Lista 3 - Cálculo 2

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Universidade Federal de Pelotas
Instituto de F´ısica e Matema´tica
Departamento de Matema´tica e Estat´ıstica
Disciplina: Ca´lculo 2 - Lista: 3 - Profa: Camila Pinto da Costa
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1. Calcule a integral por meio da substtuic¸a˜o indicada:
(a)
∫
x(2x2 + 3)10dx
(b)
∫
x2 3
√
(3x3 + 7)dx
(c)
∫
(1 +
√
x)3√
x
dx
(d)
∫ √
x cos
√
x3dx
u = 2x2 + 3
u = 3x3 + 7
u = 1 +
√
x
u = x3/2
2. Efetue a antidiferenciac¸a˜o:
(a)
∫ √
1− 4ydy
(c)
∫
x
√
x2 − 9dx
(e)
∫
5x 3
√
(9− 4x2)2dx
(g)
∫
y3dy
(1− 2y4)5
(i)
∫
cos 4θdθ
(l)
∫
sec2 5xdx
(n)
∫
cos x(2 + sin x)5dx
(p)
∫
cos 3x√
1− 2 sin 3xdx
(r)
∫
x(x2 + 1)
√
4− 2x2 − x4dx
(b)
∫
3
√
6− 2xdx
(d)
∫
t2(t3 − 1)10dt
(f)
∫
x
√
x+ 2dx
(h)
∫
2rdr
(1− r)7
(j)
∫
6x2 sin x3dx
(m)
∫
y csc 3y2 cot 3y2dy
(o)
∫
2 sin x 3
√
1 + cosxdx
(q)
∫
x2 + 2x√
x3 + 3x2 + 1
dx
(s)
∫
sin x sin(cosx)dx
3. Calcule
∫
x2
√
x− 1dx por dois me´todos: (a) tomando u = x − 1; (b) tomando
u =
√
x− 1.
4. Calcule
∫
2 sin x cos xdx por treˆs me´todos: (a) tomando u = sin x; (b) tomando
u = cos x; (c) usando a identidade 2 sinx cosx = sin 2x; (d) Explique a diferenc¸a
entre as resposta de (a), (b) e (c).
5. Resolva a equac¸a˜o diferencial sujeita a`s condic¸o˜es iniciais
1
(a) f
′
(x) = 3
√
3x+ 2, f(2) = 9
(b)
dy
dx
= x
√
x2 + 5, y = 12 se x = 2
6. Encontre uma func¸a˜o f tal que a inclinac¸a˜o da reta tangente em um ponto (x, y)
da curva y = f(x) e´
√
3x+ 1, e a curva passa pelo ponto (0, 1).
Respostas:
1. (a)
1
44
(2x2 + 3)11 + C
(b)
1
12
(3x3 + 7)
4
3 + C
(c)
1
2
(1 +
√
x)4 + C
(d)
2
3
sin
√
x3 + C
2. (a) −1
6
(1− 4y) 32 + C
(c)
1
3
(x2 − 9) 32 + C
(e) −3
8
(9− 4x2) 53 + C
(g)
1
32(1− 2y4)4 + C
(i)
1
4
(sin 4θ) + C
(l)
1
5
tan 5x+ C
(n)
1
6
(2 + sin x)6 + C
(p) −1
3
√
1− 2 sin 3x+ C
(r) −1
6
(4− 2x2 − x4) 32 + C
(b) −3
8
(6− 2x) 43 + C
(d)
1
33
(t3 − 1)11 + C
(f)
2
5
(x+ 2)
5
2 − 4
3
(x+ 2)
3
2 + C
(h) −2
5
(1− r)−5 + 1
3
(1− r)−6 + C
(j) −2 cos x3 + C
(m) −1
6
csc 3y2 + C
(o) −3
2
(1 + cos x)
4
3 + C
(q)
2
3
√
x3 + 3x2 + 1 + C
(s) cos(cos x) + C
3.
2
7
(x− 1) 72 + 4
5
(x− 1) 52 + 2
3
(x− 1) 32 + C
4. (a) sin2 x+ C (b) − cos2 x+ C (c) −1
2
cos 2x+ C
5. (a) f(x) =
1
4
(3x+ 2)
4
3 + 5 (b) y =
1
3
(x2 + 5)
3
2 + 3
6. f(x) =
2
9
(3x+ 1)
3
2 +
7
9
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Lista retirada dos livros:
Anton, H., Brives, I., Stephen, D. Ca´lculo, vol. 1 e 2. 8a ed. Bookman. 2007
Leithold, Louis. O ca´lculo com Geometria Anal´ıtica, vol. 1 e 2. Harbra. 1976.
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