Notas de Aula - MecSolB - Engenharia Mecânica - UFSC

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MMEECCÂÂNNIICCAA DDOOSS SSÓÓLLIIDDOOSS BB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
JJoosséé CCaarrllooss ddee CC.. PPeerreeiirraa 
 
 
 
 
 
 
 
 
FFlloorriiaannóóppoolliiss,, sseetteemmbbrroo ddee 22001144
 
SSUUMMÁÁRRIIOO 
 
SSUUMMÁÁRRIIOO ______________________________________________________________________________________________________________________ IIII 
TTAABBEELLAA DDEE CCOONNVVEERRSSÃÃOO DDEE UUNNIIDDAADDEESS ____________________________________________________ VVII 
TTAABBEELLAA CCOOMM PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDEE MMAATTEERRIIAAIISS __________________________________________ VVIIII 
TTRRAANNSSFFOORRMMAAÇÇÃÃOO DDEE TTEENNSSÃÃOO __________________________________________________________________________ 88 
99..11 –– IInnttrroodduuççããoo __________________________________________________________________________________________________________ 88 
99..22 –– EEqquuaaççõõeess ggeerraaiiss ppaarraa ttrraannssffoorrmmaaççããoo ddee tteennssããoo ppllaannaa ______________________ 1122 
99..33 –– CCíírrccuulloo ddee tteennssõõeess ddee MMoohhrr __________________________________________________________________________ 1133 
99..33 –– CCoonnssttrruuççããoo ddoo ccíírrccuulloo ddee tteennssõõeess ddee MMoohhrr ______________________________________________ 1155 
99..44 –– IImmppoorrttaannttee ttrraannssffoorrmmaaççããoo ddee tteennssããoo ________________________________________________________ 2200 
99..66 –– TTeennssõõeess pprriinncciippaaiiss ppaarraa oo eessttaaddoo ggeerraall ddee tteennssõõeess ______________________________ 2222 
99..77 –– CCíírrccuulloo ddee MMoohhrr ppaarraa oo eessttaaddoo ggeerraall ddee tteennssõõeess ____________________________________ 2233 
99..88 –– CCrriittéérriiooss ddee eessccooaammeennttoo ee ddee ffrraattuurraa ________________________________________________________ 2255 
9.7.1 – Observações preliminares ________________________ 25 
9.7.2 – Teoria da máxima tensão de cisalhamento (Tresca) 
(mat. dúcteis) __________________________________________________ 25 
9.7.3 – Teoria da máxima energia de distorção (von Mises) 
(mat. dúcteis) __________________________________________________ 28 
9.7.4 – Teoria da máxima tensão normal (mat. frágeis) ___ 32 
VVAASSOOSS DDEE PPRREESSSSÃÃOO ____________________________________________________________________________________________ 3355 
1100..11 –– VVaassooss cciillíínnddrriiccooss __________________________________________________________________________________________ 3355 
1100..22 –– VVaassooss eessfféérriiccooss ______________________________________________________________________________________________ 3377 
DDEEFFLLEEXXÃÃOO DDEE VVIIGGAASS __________________________________________________________________________________________ 4444 
1111..11 –– IInnttrroodduuççããoo ______________________________________________________________________________________________________ 4444 
1111..22 –– RReellaaççããoo eennttrree ddeeffoorrmmaaççããoo--ccuurrvvaattuurraa ee mmoommeennttoo--ccuurrvvaattuurraa ____________ 4444 
1111..33 –– EEqquuaaççããoo ddiiffeerreenncciiaall ppaarraa ddeefflleexxããoo ddee vviiggaass eelláássttiiccaass ______________________ 4466 
1111..44 –– CCoonnddiiççõõeess ddee ccoonnttoorrnnoo ________________________________________________________________________________ 4477 
1111..55 –– MMééttooddoo ddaa IInntteeggrraaççããoo DDiirreettaa ____________________________________________________________________ 4488 
1111..66 –– MMééttooddoo ddaa SSuuppeerrppoossiiççããoo ddee EEffeeiittooss ________________________________________________________ 5566 
 
1111..77 –– VViiggaass eessttaattiiccaammeennttee iinnddeetteerrmmiinnaaddaass –– MMééttooddoo ddaa IInntteeggrraaççããoo 
DDiirreettaa ________________________________________________________________________________________________________________________________ 6644 
1111..88 –– VViiggaass eessttaattiiccaammeennttee iinnddeetteerrmmiinnaaddaass -- MMééttooddoo ddaa SSuuppeerrppoossiiççããoo __ 6699 
MMÉÉTTOODDOOSS DDEE EENNEERRGGIIAA ______________________________________________________________________________________ 7755 
1122..11 –– IInnttrroodduuççããoo ______________________________________________________________________________________________________ 7755 
1122..22 –– EEnneerrggiiaa ddee ddeeffoorrmmaaççããoo eelláássttiiccaa ______________________________________________________________ 7755 
1122..33 –– DDeessllooccaammeennttooss ppeellooss mmééttooddooss ddee eenneerrggiiaa ____________________________________________ 7799 
1122..44 –– TTeeoorreemmaa ddaa eenneerrggiiaa ddee ddeeffoorrmmaaççããoo ee ddaa eenneerrggiiaa ddee ddeeffoorrmmaaççããoo 
ccoommpplleemmeennttaarr __________________________________________________________________________________________________________________ 8855 
1122..55 –– TTeeoorreemmaa ddee CCaassttiigglliiaannoo ppaarraa ddeefflleexxããoo __________________________________________________ 8899 
1122..66 –– TTeeoorreemmaa ddee CCaassttiigglliiaannoo ppaarraa ddeefflleexxããoo eemm vviiggaass ________________________________ 9922 
1122..77 –– TTeeoorreemmaa ddee CCaassttiigglliiaannoo ppaarraa vviiggaass eessttaattiiccaammeennttee 
iinnddeetteerrmmiinnaaddaass ______________________________________________________________________________________________________________ 9966 
1122..88 –– MMééttooddoo ddoo ttrraabbaallhhoo vviirrttuuaall ppaarraa ddeefflleexxõõeess __________________________________________ 9999 
1122..99 –– EEqquuaaççõõeess ddoo ttrraabbaallhhoo vviirrttuuaall ppaarraa ssiisstteemmaass eelláássttiiccooss ____________________ 110022 
MMÉÉTTOODDOO DDOOSS EELLEEMMEENNTTOOSS FFIINNIITTOOSS __________________________________________________________ 111144 
EELLEEMMEENNTTOOSS FFIINNIITTOOSS PPAARRAA TTRREELLIIÇÇAASS ____________________________________________________________ 111144 
1133..11 –– MMaattrriizz ddee rriiggiiddeezz ddee uumm eelleemmeennttoo ddee bbaarrrraa ________________________________________ 111144 
1133..22 –– MMaattrriizz ddee rriiggiiddeezz ddee uumm eelleemmeennttoo ddee bbaarrrraa nnuumm ssiisstteemmaa 
aarrbbiittrráárriioo ________________________________________________________________________________________________________________________ 111177 
1133..33 –– FFoorrççaa aaxxiiaall nnooss eelleemmeennttooss ________________________________________________________________________ 111188 
1133..44 –– TTééccnniiccaa ddee mmoonnttaaggeemm ddaa mmaattrriizz ddee rriiggiiddeezz gglloobbaall ____________________________ 111199 
EELLEEMMEENNTTOOSS FFIINNIITTOOSS PPAARRAA VVIIGGAASS __________________________________________________________________ 113344 
1133..55 –– MMaattrriizz ddee rriiggiiddeezz ddee uumm eelleemmeennttoo ddee vviiggaa __________________________________________ 113344 
1133..66 –– PPrroopprriieeddaaddeess ddaa mmaattrriizz ddee rriiggiiddeezz ddee uumm eelleemmeennttoo ddee vviiggaa __________ 113388 
1133..77 –– VViiggaass ccoomm ccaarrggaa ddiissttrrííbbuuiiddaa ____________________________________________________________________ 114433 
FFLLAAMMBBAAGGEEMM DDEE CCOOLLUUNNAASS ______________________________________________________________________________ 115566 
1144..11 –– IInnttrroodduuççããoo ____________________________________________________________________________________________________ 115566 
1144..22 –– EEqquuaaççõõeess ddiiffeerreenncciiaaiiss ppaarraa ccoolluunnaass ____________________________________________________115566 
1144..33 –– CCaarrggaa ddee ffllaammbbaaggeemm ddee EEuulleerr ________________________________________________________________ 115588 
 
14.3.1 – Coluna bi-articulada __________________________ 158 
14.3.2 – Coluna engastada-livre ________________________ 161 
14.3.3 – Coluna engastada-apoiada _____________________ 163 
14.3.4 – Coluna bi-engastada __________________________ 164 
1144..66 –– LLiimmiittaaççããoo ddaass ffóórrmmuullaass ddee ffllaammbbaaggeemm eelláássttiiccaa ________________________________ 117777 
FFAALLHHAA PPOORR FFAADDIIGGAA ____________________________________________________________________________________________ 117799 
55..11 –– IInnttrroodduuççããoo ______________________________________________________________________________________________________ 117799 
55..22 –– NNuucclleeaaççããoo ddee TTrriinnccaass __________________________________________________________________________________ 117799 
55..33 –– PPrroopprriieeddaaddeess MMeeccâânniiccaass ddooss MMaatteerriiaaiiss __________________________________________________ 118822 
5.3.1 – Generalidades do Ensaio de Tração______________ 182 
5.3.2 – Diagrama Tensão-Deformação Convencional _____ 184 
5.3.3 – Diagrama Tensão-Deformação Real ______________ 186 
5.3.4 – Modelos da Curva Tensão-Deformação __________ 189 
55..33 –– EEffeeiittoo ddaa CCoonncceennttrraaççããoo ddee TTeennssããoo __________________________________________________________ 119900 
5.3.1 – Definição do Fator de Concentração de Tensão___ 191 
5.3.2 – Fator de Concentração de Tensão para Geometrias e 
Solicitações Clássicas _________________________________________ 193 
RREESSIISSTTÊÊNNCCIIAA ÀÀ FFAADDIIGGAA DDEE MMAATTEERRIIAAIISS EE PPEEÇÇAASS __________________________________ 220066 
66..11 –– EEnnssaaiiooss ddee FFaaddiiggaa ________________________________________________________________________________________ 220066 
66..22 –– EEssttiimmaattiivvaa ddaa CCuurrvvaa ddee RReessiissttêênncciiaa àà FFaaddiiggaa ddoo MMaatteerriiaall σσAA -- NN 221100 
66..33 –– RReessiissttêênncciiaa àà FFaaddiiggaa ddee PPeeççaass ________________________________________________________________ 221133 
1) Acabamento da Superfície ___________________________ 213 
2) Tamanho ____________________________________________ 214 
3) Confiabilidade _______________________________________ 215 
4) Temperatura ________________________________________ 216 
5) Carga _______________________________________________ 216 
6) Outros Efeitos _______________________________________ 216 
66..44 –– EEffeeiittooss ddaa CCoonncceennttrraaççããoo ddee TTeennssããoo nnaa FFaallhhaa ppoorr FFaaddiiggaa ________________ 221188 
66..55 –– VViiddaa eemm FFaaddiiggaa ddee CCoommppoonneenntteess SSoolliicciittaaddooss AAlleeaattoorriiaammeennttee ccoomm 
TTeennssããoo MMééddiiaa NNuullaa ______________________________________________________________________________________________________ 222211 
66..66 –– EEffeeiittooss ddaass TTeennssõõeess MMééddiiaass nnaa FFaallhhaa ppoorr FFaaddiiggaa ______________________________ 222233 
6.6.1 – Diagramas de Resistência σA - σM _______________ 224 
6.6.2 – Carregamento Combinado ______________________ 232 
 
66..77 –– EEffeeiittoo ddoo EEssccooaammeennttoo nnaa VViiddaa eemm FFaaddiiggaa ____________________________________________ 223399 
6.7.1 – Cálculo da Tensão Residual _____________________ 239 
6.7.2 – Efeito do Escoamento na Análise de Fadiga ______ 242 
66..77 –– VViiddaa eemm FFaaddiiggaa ddee CCoommppoonneenntteess SSoolliicciittaaddooss AAlleeaattoorriiaammeennttee ccoomm 
TTeennssããoo MMééddiiaa nnããoo NNuullaa ______________________________________________________________________________________________ 224488 
 
 
TTAABBEELLAA DDEE CCOONNVVEERRSSÃÃOO DDEE UUNNIIDDAADDEESS 
 
Para converter em multiplicar por 
bar Atmosfera (atm) 0,98692 
bar kg/cm2 1,0197 
bar metros de coluna d’água 10,197 
bar Pascal (N/m2) 105 
bar psi (pound/in2) 14,504 
inch metros 0,0254 
MegaWatt (MW) Nm/mim 60.106 
pound force Newton 4,4482 
psi (pound/in2) Pascal(N/m2) 6,8948.103 
rpm rad/s 0,10472 
 
TTAABBEELLAA CCOOMM PPRROOPPRRIIEEDDAADDEESS DDEE MMAATTEERRIIAAIISS 
 
Material Densidade 
ρρρρ (kg/m3) 
Módulo de 
elasticidade 
E (GPa) 
Módulo de 
cisalhamento 
G (GPa) 
Tensão de 
escoamento 
σσσσE (MPa) 
Tensão 
Limite de 
Resistência 
σσσσR (MPa) 
Coeficiente 
de Poisson νννν 
Aço estrutural 
A-36 
7850 200 75 250 400 0,30 
Aço Inoxidável 
304 
7860 193 75 207 517 0,27 
Alumínio 
2014-T6 
2790 73,1 27 414 469 0,35 
Alumínio 
6061-T6 
2791 68,9 26 255 290 0,35 
Ferro Fundido 
Cinza ASTM 
20 
7190 67,0 27 - 179 0,28 
Ferro Fundido 
Maleável 
ASTM A-197 
7280 172 68 - 276 0,28 
Liga de Titânio 
Ti-6A1-4V 
4430 120 44 924 1000 0,36 
Madeira Abeto 
Douglas 
470 13,1 - - 2,1 0,29 
 
Transformação de Tensão Pag. 8 
 
C A P Í T U L O 9 
TTRRAANNSSFFOORRMMAAÇÇÃÃOO DDEE TTEENNSSÃÃOO 
99..11 –– IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO 
Considere o estado triaxial de tensões em um ponto obtido no 
sistema de eixos x, y e z, Figura 9.1. Estes eixos, por conveniência, são 
normalmente adotados sendo paralelos às cargas externas às quais estão 
submetidas as estruturas. No entanto, é necessário conhecer o estado de 
tensão deste ponto num sistema de eixos qualquer, de forma à se conhecer 
as máximas tensões atuantes, normal e cisalhante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.1 – Estado triaxial de tensões em um elemento infinitesimal 
Por conveniência e para a facilidade do entendimento, será 
inicialmente tratada a transformação de tensão para o estado plano de 
tensões, para finalmente ser tratado o estado triaxial de tensões. Dessa 
forma, considere o estado plano de tensões obtido em dois sistemas de eixos 
diferentes: 
 
σz 
τzx 
τzy 
τx
τy
τyz 
σx σx 
σy 
σz 
σy 
τxz 
 x 
 y 
z 
∆x 
∆z 
∆y 
τxy 
τyz 
 
Transformação de Tensão Pag. 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.2 – Estado plano de tensões em dois sistema de eixos diferentes 
Os estados de tensão mostrados na Figura 9.2 representam o mesmo 
estado de solicitação em um ponto. O que é equivalente à dizer que, as 
forças Fx e Fy são as componentes de uma força resultante F nas direções x e 
y, enquanto que, as forças Fx’ e Fy’ são as componentes da mesma força 
resultante F nas direções x’ e y’. 
A relação entre as tensões medidas nos diferentes sistema de eixos é 
feita seccionando-se um elemento infinitesimal de forma que a face 
seccionada seja paralela aos eixos x’ ou y’, Figura 9.3. Sobre o elemento 
resultante é imposto o equilíbrio de forças nas direções x’ e y’. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.3 – Relação entre as tensões nos dois sistemas de eixos diferentes 
Por meio do exemplo numérico abaixo é possível identificar a relação 
entre as tensões obtidas em diferentes sistemas de eixos. 
= 
 y 
 x 
σx 
τxy 
σy 
σx’ 
τx’y’ 
σy’ 
 x’ 
 y’ 
σy’ 
τx’y’ τxy 
τyx 
σy 
σx dA 
σx’ 
τx’y’ 
τxy 
τyx 
σy 
σx 
 dA 
x’ 
 y’ 
x 
y 
 
Transformação de Tensão Pag. 10 
 
EXEMPLO 9.1 – Considere uma barra de aço de 150 mm de largura e 10 
mm de espessura sendo solicitada por uma força axial de 600 N. Determine 
as componentes das tensões atuantes sobre o plano definido pela seção a-a. 
 
 
 
 
 
 
 
No sistema de eixos x-y, a única tensão atuante no planodefinido pela 
seção b-b é a tensão normal na direção x: 
x
600 N
0,4 MPa 400kPa
150 mm10 mm
σ = = = 
 
 
 
 
 
 
 
Se considerarmos que a seção seccionada tem área de seção transversal 
∆A, as seções paralelas aos eixos x e y são ∆A sen 30 e ∆A cos 30, 
respectivamente. Utilizando estas áreas, o diagrama de corpo livre do 
elemento infinitesimal seccionado é: 
 
 
 
 
 
onde ∆Fx = 400 kPa (∆A cos 30) = 346,4 ∆A kN. 
 
∆A 
∆A cos 30 
∆A sen 30 
 30° 
∆Fx’ 
 30° 
∆Fx’ 
∆Fy’ 30° 
 y 
 x 
 400 kPa 
 a 
 a 
600 N 
600 N 
150 mm 
10 mm 
a 
a 
b 
b 30° 
x 
y y’ 
x’ 
30° 
 
Transformação de Tensão Pag. 11 
 
Impondo o equilíbrio de forças nas direções x’ e y’, as componentes ∆Fx’ 
e ∆Fy’ são: 
∆Fx’ = 346,4 ∆A cos 30 = 300 ∆A 
∆Fy’ = 346,4 ∆A sen 30 = 173 ∆A 
Assim, as tensões normal e de cisalhamento à seção a-a são: 
x '
x '
y '
x ' y '
∆F
300 kPa
∆A
∆F
173 kPa
∆A
σ = =
τ = = 
 
 
Estas mesmas tensões podem ser obtidas de uma outra forma, 
considerando a barra seccionada da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
Impondo o equilíbrio de forças no diagrama de corpo livre acima, as 
forças atuantes na seção a-a são: 
Fx’ = 600 cos 30 = 519,6 N 
Fy’ = 600 sen 30 = 300 N 
 
A área da seção a-a vale: 
2
a a
150 mm10 mm
A 1732,05 mm
cos30−
= = 
 
Assim, as tensões normal e de cisalhamento à seção a-a são: 
x '
x ' 2
a a
y '
x ' y ' 2
a a
F 519,6 N
300 kPa
A 1732 mm
F 300 N
173 kPa
A 1732 mm
−
−
σ = = =
τ = = = 
600 N 
300 kPa 
173 kPa 
600 N 
Fx’ 
Fy’ 
 
Transformação de Tensão Pag. 12 
 
99..22 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS GGEERRAAIISS PPAARRAA TTRRAANNSSFFOORRMMAAÇÇÃÃOO DDEE TTEENNSSÃÃOO PPLLAANNAA 
Uma vez determinado as tensões normais σx e σy, e a tensão de 
cisalhamento τxy num ponto de um corpo solicitado no plano x-y, é possível 
determinar as tensões normais e de cisalhamento em qualquer plano 
inclinado x’-y’. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.4 – Tensões e forças em diferentes eixos em um elemento seccionado 
Impondo o equilíbrio de forças na direção x’, tem-se: 
x '
F 0→ =∑
,
x ' x xy
y xy
dA dA cos cos dA cos sen
dA sen sen dA sen cos 0
σ − σ θ θ − τ θ θ −
σ θ θ − τ θ θ = (9.1) 
Simplificando a eq. (9.1): 
2 2
x ' x y xycos sen 2 cos senσ = σ θ + σ θ + τ θ θ
 (9.2) 
Sabe-se que: 
σx 
τxy 
σy 
 x 
 y 
τyx 
 x’ 
 y’ 
+ θ 
+ θ 
A 
B 
C 
θ 
σx’ τx’y’ 
τxy 
τyx 
σy 
σx 
 x’ 
 y’ 
θ 
 dA 
σx’ dA τx’y’ dA 
τyx dA senθ 
σx dA cosθ 
 x’ 
 y’ 
θ 
σy dA senθ 
τyx dA cosθ 
 
Transformação de Tensão Pag. 13 
 
2 2
2 2
sen 2 2 sen cos
cos 2 cos sen
1 cos sen
θ = θ θ
θ = θ − θ
= θ + θ (9.3) 
Trabalhando com as eqs. (9.3), tem-se: 
2
2
1 cos 2
cos
2
1 cos 2
sen
2
+ θθ =
− θθ = (9.4) 
Substituindo a eqs. (9.4) e a expressão de sen 2θ da eq. (9.3) na eq. 
(9.2), tem-se; 
x ' x y xy
1 cos2 1 cos2
sen2
2 2
+ θ − θ
σ = σ + σ + τ θ
 (9.5) 
Reagrupando a eq. (9.5): 
x y x y
x ' xycos2 sen22 2
σ + σ σ − σ
σ = + θ + τ θ
 (9.6) 
Impondo o equilíbrio de forças na direção y’, tem-se: 
y '
F 0↑ =∑
, 
x ' y ' x xy
y xy
dA dA cos sen dA cos cos
dA sen cos dA sen sen 0
τ + σ θ θ − τ θ θ −
σ θ θ + τ θ θ = (9.7) 
Simplificando a eq. (9.7): 
x y
x ' y ' xysen 2 cos 22
σ − σ 
τ = − θ + τ θ 
  (9.8) 
As eqs (9.6) e (9.8) são as equações de transformação de tensão de um 
sistema de coordenadas a outro. 
99..33 –– CCÍÍRRCCUULLOO DDEE TTEENNSSÕÕEESS DDEE MMOOHHRR 
Sejam as equações de transformação de tensão (9.6) e (9.8) onde a eq. 
(9.6) é colocada da seguinte forma: 
x y x y
x ' xycos2 sen22 2
σ + σ σ − σ
σ − = θ + τ θ
 (9.9) 
 
Transformação de Tensão Pag. 14 
 
Elevando ao quadrado as eqs. (9.8) e (9.9) e somando-as, tem-se: 
2 2
x y x y2 2
x ' x ' y ' xy2 2
σ + σ σ − σ   
σ − + τ = + τ   
    (9.10) 
A eq. (9.10) pode ser colocada de maneira mais compacta: 
( )2 2 2x ' m xy Rσ − σ + τ =
 (9.11) 
A eq. (9.11) é a equação de um círculo de raio: 
2
x y 2
xyR 2
σ − σ 
= + τ 
  (9.12) 
e centro: 
x y
m
m
2
0
σ + σ
σ =
τ = (9.13) 
O círculo construído desta maneira é chamado círculo de tensões de 
Mohr, onde a ordenada de um ponto sobre o círculo é a tensão de 
cisalhamento τ e a abcissa é a tensão normal σ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.5 – Círculo de tensões de Mohr 
Conclusões importantes: 
τmax 
τ 
A(σx, τxy) 
B(σy, -τxy) 
σ1 σ2 
σ 
θ = 0° 
|τmin|=τmax
2 α 
σm= (σx +σy)/2 (σx - σy)/2 
 
Transformação de Tensão Pag. 15 
 
� A maior tensão normal possível é σ1 e a menor é σ2. Nestes planos não 
existem tensões de cisalhamento. 
� A maior tensão de cisalhamento τmax é igual ao raio do círculo e uma 
tensão normal de x y
2
σ + σ
 atua em cada um dos planos de máxima e 
mínima tensão de cisalhamento. 
� Se σ1 = σ2, o círculo de Mohr se degenera em um ponto, e não se 
desenvolvem tensões de cisalhamento no plano xy. 
� Se σx + σy = 0, o centro do círculo de Mohr coincide com a origem das 
coordenadas σ - τ, e existe o estado de cisalhamento puro. 
� Se soma das tensões normais em quaisquer dos planos mutuamente 
perpendiculares é constante: σx + σy = σ1 + σ2 = σx´ + σy´ = constante. 
� Os planos de tensão máxima ou mínima formam ângulos de 45° com os 
planos das tensões principais. 
99..33 –– CCOONNSSTTRRUUÇÇÃÃOO DDOO CCÍÍRRCCUULLOO DDEE TTEENNSSÕÕEESS DDEE MMOOHHRR 
EXEMPLO 9.2: Com o estado de tensão no ponto apresentado abaixo, 
determine as tensões principais e suas orientações e a máxima tensão de 
cisalhamento e sua orientação. 
 
 
 
 
 
 
 
As tensões no sistema de eixos x-y são: 
σx = - 20 MPa , σy = 90 MPa , τxy = 60 MPa 
Procedimento de análise: 
a – Determinar o centro (σm, τm) do círculo de tensões de Mohr: 
 x 
 y 
 60 MPa 
 90 MPa 
 20 MPa 
Ponto A 
 
Transformação de Tensão Pag. 16 
 
x y
m
m
20 90
35 MPa
2 2
0
σ + σ
− +
σ = = =
τ =
 
b – Determinar o raio R do círculo de tensões de Mohr: 
2 2
x y 2 2
xy
20 90
R 60 81,4 MPa
2 2
σ − σ 
− − 
= + τ = + =   
  
 
c – Localizar o ponto A(-20,60) no círculo de tensões de Mohr: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d – Calcular as tensões principais (maior e menor tensões normais): 
σ1 = 35 + 81,4 = 116,4 MPa , σ2 = 35 - 81,4 = -46,4 MPa 
e – Determinar a orientação das tensões principais. 
''
1
60
2 arc tg 2 47,7
20 35
 θ = = ° + 
⇒θ1’’ = 23,85° 
2 θ1’’ + 2 θ1’ = 180°⇒θ1’ = 66,15° 
 
 
 
 
 
 
 
 
A(-20,60) 
B(90, -60) 
τmax = 81,4 
σ2 = 35-81,4 = -46,4 σ (Mpa) 
τ (Mpa) 
2 θ2’ 
σ1 = 35+81,4 = 116,4 
 35 20 
 60 
2 θ1’ 2 θ1’’ 
2 θ2’’ 
 
Transformação de Tensão Pag. 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f – Tensão máxima de cisalhamento: 
τmax = R = 81,4 MPa 
g – Orientação da tensão máxima de cisalhamento: 
2 θ1’’ + 2 θ2’ = 90°⇒θ2’ = 21,15° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO9.3: Para o estado de tensão abaixo, achar a) as tensões normais 
e de cisalhamento para θ = 22,5°, b) as tensões principais e suas 
orientações, c) as tensões máxima e mínima de cisalhamento com as tensões 
associadas e suas orientações. 
 
 
 
 x 
 y 
σ1 = 116,4 MPa 2 
 1 
θ1’ = 66,15° 
σ2 = 46,4 MPa 
 x 
 y 
σm = 35 MPa 
 x’ 
y’ 
θ2 = 21,25° 
τmax = 81,4 MPa 
 
Transformação de Tensão Pag. 18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As tensões no sistema de coordenadas x,y são: 
σx = 30 MPa, σy = 10 MPa, τxy = 20 MPa 
 
Procedimento de análise: 
a – Determinar o centro (σm, τm) do círculo de tensões de Mohr: 
x y
m
m
30 10
20 MPa
2 2
0
σ + σ +
σ = = =
τ =
 
b – Determinar o raio R do círculo de tensões de Mohr: 
2 2
x y 2 2
xy
30 10
R 20 22,4 MPa
2 2
σ − σ 
− 
= + τ = + =   
  
 
c – Localizar o ponto A de coordenadas (3,2) no círculo de tensões de 
Mohr: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x’ 
 22,5° 
 x 
 y 
20 MPa 
 10 MPa 
30 MPa 
Ponto A 
A(30,20) 
B(10,-20) 
τmax = 22,4 
σ2 = 20-22,4 = -2,4 σ (MPa) 
τ (MPa) 
2 θ2’ 
σ1 = 20+22,4 = 42,4 
 20 
 30 
 20 
A’ 
45° 
B’ 
2 α1 
 
Transformação de Tensão Pag. 19 
 
No ponto A’, representando o estado de tensão na face cuja normal é 
paralela ao eixo x’, temos: 
1
20
2 arc tg 63,4
30 20
 
α = = 
− 
 
σx’ = 20 + 22,4 cos(63,4 - 45) , σx’ = 41,3 MPa 
τx´y´ = 22,4 sen(63,4 - 45) , τx´y´ = 7,1 MPa 
 
E no ponto B’, representando o estado de tensão na face cuja normal é 
paralela ao eixo y’, temos: 
σy’ = 20 – 22,4 cos(63,4 - 45) ⇒σy’ = - 1,3 kgf/mm2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d – Tensões principais: 
σ1 = 42,4 kgf/mm2 (tração) , σ2 = -2,4 kgf/mm2 (compressão) 
1
2
tg 2 2
1
θ = = 
2 α1 = 63,4°⇒ α1 = 31,7° 
2 θ1´´ = 2 θ1´ + 180°⇒θ1´´ = 121,7° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x 
 y 
 x’ 
 y’ 
θ = 22,5° 
7,1 MPa 
1,3 MPa 
41,3 MPa 
Ponto A’ 
 x 
 y 
 42,4 MPa 
 -2,4 MPa 
 1 
 2 
θ1’ = 31,7° 
θ1’’ = 121,7° 
 
Transformação de Tensão Pag. 20 
 
e – Máxima tensão de cisalhamento: 
τmax = R = 22,4 kgf/mm2 
2 θ2´ + 2 θ1´ = 90°⇒θ2´ = 13,3° 
2 θ2´´ = 2 θ2´ + 180°⇒θ2´´ = 76,7° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que: θ1’ - θ2’ = 31.7 – (-13.3) = 45° e θ1’’ - θ2’’ = 121.7 – 76.7 = 
45° 
99..44 –– IIMMPPOORRTTAANNTTEE TTRRAANNSSFFOORRMMAAÇÇÃÃOO DDEE TTEENNSSÃÃOO 
Seja um elemento sujeito à um estado de tensão de cisalhamento 
puro (caso de um eixo em torção). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.6 – Estado de tensões de um elemento infinitesimal num eixo em torção pura 
 x 
 y 
 22,4 MPa 
 20 MPa 
 x´ 
 y´ 
θ2´ = 13,3° 
2´´ = 76,7° 
B 
 x 
 y 
τxy 
T 
 
Transformação de Tensão Pag. 21 
 
Para este caso, tem-se que σx = 0 e σy = 0. Logo o centro do círculo de 
Mohr está na origem do sistema de coordenadas σ-τ, e o raio do círculo é R = 
τxy. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.7 – Círculo de tensões de Mohr em um ponto de um eixo em torção pura 
As tensões principais são neste caso: 
1 xy
2 xy
σ = +τ
σ = −τ (9.14) 
As orientações das tensões principais são: 
1tg 2 θ = ∞
⇒
1
1
´ 45 (tração)
´´ 135 45 (compressão)
θ = °
θ = ° = − ° (9.15) 
Assim, a representação gráfica das tensões principais e suas 
orientações é da seguinte forma, Figura 9.8: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.8 – Representação gráfica das tensões principais em um ponto de um eixo em torção 
pura 
τmax = τxy 
σ 
τ 
σ1 = τxy 
2 θ1’ 2 θ1’’ 
σ2 = -τxy 
 x 
 y 
σ1=|τxy| 
 1 2 
θ1’ = 45° 
θ2’ = 135° 
σ2=|τxy| 
 
Transformação de Tensão Pag. 22 
 
99..66 –– TTEENNSSÕÕEESS PPRRIINNCCIIPPAAIISS PPAARRAA OO EESSTTAADDOO GGEERRAALL DDEE TTEENNSSÕÕEESS 
Considere um elemento infinitesimal sob um estado de tensão 
tridimensional e um elemento infinitesimal tetraédrico sobre o qual atua 
uma tensão principal σn no plano obliquo ABC, paralela ao vetor normal 
unitário, Figura 9.9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.9 – Tensão principal σn num plano oblíquo de um elemento infinitesimal tetraédrico 
O vetor normal unitário é identificado pelos seus cosenos diretores l, 
m e n, onde cos α = l, cos β = m, cos γ = n. Da Figura 9.10, nota-se que: 
2 2 2l m n 1+ + = (9.16) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.10 – Vetor normal e seus cossenos diretores 
O plano oblíquo tem área dA e as projeções desta área nas direções x, 
 y 
 x 
 z 
 Vetor normal 
 m 
 n 
 l 
α 
γ 
β 
σz 
τzx 
τzy 
τx
τy
τyz 
σx σx 
σy 
σz 
σy 
τxz 
 x 
 y 
z 
∆x 
∆z 
∆y 
τxy 
τyz 
 y 
 x 
z 
σx 
τxz 
τxy 
σn 
 
σy 
σz 
τyx 
τyz 
τzx 
τzy 
 A 
 B 
 C 
 
Transformação de Tensão Pag. 23 
 
y e z são dA.l, dA.m e dA.n. Impondo o equilíbrio estático nas direções x, y e 
z, temos: 
x n x xy xz
y n y yz xy
z n z xz yz
F ( dA) l dA l dA m dA n 0
F ( dA) m dA m dA n dA l 0
F ( dA) n dA n dA l dA m 0
= σ − σ − τ − τ =
= σ − σ − τ − τ =
= σ − σ − τ − τ =
∑
∑
∑
 (9.17) 
Simplificando e reagrupando a eq. (9.17) em forma matricial, temos: 
x n xy xz
xy y n yz
xz yz z n
l 0
m 0
n 0
 σ − σ τ τ    
     
τ σ − σ τ =    
    τ τ σ − σ     
 (9.18) 
Como visto anteriormente, l2 + m2 + n2 = 1, os cosenos diretores são 
diferentes de zero. Logo, o sistema terá uma solução não trivial quando o 
determinante da matriz de coeficientes de l, m e n for nulo. 
x n xy xz
xy y n yz
xz yz z n
0
σ − σ τ τ
τ σ − σ τ =
τ τ σ − σ (9.19) 
A expansão do determinante fornece um poninômio característico do 
tipo: 
3 2
n n nI II III 0σ σ σσ − σ + σ − =
 (9.20) 
onde: 
x y z
2 2 2
x y y z z x xy yz xz
2 2 2
x y z xy yz xz x yz y xz z xy
I
II ( ) ( )
III 2 ( )
σ
σ
σ
= σ + σ + σ
= σ σ + σ σ + σ σ − τ + τ + τ
= σ σ σ + τ τ τ − σ τ + σ τ + σ τ
 (9.21) 
As eqs (9.20) e (9.21) são invariantes, independentemente do plano 
oblíquo que é tomado no tetraedro. Logo, as raízes do polinômio 
característico já são as tensões principais. 
99..77 –– CCÍÍRRCCUULLOO DDEE MMOOHHRR PPAARRAA OO EESSTTAADDOO GGEERRAALL DDEE TTEENNSSÕÕEESS 
Qualquer estado de tensão tridimensional pode ser transformado em 
três tensões principais que atuam em três direções ortogonais, Figura 9.11. 
 
Transformação de Tensão Pag. 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.11 – Tensões principais num elemento solicitado triaxialmente 
Admitindo que σ1>σ2>σ3> 0, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.12 – Círculo de tensões de Mohr para num elemento solicitado triaxialmente3 
 1 
 2 
σ1 
σ2 
σ3 
τmax 
σ3 σ2 σ 
τ 
σ1 
σ3 
σ1 
σ2 
σ3 
σ1 
σ2 
σ3 
σ1 
σ2 
σz 
τzx 
τzy 
τx
τy
τyz 
σx σx 
σy 
σz 
σy 
τxz 
 x 
 y 
z 
∆x 
∆z 
∆y 
τxy 
τyz 
 
Transformação de Tensão Pag. 25 
 
99..88 –– CCRRIITTÉÉRRIIOOSS DDEE EESSCCOOAAMMEENNTTOO EE DDEE FFRRAATTUURRAA 
9.7.1 – Observações preliminares 
A resposta de um material à tensão axial ou tensão de cisalhamento 
puro, pode ser convenientemente mostrada em diagramas de tensão-
deformação. Tal aproximação direta não é possível, entretanto, para um 
estado complexo de tensões que é característico de muitos elementos de 
máquina e de estruturas. Desta forma, é importante estabelecer critérios 
para o comportamento dos materiais com estados de tensão combinados. 
Nesta parte do estudo serão discutidos dois critérios para análise do 
comportamento das tensões combinadas em materiais dúcteis, e em seguida 
será apresentado um critério de fratura para materiais frágeis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.13 – Diagramas tensão/deformação para materiais dúcteis e frágeis 
9.7.2 – Teoria da máxima tensão de cisalhamento (Tresca) (mat. dúcteis) 
A teoria da máxima tensão de cisalhamento resulta da observação de 
que, num material dúctil, ocorre deslizamento durante o escoamento ao 
longo dos planos criticamente orientados. Isso sugere que a tensão de 
cisalhamento máxima executa o papel principal no escoamento do material. 
Para um teste simples de tração onde σ1 = σesc, σ2 = σ3 = 0, tem-se: 
 
 
 
 
 
σ 
ε 
material frágil 
σrup 
σ 
ε 
material dúctil 
σesc 
 
Transformação de Tensão Pag. 26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.14 – Círculos Tensões de Mohr para um ensaio de tração simples 
Observa-se que dois círculos são concêntricos, (σ1, σ2) e (σ1, σ3) e o 
terceiro resulta num ponto (σ2, σ3). 
Do círculo de tensões de Mohr neste caso, a tensão de cisalhamento 
máxima é: 
esc
max crítico 2
σ
τ ≡ τ =
 (9.22) 
Para aplicar o critério da máxima tensão de cisalhamento para um 
estado de tensão biaxial devem ser considerados dois casos: 
 
Caso 1: Os sinais de σ1 e σ2 são iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.15 – Círculos tensões de Mohr para um estado de tensão biaxial - σ1 e σ2 têm sinais 
iguais 
Onde, para: 
τmax = (σ1)/2 
σ2 = σ3 σ 
τ 
σ1 
σ1 
σ2 
τmax = (σ1)/2 
σ3 σ2 σ 
τ 
σ1 
 
Transformação de Tensão Pag. 27 
 
1 2 1 esc
2 1 2 esc
σ > σ ⇒ σ ≤ σ
σ > σ ⇒ σ ≤ σ (9.23) 
Caso 2: Os sinais de σ1 e σ2 são diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.16 – Círculos Tensões de Mohr para um estado de tensão biaxial - σ1 e σ2 têm sinais 
diferentes 
Para este caso, a tensão de cisalhamento máxima no ponto analisado 
não deve exceder a máxima tensão de cisalhamento do material (ver Figura 
9.17). 
1 2 esc
2 2
σ − σ σ
± ≤
 (9.24) 
Na iminência de ocorrer o escoamento, tem-se: 
21
esc esc
1
σσ
− = ±
σ σ (9.25) 
A eq. (9.25) pode ser colocada de maneira gráfica da forma, Figura 
9.17: 
 
 
 
 
 
 
σ1 
σ2 
τmax = (σ1- σ2)/2 
σ3 σ2 σ 
τ 
σ1 
τmax = -(σ1- σ2)/2 
 
Transformação de Tensão Pag. 28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.17 – Representação gráfica de um ponto na iminência de escoar - Tresca 
9.7.3 – Teoria da máxima energia de distorção (von Mises) (mat. dúcteis) 
A expressão de energia de deformação elástica total por unidade de 
volume (densidade de energia de deformação elástica) em um material 
isotrópico para um estado triaxial de tensões considerada num sistema de 
coordenadas arbitrário x, y e z é da seguinte forma: 
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2total x y z x y y z z x xz yz xz1 1U 2 E E 2 Gν= σ + σ + σ − σ σ + σ σ + σ σ + τ + τ + τ (9.26) 
Esta energia de deformação elástica total, considerada nos eixos 
principais é da forma: 
( ) ( )2 2 2total 1 2 3 1 2 2 3 3 11U 2 E Eν= σ + σ + σ − σ σ + σ σ + σ σ (9.27) 
A energia de deformação elástica total acima, é dividida em duas 
partes: uma causando dilatação do material (mudanças volumétricas), e 
outra causando distorsões de cisalhamento. É interessante lembrar que em 
um material dúctil, admite-se que o escoamento do material depende apenas 
da máxima tensão de cisalhamento. 
 
 
 
 
 
σ1/σesc 1.0 
1.0 
 -1.0 
 -1.0 
B( -1.0, 1.0) 
A( 1.0, 1.0) 
σ2/σesc 
 
Transformação de Tensão Pag. 29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.18 – Energias de dilatação e de distorção num elemento 
A fim de facilitar a compreensão, somente oestado de tensão uniaxial 
será considerado. A passagem para um estado de tensão triaxial é 
automática. Desta forma, para um estado de tensão uniaxial, as energias de 
dilatação e de distorção são representadas da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.19 – Energias de dilatação e de distorção num elemento solicitado axialmente 
Os círculos de tensão de Mohr para os estados de tensão com 
somente energia de distorção são, Figura 9.20. 
 
 
 
 
 
 
σ1 
Energia de deformação 
elástica total 
 = 
Energia de 
 distorção 
σ1 
Energia de 
 dilatação 
σ1/3 
σ1/3 
σ1/3 
 + 
σ1/3 
σ1/3 
 + 
σ1/3 
σ1/3 
σ1 
σ3 
σ2 
Energia de deformação 
elástica total 
 = 
Energia de 
 dilatação 
 + 
 Energia de 
 distorção 
σ−σ2
σ−σ1
σ−σ3σ
σ
σ
 
Transformação de Tensão Pag. 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.20 – Círculos de tensão de Mohr para o cisalhamento puro 
No tensor correspondente a energia de dilatação, os componentes são 
definidos como sendo a tensão “hidrostática” média: 
1 2 3
3
σ + σ + σ
σ =
 (9.28) 
onde: 
1 2 3 pσ = σ = σ = = σ
 (9.29) 
A energia de dilatação é obtida substituindo a eq.(9.29) na eq. (9.27), 
e em seguida substituindo a eq. (9.28) na equação resultante. Assim: 
( )2dilatação 1 2 31 2U 6 E
− ν
= σ + σ + σ
 (9.30) 
A energia de distorção é obtida sustraindo da energia de deformação 
elástica total, eq. (9.27) a energia de dilatação, eq.(9.30): 
( ) ( ) ( )2 2 2distorção 1 2 2 3 3 11U 12 G  = σ − σ + σ − σ + σ − σ  (9.31) 
A energia de distorção em um ensaio de tração simples, onde neste 
caso σ1 = σesc e σ2 = σ3 = 0 é da forma: 
2
esc
distorção
2
U
12 G
σ
=
 (9.32) 
τmax = σ1/3 
σ 
τ 
σ1/3 -σ1/3 0 
τmax = σ1/3 
σ 
τ 
σ1/3 -σ1/3 0 
 
Transformação de Tensão Pag. 31 
 
Igualando a energia de distorção do ponto em análise, eq. (9.31), com a 
energia de distorção num ensaio à tração simples, (9.32), estabelece-se o 
critério de escoamentopara tensão combinada, eq. (9.33). 
( ) ( ) ( )2 2 2 21 2 2 3 3 1 esc2σ − σ + σ − σ + σ − σ = σ
 (9.33) 
Freqüentemente a eq. (9.33) pode ser rearranjada, sendo a expressão 
resultante chamada de tensão equivalente. 
( ) ( ) ( )2 2 2equ 1 2 2 3 3 112  σ = σ − σ + σ − σ + σ − σ  (9.34) 
A eq. (9.33) pode também ser apresentada da forma: 
2 2 2
2 2 23 3 31 1 1
esc esc esc esc esc esc esc esc esc
1
           σ σ σσ σ σσ σ σ
+ + − − − =           
σ σ σ σ σ σ σ σ σ            (9.35) 
A eq. (9.36) é conhecida como sendo o critério de von Mises para um 
estado triaxial de tensões para materiais isotrópicos. Para um estado plano 
de tensão, σ3 = 0, tem-se: 
2 2
2 21 1
esc esc esc esc
1
     σ σσ σ
− + =     
σ σ σ σ      (9.36) 
A eq. (9.36) pode ser colocada de maneira gráfica da forma, Figura 
9.21: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.21 – Representação gráfica de um ponto na iminência de escoar – von Mises 
σ1/σesc 1.0 
1.0 
 -1.0 
 -1.0 
B( -1.0, 1.0) 
A( 1.0, 1.0) 
σ2/σesc 
 
Transformação de Tensão Pag. 32 
 
9.7.4 – Teoria da máxima tensão normal (mat. frágeis) 
A teoria da máxima tensão normal estabelece que a falha ou fratura 
de um material ocorre quando a máxima tensão normal em um ponto atinge 
um valor crítico, independentemente das outras tensões. Dessa forma, 
apenas a maior tensão principal deve ser considerada para aplicar esse 
critério. 
1 2 3 rupou ouσ σ σ ≤ σ
 (9.37) 
A eq. (9.36) também pode ser colocada de maneira gráfica da forma, 
Figura 9.22. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.22 – Representação gráfica de um ponto na iminência de romper 
EXEMPLO 9.6: As tensões calculadas sobre o ski são como mostrada na 
figura abaixo. Utilizando critérios de ruptura adequados, verifique se os 
pontos mostrados sobre a seção transversal do ski suportam o carregamento 
abaixo. Tome σesc aço = 250 MPa, σrup mad = 26 MPa e τrup mad = 6,2 MPa com 
um fator de segurança de 2. 
 
 
 
 
 
σ1/σrup 1.0 
1.0 
 -1.0 
 -1.0 
B( -1.0, 1.0) 
A( 1.0, 1.0) 
σ2/σrup 
 P 
1 m 0,5 m 0,5 m 
1 m 
w w 
A B D 
E C 
 
Transformação de Tensão Pag. 33 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estado de tensão nos pontos da seção transversal: 
Ponto A (aço): 
σA = 24,05 Mpa , τA = 0 
Ponto B (aço): 
σB = 18,99 Mpa , τB = 0,11 MPa 
Ponto C (madeira): 
σC = 1,14 Mpa , τC = 0,11 Mpa 
Ponto D (madeira): 
σD = 0 , τD = 0,12 MPa 
 
Ponto A (aço – material dútil): 
σx = σA = 24,05 Mpa , σy = 0 , τxy = 0 
σ1 = σx = 24,05 Mpa 
Pelo critério de máxima tensão de cisalhamento: 
σ1 = 24,05 Mpa <σesc = 250/2 Mpa (ok) 
Ponto B (aço – material dútil): 
σx = σB = 18,99 Mpa , σy = 0 , τxy = τB = 0,11 MPa 
σ1 = 18,99 Mpa 
Pelo critério de máxima tensão de cisalhamento: 
σ1 = 18,99 Mpa <σesc = 250/2 Mpa (ok) 
 
Ponto C (madeira – material frágil): 
σx = σC = 1,14 Mpa , σy = 0 , τxy = τC = 0,11 MPa 
Pelo critério de máxima tensão normal: 
σ1 = 1,15 Mpa <σrup = 26/2 Mpa (ok) 
τmax = 0,11 Mpa <τrup = 6,2/2 Mpa (ok) 
 madeira 
 aço 
 aço 
A 
B 
C D 
y 
z 
 
Transformação de Tensão Pag. 34 
 
 
Ponto D (madeira – material frágil): 
σx = σD = 0 , σy = 0 , τxy = τD = 0,12 MPa 
Pelo critério de máxima tensão normal: 
τmax = 0,12 Mpa <τrup = 6,2/2 Mpa (ok) 
 
Vasos de Pressão Pag. 35 
 
C A P Í T U L O 10 
VVAASSOOSS DDEE PPRREESSSSÃÃOO 
Vasos cilíndricos e esféricos são comumente utilizados na indústria 
para servir como caldeiras, tanques, etc. Quando os vasos são submetidos à 
uma pressão interna, o material com o qual são feitos estes vasos, é 
submetido à esforços em todas as direções. Normalmente a relação 
raio/espessura do vaso é r/t ≥ 10, podendo assim ser considerado de parede 
fina. Neste caso a distribuição de tensão normal à parede do vaso pode ser 
desprezível. 
1100..11 –– VVAASSOOSS CCIILLÍÍNNDDRRIICCOOSS 
Considere um vaso de pressão cilíndrico de espessura t e raio interno 
r submetido à uma pressão interna p devido a um gás ou a um fluido 
considerado de peso desprezível, Figura 10.1. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.1 – Vaso de pressão cilíndrico 
Onde: 
σ1 = tensão circunferencial (hoop) 
σ2 = tensão longitudinal (axial) 
σ1 
σ2 
t 
x 
y 
z 
 
Vasos de Pressão Pag. 36 
 
A magnitude da tensão circunferencial σ1, é determinada a partir de 
um elemento infinitesimal de comprimento dy, longe o suficiente das 
extremidades do vaso, Figura10.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.2 – Elemento infinitesimal de vaso cilíndrico 
Impondo o equilíbrio estático no elemento infinitesimal na direção x, 
temos: 
x
F 0→ =∑
, 
( ) ( )12 t.dy p 2r.dy 0σ − =
(10.1) 
Logo, a expressão que fornece a tensão circunferencial num vaso 
cilíndrico é da forma: 
1
p r
t
σ =
(10.2) 
A magnitude da tensão longitudinal σ2, é determinada a partir de um 
corte do vaso cilíndrico na direção circunferencial, Figura 10.3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.3 – Corte circunferencial de um vaso cilíndrico 
σ1 
σ1 
dy 
2r 
p 
t 
t 
σ2 
p 
t 
r 
 
Vasos de Pressão Pag. 37 
 
Impondo o equilíbrio estático no elemento infinitesimal na direção y, 
temos: 
y
F 0→ =∑ ( ) ( )22 2 .r.t p r 0σ pi − pi =
 (10.3) 
Logo, a expressão que fornece a tensão circunferencial num vaso 
cilíndrico é da forma: 
2
p r
2 t
σ =
 (10.4) 
Observe que se a tensão normal à parede do vaso no seu lado interno 
é σ3 = -p e a tensão normal à parede do vaso no seu lado externo é σ3 = 0. 
Logo, se a relação raio/espessura do vaso é r/t ≥ 10, a tensão circunferencial 
é σ1≥ 10.σ3 e σ2≥ 5.σ3. Assim, o Círculo de Tensões de Mohr para um vaso de 
pressão cilíndrico em um ponto situado no lado externo da parede é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.4 – Círculo de Tensões de Mohr em um vaso cilíndrico 
1100..22 –– VVAASSOOSS EESSFFÉÉRRIICCOOSS 
Considere um vaso de pressão esférico de espessura t e raio interno r 
submetido à uma pressão interna p devido a um gás ou a um fluido 
considerado de peso desprezível, Figura 10.5. 
 
 
τmax = σ1/2 
σ 
τ 
σ1 σ3 σ2 
 
Vasos de Pressão Pag. 38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.5 – Vaso de pressão esférico 
Devido a simetria σ1 = σ2. A magnitude da tensão circunferencial σ2 é 
determinada a partir de um corte do vaso na direção circunferencial, Figura 
10.6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.6 – Corte circunferencial de um vaso esférico 
Impondo o equilíbrio estático no elemento infinitesimal na direção y, 
temos: 
y
F 0→ =∑
, 
( ) ( )22 2 .r.t p r 0σ pi − pi =
 (10.5) 
Logo, a expressão que fornece a tensão circunferencial num vaso 
esférico é da forma: 
2
p r
2 t
σ =
 (10.6) 
σ1 
σ2 
t x 
y 
z 
r 
p 
t r 
σ2 
 
Vasos de Pressão Pag. 39 
 
Com estas considerações, a tensão radial σ3 é considerada desprezível 
em relação a σ1 e σ2, pois σ3 = -p no lado interno da parede do vaso, e σ3 = 0 
no lado externoda parede do vaso. Assim, o Círculo de Tensões de Mohr 
para um vaso de pressão esférico em um ponto situado no lado externo da 
parede é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.4 – Círculo de Tensões de Mohr em um vaso cilíndrico 
EXEMPLO 10.1: Um vaso de pressão cilíndrico tem raio r = 1000 mm e 
espessura t = 10 mm. Calcule as tensões circunferencial e longitudinal e a 
variação de diâmetro do cilindro causados por uma pressão interna de 0,80 
MPa. Considere E = 200 Gpa e ν = 0,25. 
a – Cálculo das tensões 
1
p r 0,801000
80 MPa
t 10
σ = = = 
2
p r 0,80 .1000
40 MPa
2 t 2 .10
σ = = = 
b – Cálculo da deformação circunferencial 
( )1 1 2 31E  ε = σ − ν σ + σ  
Considerando a tensão radial σ3 = 0. 
[ ] -31 31 80 0,25 .40 0,35 .10 mm/mm200.10ε = − = 
1
o
∆L 2 (r ∆r) 2 r ∆r
L 2 r r
pi + − pi
ε = = =
pi
⇒ 3
∆r
0,35.10
1000
−
= 
τmax = σ1/2 
σ 
τ 
σ1=σ2 
σ3 
 
Vasos de Pressão Pag. 40 
 
∆r = 0,35 mm 
EXEMPLO 10.2: Um vaso de pressão cilíndrico de 3 m de diâmetro externo, 
usado no processamento de borracha, tem 10 m de comprimento. Se a parte 
cilíndrica do vaso é feita de chapa de aço de 25 mm de espessura e o vaso 
opera a pressão interna é de 0,1 kgf/mm2, determinar o alongamento total 
da circunferência e o aumento de diâmetro provocados pela pressão de 
operação. E = 20 000 kgf/mm2 e ν = 0,3. 
a – Cálculo das tensões 
3
2
1
p r 0,1.1,5.10
 6 kgf/mm
t 25
σ = = = 
21
2 3 kgf/mm2
σ
σ = = 
b – Cálculo da deformação circunferencial 
( ) 11 1 2
1
∆L1
E L
ε = σ − νσ = ⇒ ( ) 1 3∆L1 6 0,3 .320 000 3.10− = pi 
∆L1 = 2,4 mm 
( )
1
1
1
d ∆d d∆L ∆d
L d d
pi + − pi
ε = = =
pi
⇒ ( ) 31 ∆d6 0,3 .320 000 3.10− = 
∆d = 0,765 mm 
EXEMPLO 10.3: Um vaso de pressão de aço, cilíndrico fechado, de 2,5 m de 
diâmetro médio, com espessura de parede de 12,5 mm, tem costura soldada 
topo a topo ao longo de um ângulo de hélice α = 30°. Durante a 
pressurização, a medida de deformação através da solda, isto é, em uma 
linha medida de α + 90°, é de 430x10-6 mm/mm. (a) Qual a pressão no 
vaso? (b) Qual era a tensão de cisalhamento ao longo da costura? Considerar 
E = 20 000 kgf/mm2, G = 8 000 kgf/mm2. 
 
 
σ1 
σ2 
30° 
30° 
σ2 
σ1 
longitudinal 
 
Vasos de Pressão Pag. 41 
 
 
 
 
 
 
 
a – Cálculo do coeficiente de poisson 
( )
E
G
2 1
=
+ ν
⇒ν = 0,25 
b – Cálculo da deformação transversal 
( )T T L1Eε = σ − νσ ⇒ ( )
6
T L
1
430.10 0,25
20 000
−
= σ − σ 
T L8,6 0,25= σ − σ (10.7) 
c – Cálculo das tensões 
3
1
p r p1,25.10
100 p
t 12,5
σ = = = 
2
p r
50 p
2 t
σ = = 
d – Círculo de tensões de Mohr 
 
 
 
 
 
 
 
 
e – Tensão de cisalhamento máxima 
( )1 2
max
100p 50p
25 p
2 2
σ − σ
−
τ = = = 
f – Tensão normal média 
( )1 2
m
100p 50p
75 p
2 2
σ + σ +
σ = = = 
τmax = (σ1-σ2)/2 
σ 
τ 
σ1 σ2 σL 
60° 
σT 
σm 
 
Vasos de Pressão Pag. 42 
 
g – Tensões transversal e longitudinal 
T 75p 25p.cos60 87,5 pσ = + =
� (10.8) 
L 75p 25p.cos60 62,5 pσ = − =
� (10.9) 
 
Substituindo as eqs. (10.8) e (10.9) na eq. (10.7), determina-se a 
pressão interna p: 
8,6 = 87,5 p – 0,25.62,6 p ⇒ p = 0,12 kgf/mm2 
e consequentemente a tensão de cisalhamento atuante na solda: 
τ = τmax sen 60° = 25 . 0,12 . sen 60°⇒τ = 2,59 kgf/mm2 
EXEMPLO 10.4: Um vaso de pressão cilíndrico contendo ar pressurizado 
tem espessura de parede t = 12 mm e raio interno r = 250 mm. As tensões 
atuantes na parede do vaso de pressão em um elemento infinitesimal 
inclinado tem os valores apresentados na figura abaixo. Determine a pressão 
interna p que é aplicada no vaso de pressão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
t 
 r 
 124 MPa 82 MPa 
 28 MPa 
θ 
σ1 σ2 
σ (MPa) 
τ (MPa) 
124 
2θ 
σM 
τmax 
82 
28 
 
Vasos de Pressão Pag. 43 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A tensão normal média pode ser calculada da forma: 
x y1 2
M 2 2
σ + σσ + σ
σ = = 
M
124 82
103MPa
2
+
σ = = 
A máxima tensão de cisalhamento que é igual ao Raio do círculo de 
Tensões no plano 1-2 é: 
2
x y 2
max xy
R
2
σ − σ 
τ = = + τ 
 
 
2
2124 82R 28 35
2
− 
= + = 
 
 
As tensões principais 1 e 2 são então calculadas da forma: 
1 M
p.r
R
t
σ = σ + = e 2 M
p.r
R
2t
σ = σ − = 
1
p.250
103 35
12
σ = + = 
p = 6,62 MPa 
 
 
 
Deflexão em vigas Pag. 44 
 
C A P Í T U L O 11 
DDEEFFLLEEXXÃÃOO DDEE VVIIGGAASS 
1111..11 –– IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO 
A ação de forças aplicadas provoca deflexão do eixo de uma viga em 
relação a sua posição inicial. Devido a isto, deve-se frequentemente limitar 
os valores de deflexão de maneira a impedir desalinhamentos em elementos 
de máquinas, e deflexões excessivas de vigas em prédios na construção civil. 
Neste contexto, serão discutidos métodos de determinação de deflexão e 
inclinações em pontos específicos da viga. 
1111..22 –– RREELLAAÇÇÃÃOO EENNTTRREE DDEEFFOORRMMAAÇÇÃÃOO--CCUURRVVAATTUURRAA EE MMOOMMEENNTTOO--
CCUURRVVAATTUURRAA 
No desenvolvimento da teoria de deflexão de vigas, deve-se considerar 
a hipótese fundamental da teoria da flexão na qual as seções planas de uma 
viga, tomadas normalmente a seu eixo, permanecem planas após a viga ser 
submetida à flexão, Figuras 11.1 e 11.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11.1 – Viga em flexão pura 
centróide 
A D 
B C 
x ∆x 
M M 
A D’ 
B C’ 
ρ 
O 
y 
z 
ρ = raio de curvatura 
∆θ 
∆s 
 
Deflexão em vigas Pag. 45 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11.2 – Rotação da seção 
A variação de comprimento ∆u das fibras pode ser expressa por: 
∆u y∆= − θ
(11.1) 
Dividindo a eq. (11.1) por ∆s, comprimento das fibras sobre a 
superfície neutra, e levando ao limite, tem-se: 
∆s 0 ∆s 0
∆u ∆
lim y lim
∆s ∆s
ou
du d
y
ds ds
→ →
θ
= −
θ
= −
(11.2) 
onde du/ds é a deformação linear de uma fibra da viga a uma distância y do 
eixo neutro. Assim: 
du
ds
ε =
(11.3) 
Da Figura 11.2, tem-se a relação: 
∆s ∆
ou
∆ 1
∆s
= ρ θ
θ
=
ρ
(11.4) 
Analisando a eq. (11.4) no limite quando ∆s→0: 
A D’ D 
a 
b 
∆u 
superfície 
neutra 
ρ 
B C 
C’ 
c 
f 
∆x 
-y 
∆θ 
∆s 
 
Deflexão em vigas Pag. 46 
 
∆s 0
∆ d 1
lim
∆s ds→
θ θ
= =
ρ (11.5) 
Substituindo as eqs. (11.3) e (11.5) na eq. (11.2), tem-se: 
1
y
ε
= κ = −
ρ (11.6) 
onde κ é definido como sendo a curvatura. 
A eq. (11.6) pode ser usada tanto em problemas elásticos como em 
problemas inelásticos, já que na sua dedução não foram utilizadas as 
propriedades do material. Para o caso elástico, sabe-se que: 
x
x E
σ
ε =
(11.7) 
x
M y
I
σ = −
(11.8) 
Substituindo as eqs. (11.7) e (11.8) na eq. (11.6), temos: 
1 M
E I
=
ρ (11.9) 
1111..33 –– EEQQUUAAÇÇÃÃOO DDIIFFEERREENNCCIIAALL PPAARRAA DDEEFFLLEEXXÃÃOO DDEE VVIIGGAASS 
EELLÁÁSSTTIICCAASS 
A curva elástica da viga pode ser expressa matematicamente por v = 
f(x). Para obter esta equação, é preciso representar a curvatura (1/ρ) em 
termos da deflexão v e x que é da forma: 
( )
2
2
3/22
d v
1 dx
dv1 dx
=
ρ  +
  
⇒ ( )
2
2
3/22
d v
1 Mdx
E Idv1 dx
= =
ρ  +
  
 (11.10) 
A eq. (11.10) é chamada de elástica, cuja solução dá a soluçãoexata 
da curva elástica. Como para a maioria das vigas usadas em engenharia a 
curva elástica a deflexão é pequena, a inclinação dv/dx também é pequena, 
podendo ser considerada desprezível comparada com a unidade. Com esta 
simplificação, a equação da curva elástica pode ser expressa por: 
 
Deflexão em vigas Pag. 47 
 
2
2
2
2
d v M
dx E I
ou
d v
E I M
dx
=
=
 (11.11) 
Substituindo a eq. (11.11) na eq. (11.8), uma nova expressão para se 
determinar a tensão pode ser determinada: 
2
x 2
d v
E y
dx
σ = −
 (11.12) 
Considerando que 
dM
V(x)
dx
= − e 
dV
w(x)
dx
= − , temos: 
2
2
2 2
2 2
d d v
E I V(x)
dx dx
d d v
E I w(x)
dx dx
 
= − 
 
 
= 
 
 (11.13) 
Para o caso da rigidez em flexão EI ser constante: 
3
3
4
4
d v
E I V(x)
dx
d v
E I w(x)
dx
= −
=
 (11.14) 
1111..44 –– CCOONNDDIIÇÇÕÕEESS DDEE CCOONNTTOORRNNOO 
Para a solução dos problemas de deflexão de vigas, além das 
equações diferenciais, devem ser prescritas as condições de contorno. Alguns 
tipos de condições de contorno são as seguintes: 
 
 
 
 
 v = 0 
 M = 0 
 
Rolete (extremidade da viga) 
 
Deflexão em vigas Pag. 48 
 
 
 v = 0 
 M = 0 
 
Pino (extremidade da viga) 
 
 v = 0 
 
 
Rolete (posição qualquer ao longo da viga) 
 
 v = 0 
 
 
Pino (posição qualquer ao longo da viga) 
 
 v = 0 
 dv/dx=0 
 
Suporte fixo ou engastado 
 
 V = 0 
 M = 0 
 
Extremidade livre 
 
 M = 0 
 
 
Articulação 
onde v = deflexão, M = momento fletor e V = cortante. 
1111..55 –– MMÉÉTTOODDOO DDAA IINNTTEEGGRRAAÇÇÃÃOO DDIIRREETTAA 
Como um exemplo geral de cálculo de deflexão de vigas, pode-se 
considerar uma viga com carga distribuida. A deflexão neste caso é obtida 
após quatro integrações sucessivas. 
4
4
x3
13
0
x x2
1 22
0 0
x x x 2
1 2 3
0 0 0
x x x x 3 2
1 2 3 4
o 0 0 0
d v
E I w(x)
dx
d v
E I w(x) dx C
dx
d v
E I dx w(x) dx C x C
dx
dv x
E I dx dx w(x) dx C C x C
dx 2
x x
E I v dx dx dx w(x) dx C C C x C
6 2
=
= +
= + +
= + + +
= + + + +
∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
(11.15) 
 
Deflexão em vigas Pag. 49 
 
As constantes C1, C2, C3 e C4 são determinadas impondo as condições 
de contorno. Para o caso de w(x), V(x) e M(x) discontínuos, a solução pode 
ser achada para cada segmento da viga onde as funções são contínuas, 
impondo a continuidade de deflexão nos contornos comuns de cada 
segmento da viga. 
EXEMPLO 11.1: Achar a equação da curva elástica para uma viga 
simplesmente apoiada de comprimento L e de constante EI, com um 
carregamento uniforme wo. (a) determinar a deflexão a partir da equação de 
segunda ordem. (b) determinar a deflexão a partir da equação de quarta 
ordem. 
 
 
 
 
 
 
 
Caso (a): 
1 – Determinar as reações de apoio e a função de momento M(x). 
 
 
 
 
 
 
 
AM 0↵ =∑ , 
( )B o LR L w L 02− = , 
o
B
w LR
2
=
 
y
F 0↑ =∑ , ( ) oA o w LR w L 02− + = , 
o
A
w L
R
2
= 
 
w = - wo 
 L 
v(L)=0 
M(L)=0 
v(0)=0 
M(0)=0 
x 
 y,v 
wo L 
 L RA RB 
wo x 
 x RA 
V 
M 
 
Deflexão em vigas Pag. 50 
 
 
 
 
 
M 0↵ =∑ , ( )A o xR x w x M 02− + + = , 
2
o ow L x w xM
2 2
= − 
2 – Partindo da equação da curva elástica, e integrando duas vezes e 
aplicando as condições de contorno: 
22
o o
2
2 3
o o
3
3 4
o o
3 4
w L x w xd v
E I M
dx 2 2
w L x w xdv
E I C
dx 4 6
w L x w x
E I v(x) C x C
12 24
= = −
= − +
= − + +
 
 
Para x = 0, v(0) = 0 , C4 = 0 
Para x = L, v(L) = 0, 
3 4
o o
3
w L L w L
E I v(L) C L 0
12 24
= − + = , 
3
o
3
w L
C
24
= − 
( )3 3 4owv(x) L x 2Lx x
24 E I
= − − +
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Devido a simetria, a maior deflexão ocorre em x = L/2. Para casos mais 
gerais, 
dv
0
dx
= . Assim, vmax é: 
4
o
max
5 w L
v
384 E I
= − 
vmax 0 x 
 v 
 L/2 
 
Deflexão em vigas Pag. 51 
 
A inclinação da curva elástica, 
dv
dx
θ = , é da forma: 
2 3 3
o o ow L x w x w Ldv 1(x)
dx E I 4 6 24
 θ = = − − 
 
 
Para x = 0, 
3
ow L(0)
24E I
θ = − 
Para x = L, 
3
ow L(L)
24E I
θ = 
 
 
 
 
 
 
 
Caso (b): 
4
o4
d v
E I w(x) w
dx
= = − 
3
o 13
d v
E I w x C
dx
= − + 
2 2
o 1 22
d v x
E I w C x C M
dx 2
= − + + = 
Para x = 0, M(0) = 0, C2 = 0 
Para x = L, M(L) = 0, 
2
o 1
L
M(L) w C L 0
2
= − + = , 1 o
L
C w
2
= 
22
o o
2
w L x w xd v
E I M
dx 2 2
= = − 
 
O restante do problema é o mesmo que no caso (a). Neste caso nenhum 
cálculo preliminar das reações e da equação de momento é necessário. Este 
método pode ser vantajoso para alguns problemas estaticamente 
indeterminados. 
-woL3/24EI 
 0 x 
θ 
 
woL3/24EI 
 
Deflexão em vigas Pag. 52 
 
EXEMPLO 11.2: Achar a equação da curva elástica para uma viga 
simplesmente apoiada suporta uma força concentrada P, a uma distância a 
da extremidade A como mostra a figura abaixo. A rigidez em flexão E I é 
constante. 
 
 
 
 
 
 
 
Para o segmento AD (0 < x < a): 
 
 
 
 
2
2
d v P b
E I M x
dx L
= = 
2
2
2
1
3
1 2
d v P b
x
dx E I L
dv P b x
A
dx E I L 2
P b x
v A x A
E I L 6
=
= +
= + +
 
Condições de contorno: 
Para x = 0, v(0) = 0, A2 = 0, 
3
1
P b x
v A x
E I L 6
= + 
 
Para o segmento DB (a < x < L): 
 
 
 
 x Pb/L
 
V
 
M
 
 x Pa/L
 
M
 
P 
 L 
v(L)=0 
M(L)=0
v(0)=0 
M(0)=0 
 x 
 y,v 
B 
 b a 
RB = Pa/L 
RA = Pb/L 
 
Deflexão em vigas Pag. 53 
 
 
2
2
d v P a
E I M (L x)
dx L
= = − 
2
2
2
1
2 3
1 2
d v P a P a
x
dx E I E I L
dv P a P a x
x B
dx E I E I L 2
P a x P a x
v B x B
E I 2 E I L 6
= −
= − +
= − + +
 
Condições de contorno: 
Para x = L, v(L) = 0, 
2
1 2
P a L
v(L) B L B 0
E I 3
= + + = 
Para x = a, v(segmento AD) = v(segmento DB) 
3 2 3
1 1 2
P b a P a a P a a
A a B a B
E I L 6 E I 2 E I L 6
+ = − + + 
Para x = a, (
dv
dx
θ = (segmento AD)) = ( dv
dx
θ = (segmento DB)) 
2 2
1 1
P b a P a P a a
A a B
E I L 2 E I E I L 2
+ = − + 
Solução: 
( )2 21 P bA L b6 E I L= − − , ( )2 21
P b
B 2L a
6 E I L
= − + , 
3
2
P a
B
6 E I
= 
Equação da curva elástica para o segmento AD: 
( )3 2 2P bv x L b x
6 E I L
 = − −  
Equação da curva elástica para o segmento DB: 
( )2 3 32 2P a x P a x P b P av 2L a x
E I 2 E I L 6 6 E I L 6 E I
= − − + + 
Se a > b, a maior deflexão se dará no segmento AD, logo: 
dv
0
dx
= (segmento AD) ⇒
( )2 2L b
x
3
−
= 
A maior deflexão será então: 
( )
( )
3/22 2
max
P b L b
v
9 3 E I L
−
= 
 
Deflexão em vigas Pag. 54 
 
Se a força P fosse aplicada no centro do vão onde a = b = L/2, a maior 
deflexão seria:3
max
P L
v
48 EI
= 
EXEMPLO 11.3: Determine a deflexão do ponto C e as reações de apoio da 
viga mostrada abaixo pelo método que achar mais conveniente. O apoio no 
ponto B resiste somente à esforços verticais. Considere E = 200 GPa e I = 
4,25 x 106 mm4 
 
 
 
 
 
 
 
Trecho A-B: 
A AM 0, M M R x 0↵ = − + =∑ 
A AM R x M= − + (N.m) (1) 
 
Substituindo (1) na equação diferencial de vigas: 
2
A A2
d v
EI M R x M
dx
= = − + 
2
A A 1
dv x
EI R M x C
dx 2
= − + + (2) 
3 2
A A 1 2
x x
EI v(x) R M C x C
6 2
= − + + + (3) 
Impondo as condições de contorno: 
Para x = 0, A 2v(0) v 0 C 0= = ⇒ = 
Para x = 0, A 1(0) 0 C 0θ = θ = ⇒ = 
Para x = 200 mm, v(0,2m) = vB = 0: 
A 
200 mm 
 500 N 
B 
C 
200 mm 
x 
y 
 x 
RA 
 A 
 M 
MA 
 
Deflexão em vigas Pag. 55 
 
3 2
A A
0,2 0,2
0 R M
6 2
= − + 
A AR 15M= 
 
Impondo o equilíbrio de esforços: 
A AB
M 0, R .0,2 M 500.0,2 0↵ = − − =∑ 
A A15.M .0,2 M 500.0,2 0− − = 
MA = 50 Nm 
RA = 750 N 
 
A By
F 0, R R 500 0↑ = − + − =∑ 
RB = 1250 N 
 
Determinando a inclinação em B pelo Trecho AB: 
2
A A 1
dv x
EI R M x C
dx 2
= − + + 
( )
2
A A
dv 0,2
EI x 200mm R M 0,2
dx 2
= = − + 
( )dvEI x 200mm 5
dx
= = − 
 
Trecho B-C: 
( )M 0, M 500 0,2 x 0↵ = + − =∑ 
M 500x 100= − (N.m) (4) 
 
Substituindo (4) na equação diferencial de vigas: 
2
2
d v
EI M 500x 100
dx
= = − 
2
3
dv x
EI 500 100x C
dx 2
= − + (5) 
3 2
3 4
x x
EI v(x) 500 100 C x C
6 2
= − + + (6) 
 
 x 
 500 N 
 C 
 
0,2 - x 
 
Deflexão em vigas Pag. 56 
 
Impondo as condições de contorno: 
Para x = 0, θB: 
( ) ( )
BC AB
dv dv
EI x 0 EI x 200mm 5
dx dx
= = = = − 
( ) 3
BC
dv
EI x 0 5 C
dx
= = − = 
Para x = 0, v(0) = vB = 0 ⇒ C4 = 0 
 
Logo, a equação de deflexão no trecho B-C é: 
3 2x x
EI v(x) 500 100 5x
6 2
= − − (7) 
 
A deflexão no ponto C é: 
3 2
9 6
C
0,2 0,2
200.10 .4,25.10 . v 500 100 5.0,2
6 2
−
= − − 
4
C85.10 . v 2,333= − 
vc = - 2,745.10-3 mm 
1111..66 –– MMÉÉTTOODDOO DDAA SSUUPPEERRPPOOSSIIÇÇÃÃOO DDEE EEFFEEIITTOOSS 
A equação diferencial 
4
4
d v
EI w(x)
dx
= satisfaz duas condições 
necessárias para aplicar o princípio da superposição, isto é, w(x) é linear 
com relação a v(x) e o carregamento é assumido não mudar a geometria 
original da viga. Logo, as deflexões devido a uma série de carregamento 
atuando na viga, podem ser superpostas. 
EXEMPLO 11.4: Determine o deslocamento no ponto C e a inclinação no 
suporte A da viga apresentada abaixo. EI é constante. 
 
 
 
Deflexão em vigas Pag. 57 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A partir da Tabela 1, o deslocamento no ponto C e a inclinação no ponto 
A são: 
a) Para a carga distribuida: 
( )
3 3 2
A 1
3 w L 3 (2 kN/m) (8 m) 24 kNm
128 E I 128 E I E I
θ = = = 
( )
4 4 3
C 1
5 w L 5 (2 kN/m) (8 m) 53,33 kNm
v
768 E I 768 E I E I
= = = ↓ 
b) Para a carga concentrada: 
( )
2 2 2
A 2
P L (8 kN) (8 m) 32 kNm
16 E I 16 E I E I
θ = = = 
( )
3 3 3
C 1
P L (8 kN) (8 m) 85,33 kNm
v
48 E I 48 E I E I
= = = ↓ 
O deslocamento total no ponto C e a inclinação no pontoA é a soma 
algébrica de cada carregamento calculado separadamente: 
( ) ( )
2
A A A1 2
56 kNm
E I
θ = θ + θ = 
( ) ( )
3
C C C1 2
139 kNm
v v v
E I
= + = ↓ 
8 kN 
A B 
4 m 4 m 
2 kN/m 
vC θA 
= 
4 m 4 m 
(θA)
A B 
8 kN 
(vC)2 
(θA)
A B 
2 kN/m 
(vC)1 
+ 
4 m 4 m 
 
Deflexão em vigas Pag. 58 
 
Tabela 1 - Vigas bi-apoiadas 
Viga Inclinação Deslocamento Linha elástica 
θ = −
2
max
PL
16EI
 = −
3
max
PL
v
48EI
 
( )= − −2 2Pxv 3L 4x
48EI
 
≤ ≤0 x L /2 
( )+θ = −1 Pab L b6EIL
 
( )+θ =2 Pab L a6EIL
 
( )
=
= − − −
2 2 2
x a
Pba
v L b a
6EIL
 
( )= − − −2 2 2Pbxv L b x
6EIL
 
≤ ≤0 x a 
( ) ( )2 2Pa L xv x a 2Lx
6EIL
−
= − − − −
 
a x L≤ ≤ 
θ = −1
ML
3EI
 
θ =2
ML
6EI
 
= −
2
max
ML
v
243EI
 ( )= − − −2 2Mxv x 3Lx 2L
6EIL
 
θ = −
3
max
wL
24EI
 = −
4
max
5wL
v
384EI
 ( )= − − +3 2 3wxv x 2Lx L
24EI
 
θ = −
3
1
3wL
128EI
 
θ =
3
2
7wL
384EI
 
=
= −
4
x L/2
5wL
v
768EI
 
= −
4
max
wL
v 0,006563
EI
 
em x = 0,4598L
 
( )= − − +3 2 3wxv 16L 24Lx 9L
384EI
 
≤ ≤0 x L /2
 ( )= − − + −3 2 2 3wLv 8x 24Lx 17L x L
384EI
≤ ≤L /2 x L 
θ = −
3
1
7wL
360EI
 
θ =
3
2
wL
45EI
 
= −
4
max
wL
v 0,00652
EI
 
em x = 0,5193L
 
( )= − − +4 2 2 4wxv 3L 10L x 7L
360EIL
 
 
 
 
 
Deflexão em vigas Pag. 59 
 
Tabela 2 - Vigas engastadas-livres 
Viga Inclinação Deslocamento Linha elástica 
 
θ = −
2
max
PL
2EI
 = −
3
max
PL
v
3EI
 ( )= − −2Pxv 3L x
6EI
 
 
θ = −
2
max
PL
8EI
 
= −
3
max
5PL
v
48EI
 
( )= − −2 32Pxv L x6EI
 
≤ ≤0 x L /2
 ( )= − −2 12PLv 3L x24EI
 
≤ ≤L /2 x L 
 
θ = −
3
max
wL
6EI
 = −
4
max
wL
v
8EI
 ( )= − − +2 2 2wxv x 4Lx 6L
24EI
 
 
θ =max
ML
EI
 =
2
max
ML
v
2EI
 = −
2Mx
v
2EI
 
 
θ = −
3
max
wL
48EI
 = −
4
max
7wL
v
384EI
 
( )= − − +2 2 232wxv x 2Lx L24EI
 
≤ ≤0 x L /2
 ( )= − −3 L 2wLv 4x
192EI
 
≤ ≤L /2 x L 
 
θ = −
3
max
wL
24EI
 = −
4
max
wL
v
30EI
 
(= − − + −2 3 2 2 3wxv 10L 10L x 5Lx x
120EIL
 
 
 
 
 
Deflexão em vigas Pag. 60 
 
EXEMPLO 11.5: Determine o deslocamento na extremidade C da viga 
apresentada abaixo. EI é constante. 
 
 
 
 
 
 
Como tabelas não incluem vigas com extremidades em balanço, a viga 
pode ser separada numa viga simplesmente apoiada e em outra engastada-
livre. 
Viga simplesmente apoiada com carga distribuida: 
 
 
 
 
 
 
 
( )
3 3 2
B 1
w L (5 kN/m) (4 m) 13,33 kNm
24 E I 24 E I E I
θ = = = 
Como o ângulo é pequeno, (θB)1 ≈ tan (θB)1, o deslocamento no ponto C é: 
( )
2 3
C 1
13,33 kNm 26,67 kNm
v (2m)
E I E I
 
= = 
 
↑ 
A força concentrada aplicada no ponto C pode ser aplicada no ponto B 
além de um binário: 
 
 
 
 
 
 
10 kN 
A C 
4 m 2 m 
5 kN/m 
= 
B 
(θB)1 
A 
C 5 kN/m 
+ 
B 
(vC)1 
(θB)1 
4 m 2 m 
4 m 2 m 
(θB)2 A 
10 kN 
+ 
B (vC)2 
(θB)2 20 kN/m 
 
Deflexão em vigas Pag. 61 
 
( )
2
o
B 2
M L (20 kN.m) (4 m) 26,67 kN.m
3 E I 3 E I E I
θ = = = 
Considerando o ângulo pequeno, (θB)2 ≈ tan (θB)2, o deslocamento no 
ponto C é: 
( )
2 3
C 2
26,67 kN.m 53,33 kNm
v (2m)
E I E I
 
= = 
 
↓ 
A força concentrada aplicada no ponto C para uma viga engastada-livre: 
 
 
 
 
 
 
( )
3 3 3
C 3
P L (10 kN.m) (2 m) 26,67 kN.m
v
3 E I 3 E I E I
= = = ↓ 
O deslocamento total no ponto C é a soma algébrica de cada 
carregamento calculado separadamente: 
( ) ( ) ( )
3
C C C C1 2 3
26,7 53,3 26,7 53,3 kN.m
v v v v
E I E I E I E I
= + + = − + + = ↓ 
EXEMPLO 11.6: Determine a rigidez K da mola de maneira que não haja 
deflexão no Ponto C. EI é constante. 
 
 
 
 
 
 
a) Deflexão do Ponto C considerando a viga rígida: 
 
 
 
10 kN 
(vC)
C 
2 mB 
w 
A 
B 
C 
 b L 
K 
 
Deflexão em vigas Pag. 62 
 
 
 
 
 
 
AM 0↵ =∑ , B
w L
R
2
= 
B BR k.v= , B
w L
v
2 K
= 
Por semelhança de triangulos: C1 B
(L b)
v v
L
+
= , C1
w
v (L b)
2 K
= + 
b) Deflexão do Ponto C considerando a viga deformável: 
 
 
 
 
 
 
 
Da tabela: 
3
B
w L
24 EI
θ = , 
3
C2 B
w L b
v b
24 EI
= θ = 
Vc1 – Vc2 = 0 , 
3w w L b
(L b) 0
2 K 24 EI
+ − = , 3
12 EI
K (L b)
L b
= +
 
EXEMPLO 11.7: Determinar a inclinação no ponto A e a deflexão no ponto C 
da viga apresentada abaixo. Considerar EI constante. 
 
 
 
 
 
 
w 
A 
B C 
RB 
K vC1 
 b L 
w 
 b 
A 
B 
C 
RB 
K 
vC2 
 b L 
A 
wo 
B 
 x 
 v 
L/2 L/2 
C 
 
Deflexão em vigas Pag. 63 
 
Como tabelas não incluem vigas com extremidades em balanço, a viga 
pode ser separada numa viga simplesmente apoiada e em outra engastada-
livre. 
 
 
 
 
 
 
 
A inclinação na extremidade direta de uma viga com uma carga 
concentrada em um ponto distante a da extremidade é: 
A
Pab
(L b)
6EIL
θ = − +
 
Se a carga P é w(x).dx e a equação da carga distribuída é: 
( ) o xw x w L
2
=
 
A inclinação no ponto A pode ser calculada da forma: 
( ) ( )
L/2
A o
0
x L xx
w L L x dx
L 6EIL
2
−
θ = − + −∫
 
( ) ( )
L/2
2o
A 2
0
w
x L x 2L x dx
3EIL
θ = − − −∫
 
( )
L/2
2 2 3 4o
A 2
0
w
2L x 3Lx x dx
3EIL
θ = − − +∫
 
33 4 5
2o o
A 2 3 4 5
w 41w LL L L
2L 3L
3EIL 3.2 4.2 5.2 2880EI
 θ = − − + = − 
  
A deflexão no ponto médio de uma viga com uma carga concentrada em 
um ponto distante a da extremidade é: 
( ) ( )2 2Pa L xv x a 2Lx
6EIL
−
= − − − −
 
Se a carga P é w(x).dx, a deflexão no ponto C pode ser calculada da 
forma: 
C 
A 
wo 
B 
 x 
 v 
x dx 
 
Deflexão em vigas Pag. 64 
 
( ) ( )
L/2
2 2
C o
0
x L xx
v w x x 2Lx dx
L 6EIL
2
−
= − − − −∫
 
( ) ( )
L/2
2 2o
C 2
0
w
v x L x 2x 2Lx dx
3EIL
= − − − −∫
 
( )
L/2
5 2 3o
C 2
0
2w
v x L x dx
3EIL
= − −∫
 
33 4 5
2o o
A 2 3 4 5
w 41w LL L L
2L 3L
3EIL 3.2 4.2 5.2 2880EI
 θ = − − + = − 
  
 
 
1111..77 –– VVIIGGAASS EESSTTAATTIICCAAMMEENNTTEE IINNDDEETTEERRMMIINNAADDAASS –– MMÉÉTTOODDOO DDAA 
IINNTTEEGGRRAAÇÇÃÃOO DDIIRREETTAA 
Vigas estaticamente indeterminadas são aquelas que apresentam um 
número de reações incógnitas maior doque o número de equações de 
equilíbrio. As reações excedentes são chamadas de redundantes e não são 
necessárias para manter o equilíbrio estático. O número de reações 
redundantes classifica o grau de redundância da viga. 
Para determinar as reações nas vigas estaticamente indeterminadas, 
é preciso especificar as reações redundantes e determina-las a partir das 
condições de compatibilidade da viga. Feito isto, as reações restantes são 
determinadas pelo equilíbrio estático. 
O método da integração parte da equação diferencial: 
2
2
d v M
dx E I
= , 
onde M pode ser expresso em termos das redundantes. Após a integração, as 
constantes de integração e as redundantes podem ser determinadas pelas 
condições de contorno e continuidade do problema. 
EXEMPLO 11.7: Determine a reação em A para a viga estaticamente 
indeterminada como apresentada abaixo. EI é constante. 
 
Deflexão em vigas Pag. 65 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de corpo livre: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A reação no ponto A pode ser considerada redundante e o momento 
interno pode ser expresso em função desta reação: 
 
 
 
 
 
AM 0↵ =∑ , 
2
o
Ay
w x xM . R .x 0
2L 3
+ − =
 , 
3
o
Ay
w xM R .x
6L
= −
 
Aplicando a equação do momento interno na equação diferencial da 
curva elástica: 
32
o
Ay2
w xd v
E I R .x
dx 6L
= − 
2 4
o
Ay 1
wdv x x
E I R . C
dx 2 6L 4
= − + 
L 
A B 
wo 
x
A 
wox2/2
RAy 
V 
M
2L/3 
A 
B 
woL/2 
L/3 RAy RBy 
RBx 
MB 
 
Deflexão em vigas Pag. 66 
 
3 5
o
Ay 1 2
wx x
E I v R . C x C
6 24L 5
= − + + 
As incógnitas RAy, C1 e C2 são determinadas a partir das condições de 
contorno: 
Para x = 0, v = 0; C2 = 0 
Para x = L, 
dv
0
dx
= ; 
2 4
o
Ay 1
wdv L L
E I (x L) R . C 0
dx 2 6L 4
= = − + = 
Para x = L, v = 0; 
3 5
o
Ay 1
wL L
E I v R . C L 0
6 24L 5
= − + = 
A solução é: 
o
Ay
w L
R
10
= , 
3
o
1
w L
C
120
= − 
Aplicando as equações de equilíbrio estático, as reações restantes são: 
BxR 0= , 
o
By
4 w L
R
10
= , 
2
o
B
w L
M
15
= 
EXEMPLO 11.8: Determine as reações nos suportes para a viga 
estaticamente indeterminada como apresentada abaixo. EI é constante. 
 
 
 
 
 
Diagrama de corpo livre: 
 
 
 
 
 
Devido a simetria, da equação de equilíbrio yF 0=∑ tem-se que: 
A B
w L
R R
2
= = 
w.L 
MB=M’ RB MA=M’ 
w 
 L 
A 
 
Deflexão em vigas Pag. 67 
 
A única redundante é M’, a qual pode ser expressa em função do 
momento interno M: 
 
 
 
 
 
 
AM 0↵ =∑ , 
x w L
M w x x M' 0
2 2
+ − + = , 
2w L w x
M x M'
2 2
= − − 
Substituindo na equação diferencial da curva elástica: 
2 2
2
d v w L w x
E I x M'
dx 2 2
= − − 
2 3
1
dv w L x w x
E I M'x C
dx 2 2 2 3
= − − + 
3 4 2
1 2
w L x w x x
E I v M' C x C
4 3 6 4 2
= − − + + 
As incógnitas M’, C1 e C2 são determinadas a partir das condições de 
contorno: 
Para x = 0, v = 0; C2 = 0 
Para x = 0, 
dv
0
dx
= ; C1 = 0 
Para x = L, v = 0; 
3 4 2w L L w L L
E I v M' 0
4 3 6 4 2
= − − = , 
2w L
M'
12
= 
 
A condição 
dv
0
dx
= para x = L pode ser verificada substituindo o valor de 
M’ na curva de inclinação da viga. 
EXEMPLO 11.9: A viga mostrada na figura tem rigidez E1I1 constante e está 
rigidamente apoiada em uma parede (apoio B) e suspensa pela barra AC de 
seção circular (apoio A). Se a barra tem área de seção transversal A2 e seu 
material tem módulo de elasticidade E2, determine a força sobre ela atuante. 
x 
A 
w.x 
RAy=wL/2 
V 
M 
 
Deflexão em vigas Pag. 68 
 
 
 
 
 
 
 
Deslocamento do ponto A pela barra AC: 
AC 2
A
2 2
P L
v
E A
= − (1) 
Considerando a viga AB: 
2
AC
x
M 0, M w P x 0
2
↵ = + − =∑ 
2
AC
x
M w P x
2
= − + (2) 
Substituindo (2) na equação diferencial de vigas: 
2 2
1 1 AC2
d v x
E I M w P x
dx 2
= = − + 
3 2
1 1 AC 1
dv x x
E I w P C
dx 6 2
= − + + (3) 
4 3
1 1 AC 1 2
x x
E I v(x) w P C x C
24 6
= − + + + (4) 
Impondo as condições de contorno: 
Para x = 0, AC 2A
2 2
P L
v(0) v
E A
= = − : 
AC 2
2 1 1
2 2
P L
C E I
E A
= − 
Para x = L1, θ(L1) = 0: 
( )
3 2
1 1
1 1 1 AC 1
L L
E I L w P C 0
6 2
θ = − + + = 
3 2
1 1
1 AC
L L
C w P
6 2
= − 
Para x = L1, v(L1) = 0: 
 L1 
L2 
 A 
 w 
 
 E1I1 
 E2A2 
 x 
PAC 
 A 
 M 
 w 
 
Deflexão em vigas Pag. 69 
 
4 3
1 1
1 1 1 AC 1 1 2
L L
E I v(L ) w P C L C 0
24 6
= − + + + = 
�
4 3 3 2
AC 21 1 1 1
AC AC 1 1 1
2 2
P LL L L L
w P w P L E I 0
24 6 6 2 E A
 
− + + − − = 
 
 
�
4 4 3 3
AC 21 1 1 1
AC AC 1 1