER 2000 
 
 
 
 
 
ou seja, o Banco AGS emprestou a empresa MSL ltda $ 20.000,00 mas 
depositou na conta da empresa apenas $ 19.600,00, logo a empresa terá que 
pagar o montante de $ 23.600,00 a partir de $ 19.600,00, então o valor da taxa 
de juro não será a mesma, pois a diferença do deposito na conta e do valor que 
deverá ser pago (montante) será de J = 4.000,00. Calculando a taxa de juros 
temos: 
4000
0,034 3,40%
1960 6
i am  

 
 
 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 20 
 
HP-12C: 4000 ENTER 1960 ENTER 6 
 
 
 /
100 
 
 
 
16. Determinada mercadoria foi adquirida em 4 pagamentos trimestrais de R$ 
6.240,00 cada um. Alternativamente, esta mesma mercadoria poderia ser 
adquirida pagando-se 20% de seu valor como entrada e o restante ao final de 5 
meses. Sendo de 36% ao ano a taxa da operação, pede-se determinar o valor da 
prestação vencível ao final de 5 trimestres. 
 
Inicialmente nesta questão devemos transformar a taxa anual em trimestral e trazer para 
o presente (PV1) os valores das prestações (pagamentos – PMT), fazendo: 
i = 36% ao ano i = 9% ao trimestre 
(1 )
FV
PV
i n

 
 
 
62400 62400 62400 62400
(1 0,09 1) (1 0,09 2) (1 0,09 3) (1 0,09 4)
20.514,53
PV
PV
   
       

 
 
HP-12C: 62400 ENTER 1 ENTER 0,09 ENTER 1 
 
 
   /
62400 ENTER 1 ENTER 0,09 
ENTER 2 
     /  
 62400 ENTER 1 ENTER 0,09 ENTER 3 
     /  
 62400 
ENTER 1 ENTER 0,09 ENTER 4 
 
 
 /  
 
 
O próximo passo é calcular o valor presente (PV2) com o desconto da entrada de 20%, 
ou seja, 80% do valor do PV, e depois calcular o valor do pagamento da dívida ao final 
do 5º período. 
 
 
PV2 = 20.514,53 . 0,80 = 16.411,62 
 
HP-12C: 20514,53 ENTER 0,80 
 
 
 
 1FV PV i n  
 
FV = PMT = 16.411,62 (1 + 0,09 . 5) = 23.796,85 
 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 21 
 
HP-12C: 16.411,62 ENTER 1 ENTER 0,09 ENTER 5 
   
 
 
 
 
17. O sr. Caio faz um empréstimo de valor $ 20.000,00 para pagar em 80 dias em 
um banco que cobra taxa de 18% ao ano, mais 2,2% sobre o valor do 
financiamento, taxa que é relativa a despesas e abertura de crédito. O sr. Caio 
não honra com a obrigação na data marcada e pede mais 100 dias para efetuar o 
pagamento. O banco aceita e renegocia a divida a uma taxa de 20% ao ano, e 
também cobra mais uma taxa de manutenção de crédito no valor de 1,8%. 
Calcule a divida do sr. Caio ao final dos 180 dias; a taxa efetiva em cada 
empréstimo, e a taxa efetiva cobrada no tempo que ficou devendo ao banco. 
 
Neste problema temos inicialmente: 
PV = 20.000, n = 80 dias i = 18% a a t = 2,2% do PV 
Calculando o montante da divida: 
 
 1FV PV i n  
 
0,18 80
20000(1 ) 20800,00
360
FV

  
 
 
HP-12C: 20000 ENTER 1 ENTER 0,18 ENTER 80 
 
 360 
 /    
 
 
Por não ter liquidado a divida na data e ter pedido mais um prazo, devemos calcular o novo 
montante da divida: 
PV = 20.800, n = 100 dias i = 20 % a a t = 1,8% do PV 
 
 1FV PV i n  
 
0,20 100
20800(1 ) 21955,55
360
FV

  
 
 
HP-12C: 20800 ENTER 1 ENTER 0,20 ENTER 100 
 
 360 
 /    
 
 
Para calcularmos a taxa efetiva em cada empréstimo devemos colocar a taxa bancaria. 
Para o primeiro empréstimo temos: 
PV = 20.000 – 2,2% de 20.000 = 19.560 n = 80 dias i = 18% a a t = 2,2% do PV 
FV = 20.8000, J = 800, 
 
J
i
PV n


 
 
800
0,1840 18,40%
80
19560
360
i aa  

 
 
HP-12C: 800 ENTER 19560 ENTER 80 
 
 360 
 /  /
 
 
Para o segundo empréstimo temos: 
PV = 20.800 – 1,8% de 20.800 = 20.425,60 n = 100 dias i = 20% a a t = 1,8% do PV 
FV = 21.955,55, J = 1.529,95 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 22 
 
 
J
i
PV n


 
 
1529,95
0,2509 25,09%
100
21955,55
360
i aa  

 
 
HP-12C: 1529,95 ENTER 21955,55 ENTER 100 
 
 360 
 /  /
 
 
 
Para encontrarmos a taxa efetiva do negocio por todo período temos: 
PV = 19.560,00 FV = 21.9555,55 J = 2.395,55 n = 180 dias 
J
i
PV n


 
2395,55
0,2449 24,49%
180
19560
360
i aa  

 
 
HP-12C: 2395,55 ENTER 19560 ENTER 180 
 
 360 
 /  /
 
 
Obs: a taxa bancaria não entra como divida, pois a taxa bancaria é paga no ato do negocio, por 
esse motivo ela é um valor a parte do empréstimo, portanto, não devemosadicionar a taxa no 
valor da divida, e sim somente usá-la quando for calcular a taxa efetiva. 
 
1.8. ATIVIDADES PROPOSTAS 
 
1) Calcular o juro linear de uma aplicação de valor $ 2.500.00, da data 03/05/2006 a 
14/08/2006, à taxa de 15% ao ano, considerando: 
a) mês comercial (período comercial) 
b) mês civil (período exato) 
R. a) $ 105,21 b) $ 105,82 
 
2) Qual o período que quadruplica uma aplicação a uma taxa linear de 14% ao ano, 
a) em meses ? 
b) em anos ? 
R. a) 257,14 meses = 257 meses 4 dias b) 21,43 anos = 21 anos 5 meses 4 dias 
 
3) O sr. João toma um empréstimo de $ 10.000,00, para pagar em 140 dias, a uma taxa 
linear de 2,5% ao mês. Pede-se: 
a) o juro; 
b) o montante; 
c) a taxa efetiva (ao mês) da aplicação, sabendo que na data do fechamento do 
negócio foi-lhe cobrada uma comissão de 1,5% sobre o valor do empréstimo. 
R. a) $ 1166,67 b) $ 11166,67 c) 2,5381% 
 
4) A empresa MS tem disponível por um ano certo capital, e tem duas opções de aplicação 
a juro linear. Em qual delas a empresa terá melhor rendimento? 
I. Aplicar seu capital a uma taxa linear de 28% ao ano; 
II. Aplicar ¾ do seu capital a uma taxa linear de 3% ao mês e a outra parte a 1% ao 
mês. 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 23 
 
Resposta: opção II 
 
5) A fábrica de moveis SS aplicou 25% de certo valor a 1,2% ao mês, o restante a 2,1% ao 
mês durante 4 meses recebendo de juro por estas aplicações $ 2.000,00. Pede-se 
determinar o valor total e de cada aplicação. Resposta: $ 6666,67 e $ 20.000,00 $ 
26.666.67 
 
6) Por quanto tempo o capital de $ 1.900,00 deve ficar aplicado à taxa de 22% ao ano para 
que produza um montante de $ 2.400,00 ? 
Resposta: 1,196 ano = 14,35 meses 1 ano 2 meses e 10 dias 
 
7) Durante 4,8 meses o capital $ 20.000,00 ficou aplicado gerando $ 560,00 de juro. Neste 
caso qual o valor da taxa: 
a) em meses 
b) em anos 
R. a) 0,5833% ao mês b) 7% ao ano 
 
8) Uma mercadoria tem seu preço a vista em $ 1.800,00. Entretanto, será pago em duas 
vezes, sendo uma entrada de $ 400,00 e uma parcela de $ 1.600,00 após dois meses. 
Qual a taxa linear cobrada na venda? Resposta: 7,1429% ao mês 
 
9) Em quantos dias o capital de $ 3.000,00 deve ser aplicado à taxa de juro simples 8% ao 
trimestre, de modo a gerar um valor final de $ 3.680,00. R. 255 dias 
 
10) Por qual período a uma taxa de 20% ao ano, certo capital deve permanecer aplicado de 
modo a gerar um juro igual a 1/3 do valor principal? Resposta: 20 meses 
 
11) A mercearia AG aplicou $ 23.000,00 no dia 20/02/2007 em fundo que paga uma taxa 
linear de 10% ao ano. Em que data ele recebeu o montante, se o juro foi de $ 800,00? 
Resposta: 25/06/2007 (período exato) ou 27/06/2007 (período comercial) 
 
12) O banco MS oferece um financiamento à taxa de juros simples de 14% ao ano, pelo 
período de 12/02/2007 a 25/08/2007. Considerando o ano comercial, quais são o juro e 
o montante pagos, se o valor do financiamento é de $ 50.000,00? 
Resposta: $ 3752,78 (juro) e $ 53.752,78 (montante) 
 
13) A empresa AG dispõe de $ 3.000,00 e divide este valor em duas partes, para fazer as 
aplicações: a primeira a 20% ao ano por 8 meses e a segunda a 18% ao ano por 4 meses. 
Determine o valor de cada aplicação sabendo $ 300,00 foi o juro total recebido pelas 
duas aplicações. Resposta: $ 1636,36 e 1363,64 
 
14) Um aplicador dividiu seu capital em três partes e negociou com o banco da seguinte 
forma: 
I. Um sexto do capital a uma taxa de 2% ao mês, em 4 meses; 
II. Dois sextos do capital a uma taxa de 2,5% ao mês, em 6 meses; 
III. Três sextos do capital a uma taxa de 3,0% ao mês, em 8 meses; 
Pede-se calcular o valor de cada parcela sabendo que o juro total recebido foi de $ 
2.000,00. Resposta: $ 1818,18, $ 3636,37 e $ 5454,55 
 
15) A loja ML adquiriu uma mercadoria em uma fábrica por $ 2000,00, na condição de 
pagar após o prazo dado na venda. A mercadoria foi vendida com um acréscimo de 40% 
depois de 12 dias de comprada e com um prazo para o cliente pagar em 40 dias. A taxa 
de juros cobrada pela fábrica é de 3% ao mês, e pela loja 4,5% ao mês. Determine: 
a) Os valores a serem pagos pelo comprador e pela loja; 
b) O lucro da loja em valor monetário e percentual. 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 24 
 
R. a) $ 2168,00 e $ 2104,00 b) $ 64,00 e 3,042% 
 
16) O proprietário de uma lanchonete está pensando em fazer uma reforma antes das festas 
de fim de ano, e para isto ele necessitará de $ 6.000,00. Quanto ele deverá depositar 
hoje em um banco que remunera a taxa linear de 1,2% ao mês e que ainda faltam 170 
dias para a data prevista para o início das reformas? 
Resposta: $ 5617,98 
 
17) O valor do montante a ser pago daqui a 138 dias é 40% maior que o valor da aplicação. 
Qual a taxa cobrada nesta operação? 
Resposta: 0,2899% ao dia = 104,36% ao ano 
 
18) Um aparelho é vendido em três parcelas mensais e iguais, de $ 450,00. A primeira 
parcela é dada no ato da compra, e as demais 30 e 60 dias após. Sendo a taxa de juro 
simples cobrada pela loja de 3,8% ao mês, qual o valor à vista deste produto? 
Resposta: $ 1301,75 
 
19) Uma nota promissória está sendo negociada com 25 dias de antecedência do seu 
resgate. O negócio foi fechado de tal modo que o valor a ser recebido é 4/5 do valor 
devido. Determine a taxa de juros mensal nesta transação. Resposta: 1% ao dia 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 25 
 
CAPÍTULO 2 
 
2. DESCONTO 
 
2.1 DESCONTO SIMPLES (COMERCIAL ou POR FORA) 
 
No dia a dia do comercio ou em qualquer outra atividade onde pagamentos e recebimentos 
fazem parte do cotidiano da empresa, há necessidade de capital em mãos para poder cobrir 
obrigações. Sendo assim, há uma prática comum de se adiantar o recebimento de valores, ou até 
mesmo cobrir antecipadamente obrigações. Para estes casos usa-se o Desconto, que é o valor do 
abatimento de um título pago antecipadamente, ou o valor abatido do valor futuro a receber, 
quando este é recebido antecipadamente. Diferentemente do juro simples em que a taxa incide 
sobre o valor presente (PV), a taxa de desconto incide sobre o valor futuro (FV). 
 
A expressão desconto simples ou comercial é devido a seu grande uso no comercio e em 
bancos, quando estes não cobram comissões. 
 
No estudo de desconto simples ou desconto comercial, temos os mesmos argumentos do juro 
simples, porém, alguns apresentam notação diferenciada. 
 
PV – valor presente – valor atual – valor líquido – valor descontado – valor resgatado. 
FV – valor futuro – valor da promessa de pagamento (cheque pré-datado, nota promissória, 
títulos, duplicatas) – valor nominal – valor de resgate. 
n – período de antecipação do FV 
id – taxa de desconto 
t – taxa bancaria – taxa adicional 
D – valor do desconto 
 
Tomando um caso em que a taxa de desconto é de id = 2% sobre o valor de $ 100,00 a ser pago 
antecipadamente por um período: 
id = 2% = 0,02 =
100
2
 = 
FV
D
 
temos: o desconto é de $ 2,00 a cada $ 100,00, ou seja, 
d
D
i
FV

 
Para encontrar a fórmula do desconto simples, iniciamos o desconto para um período: 
dD FV i 
 e daqui pode-se deduzir o desconto efetuado em mais de um período, 
 
 
 
 
 
 
que é equivalente à fórmula 
dD FV i n  
 
 
Da fórmula acima podemos encontrar: 
id = D
FV n
 FV = 
d
D
i n
 n =
d
D
FV i
 
 
Usando a idéia de que o Desconto é a diferença entre o Valor Nominal de um título(FV) e o 
Valor Atual (PV) deste mesmo título temos: 
 1ºperíodo 2ºperíodo nºperíodo 
( ) ( ) ... ( )      d d dD FV i FV i FV i
 
 n ( vezes) 
 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 26 
 
D FV PV 
 
 
Desta fórmula podemos deduzir outras: 
a do valor atual (PV) 
PV FV D 
 (i) 
 
Substituindo 
dD FV i n  
 em (i) temos: 
dPV FV FV i n   
 
 
Colocando em evidencia o fator FV, temos: 
(1 )dPV FV i n  
 (ii) 
 
Fazendo operação algébrica em (ii) encontramos: 
(1 )d
PV
FV
i n

 
 
 
Aplicando as fórmulas. 
 
1. Passando por dificuldades financeiras a fábrica MSL recorre ao banco na data 12/03/2007 e 
faz um empréstimo no valor de $ 50.000,00, com promessa de pagar em 22/10/2007. O banco 
empresta a taxa de 3,0% ao mês, para o caso do empréstimo ser pago antes do vencimento, a 
taxa de desconto é de 2,0% ao mês sobre o valor do montante no prazo estipulado. Passados 122 
dias volta ao banco para liquidar a divida. Qual o valor pago pelo empréstimo? Considere o mês 
comercial. 
PV = 50.000,00 i = 3,0% ao mês id = 2,0% ao mês 
n (empréstimo) = 12/03/2007 a 22/10/2007 (comercial) = 220 dias 
 
Usando HP-12c: 
      G 4 12.032007 ENTER 22.102007 G EEX X Y
 
 
n (antecipação) = 220 - 122 = 98 dias 
 
0,03 220
1 50000(1 ) 61000
30
FV PV i n

     
 
61000 0,02 98
3985,33
30
61000 3985,33 57014,67
dD FV i n
PV FV D
 
    
    
 
 
Usando HP-12c: 0,03 ENTER 220 
 
30 
 /
 1 
 
 50000 
 
 0,02 
 
 98 
 
 30 
 /
 
 CHS
61000 
 
 
 
2. Uma nota promissória para pagamento em 12/08/07 é negociada no dia 20/06/07, a uma taxa 
de desconto de 2,3% ao mês. Qual o valor resgatado se o período é exato e o valor de resgate é $ 
40.000,00. 
FV = 40.000,00 id = 2,3% ao mês n = 20/06/07 a 12/08/07 = 53 dias 
 
     : G 4 20.062007 ENTER 12.082007 G EEXUsandoHP 12c
 
 
0,023 53
(1 ) 40000(1 ) 38374,66
30
dPV FV i n

     
 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 27 
 
Usando HP-12c: 1 ENTER 0,023 ENTER 53 
 
 30 
 /  
 40000 
 
 
 
3. O proprietário de certa fazenda resgatou antecipadamente 38 dias um título por $ 28.300,00. 
A taxa de desconto comercial combinada foi de 3,5% ao mês. Determine o valor do título. 
PV = 28.300,00 n = 38 dias id = 3,5% ao mês. 
28300
29612,84
0,035 38(1 )
(1 )
30
d
PV
FV
i n
  
 

 
 
Usando HP-12c: 28300 ENTER 1 ENTER 0,035 ENTER 38 
 
 30 
 /
 
 
 
 /
 
 
 
2.2 TAXA EFETIVA NO DESCONTO SIMPLES 
 
Conforme dito acima, a taxa de desconto simples incide sobre o valor nominal (FV) de um 
título, esta trás para o presente o valor a ser liquidado. Importante salientar que esta taxa de 
desconto não iguala o PV encontrado ao valor nominal (FV) no período estipulado. Portanto, há 
uma taxa implícita no problema. A taxa que iguala o PV ao FV no período estipulado nós a 
chamaremos de taxa efetiva (ie) do negocio. Na verdade, esta taxa nada mais é que a taxa de 
juro, e no caso até agora estudado, é o simples. 
 
Uma mercadoria tem seu preço estipulado em $ 100,00 para pagamento a prazo e para 
pagamento a vista o valor é de $ 80,00, entende-se que o vendedor está adicionando $ 20,00 de 
juro ao preço para o caso de pagamento a prazo e ao mesmo tempo dando um desconto de $ 
20,00 se o pagamento for a vista. Portanto, na negociação o valor do juro é o mesmo valor do 
desconto. Sendo assim temos duas taxas, uma de juro (taxa efetiva) eleva em $ 20,00 o preço de 
$ 80,00, e a taxa de desconto, que abate em $ 20,00 do valor de $ 100,00. 
 
Pode-se verificar através de um exemplo: certo titulo tem seu valor nominal $ 1.000,00 e é pago 
40 dias antes do vencimento, sendo a taxa de desconto id = 0,1% ao dia. Calcular a taxa efetiva. 
FV = 1.000 n = 40 dias id = 0,1% a d 
(1 ) 1000(1 0,001 40) 960,00dPV FV i n      
 
 
Fazendo o caminho inverso: 
PV = 960,00 n = 40 dias i = 0,1% a d (taxa de juros) 
(1 ) 960,00(1 0,01 40) 998,40FV PV i n      
 
 
O que se conclui que a taxa de desconto não pode ser utilizada para encontrar o valor nominal 
do título. 
 
 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 28 
 
No caminho inverso o valor do juro não se chega ao valor nominal do título, isto é devido ao 
desconto ser sobre o valor nominal e o juro sobre o valor atual, mesmo que o período seja o 
mesmo. Então, qual a taxa de juro que iguala o valor presente ao valor nominal? Esta taxa a 
chamaremos de taxa efetiva do negocio (ie). 
 
 
40
0,001042 0,1042% .
960 40
e
J
i a d
PV n
   
 
 
 
Com esta taxa e o valor presente encontramos o valor nominal: 
(1 ) 960(1 0,001042 40) 1000,00FV PV i n      
 
 
Considerando que o desconto dado no preço da mercadoria é o mesmo que o valor do juro 
acrescido ao preço a vista, então pode-se encontrar a taxa efetiva da seguinte maneira: 
e 
J
i
PV n


 ou 
e
D
i
PV n


 
 
Vejamos algumas aplicações das fórmulas: 
 
1. O banco MSL afirma que cobra uma taxa de desconto por fora (desconto simples) igual a 
3,8% ao mês. Determine o valor do desconto, o valor atual e a taxa efetiva do negocio para um 
título de valor nominal $ 12.500,00 e tem seu vencimento antecipado em 48 dias. 
FV = 12.500,00 n = 48 dias id = 3,8% ao dia 
obs: taxa ao mês e período em dias, transformando período em dias para mês basta dividir por 
30. 
12500 0,038 48
760,00
30
dD FV i n
 
    
 
12500 760 11740,00PV FV D    
 
 
Usando HP-12c: 12500 ENTER 0,038 
 
 48 
 
 30 
 /
 
 CHS
12500 
 
 
 
Taxa efetiva: 
760
0,040459 4,046%
48
11740
30
e
D
i am
PV n
   


 
 
Usando HP-12c: 760 ENTER 48 ENTER 30 
 /
 11740 
 
 
 /
 100 
 
 
 
 
2. A empresa AGS vai ao banco MSL para descontar um título de valor de resgate $ 240.000,00 
que tem seu vencimento previsto daqui a 52 dias. O banco aceita comprar o título e paga por 
este $ 228.000,00. Qual o valor da taxa de desconto e da taxa efetiva mensal cobrada pelo banco 
MSL? 
FV = 240.000,00 PV = 228.000,00 n = 52 dias 
240000 228000 12000
12000
0,028846 2,8846%
52
240000
30
d
D FV PV
D
i am
FV n
    
   


 
 
Usando HP-12c: 12000 ENTER 52 ENTER 30 
 /
 240000 
 
 
 /
 100 
 
 
 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 29 
 
Podemos encontrar a taxa em dia e depois transformar mês. Para isto, fazemos: 
12000
0,000961538 0,0961538% 30 2,8846%
240000 52
d
D
i ad am
FV n
     
 
 
 
Usando HP-12c: 12000 ENTER 52 ENTER 240000 
 
 
 /
 100 
 
 30 
 
 
 
Taxa efetiva: 
12000
0,030364 3,0364%
52
228000
30
e
D J
i am
PV n PV n
    
 

 
 
Usando HP-12c: 12000 ENTER 52 ENTER 30 
 /
 228000 
 
 
 /
 100 
 
 
 
A taxa efetiva encontrada neste caso está relacionada aos valores do negocio, ou seja, o banco 
está ganhando 3,0364% ao mês de juros. 
 
Pode-se pedir a taxa efetiva correspondente a taxa de desconto dada no problema, ou seja, 
indiferente dos dados do problema qual será a taxa de juros que corresponde a taxa de desconto. 
Para isso fazemos um artificio: 
FV = 100 id = 2,8864% a m PV = 97,12 n = 1 mês j = D = 2,88Usando HP-12c: 2,88 ENTER 297,12 ENTER 1 
   /
100 
 
 
 
Neste caso temos duas taxas efetivas diferente, a primeira relacionada aos dados do problema e 
a segunda relacionada somente a taxa de desconto. 
 
 
3. A fábrica AGS ao vender seus produtos emite título no qual consta que haverá desconto a 
taxa de 3,2% ao mês na antecipação do pagamento. A loja MSL possui um título de valor $ 
30.000,00 e pagou por este $ 27.500,00. Determine o período de antecipação. 
FV = 30.000 PV = 27.500 id = 3,2% ao mês D = FV – PV = 2.500 
2500
2,6
30000 0,032d
D
n meses
FV i
  
 
 
n = 2 meses e 60% do mês n = 2 meses e 0,60 

 30 n = 2 meses e 18 dias 
 
Usando HP-12c: 2500 ENTER 30000 ENTER 0,032 
 
 
 /
 2 
 
 30 
 
 
 
 
2.3 DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) 
 
O desconto racional (Dr) também é conhecido como desconto por dentro porque a taxa de 
desconto incide sobre o valor presente da operação. 
 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 30 
 
Quando o cliente vai ao banco e toma um empréstimo, geralmente é depositado na conta o valor 
do empréstimo deduzido o valor do juro, sendo assim, o juro é pago antecipadamente. Portanto, 
o valor da taxa de desconto é na realidade uma taxa de juros, ou seja, a taxa efetiva do negocio. 
rD PV i n  
 
rD FV PV 
 (i) 
Lembrando do juro simples que: 
(1 )
FV
PV
i n

 
 (ii) 
Substituindo a fórmula (ii) em (i) temos: 
(1 )
(1 )
r
r
FV
D FV
i n
FV i n
D
i n
 
 
 

 
 
 
1.Determinar o desconto racional e o valor resgatado de um título de valor $ 2.300,00 pago 12 
dias antes do seu vencimento, sendo a taxa de desconto 3,2% ao mês. 
FV = 2.300,00 n = 12 dias id = i = 3,2% ao mês i = ?(taxa de juros) 
 
Calculando o valor da taxa de juros correspondente a taxa de desconto dada: 
Usando um artifício matemático temos: sendo FV = 100 com desconto de id = 3,2% am, 
encontramos um PV para um mês, n= 1 mês, PV= 96,80. Portanto, para determinar a taxa 
efetiva fazendo: J = 100 – 96,80 = 3,20 i = (3,20 / 96,80) 100 i = 3,3058% a m 
 
2300 0,033058 12
30 30,01
0,033058 12(1 )
(1 )
30
r
FV i n
D
i n
 
 
  
 

 
 
Usando HP-12c: 2300 ENTER 0,033058 
 
 12 
 
 30 
 /
 0,033058 ENTER 12 
 
 30 
 /
1
   /
 
 
 
2.4 DESCONTO COM DESPESAS BANCARIAS 
 
É muito comum empresas usarem os bancos para receberem obrigações dos clientes, seja na 
antecipação ou no atraso as obrigações correspondentes às vendas através de duplicatas ou 
papeis de mesma finalidade. Os bancos recebem os pagamentos e ganham percentuais sobre o 
valor nominal ou outra forma qualquer, depende da combinação entre o banco e a empresa. As 
taxas adicionais (t) que incidem de uma única vez sobre o valor nominal do título, têm como 
finalidade cobrir despesas administrativas e operacionais internas na instituição. Estas taxas não 
iguais para todos os bancos. 
 
Pode-se encontrar o desconto bancário (Db) e o valor atual (PV) com despesas através das 
fórmulas: 
 
dD FV i n  
 
 
E como no desconto bancário temos a taxa bancaria que incide no valor nominal temos: 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 31 
 
 
( ) ( )b dD FV i n t FV    
 
 
Colocando em evidencia o fator FV encontramos a fórmula para determinar o Db: 
 
( )b dD FV i n t  
 
 
Para o valor atual temos: 
 
bPV FV D 
 (i) 
 
Substituindo a fórmula do desconto bancário em (i): 
 
( )dPV FV FV i n t   
 
( )dPV FV FV i n FV t    
 
 
Colocando em evidencia o fator FV: 
 
(1 )dPV FV i n t   
 
 
1. A fábrica de macarrão AGS adquiriu uma nova máquina para ser paga daqui a dois anos. A 
empresa vendedora emitiu um título de $ 20.000,00 para pagamento em 18 meses. Foi 
combinado que se a AGS for antecipar a obrigação deve ir ao banco MSL e quitar a dívida. 
Sabe-se que o banco trabalha com uma taxa de desconto de 3,5% ao mês e mais uma comissão 
de 1,2% sobre o valor nominal do título. A AGS vai ao banco 148 dias antes do vencimento do 
título e liquida a divida. De posse dos dados informados determine: 
a) O valor do desconto e o valor descontado que a fábrica terá: 
FV = 20.000 n = 148 dias id = 3,5% ao mês t = 1,2%(comissão) 
0,035 148
20000 ( ) 3453,33
30
dD FV i n

     
 
20000 3453,33 16546,67PV FV D    
 
 
Usando HP-12c: 0,035 ENTER 148 
 
 30 
 /
 20000 
 
 20000 
  X Y 
 
 
b) O valor que a empresa vendedora irá receber: 
A empresa vendedora irá receber o valor do título menos o desconto dado a AGS e menos a taxa 
de comissão. 
t = 1,2% sobre o valor do título t = 0,012 

 20000 t = 240,00 
PV = 20000 – ( 3453,33 + 240,00) PV = 16.306,67 
Ou 
0,035 148
(1 ) 20000(1 0,012) 16306,67
30
dPV FV i n t

       
 
 
Usando HP-12c:1 ENTER 0,035 ENTER 148 
 
 30 
 /  
 0,012 
 
 20000 
 
 
 
c) o ganho do banco: 
fazendo a diferença entre o recebido pelo banco e o pago à empresa teremos o ganho, ou 
calculando a comissão: 
Ganho = 16546,67 – 16306,67 =240,00 Ganho = 20000 

0,012 =240,00 
 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 32 
 
2.5 PRAZO e TAXA MÉDIA EM DESCONTO SIMPLES 
 
Pode-se fazer operações bancarias de desconto de várias obrigações (títulos) de uma única vez. 
Os títulos podem apresentar valores iguais ou não da mesma forma para os prazos. Os bancos 
determinam taxas diferentes para os valores ou prazos dos títulos, ou seja, para um determinado 
valor ou prazo tem-se uma taxa diferenciada. Devido a tecnologia computacional existem 
programas que são utilizados pelos bancos, facilitando os cálculos dos descontos de vários 
títulos. Estes programas utilizam fórmulas matemáticas relacionadas à média. 
 
Por se tratar de desconto simples, utiliza-se a fórmula de média simples ponderada para 
encontrar a taxa média ou prazo médio nos descontos onde apresentam vários títulos a taxas 
diferenciadas. 
 
 
1
1
k
J j
j
m K
J
J
FV i
i
FV






 e 1
1
k
J j
j
m K
J
J
FV n
n
FV






 
 
 
1. A rede de lojas AGS vai ao banco com três cheques no propósito de descontá-los. Os três 
cheques têm valores iguais a $ 2.000,00, $ 3.500,00 e $ 4.000,00, com vencimentos em 28, 32 e 
45 dias respectivamente. O banco pratica uma taxa de 2,3% ao mês. Sendo assim qual o prazo 
médio, o desconto e o valor descontado? 
FV1= 2.000 FV2 = 3.500 FV3 = 4.000 id = 2,3% ao mês. 
n1 = 28 dias n2 = 32 dias n3 = 45 dias 
 
2000 28 3500 32 4000 45 348000
36,63
2000 3500 4000 9500
mn
    
  
 
 dias, fazendo uma aproximação 
teremos 37 dias. 
 
Usando HP-12c:2000 ENTER 28 
 
 3500 ENTER 32 
 
 
 
 4000 ENTER 45 
 
 
 
 
2000 ENTER 3500 
 
 4000 
   /
 
 
0,023
(2000 3500 4000) 36,63 266,79
30
dD FV i n        
 
 
Usando HP-12c:2000 ENTER 3500 
 
 4000 
 
 0,023 
 
 30 
 /
36,63 
 
 
 
(2000 3500 4000) 266,79 9233,21PV FV D      
 
 
Usando HP-12c:2000 ENTER 3500 
 
 4000 
 
 266,79 
 
 
 
 
2. O banco MSL desconta cheques a taxas diferenciadas. Para valores entre $ 1.000,00 e 
inferior a $ 3.000,00 a taxa é de 3% ao mês, entre $ 3.000,00 e $ 8.000,00 a taxa é 2,5% ao mês, 
e acima de $ 8.000,00 a taxa é 2,2% ao mês. O bancorecebe quatros cheques com os seguintes 
valores: $ 2.500,00, $ 3.800,00 , $ 5.500,00 e $ 9.200,00, com prazos 44 dias, 38 dias, 35 dias e 
40 dias respectivamente. Determine a taxa média, o prazo médio, o desconto e o valor 
descontado. 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 33 
 
FV1= 2.500 FV2 = 3.800 FV3 = 5.500 FV4 = 9.200 
i1 = 3,0% ao mês i2 = 2,5% ao mês i3 = 2,5% ao mês i4 = 2,2% ao mês 
n1 = 44 dias n2 = 38 dias n3 = 35 dias n4 = 40 dias 
 
a) Prazo médio: 
2500 44 3800 38 5500 35 9200 40 814900
38,80
2500 3800 5500 9200 21000
mn dias
      
  
  
 
 
Usando HP-12c:2500 ENTER 44 
 
 3800 ENTER 38 
 
 
 
 5500 ENTER 35 
   
 9200 
ENTER 40 
   
 2500 ENTER 3800 
 
 5500 
 
 9200 
 
 
 /
 
 
b) Taxa média: 
2500 0,03 3800 0,025 5500 0,025 9200 0,022 509,90
0,02428
2500 3800 5500 9200 21000
mi
      
  
  
 
im = 2,2428% ao mês. 
 
Usando HP-12c:2500 ENTER 0,03 
 
 3800 ENTER 0,025 
 
 
 
 5500 ENTER 0,025 
   
 9200 ENTER 0,022 
   
 2500 ENTER 3800 
 
 5500 
 
 9200 
 
 
 /
 
 
0,02428
(2500 3800 5500 9200) 38,80 659,47
30
dD FV i n         
 
 
Usando HP-12c:2500 ENTER 3800 
 
 5500 ENTER 
 
 9200 
 
 0,02428 
 
 30 
 /
 38,80 
 
 
 
(2500 3800 5500 9200) 659,47 20340,53PV FV D       
 
 
Usando HP-12c:2500 ENTER 3800 
 
 5500 ENTER 
 
 9200 
 
 659,47 
 
 
 
 
2.6 ATIVIDADES RESOLVIDAS 
 
1) O diretor financeiro de certa empresa está negociando com o banco MSL o desconto de 
duplicatas. Ficou acertado que o banco descontará do devedor a 3,5% ao mês e cobrará 
da empresa uma comissão de 1,5% sobre o valor de resgate. Sendo assim, calcule o 
valor pago pelo devedor e o recebido pela empresa se as duplicatas somam $ 
120.000,00 com prazo médio de 40 dias? 
FV = 120.000 n = 40 dias id = 3,5% ao mês t = 1,5% 
Valor pago pelo devedor: 
0,035 40
(1 ) 120000(1 ) 114400,00
30
dPV FV i n

     
 
Usando HP-12c:1 ENTER 0,035 ENTER 40 
 
 30 
 /  
 120000 
 
 
 
Valor recebido pela empresa: 
0,035 40
(1 ) 120000(1 0,015) 112600,00
30
dPV FV i n t

       
 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 34 
 
Usando HP-12c:1 ENTER 0,035 ENTER 40 
 
 30 
 /  
 0,015 
 
 120000 
 
 
 
2) Uma duplicata é descontada em uma instituição financeira, produzindo um débito na 
conta do cliente de $ 14.460,00. Se a taxa do desconto simples comercial da operação 
foi de 4,5% ao mês e a duplicata foi negociada 68 dias antes do vencimento, determinar 
o valor de resgate da duplicata. 
PV = 14.460,00 id = 4,5% ao mês n = 68 dias 
14460
16102,44
0,045 68(1 ) (1 )
30
d
PV
FV
i n
  
  
 
 
Usando HP-12c:14460 ENTER 1 ENTER 0,045 ENTER 68 
 
 30 
 /  
 
 
3) Um título no valor de $ 18.000,00 foi negociado 54 dias antes de seu vencimento por $ 
16.200,00. Determinar a taxa do desconto simples comercial envolvida na operação e a 
taxa efetiva. 
A taxa de desconto: 
FV = 18.000 PV = 16.200 D = 18000 – 16200 = 1800 
1800
0,0555 5,55%
54
18000
30
d
D
i am
FV n
   


 
 
Usando HP-12c:1800 ENTER 18000 ENTER 54 
 
 30 
 /  /
 100 
 
 
 
A taxa efetiva: 
1800
0,06173 6,173%
54
16200
30
e
D
i am
PV n
   


 
 
Usando HP-12c:1800 ENTER 16200 ENTER 54 
 
 30 
 /  /
 100 
 
 
 
4) O desconto simples racional de um título descontado à taxa juro de 24% ao ano, 80 dias antes de 
seu vencimento, é de $ 1.720,00. Calcular o valor da taxa de desconto comercial (ao ano) 
correspondente ao desconto racional dado. 
Dr = 1.720 n = 80 dias ir = i = 24% ao ano, ir = taxa de desconto racional. 
1720
32250,00
0,24 80
360
rDPV
i n
  

 
 
Usando HP-12c:1720 ENTER 0,24 ENTER 80 
 
 360 
 /  /
 
 
32250 1720 33970,00rFV PV D    
 
 
Usando HP-12c:32250 ENTER 1720 
 
 
Taxa de desconto comercial: 
 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 35 
 
1720
0,2278 22,78%
33970 80
360
d
D
i aa
FV n
   

 
 
Usando HP-12c:1720 ENTER 33970 ENTER 80 
 
 360 
 /  /
 100 
 
 
 
5) Uma Letra do Tesouro Nacional - LTN, de valor $ 40.000,00 vencerá em 45 dias, e está 
sendo negociada a uma taxa de desconto de 28% ao ano. Calcule o desconto o valor 
líquido e a taxa de desconto efetiva anual: 
Valor líquido e o desconto: 
FV = 40.000 id = 28% ao ano n = 45 dias 
0,28 45
(1 ) 40000(1 ) 38600,00
360
dPV FV i n

     
 
 
Usando HP-12c: 40000 ENTER 1 ENTER 0,28 ENTER 45 
 
 360 
 /
 
 
 
 
 
 
40000 38600 1400,00D FV PV    
 
 
Usando HP-12c: 40000 ENTER 38600 
 
 
 
Taxa efetiva: 
1400
0,2902 29,02%
45
38600
360
e
D
i aa
PV n
   


 
 
Usando HP-12c: 1400 ENTER 38600 ENTER 45 
 
 360 
 /  /
 100 
 
 
 
6) Determine o valor nominal de um título de crédito descontado 120 dias antes de seu 
vencimento, a uma taxa de desconto de 2,6% ao mês que sofreu um desconto simples 
por fora no valor de $ 225,00, vale: 
D = 225,00 id = 2,6% ao mês n = 120 dias = 4 meses 
 
225
2163,46
0,026 4d
D
FV
i n
  
 
 
 
Usando HP-12c: 225 ENTER 0,026 ENTER 4 
 
 
 /
 
 
 
2.7 ATIVIDADES PROPOSTAS 
 
1) A loja de confecções AGS assume hoje uma dívida com valor de face de $ 70.000,00 a 
ser paga em 120 dias. Passados 45 dias negocia a dívida a uma taxa de desconto de 
3,5% ao mês. Qual o valor recebido pela loja? Qual a taxa efetiva? R. PV = $ 63.875,00 
ie = 3,84% a m 
 
2) Na questão anterior a divida foi feita a uma taxa de juro linear de 5% ao mês. A loja fez 
um bom negocio pagando antes a sua dívida? R. O valor inicial da dívida é de $ 
58.333,33, acrescido de 5% a m em 45 dias torna-se $ 62.708,33. Se a loja tivesse 
Prof. Msc. Marcelino Serretti Leonel 36 
 
previsão de pagamento em 45 dias teria desembolsado menos que liquidando a dívida 
com desconto. Portanto, não fez um bom negócio. 
 
3) Um título de valor $ 45.000,00 foi descontado 38 dias antes do vencimento, a uma taxa 
de 20% ao ano. Determine o valor do desconto, o valor líquido e a taxa efetiva, nas 
seguintes situações: 
a) Desconto comercial R. $ 950,00 
b) Desconto racional R. $ 930,36 
c) Taxa efetiva R. 20,43% a a 
 
4) Foi creditado na conta de uma empresa $ 3.500,00 correspondente a um desconto de 
duplicata, ou seja, o devedor pagou antecipadamente sua dívida e assim entrou na conta 
do credor o valor acima citado. Sabe-se que o valor da taxa de desconto é 3,8% ao mês 
e o período de antecipação foi de 45 dias. Portanto, calcule o valor do desconto, o valor 
da dívida e a taxa efetiva.R.D = $ 211,56 FV = $ 3711,56 ie = 4,03 am 
 
5) Se a empresa MSL pagar hoje a duplicata de valor $ 30.000,00 ganhará um desconto de 
$ 2.580,00. Se a taxa de desconto praticada é de 22% ao ano, qual o período em meses e 
dias de antecipação desta duplicata? Qual a taxa efetiva do negocio? R. n = 4 meses e 
21 dias ie = 2% a m 
 
6) Calcule a taxa mensal de desconto usada para descontar antecipadamente em 80 dias 
um título de $ 38.000,00 que gerou um desconto de $ 2.500,00. R. i d = 2,47% a m 
 
7) O banco MSL anuncia uma