Lista do Mágico Cálculo 2 P2

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1 
LISTA DE CÁLCULO 2 – P2 
 
“LISTA DO MÁGICO “ 
a) 1ª Questão (2,5): : Resolva o problema de valor inicial: 
 
'' '4 0 ; (0) 1 ; (0) 0y y y y   
 
 
 
2 2
2 2
' 2 2
'
2 2
. .
4 0 4 1 2 ; 2 2
1 2
2 1 2 2
(0) 1 1 2 1
(0) 0 2 1 2 2 0 1 2
1
2 1 1 1 2
2
Re :
2
2
x x
x x
x
E C
k k k k
y C e C e
y C e C e
y C C
y C C C C
C C C
sposta
e
y



       
 
 
   
     
   


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (2,5): Resolver o problema de valor inicial : 
 
 
 
 
'' ' '
2
2
3
' 3
'
3
2 3 0 ; (0) 3 ; (0) 1
. .
2 ( 2) 4.1. 3
2 3 0 1 1 2 3
2
1 2
1 3 2
(0) 3 3 1 2
(0) 1 1 1 3 2
4 4 2 2 1
1 2
Re :
2
x x
x x
x x
y y y y y
E C
k k k k ou k
y C e C e
y C e C e
y C C
y C C
C C
C
sposta
y e e



    
   
        
 
  
   
    
  

 
. 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
3ª Questão (2,5): Escrever a equação do plano tangente e a equação vetorial da 
reta normal à superfície : 
2 2( , ) 9 6 3 5 (1,2, (1,2))f x y x y x y no ponto P f    
 
 
 
0 0 0
(1,2) 9 4 6 6 18 (1,2,18)
18 6 24
2 3 1
. .
( ) ( ) ( ) 0
24( 1) 1( 2) ( 18) 0
24 24 2 18 0
24 8 0
. .
( , , ) (1,2,18) (24,
P
P
P P
f P
f f
x
x x
f f
y
y y
PT
f f
x x y y z z
x y
x y z
x y z
x y z
R N
x y z
 
 
 
 
 
 

     
 
    
 
 
    
 
  
       
   
     
     
   
  1, 1)  
 
 
 
 
4ª Questão (2,5) : Determinar , se existirem , máximo local , mínimo local 
ou ponto-sela da função 
2 2 2( , ) 4f x y x y x y   
 
 
 
2
1
2
2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 3
2 2 2
2 2 2
1 2
2 2 0 2 (1 ) 0 0 ; 1
2 0 0 0 (0,0)
1 2 2
2( 2, 1) 3( 2, 1)
2 2 2 2
2 2 2
P P P
P P
f
x xy x y x y
x
f
y x Para x y P
y
Para y x x
P P
f f f f
x x x x
f f f
y y y




         
       
      
  
        
           
        
     
       
     
2
2
3
2 2 2 2 2
1 2 3
2
2 ( ) 0;( ) 2 2;( ) 2 2;
2 0
1 4 1(0,0) : min
0 2
2 2 2
2 8 2( 2,1) :
2 2 2
2 2 2
3 8 3( 2, 1) :
2 2 2
P
P P P
f
y
f f f f f
x
x y y x x y x y x y
HP P imo local
HP P ponto de sela
HP P ponto de sela
 
  
 
    
      
         
  
   

     
 . 
 
 
 
 
 
3 
 
3ª Questão (2,5): Determinar a equação do plano tangente e as equações 
paramétricas da reta normal à superfície: 
2 2 22 4 (5, 2,3)xyz x y z no ponto P    
 
 
 
   
2 2 2
0 0 0
( , , ) 2 4
2 6 10 4
4 15 8 23
2 10 6 4
. .
( ) 0
4( 5) 23( 2) 4( 3) 0
4 20 2
P
P
P
P P P
F x y z xyz x y z
F F
yz x
x x
F F
xz y
y x
F F
yx x
z z
PT
F F F
x x y y z z
x x z
x y z
x
 
 
 
 
 
 
  
  
    
 
       
 
 
      
 
 
        
 
     
          
     
     
  3 46 4 12
4 23 4 38 0
. .
5 4
2 23 ;
3 4
y z
x y z
R N
x
y
z

 

   
   
 
   
 
 
 
 
4ª Questão (2,5) Determinar os valores máximo e mínimo , se existirem, 
da função : 
2 2( , )f x y x y 
 sujeita à condição 
2 2 4x y 
.. 
 
 
 
2 2 2 2
2 2
2
2
( , , ) ( 4)
2 2 0 2 (1 ) 0 0 ; 1
2 2 0 2 ( 1 ) 0 0: 1
4 0
0 4 2 2 1
0 4 2 2 1
(0,2) (0, 2) 4 min
(2,0) ( 2,0)
L x y x y x y
L
x x x x
x
L
y y y y
y
L
x y
Para x y y ou y
Para y x x ou x
f f valor imo
f f
 

  


  





    
         
          
   
         
        
   
   4 maxvalor imo
 
 
 
 
 
4 
 
2ª Questão (2,5): Encontre a solução particular da equação diferencial: 
 
'' ' 43 2 6 xy y y e  
 que satisfaça as condições: y(0)=0 e 
'(0) 4y 
 
 
:
,, , 2
1) : 3 2 0 . . : 3 2 0 1; 2
1 2
2
;
1 2
4 , 4 ,, 4
2) : 4 ; 16
4 4 4 4
: 16 12 2 6
4
: 6 6 1. ,
y y yg ph
y y y y E C k k k k
h
x x
y C e C e
h
x x x
y y Ae y Ae y Aep p p p
x x x x
Substituindo Ae Ae Ae e
x
Igualando os coeficientes A A Assim y ep
 
         
 
  
  
   
 
 
 
3) Solução geral : 
2 4
1 2
x x x
y C e C e eg   
 
 4) Primeira condição : y(0)=0 : 
0
1
1 20
x
C C
y

   




 
 5) Segunda condição : Derivando a solução geral: 
 
 
, 2 4
2 4
1 2
0,
(0) 4 2 0 2
, 1 2 1 2
4
2 4
, 2 1 , Re :
1 2
x x x
y C e C e eg
x
y C C C C
y
x x x
Logo C e C sposta y e e e
  

      

      



 
 
 
 
 
2ª Questão (2,5): Resolva a equação diferencial: 
'' ' 2 1y y x  
 
 
 
 
' ''
:
,, , 21) : 0 . .: 0 0 ; 1
1 2
1 2
2 3 22) : ( )
23 2 ; 6 2
y y yg ph
y y y EC k k k k
h
xy C C e
h
y y x Ax Bx C Ax Bx Cxp p
y Ax Bx C y Ax Bp p
 
       
 
     
    
 
 Substituindo na equação dada 
 2 26 2 3 2 1Ax B Ax Bx C x      
 
1
: 3 1 ;
3
6 2 0 1 ; 2 1 1
3
2
3
Igualando os coeficientes A A
A B B B C C
x
y x xp
    
          
   
 
 3 2Re :
1 2 3
xxsposta y C C e x xg     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
3ª Questão (2,5) : Classifique o ponto P(1,1) como máximo local, 
 mínimo local ou ponto de sela da função: 
 
2 3 4( , ) 6 2 3z f x y xy x y   
 
 
 
 
23 6 0 ; 6 6 0
f f
x y x y
x y
 
      
 
 P(1,1) satisfaz o sistema , logo é ponto crítico. 
 
 
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2 2
12 12
12 36 12 36 24
12 12
P
P
p
f f
x A
x x
f f
x x B
y y
f f f
y C
y x x y y x
  
      
  
  
        
  
   
     
      
 
 Logo : 
 2 144 0 0.
tan (1,1)
AB C e A
Por to o ponto P
   
 
 é um ponto de máximo local. 
 
 
 
4ª Questão (2,5): Determine o volume do sólido limitado pelos planos:: 
 z=f(x,y)=1+xy ; 
0 2 0 1x e y   
 
 
 
 
 
2 1 2 2
1
0
0 0 0
2 2
2
0
0
1
2
1
2 42 1 3
Re : 3 . .
xy
V xy dy dx y
x x
dx x
sposta V u v
   
       
  
  
      
   
  

  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
3ª Questão (2,5) : Classifique o ponto P(0,0) como máximo local, 
 mínimo local ou ponto de sela da função: 
 
3 2( , ) 6 3z f x y x xy y   
 
 
 
 
2 6 6 63 0 ; 0y x y
f f
x
x y
 
     
 
 
 P(0,0) satisfaz o sistema , logo é um ponto crítico. 
 
 
 
2 2
6 0
2 2
2 2
6 6
2 2
2 2 2
6 6
f f
x A
x x P
f f
B
y y P
f f f
C
y x x y y x
p
  
    
   
  
    
   
   
     
      
 
 
 
2 2, 0*6 6 36 0.Assim AB C     2 2, 0*6 6 36 0.Assim AB C     
 
 Conclusão : P(0,0) é um ponto de sela. 
 
 
 
 
4ª Questão (2,5): Determine o volume do sólido limitado pelos planos: 
 z=f(x,y)=1+x+y , x=0 , x=1 , y=0 e y=1 
 
 
 
 
21 1 1 11
020 0 0
21 1 11
02 2 20
1 1
1 2
2 2
Re : 2 . .
y
V x y dy dx y xy dx
x x
x dx x
sposta V u v
  
  
     
          
        
      
   

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
2ª Questão (2,5): Encontre a solução particular da equação diferencial: 
 
'' ' 55 6 6 xy y y e  
 que satisfaça as condições: y(0)=1 e 
'(0) 4y 
 :
,, , 2
1) : 5 6 0 . . : 5 6 0 2 ; 3
1 2
2 3 5
; 2) :
1 2
, 5 ,, 5
5 ; 25
y y yg ph
y y y y E C k k k k
h
x x x
y C e C e y y Aep ph
x x
y Ae y Aep p
 
         
  
 
 
 Substituindo na equação dada : 
 
log ,
1 2
5 5 5 5
25 25 6 6
: 6 6 1. ,
5 2 3 5
o
x x x x
Ae Ae Ae Ae
Igualando os coeficientes A A Assim
x x x x
y e y C e C e ep g
  
  
   
 
 Primeira condição : 
 
1 112 2
0
(0) 1 1
1
C C
x
y
y
C C  

  


 

 
 Segunda condição : 
 
.
1 2 1 2
1 2
0,
(0) 4 :,
4
, 2 3 5
2 3 5 : 4 2 3 5
1 1
2 3 4
Re :
Assim
x
y Derivando yg
y
x x x
y C e C e e C Cg
Logo C e C
x x x
sposta y e e e

 

     
  
  



 
1ª Questão (2,5) Resolva a equação diferencial: 
 
'' ' 2 4y y x  
 
 
 
 
:
,, , 21) : 0 . .: 0 0 ; 1
1 2
1 2
22) : ( )
, ,,2 ; 2
y y yg ph
y y y EC k k k k
h
xy C C e
h
y y x Ax B Ax Bxp p
y Ax B y Ap p
 
       
 
   
  
 
 Substituindo na equação dada : 2A-2Ax-B=2x-4 
 
 Igualando os coeficientes : -2A=2, logo A=-1; 
 2A-B=-4 , logo B=2 
 Portanto: 
 2 2py x x   2 2py x x   
 Resposta : 
2
1 2 2
x
gy C C e x x   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
3ª Questão (2,5) : Classifique o ponto A(1,-1) como máximo local, 
 mínimo local ou ponto de sela da função: 
 
2 3 4( , ) 6 2 3z f x y xy x y   
 
 
 
2 2 2 2 36 6 0 (1) ; 12 12 0
212 ( ) 0 (2) .
f f
y x y x xy y
x y
y x y
 
        
 
 
 Como P(1,-1) satisfaz (1) e (2) é um ponto crítico. 
 
 
2 144 0 12 0
2 2
12 12
2 2
2 2
212 36 24
2 2
2 2 2
12 12
:
P
P
P
e A
f f
x A
x x
f f
x y B
y y
f f f
y C
x y y x x y
Logo
AB C
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    
 
     
 
 
     
 
  
     
     

 
 
 P(1,-1) é um ponto de máximo local. 
 
4ª Questão (2,5): Determine o volume do sólido limitado pelos planos:: 
 z=f(x,y)=x+y , x+y=1 ; y=0 e x=0 
 
 
 
 
 
 
 
   
21 1 1
1
020 0 0
2 21 11 1 221
2 20 0
1 11 12 2 22 2 1 2 1
2 20 0
31 1 1 1 2 11 1 .
02 3 2 3 2 3 3
1
Re : . .
3
x y xV x y dy dx xy
x x x
x x dx x x dx
x x x x dx x dx
x
x
sposta V u v
  
  
     
   
   
   
   
          
       
  
       
        
     

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
3ª Questão (2,5) : Classifique o ponto P(2,-2) como máximo local, 
 mínimo local ou ponto de sela da função: 
 3 2( , ) 6 3z f x y x xy y    
 
 
23 6 0 ; 6 6 0
f f
x y x y
x y
 
       
 P(-2,2) satisfaz o sistema , logo é ponto crítico. 
 
 
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
6 12
6 6
6 6
P
P
p
f f
x A
x x
f f
B
y y
f f f
C
y x x y y x
  
    
  
  
    
  
   
     
      
 
 Logo : 
 
2 36 0 0.
tan (2, 2)
AB C e A
Por to o ponto P
   
 
 é um ponto de mínimo 
local. 
 
 
4ª Questão (2,5): Determine o volume do sólido limitado 
pelos planos: 
 z=f(x,y)=2x+3y , x=0 , x=3 , y=0 ; y=2 e z=0. 
. 
 
 
 
 
   
23 2 3 3 22 3 2
020 0 0
3 2 34 6 2 6
0
0
18 18 36
Re : 36 . .
y
V x y dy dx xy dx
x dx x x
sposta V u v
  
  
     
      
    
  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
2ª Questão (2,5): Resolver o problema de valor inicial : 
'' ' '2 5 3 0 ; (0) 0 ; (0) 4y y y y y     
. 
 
 E.C. 
 
 
2
3
2
3
2
'
'
3
2
3
2 5 3 0 1 1 ; 2
2
1 2
3 2
1
2
(0) 0 0 1 2 2 1
3 2
(0) 4 4 1
2
3 1
4 1 8 2 1 3 1 1 8
2
2 8
8 8
x
x
x
x
x
x
k k k k
y C e C e
C e
y C e
y C C C C
C
y C
C
C C C C
C
y e e






       
 
  
      
      
           

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
3ª Questão (2,5): Determinar a equação do plano tangente e as equações 
paramétricas da reta normal à superfície: 
2 2 23 4 5 73 (2,2,3)x y z no ponto P  
 
 
 
     0 0 0
6 12 ; 8 16
10 30
. .
0
12( 2) 16( 2) 30(3) 0
12 24 16 32 30 90 0
12 16 30 146 0
6 8 15 73 0
P P
P
P P
F F F F
x y
x x y y
F F
z
z z
PT
F F F
x x y y z z
x y z
x y z
x y z
x y z
x y z
   
   
 
 
  
  
  
       
   
 
   
 
  
       
   
     
     
   
    
 
. .
2 6
2 8 ;
3 15
R N
x
y
z

 

 
  
 
 
 
4ª Questão (2,5) Determinar os valores máximo e mínimo , se existirem, 
da função : 
2 2( , ) 4 9f x y x y 
 sujeita à condição 
2 2 1x y 
. 
 
 
 
 
 
2 2 2 2
2 2
2
2
( , , ) 4 9 1
8 2 0 2 4 0 0 4
18 2 0 2 9 0 0 9
1 0
0 1 1
0 1 1
(0,1) (0, 1) 9 : max
(1,0) ( 1,0) 4 : min
L x y x y x y
L
x x x x ou
x
dL
y y y y ou
dy
dL
x y
d
Para x y y
Para y x x
f f valor imo
f f valor imo
 

  

  

    
         
         
   
     
     
  
  
 
 
 
 
12 
1ª Questão) (2,0) : Sendo a função 
a) determine o domínio de  zyxf ,, .
 
zy
yx
xzyxfu


 ,,
 
b) determine z
u
y
u
x
u
k









 , simplificando o resultado, se 
possível. 
 
 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª. Questão) (2,0 ):Determine a solução da equação 
diferencial: 
)4(5065 ,,, xsenyyy  
 
 
 
 
 
E.C. : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A=1 ; B=-2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
3ª.Questão)(2,0): : Rxesolver a equação diferencial 
12,  x
x
y
y , com x > 0 e sabendo que y(1)=0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Condição : 
 
 
 
 
 
 
 
4ª.Questão)(2,0):Determine e classifique os extremos locais 
e os pontos de sela sendo   yxxyyxyxf  4, 23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; 
 
Hessiano : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
;5ª.Questão(2,0) : Calcule 

D
dA
yx
y
22
, onde D é a região do 
plano limitada pelas retas y=x, y=0 e x=1 
 
2 0 2
2
2
f x( )
x
f u( )
x 1  u  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
1ª Questão) (2,0) : Sendo a função 
 
zx
xy
yzyxfu


 ,,
 
a) determine o domínio de 
 zyxf ,,
. 
b) determine 
z
u
y
u
x
u
k









 , simplificando o 
resultado, se possível. 
 
a) 
 
 
b) 
 ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª. Questão) (2,0 ):Determine a solução da 
equação diferencial: 
)4cos(324 ,,, xyy 
 
 
 
 
 
 
 
E.C. : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A=1 ; B=1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
3ª.Questão)(2,0): : Resolver a equação 
diferencial 
1
2 2,  x
x
y
y
, com x > 0 e 
sabendo que y(1)=0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4ª.Questão)(2,0):Determine e classifique os 
extremos locais e os pontos de sela sendo 
  xyxyxyyxf  4, 23
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; 
 
Hessiano : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
5ª.Questão(2,0) : Calcule 
 
D
dA
yx
y
22
, onde 
D é a região do plano limitada pelas retas y=x, 
x=1 e y=0. 
2 0 2
2
2
f x( )
x
f u( )
x 1  u  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
1ª Questão) (2,0) : Seja a função 
   
64
1
8ln,
22 

yx
yxyxf
 
Determine o domínio de 
 yxf ,
 e represente-o 
graficamente. 
 
 
 
 
 
                         




























x
y
 
5ª.Questão(2,0) : Calcule o volume do sólido 
limitado superiormente pela superfície de equação 
224 yxz 
 e inferiormente pela região R dada 
por: 
  0 e 0,22/, 2  yxxyRyxR
 
 
2 0 2
2
2
f x( )
f u( )
x u 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
3ª.Questão)(2,0): : Determinar as equações do 
planos tangentes à superfície dada pela equação 
22 yxz 
 que sejam paralelos ao plano 
01248:  zyx 
 
 
 
 
 
 
 
 
P.T. 
 
 
 
 
 
 
 
Resp. P.T. 
 
4ª.Questão)(2,0):Encontre o valor mínimo da 
função 
xyyxz  33
 sujeito à restrição 
04  yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
21 
 
 
 
 
22 
 
 
 
 
23