Notas de Aula Geometria Analítica

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FFCLRP-USP - ALGEBRA LINEAR - Vetores Geome´tricos
1 NOTAS DE AULAS
Professor Doutor: Jair Silve´rio dos Santos 1
1. LEMBRETE DA GEOMETRIA DE EUCLIDES
RETA Dados dois pontos distintos no espac¸o P e Q, existe u´nica reta que passa por
P e Q. Denotaremos esta reta por PQ ou sera´ utilizado uma letra minu´scula para
representar a reta, por exemplo s, t, ect... . Diremos reta PQ ou reta s por exemplo.
SEGMENTO DE RETA Dada uma reta r e dois pontos distintos sobre ela, o
segmento de reta A¯B e´ o conjunto dos pontos da reta r que esta˜o entre os pontos A e
B.
Dada uma reta r e um ponto P fora da reta r, existe uma u´nica reta t que passa
por P que e´ paralela a` reta r. Ainda existe uma u´nica reta s que passa por P que e´
perpendicular a` reta r.
2. SEGMENTOS ORIENTADOS
Definic¸a˜o 1. Dado um segmento A¯B, um segmento orientado e´ um par ordenado ~AB
de pontos do espac¸o onde deve ser considerado a orientac¸a˜o de A para B .
• Se nos for dado um segmento ~AB, tal que o ponto A coincide com o ponto B,
diremos que o segmento ~AA ou ~BB e´ o segmento nulo.
A retaAB que conte´m o segmento A¯B e´ denominada reta suporte do segmento orientado
~AB . Os pontos A e B sa˜o denominados origem e extremidade do segmento respecti-
vamente. Geometricamente um segmento orientado sera´ indicado por uma flexa, veja
o seguinte exemplo.
Exemplo 1. Dados quatro pontos A, B, C e D do espac¸o como abaixo, podemos
considerar os segmentos ~AB e ~CD como segue
Aff
C
Q
Q
Q
Q
QQs D
B.
Segmento Oposto
Definic¸a˜o 2. Dado um segmento orientado ~AB, chama-se segmento orientado
oposto de ~AB o segmento orientado ~BA.
1http://dfm.ffclrp.usp.br/∼jair
1
Na˜o e´ dif´ıcil ver que a cada segmento orientado ~AB esta´ associado treˆs conceitos
geome´tricas importantes que sa˜o COMPRIMENTO, DIREC¸A˜O e SENTIDO.
A` partir deste instante, estas propriedades dos segmentos orientados passam a ser o
nosso objeto de estudo e veremos que, com argumentos detalhados elas podera˜o nos
oferecer uma vizualizac¸a˜o particularmente especial do ”espac¸o que nos cerca”. Estes
conceitos geome´tricos, sa˜o aqui denominados importantes por serem conhecidos como
Grandezas Vetorias e alguns dos exemplos mais populares sa˜o FORC¸A, VELOCIDADE
e ACELERAC¸A˜O.
Note que, dois pontos quaisquer A e B do espac¸o, determinam os segmentos orientados
~AB e ~BA, que podera˜o ser iguais se o ponto A coincidir com o ponto B.
Igualdade de Dois Segmentos Orientados
Definic¸a˜o 3. Dois segmentos orientados ~AB e ~CD, SERA˜O IGUAIS se e somente
se, A ≡ B e C ≡ D.
3. COMPRIMENTO DIREC¸A˜O e SENTIDO
Comprimento
Definic¸a˜o 4. Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado ~AB
podemos associar um nu´mero real positivo ou zero, que sera´ o COMPRIMENTO de
~AB.
• Dado um segmento orientado ~AB, a distaˆncia do ponto A ate´ o ponto B sera´ o
comprimento do segmento orientado ~AB.
• Como a distaˆncia de um ponto qualquer ate´ ele mesmo e´ zero, ao segmento orientado
~AA (segmento nulo) esta´ associado o nu´mero real zero, ou seja o comprimento do
segmento orientado nulo ~AA e´ exatamente zero.
Direc¸a˜o
Definic¸a˜o 5. Dados dois segmentos orientados ~AB e ~CD, diremos que eles teˆm a
mesma DIREC¸A˜O se as retas AB e CD forem paralelas.
Se dois segmentos orientados ~AB e ~CD tiverem mesma direc¸a˜o, diremos que eles sa˜o
paralelos.
Note que um papalelogramoABCD determina pelo menos um par de segmentos orientados
paralelos que sa˜o ~AB e ~CD,
A
B
�
�
�
�
�
�
�
����
�
�
�
�
�
�
���
C
D
2
Exemplo 2. Considere os dois segmentos orientados ~AB e ~CD, de modo que as retas
AB e CD sejam paralelas.
A
B
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
�
���
D
C
Pela definc¸a˜o 5 os segmentos orientados ~AB e ~CD, teˆm a mesma direc¸a˜o.
Sentido
Definic¸a˜o 6. Dados dois segmentos orientados ~AB e ~CD, com mesma direc¸a˜o
a : Se as retas AB e CD forem distintas, diremos que eles teˆm o mesmo SENTIDO
se as segmentos de retas A¯C e B¯D tiverem intersec¸a˜o vazia.
b : Se as retas AB e CD forem coincidentes, tome um ponto A′ /∈ AB e a u´nica
reta s que passa por A′ e que e´ paralela a` reta AB, em seguida tome o u´nico ponto
B′ ∈ s de modo que os segmentos orientados ~A′B′ e ~AB satisfac¸am a parte (a) desta
definic¸a˜o. Diremos que os segmentos orientados ~AB e ~CD teˆm o mesmo SENTIDO
se ~A′B′ e ~CD tiverem o mesmo sentido .
Exemplo 3. Considere os segmentos orientados ~AB, e ~CD de modo que as retas
AB e CD sejam paralelas e distintas, como segue
B
A
�
�
�
�
�
���
````````````
�
�
�
�
�
�
�
���
C
D
Note que os segmentos de retas A¯C e B¯D teˆm intersec¸a˜o vazia, ou seja pela definic¸a˜o
6 a, os segmentos orientados ~AB, e ~CD teˆm o mesmo sentido.
Exemplo 4. Considere os segmentos orientados ~AB, e ~CD de modo que as retas
AB e CD sejam paralelas e distintas, como segue
B
A
�
�
�
�
�
���
@
@
@
@
@
@
@
@@!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
!!
�
�
�
�
�
�
�
���
D
C
3
Note que os segmentos de retas A¯C e B¯D teˆm intersec¸a˜o na˜o vazia, ou seja pela
definic¸a˜o 6a os segmentos orientados ~AB, e ~CD teˆm sentidos contra´rios.
4. EQUIPOLEˆNCIA DE SEGMENTOS ORIENTADOS
Definic¸a˜o 7. Dois segmentos orientados ~AB, e ~CD sa˜o EQUIPOLENTES se
a : os dois forem nulos.
b : os dois sa˜o na˜o nulos e eles teˆm o mesmo comprimento, mesma direc¸a˜o e mesmo
sentido.
Notac¸a˜o
~AB ∼ ~CD indica que os dois segmentos orientados ~EF , e ~GH sa˜o equipolentes,
Exemplo 5. Considere dois papalelogramos ABCD e EFGH suponha que eles esta˜o
representados nas figuras abaixo:
A
B
�
�
�
�
�
�
�
���
�
�
�
�
�
�
�
���
C
D E
F
�
�
�
�
�
�
�
����
�
�
�
�
�
�
���
G
H
Note que o fato de ABCD e EFGH serem um paralelogramos as definic¸o˜es 4 e 5 nos
garante que os pares de segmentos orientados ~AB, e ~CD; ~EF , e ~GH teˆm mesmo
comprimento, mesma direc¸a˜o, usando a definic¸a˜o 6 vemos que ~AB, e ~CD teˆm mesmo
sentido e portanto sa˜o EQUIPOLENTES. Mas os segmentos orientados ~EF , e ~GH
que teˆm mesmo comprimento e mesma direc¸a˜o, usando a definic¸a˜o 6 vemos que eles
na˜o teˆm o mesmo sentido, e por isto eles na˜o sa˜o equipolentes.
Proposic¸a˜o 1. A relac¸a˜o de equipoleˆncia goza das seguintes propriedades:

a : ~AB ∼ ~AB Reflexiva
b : Se ~AB ∼ ~CD enta˜o ~CD ∼ ~AB Comutativa
c : Se ~AB ∼ ~CD e ~CD ∼ ~EF enta˜o ~AB ∼ ~EF Transitiva
A demonstrac¸a˜o sera´ omitida.
Exemplo 6. Considere os segmentos orientados abaixo. Suponha que as retas AB,
CD, EF e FG sejam duas a duas paralelas e que os segmentos A¯B, C¯D, E¯F e F¯G
tenham o mesmo comprimento ver figura abaixo :
�
�
�
�
�
��
A
B
�
�
�
�
�
��
D
C �
�
�
�
�
��
E
F �
�
�
�
�
��
G
H
4
Usando as definic¸o˜es 4, 5, 6 e a transitividade da relac¸a˜o de equipoleˆncia (ver Prop.
1), podemos verificar facilmente que os segmentos orientados ~AB, ~CD, ~EF , ~GH
teˆm mesmo comprimento, mesma direc¸a˜o e mesmo sentido, portanto eles sa˜o equi-
polentes (Note que verificamos a equipoleˆncia comparando grupos de dois apenas
segmentos orientados).
Dado um segmento orientado ~AB podemos pensar nos segmentos orientados que sa˜o
equipolentes ao segmento orientado ~AB e estes sera˜o muitos. Por exemplo sabe-se ao
arremessar-mos um objeto de massa na˜o nula para o alto, este objeto passara´ por uma
quantidade enorme de pontos do espac¸o e a estes pontos denominamos trajeto´ria do
objeto. Em cada ponto desta trajeto´ria o objeto estara´ sujeito a` Forc¸a da Gravidade,
ou seja ele estara´ sujeito a` forc¸a de atrac¸a˜o gravitacional, que aqui em nossa linguagem
corresponde a um conjunto de segmentos orientados representado pela letra ~P (Forc¸a
Peso). Podemos agora pensar em todos os segmentos orientados que sa˜o equipolentesa` um segmento orientado fixado.
• Chama-se Classe de Equipoleˆncia de um segmento orientado ~AB, ao conjunto
de todos os segmentos orientados que sa˜o equipolentes ao segmento orientado ~AB.
Note que o pro´prio ~AB e´ um segmento orientado deste conjunto. Na verdade se dois
segmentos orientados ~AB e ~CD forem equipolentes enta˜o a Classe de Equipoleˆncia
de ~AB coincidira´ com Classe de Equipoleˆncia de ~CD.
5. VETOR
Definic¸a˜o 8. Um Vetor Geome´trico e´ uma classe de equipoleˆncia.
∗ Cada segmento orientado da Classe de Equipoleˆncia ou do vetor sera´ chamado de
representante do vetor.
• A forc¸a da gravidade e´ um vetor, pois ela e´ um conjunto de segmentos orientados
equipolentes ou seja ela e´ uma Classe de Equipoleˆncia.
• Representaremos os vetores por letra minu´scula com uma seta sobre ela ~a ~b, ~u, ~v ,
~w etc... ou ainda se o segmento orientado ~AB for um representante do vetor ~u, por
exemplo podemos indicar o vetor ~u por ~AB .
Definic¸a˜o 9. A` classe de equipoleˆncia do segmento orientado nulo ~AA chamamos
Vetor Nulo.
Assim sendo podemos ver que
(i) O vetor nulo tem comprimento zero.
(ii) O vetor nulo tem a mesma direc¸a˜o que qualquer outro vetor.
(iii) O vetor nulo tem a mesmo sentido que qualquer outro vetor.
O vetor nulo sera´ representado por ~0.
Definic¸a˜o 10. Chamamos Espac¸o IE3 ao conjunto de todos os vetores geome´tricos.
5
∗ Os vetores ~x, ~y na˜o nulos sera˜o paralelos (indica-se ~x//~y) se e somente se um
representante ~AB de ~x for paralelo a um representante ~CD de ~y
∗ Chamamos Norma, Mo´dulo ou Comprimento de um vetor ao comprimento de
qualquer um de seus representantes.
• Dado um vetor ~v podemos tomar um de seus representantes, digamos ~AB e indi-
carmos ~v por ~BA.
Vetor Oposto
Definic¸a˜o 11. Se o segmento orientado ~AB for um representante do vetor ~u enta˜o
o segmento orientado ~BA sera´ um representante do vetor −~u denominado Vetor
Oposto de ~u ou seja o vetor ~BA e´ o oposto do vetor ~AB. Indicamos oposto de ~AB
por − ~AB.
• Dado um vetor ~u, existe um u´nico ponto A ∈ IE3 tal que ~u tem um representante
com origem em A.
Neste instante temos um conjunto muito bem definido que e´ IE3 e a partir deste mo-
mento nosso interesse e´ em explorar mais este conjunto, isto e´ saber quais sa˜o seus
elementos, como seus elementos se relacionam com nossa vida cotidiana, particular-
mente algumas relac¸o˜es dos elementos de IE3 com a elementos da conhecida Geometria
de Euclides.
6. ADIC¸A˜O DE VETORES
Definic¸a˜o 12. A adic¸a˜o de vetores e´ uma func¸a˜o que a cada par de vetores (~u,~v) de
IE3 × IE3 associa um vetor de IE3 que e´ chamado SOMA de ~u por ~v e indicado por
~u+ ~v. A func¸a˜o age da seguinte forma sobre o par (~u,~v): considere um representante
~AB de ~u, e um representante de ~v com origem em B, e extremidade em C, a classe
de equipoleˆncia que conte´m o segmento orientado ~AC e´ o vetor ~u+ ~v.
Ver a figura abaixo:
A -
~u
�
�
�
�
�
��
B
~v
~w = ~v + ~v
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQs D
Esta regra de adic¸a˜o de vetores e´ conhecida como regar triangular. Ha´ outra regra que
e´ a conhecida como regra do paralelogramo.
~v
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQs
�
�
�
�
�
��
~u
A -
~u
�
�
�
�
�
��
B
~v
~w = ~v + ~v
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQs C
�
�
�
�
�
��QQ
Q
Q
Q
Q
Q
QQs
D
6
Esta regra se aplica da seguinte forma : Fixamos um ponto A ∈ IE3 e tomamos o u´nico
ponto B ∈ IE3 tal que o segmento orientado ~AB seja um representante do vetor ~u, em
seguida com o ponto B tomamos o u´nico ponto C ∈ IE3 tal que o segmento orientado
~BC seja um representante do vetor ~v. Analogamente, determinamos o ponto D ∈ IE3
e em seguida um ponto C ′ que por nossa construc¸a˜o coincide com o ponto C. Assim
teremos o paralelogramo ABCD, e a soma dos vetores ~u e ~u e´ a classe de equipoleˆncia
do segmento orientado ~AC. Note que o segmento AC e´ a diagonal principal do
paralelogramo ABCD.
Exerc´ıcio 1. Mostrar que a diagonal secunda´ria do paralelogramo ABCD nos da´ a
diferenc¸a dos vetores ~u e ~v .
Note que o conjunto IE3 (ver definic¸a˜o ) juntamente com a definic¸a˜o 12 torna-se ana´logo
ao conjunto R (nu´meros reais) com a operac¸a˜o de adic¸a˜o de nu´meros, ja´ bem conhecida
nossa. Mas a operac¸a˜o adic¸a˜o de nu´meros reais no conjunto R
• TEM ELEMENTO NEUTRO (ZERO),
• E´ ASSOCIATIVA,
• E´ COMUTATIVA,
• CADA NU´MERO REAL TEM INVERSO (a ∈ R tem inverso −a ∈ R).
Uma pergunta importante: A operac¸a˜o adic¸a˜o no conjunto IE3 (ver definic¸a˜o 12) tem
as mesmas propriedades que operac¸a˜o adic¸a˜o de nu´meros reais no conjunto R ?
∗ A partir deste instante o espac¸o IE3 sera´ referido como (IE3,+) espac¸o IE3 com a
operc¸a˜o de adic¸a˜o
7. PROPRIDADES DE ADIC¸A˜O DE VETORES
Dados ~u, ~v e ~w em (IE3,+),
PA1 (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w) Associativa
PA2 ~u+ ~v = ~v + ~u Comutativa
PA3 ~u+~0 = ~u Elemento Neutro
PA4 ~u+ (−~u) = ~0 Elemento Oposto ou Sime´trico
7
Exerc´ıcio 2. Considere os vetores ~a e~b cujos representantes sa˜o os segmentos orientados
~AB e ~BC respectivamente (ver figura abaixo) e calcule ~a+~b e ~a−~b usando a regar do
triaˆngulo e do paralelogramo.
Cff
A
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQs B
Exerc´ıcio 3. Considere os vetores ~a, ~b e ~e cujos representantes sa˜o os segmentos orientados
~AB, ~CD e ~EF respectivamente (ver figura abaixo) e calcule
• (~a+~b) + ~e; • ~a−~b− ~e • ~a− (~b− ~e)
usando a regra do triaˆngulo e do paralelogramo.
CDff
A
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQs
-E F
B
8. MULTIPLICAC¸A˜O DE NU´MERO REAL (ESCALAR) POR VETOR
Vamos definir uma operac¸a˜o externa em IE3.
Definic¸a˜o 13. Multiplicac¸a˜o de nu´mero real ou escalar por um vetor e´ uma func¸a˜o
que a cada par ordenado (α, ~u) ∈ R× IE3 associa um vetor ~w ∈ IE3 denotado por α ·~u,
(α, ~u)
m
→ α · ~u.
• Como a func¸a˜o multiplicac¸a˜o a associa um par ordenado, como na definic¸a˜o , um
vetor, se faz necessa´rio saber informar qual e´ o comprimento a direc¸a˜o e o sentido
deste novo vetor.
∗ Se α = 0 enta˜o (0, ~u)
m
→ ~0 ou 0 · ~u = ~0 .
∗ Se ~u = ~0, enta˜o (α,~0)
m
→ ~0 ou α ·~0 = ~0.
∗ Se α 6= 0, e ~u 6= ~0, enta˜o
a : ‖α · ~u‖ = |α|‖~u‖
b : α · ~u // ~u ; (os vetores α · ~u e ~u sa˜o paralelos).
c : α · ~u e ~u tera˜o o mesmo sentido se α > 0 e tera˜o sentidos contra´rios se α < 0.
8
Note que a multiplicac¸a˜o de vetor por escalar (nu´mero) pode aterar o comprimento e
o sentido do vetor, mas na˜o altera a direc¸a˜o .
Exemplo 7. Dado um vetor ~v ∈ IE3 com segmento orientado (A,B), tomemos retas
CD, EF e GH de modo que ass retas AB CD, EF e GH sejam duas a` duas paralelas
e os comprimentos dos segmentos C¯D, E¯F e G¯H satisfac¸am a relac¸a˜o
comp(C¯D) = 2comp(A¯B) = comp(E¯F ) e comp(G¯H) =
5
2
comp(A¯B). (1.2)
Usando a definic¸a˜o 5 podemos ver os segmentos orientados (A,B) (C,D), (E,F ) e
(G,H) teˆm mesma direc¸a˜o, usando (1.2) e a definic¸a˜o 13 (Note que α 6= 0), podemos
ver que
• segmento orientado ~CD e´ representante do vetor 2~v (α = 2) ,
• segmento orientado ~EF e´ representante do vetor −2~v, (α = −2)
• segmento orientado ~GH e´ representante do vetor
5
2
~v, (α =
5
2
)
e com isto construir a figura abaixo.
�
�
��
A
B
~v
�
�
�
�
�
��
D
C
2~v
�
�
�
�
�
��
−2~v
E
F �
�
�
�
�
�
�
���
5
2
~v
H
G
Vejamos agora como as duas operac¸o˜es dadas nas definic¸o˜es 12 em IE3 × IE3 , e 13 em
R× IE3 se relacionam.
PROPRIEDADES DE MULTIPLICAC¸A˜O POR ESCALAR
Dados ~u,~v ∈ IE3, α ∈ R β ∈ R, enta˜o
M1 α(~u+ ~v) = α~u+ α~v.
M2 (α+ β)~u = α~u+ β~u.
M3 1~u = ~u.
M2 α(β~u) = (αβ)~u = β(α~u).
∗ A partir deste instante o espac¸o IE3 sera´ indicado por (IE3,+, ·) onde leˆ-se espac¸o
IE3 com as operc¸o˜es de Adic¸a˜o e Multiplicac¸a˜o por Escalar (Nu´mero real)∗ As quatro propriedades de adic¸a˜o juntamente com a quatro propriedades de Multi-
plicac¸a˜o por escalar (nu´mero real) fazem uma estrutura especial dentro do conjunto IE3
9
chamada Estrutura de Espac¸o Vetorial e por isto de agora em diante nos referiremos
ao conjunto (IE3,+, ·) como um Espac¸o Vetorial
∗ Se α ∈ R e ~v ∈ R com α 6= 0, sera´ utilizado apenas a notac¸a˜o
1
α
~v , de modo algum
sera´ permitida a notac¸a˜o
~v
α
.
Exerc´ıcio 4. Prove a regra dos sinais
a (−α)~v = −(α~v) para todo α ∈ R e ~v ∈ IE3.
b α(−~v) = −(α~v) para todo α ∈ R e ~v ∈ IE3.
c (−α)(−~v) = α~v para todo α ∈ R e ~v ∈ IE3.
Prova a : Note que pela definic¸a˜o 11 a igualdade (a) nos diz que o vetor oposto de
(−α)~v e´ (α~v) ou seja, devemos provar que (−α)~v + (α~v) = ~0.
Mas
(−α)~v + (α~v)
M2
= (−α+ α) = 0~v
Def 13
= ~0
Prova b: Agora devemos provar que α(−~v) + (α~v) = ~0.
Mas
α(−~v) + (α~v)
M1
= α(~v − ~v) = α~0
Def 13
= ~0.
A prova de c e´ deixada como exer´ıcio.
Proposic¸a˜o 2. Dado α, β ∈ R e ~u ∈ IE3,
• se α~u = ~0, enta˜o α = 0 ou ~u = ~0.
•• se ~u 6= ~0 e α~u = β~u, enta˜o α = β.
Prova : Primeiro vamos provar •. Suponha que α 6= 0, enta˜o existe α−1 ∈ R tal que
α−1α = 1. Multiplicando α~u = ~0 de ambos os membros por α−1 teremos αα−1~u =
α−1~0 = ~0, enta˜o ~u = ~0. Vamos provar agora ••. Como
α~u = β~u, enta˜o α~u− β~u = ~0 enta˜o pela Def 13 α~u+ ((−β~u)) = ~0,
Mas,
α~u+ (−β~u) = ~0 enta˜o (α− β)~u ver M2, pela Prop 2 • (α− β = 0) ou ~u = ~0.
Portanto, por hipo´tese ~u 6= ~0, portanto α = β.
10
Exerc´ıcio 5. Considere a figura abaixo (o so´lido ABCD e´ um tetraedro), e os vetores
~m, ~n e ~p cujos representantes sa˜o os segmentos orientados ~AB, ~AC e ~AD respecti-
vamente.
AC
B
D
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
@
@
@
@
@
@
ff
�
�
�
�
�
�
�
��+
A
A
A
A
A
A
A
A
A
AK
(i) • Encontre os vetores ~u, ~v e ~w cujos representantes sa˜o os segmentos orientados
~CB, ~CD e ~BD respectivamente, como func¸a˜o de ~m, ~n e ~p.
(ii) • Seja M ponto me´dio do segmento de reta CB, exprima o vetor ~a com um
representante dado pelo segmento orientado ~AM em func¸a˜o de ~m e ~n.
9. SOMA DE PONTO COM VETOR
Neste momento no´s temos dois conjuntos muito bem definidos que sa˜o o espac¸o no qual
”vivemos”que denotaremos por IE ou o conjunto dos pontos do espac¸o e o conjunto
de Vetores Geome´tricos (ver Def. 6) que estamos indicando por IE3. Poder´ıamos dizer
que o conjunto IE e´ o conjunto de dos pontos do espac¸o. Em verdade podemos definir
uma correspondeˆncia entre estes dois conjuntos que e´ uma func¸a˜o . Veja definic¸a˜o a
seguir.
Definic¸a˜o 14. Dado um ponto P em IE e um vetor ~v em IE3, seja Q o u´nico ponto
em IE tal que o segmentos orientados ~PQ seja um representante para o vetor ~v. Este
ponto Q ∈ IE e´ denominado a Soma do Ponto P com o Vetor ~v, e denotamos por
Q = P + ~v.
PQ ~vff
Dados P ∈ IE e ~v ∈ IE3, Q = P + ~v ou Q = P + ~PQ
• Usaremos a notac¸a˜o P −~v para indicar a soma do ponto P com o vetor −~v, e assim
teremos P − ~v = P + (−~v).
11
10. PROPRIEDADES DA SOMA DE PONTO COM VETOR
Dados P,∈ IE, ~v, ~u ∈ IE3, temos
PS1 P +~0 = P ,
Esta e´ uma decorreˆncia do imediata da definic¸a˜o 14, pois ~PP = ~0 (ver Def. 9) enta˜o
P +~0 = P .
PS2 Se P + ~v = P + ~u enta˜o ~v = ~u.
Note que se Q = P + ~v = P + ~u, ent ao da defnic¸a˜o14 ~PQ = ~v e ~PQ = ~u, portanto
~u = ~v. Esta propriedade permitem um tipo de Cancelamento do ponto P na igualdade
P + ~u = P + ~v.
PS3 (P + ~v) + ~u = P + (~v + ~u).
Sejam Q = P + ~u, R = Q+~v,(ver figura abaixo) enta˜o R = (P + ~u) +~v. Ainda, segue
da definic¸a˜o 14 que ~PQ = ~u, ~QR = ~v. Realizando a soma de ~PQ com ~QR teremos
~PQ+ ~QR = ~v+~u, mas ~PQ+ ~QR = ~PR. Novamente pela definic¸a˜o 14 R = P +(~u+~v)
agora pela propriedade PS3 tem-se (P + ~u) + ~v = P + (~u+ ~v).
P -
~u
�
�
�
�
�
��
Q
~v
~w = ~v + ~v
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQs R
PS4 Se P + ~v = Q+ ~v, enta˜o P = Q.
Como
P + ~v = Q+ ~v ⇒ (P + ~v)− ~v = (Q+ ~v)− ~v
PS3
⇒
P + (~v − ~v) = Q+ (~v − ~v) ⇒ P +~0 = Q+~0
PS1
⇒ P = Q
PS5 (P − ~v) + ~v = P
Esta propriedade decorre de PS3 e PS1. Pois
(P − ~v) + ~v =
PS3
= P + (~v + (−~v) =
PS1
= P +~0 = P.
• Neste caso se o vetor ~u tem como representante o segmento orientado (A,B), e´
comum representar o vetor ~AB por
−→
B − A.
∗ A soma de ponto com vetor e´ uma relac¸a˜o muito importante entre os conjuntos IE
e IE3, porque ela relaciona o conjunto de pontos do espac¸o com o conjunto de Vetores
Geome´tricos. Esta relac¸a˜o sera´ utilizada para descrever subconjuntos de pontos do
espac¸o, por exemplo Retas, Planos, Semi-retas, Semi-planos, e posic¸o˜es entre
eles.
12
Exerc´ıcio 6. Na figura ao abaixo os pontos M , N e O sa˜o pontos me´dios de PQ, QR
e RP respectivamente. Exprima ~RM , ~QO e ~PN como func¸a˜o ~PR e ~PQ.
P
M
�
�
�
�
�
�
Q
• N•
O•
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQ R
Resoluc¸a˜o
• E´ fa´cil ver que ~RM = ~RP + ~PM , isto porque M e´ ponto me´dio de PQ, e pudemos
nos valer da definic¸a˜o 12. Mas com a definic¸a˜o 13 podemos ver que e novamente que
M e´ ponto me´dio de PQ, vemos que ~PM = 1
2
~PQ. Enta˜o,
~RM = ~RP + 1
2
~PQ. (1.3)
Encontramos a func¸a˜o de ~PR e ~PQ que procura´vamos.
• Vamos escrever ~PN em func¸a˜o de ~PR e ~PQ.
Use a defic¸a˜o 12 e note que
~PN
Def.12
= ~PR + ~RN,N ponto me´dio de QR nos da´ 2 ~RN = ~QR
Def.12
= ~RP + ~PQ,
Enta˜o,
~PN
Def.12,13
=
1
2
(
~PQ+ ~RP
)
+ ~PR
MS1
=
1
2
~PQ−
1
2
~PR + ~PR.
Logo,
~PN = 1
2
~PQ+ 1
2
~PR. (1.4)
• Fica como exerc´ıcio provar que ~QO e´ func¸a˜o ~PR e ~PQ.
A conclusa˜o do exer´ıcio 6 e´ va´lida mesmo quando os pontos M , N e O escolhidos na˜o
forem pontos me´dios, ver o exerc´ıcio abaixo :
Exerc´ıcio 7. Na figura abaixo a medida de PX e´ a metade da medida de XR. Exprima
~QX em func¸a˜o de ~QP e ~QR.
P�
�
�
�
�
�
Q
X
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQ R
13
Resoluc¸a˜o O enunciado do exerc´ıcio nos diz que ~PX = 1
2
~XR, enta˜o
~QX − ~QP = ~PX =
1
2
~XR =
1
2
(
~QR− ~QX
)
MS1
=
1
2
~QR−
1
2
~QX
Observe a primeira e u´ltima igualdade, elas no da˜o,
~QX − ~QP =
1
2
~QR−
1
2
~QX
Def. 11
⇒
3
2
~CX =
1
2
~QR + ~QP
Def. 13
⇒
~CX = 1
3
~QR + 3
2
~QP . (1.5)
Exerc´ıcio 8. Seja ABC um triaˆngulo, e M e N pontos me´dios de AC e BC respec-
tivamente. Mostre que ~MN = 1
2
~AB.
Exerc´ıcio 9. Prove que se os pontos me´dios dos lados de um quadrila´tero convexo
forem ve´tices de um segundo quadrila´tero, este sera´ um paralelogramo.
11. DEPENDEˆNCIA E INDEPENDEˆNCIA LINEAR
Observe que em (1.3), (1.4) e (1.5) temos os vetores ~RM , ~PN e ~CX foram exprimidos
como func¸a˜o de outros vetores, em verdade, a func¸a˜o que aparece no lado direito de
cada uma das expresso˜es de (1.3), (1.4) e (1.5) e´ uma Func¸a˜o Linear dos vetores
envolvidos. Este tipo de expressa˜o e´ denominado COMBINAC¸A˜O LINEAR ou seja,
∗ em (1.3) o vetor ~RM aparece escrito como COMBINAC¸A˜O LINEAR dos vetores
~RP e ~PQ;
∗ em (1.4) o vetor ~PN aparece escrito como COMBINAC¸A˜O LINEAR dos vetores
~PQ e ~PR;
ver em (1.5) qual a COMBINAC¸A˜O LINEAR que aparece.
Definic¸a˜o 15. Dadas (α1, α2, · · ·, αn) sequeˆncia de nu´meros reais (n-upla ordenada), e
(~u1, ~u2, · · ·, ~un) sequeˆncia de vetores (n-upla de ordenada de vetores), dizemos que um
vetor ~u ∈ IE3 e´ COMBINAC¸A˜O LINEAR dos vetores ~u1, ~u2, · · ·, ~un, se
~u = α1~u1 + α2~u2 + · · ·+ αn~un. (1.6)
14
Exemplo 8. Tome na expressa˜o ~CX = 1
3
~QR + 3
2
~QP .
Observe que α1 =
1
3
, ~u1 = ~QR, α2 =
3
2
e ~u2 = ~QP e se ~u = ~CX, temos a sequeˆncia
de nu´meros reais (α1,α2) = (
1
3
, 3
2
) e a sequeˆncia de vetores (~u1, ~u2) = ( ~QR, ~QP ) e ~u
escrito como COMBINAC¸A˜O LINEAR dos vetores (~u1, ~u2) = ( ~QR, ~QP ).
Exemplo 9. Seja ~PN = 1
2
~PQ+ 1
2
~PR como em (1.4).
Note que se α1 = α2 =
1
2
e ~u1 = ~PQ, ~u2 = ~PR, enta˜o se ~u = ~PN teremos ~u escrito
como COMBINAC¸A˜O LINEAR de ~u1 e ~u1.
∗ Diremos que a COMBINAC¸A˜O LINEAR
~u = α1~u1 + α2~u2 + · · ·+ αn~un. (1.7)
e´ a COMBINAC¸A˜O LINEAR NULA se ~u = ~0 for o vetor nulo.
• Dada uma sequeˆncia de vetores (~u1, ~u2, · · ·, ~un), ha´ uma maneira muito fa´cil, digamos
trivial, de se obter a COMBINAC¸A˜O LINEAR NULA destes vetores, que e´ escolher
todos os elementos da sequeˆncia de nu´meros (α1, α2, · · ·, αn) = (0, 0, · · ·, 0), e assim
teremos a COMBINAC¸A˜O LINEAR
0~u1 + 0~u2 + · · ·+ 0~un = ~0.
Exemplo 10. Considere os vetores ~u, ~v e ~w com segmentos orientados (P,Q), (Q,R)
e (R,P ) respectivamente, como na figura abaixo:
Pff
~u
�
�
�
�
�
��
Q
~v
~w
Q
Q
Q
Q
Q
Q
Q
QQs R
Segue diretamente da definic¸a˜o 12 que ~0 = ~u+ ~v + ~w ou seja, o vetor ~0 e´ combinac¸a˜o
nula de ~u, ~v e ~w e neste caso a sequeˆncia (α1, α2, α3) = (1, 1, 1).
Teorema 1. Se dois vetores ~u e ~v forem paralelos existira´ um nu´mero real α tal que
~u = α~v.
Prova Como ~u e ~v sa˜o paralelos e simultaneamente na˜o nulos, ~u e ~v teˆm mesma
direc¸a˜o. Ainda na˜o e´ dif´ıcil ver que existe α ∈ R tal que ‖~u‖ = |α|‖~v‖. Como
{
|α| = α, se α > 0,
|α| = −α, se α < 0,
15
enta˜o ~u = α~v e α =
‖~u‖
‖~v‖
,. Se um dos vetores ~u e ~v for o vetor nulo, por exemplo ~u = ~0,
enta˜o tomamos α = 0 e poderemos escrever ~u = α~v. Note que o vetor nulo e´ paralelo
a` qualquer outro vetor.
Nas condic¸o˜es da observac¸a˜o 1 podemos concluir que ~u e ~v tera˜o mesma direc¸a˜o se
α > 0 e sentido contra´rio se α < 0.
Tambe´m nas condic¸o˜es da observac¸a˜o 1 pode-se obter a COMBINAC¸A˜O LINEAR
NULA dos vetores , ~u e ~v ( ~u − α~v = ~0). Note que a sequeˆncia de nu´meros (1,−α) e´
na˜o nula. Vejamos qual e´ a relac¸a˜o de depeneˆncia entre α e e ~u e ~v, indnependente
do valor de α.
Ca´lculo do valor de α. O comprimento de α~v e ~u sa˜o iguais, enta˜o
‖~u‖ = ‖α~v‖
Def. 13
=⇒ ‖~u‖ = |α|‖~v‖;
• se os dois vetores forem na˜o nulos, enta˜o ‖~v‖ 6= 0 e assim,
α =
‖~u‖
‖~v‖
,
ou seja α e´ unicamente determinado.
∗ Dada uma sequeˆncia de vetores {~u1, ~u2, · · ·, ~un}, tal que um deles e´ o vetor nulo,
enta˜o existira´ pelo menos uma sequeˆncia de nu´meros reais (α1, α2, ···, αn) 6= (0, 0, ···, 0)
que torna poss´ıvel a COMBINAC¸A˜O LINEAR NULA de {~u1, ~u2, · · ·, ~un}. Vejamos e´
poss´ıvel encontrar uma sequeˆncia de nu´meros reais (α1, α2, · · ·, αn) ’na˜o nula.
Suponha que ~u1 6= ~0. Enta˜o existe a sequeˆncia de nu´meros reais (α1, α2, · · ·, αn) com
α1 6= 0 por exemplo α1 = 2, e todos os outros αs nulos, enta˜o a sequeˆncia de nu´meros
reais toma a forma (2, α2 = 0, · · ·, αn = 0), e como ~u2 = ~0, ~u3 = ~0, · · ·, ~un = ~0 a
COMBINAC¸A˜O LINEAR dos vetores dados sera´ dada por
2 ·~0 + α2 · ~u2 + · · ·+ αn · ~un = 2 ·~0 + 0 · ~u2 + · · ·+ 0 · ~un
Def. 13
= ~0.
Definic¸a˜o 16. Uma sequeˆncia de vetores {~u1, ~u2, · · ·, ~un} sera´ Linearmente Inde-
pendente e indicaremos LI, se a u´nica possibilidade de se obter a COMBINAC¸A˜O
LINEAR NULA dos vetores {~u1, ~u2, · · ·, ~un} for escolher (α1, α2, · · ·, αn) = (0, 0, · · ·, 0).
Definic¸a˜o 17. Uma sequeˆncia de vetores {~u1, ~u2, · · ·, ~un} LINEARMENTE DE-
PENDENTE, indicaremos por LD se e somente se ela na˜o for LI.
Teorema 2. Dado uma sequeˆncia com um vetor {S}1 = (~u), ela sera´ Linearmente
Independente se e somente se ~u 6= ~0.
16
Prova Suponhamos que o u´nico elemento da sequeˆncia {S} dado por ~u seja na˜o nulo.
Devemos mostrar que a COMBINAC¸A˜O LINEAR NULA da sequeˆncia {~u} isto e´,
α~u = ~0
somente e´ possivel se α = 0. Mas, pela Proposic¸a˜o 2•, α~u = ~0 implica que α = 0
ou ~u = ~0, como a ~u e´ na˜o nulo, α = 0 ou seja a u´nica sequeˆncia poss´ıvel de nu´meros
reais que produz a COMBINAC¸A˜O LINEAR NULA α~u = ~0, e´ (α) = (0). Isto prova
as duas afirmac¸o˜es .
• Dada uma sequeˆncia de vetores {~u1, ~u2, · · ·, ~un}, se houver pelos menos uma maneira
de se obter a COMBINAC¸A˜O LINEAR NULA destes vetores utilisando-se uma n-upla
ordenada na˜o nula isto e´ (α1, α2, · · ·, αn) 6= (0, 0, · · ·, 0), diremos que a sequeˆncia de
vetores {~u1, ~u2, · · ·, ~un} e´ LD.
∗ Uma sequeˆncia com dois vetores {~u,~v} e´ LD se e somente se ~u e ~v forem paralelos.
Prova Se ~u e ~v forem paralelos, os comenta´rios logo apo´s a Obsevac¸a˜o 1 nos assegura
que existe α ∈ R tal que ~u = α~v, ou seja ~u − α~v = ~0 e isto implica que a sequeˆncia
(1,−α) poder ser utilizada para se obter a COMBINAC¸A˜O LINEAR NULA de ~u e ~v.
Como (1,−α) 6= (0, 0), independentemente do valor que α assumir, a definic¸a˜o nos diz
que a sequeˆncia {~u,~v} e´ LD. Se ~u e ~v forem LD enta˜o existe α ∈ R tal que ~u−α~v = ~0,
enta˜o ~u = α~v = ~0. A definic¸a˜o 13 assegura que ~u e ~v teˆm msma direc¸a˜o˙
Exerc´ıcio 10. Considere a figura abaixo (o so´lido ABCD e´ um tetraedro), e os ve-
tores ~m, ~n e ~p cujos representantes sa˜o os segmentos orientados ~AB, ~AC e ~AD
respectivamente.
AC
B
D
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
@
@
@
@
@
@
ff
�
�
�
�
�
�
�
��+
A
A
A
A
A
A
A
A
A
AK
(i) • Encontre os vetores ~u, ~v e ~w cujos representantes sa˜o os segmentos orientados
~CB, ~CD e ~BD respectivamente, como func¸a˜o de ~m, ~n e ~p.
(ii) • Seja M ponto me´dio do segmento de reta CB, exprima o vetor ~a com um
representante dado pelo segmento orientado ~AM em func¸a˜o de ~m e ~n.
17
(iii) • Seja G o encontro das medianas do triaˆngulo BCD. Exprima o vetor ~f com
um representante dado pelo segmento orientado ~AG em func¸a˜o de ~m, ~n e ~p.
(iv) • Seja H o encontro das medianas do triaˆngulo ABC. Exprima o vetor ~g com
um representante dado pelo segmento orientado ~DH em func¸a˜o de ~m, ~n e ~p.
(v) Mostre que qualquer vetor ~u do espac¸o E3 pode ser expresso como combinac¸a˜o
linear dos vetores ~m, ~n e ~p.
18