aula de PRODUTO ESCALAR

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Aula 4 
 
Nessa quarta aula teremos como objetivo o início 
dos produtos com vetores. Focaremos nosso 
trabalho no produto entre dois vetores denominado 
produto escalar. 
1. Definição 
 
Dado dois vetores 
u
 = x1 i +y1 j +z1 k e v = x2 i +y2 j +z2 k chamamos de 
produto escalar o produto x1 . x2 + y1 . y2 + z1 . z2 representado por: 
 
 
u
 . 
v
 = x1 . x2 + y1 . y2 + z1 . z2 
O resultado desse produto é um número real 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O produto escalar pode também ser representado por < 
u
 , 
v
 > que se lê: u escalar v 
ou ainda vetor u escalar vetor v. 
 
 
2. Propriedades 
 
1) 
u
 . 
v
 = 
v
 . 
u
 u 
 propriedade comutativa 
 
 
 
É de fundamental importância a 
representação simbólica do produto 
escalar por um “ponto”. Quando 
estamos representando produto de 
escalares a representação de um 
produto pode ser feita tanto por um 
“ponto”, um “x” ou ainda por omissão 
de operador sabemos que estaremos 
efetuando a operação de multiplicação. 
 
A ordem dos vetores do produto escalar não 
muda o resultado da operação. 
 
 2 
 
 
 
 
2) 
u
 . (
v
 + 
w
 ) = 
u
 . 
v
 +
u
 . 
w
 
 propriedade distributiva 
 
 3) 

 (
u
 . 
v
 ) = (

 
u
 ) . 
v
 = 
u
 . (

 
v
 ) 
 
4) Se 
u
 = 
0
 então 
u
 . 
u
 = 0 
 
5) Se 
u
 
0


 então 
u
 . 
u
 > 0 
 
6) 
u
 . 
u
 = 2
u
 
 
 
3. Interpretação Geométrica do Produto Escalar 
 
 
Para entender geometricamente essa operação, vamos precisar da 
trigonometria. 
Se você quiser dar uma recapitulada nas leis que regem o triângulo retângulo e 
o triângulo qualquer acesse: 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/trigonom/trigo05.htm#tr39 
 
 
 
Observe a figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Registre aqui sua interpretação das 
propriedades ao lado: 
2) 
 
3) 
 
4) 
 
5) 
 
6) 
 
A 
B 
C 
 
 
u - v 
 
 3 
Os vetores 
u
 , 
v
 e 
vu


 formam um triângulo qualquer. Dessa maneira 
podemos aplicar a lei dos co-senos da trigonometria para triângulos quaisquer 
que nos diz: 
“Qualquer lado do triângulo qualquer ao quadrado é igual à soma dos 
quadrados dos outros dois lados menos o duplo produto desses dois lados 
pelo co-seno do ângulo formado por eles.” 
 
 Os lados do triângulo da figura são 
AB
, 
AC
 e 
BC
 
 
Pela Lei acima temos: 
 cosAC.AB.2ACABBC
222 
 
Substituindo pelos respectivos vetores : 





 

cos.v.u.2vuvu
222 (1) 
 
Observe que precisamos utilizar o módulo porque estamos trabalhando com o segmento 
do triângulo! 
 
Assim como podemos utilizar a lei dos co-senos para o triângulo qualquer formado pelos 
vetores podemos também usar os produtos notáveis para encontrar o quadrado da 
diferença entre os vetores 
u
 e 
v
 . 
 
 
 
 
 
 
 
Assim: 222
vv.u.2uvu






 
 (2) 
 
 
Igualando as equações 1 e 2 teremos: 
 
22
vv.u.2u




cos.v.u.2vu
22 
Reduzindo os termos semelhantes podemos escrever:


cos.vu2v.u.2
 
Simplificando: 
 
v.u
 = 


cos.v.u
 
00
1800 
 
 
acesse 
 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/
medio/polinom/prodnot.htm 
 
 se você não estiver lembrado dos 
produtos notáveis! 
 4 
 
 
 
4. Ângulo entre dois vetores 
 
Podemos aproveitar a representação geométrica acima para determinar o ângulo entre 
dois vetores. 
 
Verifique: 
 
v.u
 =


cos.v.u
 
 
v.u
v.u
cos



 se 
0u


 e 
0v


 
 
 
 
5. Ângulo diretores e co-senos diretores de um vetor 
 
 
Ângulos diretores de um vetor 
v
 são os ângulos 

,

 e 

 que 
v
 forma com 
i
 ,
j
 e 
k
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Co-senos diretores de 
v
 são os co-senos de seus ângulos diretores, isto é, cos

, cos

 e 
cos

 
x 
y 
z 
 
 
 
 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe : 
 
v
x
1.v
)0,0,1).(z,y,x(
i.v
i.v
cos



 
v
x
cos


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Da mesma forma temos os outros dois ângulos: 
 
 
v
y
1.v
)0,1,0).(z,y,x(
j.v
j.v
cos



 
v
y
cos


 
 
 
Módulo do 
vetor 
 6 
 
v
z
1.v
)1,0,0).(z,y,x(
k.v
k.v
cos



 
v
z
cos


 
 
 
Os co-senos diretores são as componentes do versor do vetor 
v
 
 
 
)cos,cos,(cos
v
z
,
v
y
,
v
x
v
)z,y,x(
v
v



 
 
 
1coscoscos
222 
 
 
 
6. Produto Escalar no plano 
 
 
Você deve ter notado que nesta aula tratamos dos vetores em R
3
 , mas todas as 
considerações feitas aqui são válidas para vetores em R
2
, isto é, no plano. 
Podemos fazer um resumo para facilitar a consulta: 
 
Sendo os vetores no plano: 
)y,x(u 11
 e 
)y,x(v 22
 
 
 
 
 
1. produto escalar 
2121 y.yx.xv.u 
 
 
2. propriedades 
1) 
u
 . 
v
 = 
v
 . 
u
 u 
 propriedade comutativa 
 
 
2) 
u
 . (
v
 + 
w
 ) = 
u
 . 
v
 +
u
 . 
w
 
 propriedade distributiva 
 
Se você não está lembrado o 
versor é encontrado pela divisão 
do vetor pelo seu módulo! 
A ordem dos vetores do produto 
escalar não muda o resultado da 
operação. 
 7 
 3) 

 (
u
 . 
v
 ) = (

 
u
 ) . 
v
 = 
u
 . (

 
v
 ) 
 
4) Se 
u
 = 
0
 então 
u
 . 
u
 = 0 
 
5) Se 
u
 
0


 então 
u
 . 
u
 > 0 
 
6) 
u
 . 
u
 = 2
u
 
 
 
3. ângulo 
 
 
v.u
v.u
cos



 se 
0u


 e 
0v


 
 
 
 
4. perpendicularismo 
 
O vetor 
u
 é perpendicular ao vetor 
v
 se e somente se 
0v.u 
 
 
 
5. se 

 e 

 são ângulos diretores de 
v
 com 
v

0


 então 
 
v
x
cos


v
y
cos


v
z
cos


 
 
 
6. teorema fundamental da trigonometria 
 
1coscos 22 