Funções Matemáticas: Conceito e Domínio

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Capítulo 2 – Funções 
 
 
2.1. Conceito: observe o exemplo 
A tabela mostra a distribuição dos preços do quilo do contrafilé no decorrer dos meses no ano de 2003. 
Mês 
(t) 
Jan. 
1 
Fev. 
2 
Mar. 
3 
Abr. 
4 
Maio 
5 
Jun. 
6 
Jul. 
7 
Ago. 
8 
Set. 
9 
Out. 
10 
Nov. 
11 
Dez. 
12 
Preço 
(p) 
R$ 
10,70 10,75 10,80 10,88 10,95 11,01 11,08 11,14 11,20 11,28 11,36 11,45 
 
A cada mês, observamos um preço da carne. Assim, podemos dizer que a cada preço p, está 
associado a um mês t, ou ainda que o preço depende do mês que escolhemos. 
Se substituirmos cada mês por um número, podemos entender a relação entre o mês e o preço como 
uma associação entre duas variáveis numéricas. 
Vale ressaltar que, a cada valor da variável “mês”, temos um único valor da variável “preço” 
associado, o que caracteriza uma função matemática. 
Nesse contexto, a variável t é chamada de independente e a variável p é chamada dependente; o 
conjunto dos valores possíveis para a variável independente é o domínio da função; a imagem da função é o 
conjunto dos valores da variável dependente que foram associados à variável independente. 
As funções também são representadas por fórmulas matemáticas que relacionam as variáveis. 
 
Matematicamente: uma função f de um conjunto A em um conjunto B é uma correspondência que associa a 
cada elemento x de A exatamente um elemento y de B. O conjunto A é chamado domínio (conjunto 
independente) de f e o conjunto B é o contradomínio (conjunto dependente) . O conjunto de todos os valores 
assumidos pela função é chamado conjunto imagem. 
 
Exemplo: 
1. Considere A 
g
B a função para a qual A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {-2, -1, 0, 1, 4, 7, 10} e g(x) é o triplo 
de x diminuído de 2 para todo x

A. 
 
a) Considere o diagrama de flechas da função: 
b) Determine D(g), CD(g) e Im(g): 
c) Determine g(3): 
d) Determine x para o qual g(x) = -2: 
 
2. Considere a função f definida pela regra f(x) = 2x
2
 – 3x + 1. Calcule: 
a) f (1) 
b) f(2/3) 
c) f(a+b) 
 
3. A receita R na venda de q unidades de um produto é dada por R=2q. 
a) Determine a receita quando são vendidas 10 e 40 unidades do produto. 
b) Quantas unidades foram vendidas, se a receita foi de R$ 50. 
c) Esboce o gráfico da receita. 
d) A função é crescente ou decrescente? 
 
Exercícios 
 
1. Se f(x) = x
2
 – 4 , determine: 
 x – 1 
 
a) f(0) = 
2 
 
b) f(1/2) = 
c) f(x-2) = 
 
2. Se f(x) = 3x –1 , determine: 
 x – 7 
 
a) 5 f(-1) –2 f(0) +3 f(5) = 
 7 
b) f(2t) + f(5+ t) = 
 
3. Uma livraria vende uma revista por R$ 5,00 a unidade. Seja x a quantidade vendida. 
a) Obtenha a função receita R (x) (lembre-se receita = preço x quantidade) 
b) Calcule R (40). 
c) Qual a quantidade que deve ser vendida para das uma receita de R$ 700. 
 
4. O custo de fabricação de x unidades de um produto é dado pela função C(x)=100+2x. 
a) Qual o custo de fabricação de 10 unidades? 
b) Esboce o gráfico da função custo. 
 
5. Um vendedor de assinaturas de uma revista ganha R$ 400 de salário fixo mensal, mais uma comissão de 
R$ 50 por assinatura. Sendo x o número de assinaturas vendidas por mês, expresse seu salário total S como 
função de x. 
 
6. O custo C para a produção de q unidades de um produto é dado por C (q) = 3q + 60. 
a) Determine o custo quando são produzidos 5 e 15 unidades. 
b) Esboce o gráfico da função. 
c) Qual o significado do valor encontrado para C quando q=0? 
d) A função é crescente ou decrescente? Justifique. 
 
7. A Companhia Thermo-Master fabrica um certo tipo de termômetro em sua subsidiária mexicana. A 
gerência estima que o lucro (em dólares) que essa companhia pode alcançar na fabricação e venda de x 
termômetros por semana é P(x) = - 0,001x
2
 + 8x - 5000. Determine o lucro semanal da Thermo-Master 
quando seu nível de produção é de 1000 termômetros por semana 
. 
 
2.2. Domínio da função 
Suponhamos que nos é dada uma função f. Para determinarmos o domínio de uma função, precisamos 
encontrar quais restrições devem ser colocadas sobre a variável independente x, caso existam. 
Em geral, se uma função é definida por uma regra relacionando x a f(x) sem menção explícita de seu 
domínio, entende-se que o domínio consistirá em todos os valores de x para os quais f(x) é um número real. 
Com relação a isso, você deve ter em mente que: 
1) divisão por zero não é permitida; 
2) a raiz quadrada (ou qualquer de índice par) de um número negativo não está definida. 
 
Exemplo 
Determine o domínio das funções : 
a) f(x) = 1/ x+2 
b) f(x) = √ 3x - 6 
c) y = - √ x – 1 
d) y = 8 
 3x – 6 
e) y =  x2 – 7x + 10 
 
3 
 
Exercícios 
1. Determine o domínio das funções: 
a) y =  4 – x2 
 
b) y = 1/ (x-4) 
 
c) y =  x – 2 
 
d) y =  3 + x + 4 7 – x 
 
e) y = 6x + 8 
 
f) f(x) = 3x2 + 10x + 1 
 
g) f(x) = 2 
 1 – x 
 
 h) y = x + 1 
 x 
i) f(x) = √ x2 – 11x + 10 
 
j) y = 3 √ x2 – 9x 
 
k) f(x) = 6 
 x
2
 – 6x + 8 
 
 
 
2.3. Tipos de funções e suas aplicações: 
 
a) Função Constante: é toda função do tipo f(x) = k, em que k é uma constante real. A representação gráfica 
será sempre uma reta paralela ao eixo x, passando por y= k. 
D = R y 
Im = {k} 
 
 k 
 
 
 x 
 
 
b) Função do 1º grau ou Afim: é toda função do tipo f(x) = ax + b, sendo a e b constantes reais com a  0. O 
gráfico dessa função é uma reta, onde “a” dá a inclinação da reta e o termo independente “b” representa o 
ponto em que a reta corta o eixo vertical. 
D = R y 
Im = R 
 
 
 
 x 
 
 
A tabela abaixo traz o custo para a produção de camisetas 
4 
 
Quantidade (q) 0 5 10 20 50 
Custo (C) R$ 100 110 120 140 200 
 
 
A função custo é obtida pela relação C = 2q + 100 
a = 2 
b = 100 C 
 
 
 100 
 
 
 
 q 
Deve-se lembrar que: 
Custo total é custo fixo mai custo variável C = Cf + Cv 
Receita é preço multiplicado pela quantidade R = p . q 
Lucro é a receita menos o custo L = R – C 
 
 
c) Função do 2º grau ou Quadrática: é toda função do tipo f(x) = ax
2
 + bx + c, sendo a, b e c constantes reais 
com a  0. O gráfico dessa função é uma curva chamada parábola. Os eventuais pontos de intersecção da 
parábola com o eixo x são obtidos fazendo f(x)= 0 (calcula-se x’ e x”). Com relação ao vértice teremos: 
xv = - b / 2a e yv = -  / 4a 
 y 
D = R 
Im = {R / y  yv} 
 
 
 x 
 x’ x” 
 
 V(xv, yv) 
d) Função Polinomial: é toda função cuja imagem é um polinômio de variável x, isto é, f é uma função 
polinomial de grau n. 
O gráfico de funções polinomiais de grau 3 (ou maior que 3) não é feito com recursos elementares; utilizam-
se habitualmente os conceitos de derivadas e limites que veremos nos próximos capítulos. Uma ferramenta 
que costuma ser utilizadaquando se quer saber o comportamento gráfico de uma função, num intervalo do 
domínio, consiste em atribuir valores para x dentro do intervalo, de forma que os valores de x estejam 
próximos uns dos outros. 
 y 
D = R 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
e) Função Racional: é toda função representada pelo quociente (fração) de dois polinômios, sendo o 
denominador um polinômio não nulo. 
O aspecto do gráfico dessa função é uma hipérbole. 
 
 
y 
 
 
 
 x 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Faça o esboço do gráfico das seguintes funções: 
a) y = 2x – 1 
b) y = x2 – 2x + 1 
c) y = 1 / x 
d) Seja f: R  R definida por f(x) = -2 , x  -3 
 x
2
 , - 3 < x  3 
 2x , x > 3 
 
 
2) Verifique se o conjunto de pontos é gráfico de uma função 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Já vimos que, para ter uma função de A em B, a cada x

A deve corresponder um único y

B. 
Geometricamente, isso significa que qualquer reta perpendicular ao eixo x que intersecta o gráfico deve 
fazê-lo uma única vez. Assim, se essa reta intersectar o gráfico em mais de um ponto, esse gráfico não é 
gráfico de uma função. Nesse exemplo, o gráfico é de uma função. 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico acima não é de uma função. 
6 
 
Exercícios 
 
1) Determine se cada um dos gráficos abaixo representa uma função: 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
2. Construir o gráfico das funções: 
 
a) y = -3x 
b) y = x – 1 
c) y = ½ x2 
d) y = x2 – 5x + 6 
e) y = x3 – 1 
f) y = 5 / (x-2) 
 
3. Dada a função f(x) = 2x – 3, obtenha f(-4). 
 
4. Dada a função f(x) = mx + 3, determine m sabendo-se que f(1) = 6. 
 
5. Qual o gráfico da função y = 3, sendo D = R? 
 
Exercícios Complementares 
 
1. Uma dúzia de laranjas custa R$ 1,80. Se comprarmos x dúzias, deveremos pagar y reais. Então, a quantia 
y que pagamos é dada em função da quantia x de laranjas que compramos. Nestas condições, responda: 
a) Qual é a fórmula matemática que define essa função? 
b) Quanto pagaremos se comprarmos 5 dúzias de laranjas? 
c) Qual é a imagem do número real 5 pela função? 
 
2. Expresse o texto por meio de uma função. Dê uma expressão matemática, o domínio, a imagem e faça a 
representação gráfica. 
“Um trabalhador recebe R$ 380,00 mais R$2,00 por bola de futebol que costura. O seu salário mensal “s” 
está determinado pelo número de bolas n que costura. Ele consegue costurar um mínimo de 20 e um máximo 
de 30 bolas por mês”. 
 
 
3. Dada a função f(x) = ax + b, determine a expressão: 
a) f(0)= 
b) f(5) = 
c) f(1) + f(2) 
7 
 
d) f(5) – f(1) = 
 5 – 1 
e) f(5) – f(2) = 
 5 – 2 
 
4. Dada a função f(x) = ax
2
 + bx + c , determine a expressão: 
a) f(0) = 
b) f(3) = 
c) f(5) – f(3) = 
 5 – 3 
d) f(5) – f(1) = 
 5 – 1 
 
5. Sejam f e g funções de R em R definidas por f(x) = 1 – 2x e g(x) = 2x – 1, respectivamente. Nestas 
condições calcule o valor de f ( g(-2) ). 
 
6. Sendo f(x) = x
3
 + 1 e g(x) = x – 2, determine g ( f(0) ). 
 
7. Dada a função y = x
2
 – x – 4, determine a imagem do número real 5 dessa função. 
 
8. Dada a função y = - x
2
 + 2x + 7, determine o número real x cuja imagem da função é -1. 
 
9. Construir o esboço gráfico das funções: 
a) f(x) = x2 – 9x + 14 
 
b) y = 2x + 3 
 
c) f(x) = 20 – 4x , x  [0,6] 
 
d) y = 10 , x  [0,5] 
 2x + 5 
 
e) f(x) = -x2 +4x –4 
 
f) f(x) = x3 
 
g) f(x) = 0, se x < 0 
 1/2, se x = 0 
 1, se x > 0 
 
 
h) f(x) = x3, se x  0 
 1, se 0 < x < 2 
 x
2
, se x  2 
 
 
10. Obtenha o domínio das seguintes funções: 
 
a) y = 1 + 3 
 x x - 3 
 
b) y =  x2 – 6x 
 
8 
 
c) y = 4 
  x – 1 
 
d) y =  2x – 6 + 3 
 x 
 
 
11) Considerando o gráfico a seguir, que representa uma função, responda: 
 
 a) Qual o domínio e a imagem da função? 
 b) Em que intervalos a função é crescente? 
 c) Em que intervalo a função é decrescente? 
 d) f (1) é maior, menor ou igual a f(4)? 
 e) Qual o valor de 
)2()3(
)5(
ff
f

? 
 f) Quais são os zeros ou raízes da função? 
 g) Qual é o valor mínimo de f ?