Estatística Básica

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Medidas de Dispersão 
 
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Introdução 
 
Os fenômenos em cuja análise intervém o método estatístico, bem como os 
dados estatísticos a eles referentes, caracterizam-se tanto pela sua semelhança 
quanto pela sua variabilidade. Assim é que o cálculo de um promédio só se 
justifica em razão dessa variabilidade presente na natureza. Não há razão 
alguma para se calcular a média de um conjunto de dados onde não haja 
variação desses elementos. Ocorre, todavia que, se a variabilidade dos dados 
for muito grande, sua média terá um grau de confiabilidade tão pequeno que 
será inútil calcula-la. 
É importante ressaltar nessa altura que a análise completa dos dados requer 
não apenas sua apresentação, através de gráficos e tabelas, ou o cálculo de 
promédios ou outras medidas de posição. Caracterizar um conjunto de valores 
apenas através de uma média, por exemplo, é descreve-lo inadequadamente, 
uma vez que os dados diferem entre si em maior ou menor grau. Para avaliar o 
grau de variabilidade ou dispersão dos valores de um conjunto numérico, 
lançaremos mão das estatísticas denominadas medidas de dispersão. Essas nos 
proporcionarão um conhecimento mais completo do fenômeno a ser analisado, 
permitindo estabelecer comparações entre os fenômenos de mesma natureza e 
mostrando até que ponto os valores se distribuem acima ou abaixo da 
tendência central. 
 
Iremos a tratar as seguintes medidas de dispersão absoluta: 
 
a) Amplitude total, 
b) Desvio médio, 
c) Variância e desvio–padrão. 
 
Amplitude Total ou Intervalo Total. 
 
Símbolo: At 
 
Definição: A amplitude total de um conjunto de números é a diferença entre 
os valores extremos do conjunto. 
 
 
 
 
 
 
Medidas de Dispersão 
 
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Exemplo: 
Calcular a amplitude total dos seguintes conjuntos de números: 
 
}5,3,2,3,4{
}23,22,21,20,19,18,17{
}45,34,25,20,13,12,10{



C
B
A
 
 
Para o conjunto A, temos At = 45–10=35 
 
Se os dados vierem dispostos em uma tabela de freqüências, com os valores 
agrupados em classes, há duas formas de se verificar a amplitude total: 
 
Primeiro método: At = Ponto médio da última classe – Ponto médio da 
primeira classe. 
Segundo Método: At = Limite superior da última classe – Limite inferior da 
primeira classe. 
 
Exemplo 
 
Calcular a amplitude total dos valores dispostos na tabela. 
 
Classes fj xj 
10 |––20 5 15 
20 |––30 12 25 
30 |––40 20 35 
40 |––50 14 45 
50 |––60 10 55 
60 |––70 4 65 
 n= 65 
 
Restrições ao uso da Amplitude Total 
 
Embora a amplitude total seja a mais simples das medidas de dispersão, há 
uma forte restrição ao seu uso em virtude de sua grande instabilidade, uma vez 
que ela leva em conta apenas os valores extremos da série. 
 
 
 
 
 
Medidas de Dispersão 
 
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Desvio Médio 
 
Símbolo: Dm 
 
O desvio médio dos desvios é igual à medida aritmética dos valores absolutos 
dos desvios tomados em relação a uma das seguintes medidas de tendência 
central: media ou mediana. 
 
a) Desvio Médio para dados brutos 
 
Quando os valores não vierem dispostos em uma tabela de freqüências, o 
desvio médio será calculado, de acordo com a definição, através do emprego 
de uma das fórmulas seguintes: 
 
n
xx
D
n
i
i
m



 1
 , onde di = (xi - x )= desvio em relação à média aritmética. 
 
n
Mdx
D
n
i
i
m



 1 , onde di =(xi - Md)=desvio em relação à mediana. 
 
b) Desvio Médio para Dados Tabulados 
 
Se os valores vierem dispostos em uma tabela de freqüências, agrupados ou 
não em classes, serão usadas as seguintes fórmulas: 
 
Em relação à média 
n
fxx
D
k
j
jj
m




1 , onde xj representa um valor individual ou um ponto médio 
da classe. 
 
Em relação à mediana 
 
mD
n
fMdx
k
j
jj


1 , onde xj representa um valor individual ou um ponto médio 
da classe. 
 
Medidas de Dispersão 
 
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Exercícios 
 
1- Calcular o desvio médio dos conjuntos de números apresentados no 
exemplo anterior. 
}5,3,2,3,4{
}23,22,21,20,19,18,17{
}45,34,25,20,13,12,10{



C
B
A
 
 
Os dados necessários para o cálculo do desvio médio são: 
 
20
714,22
7
45342520131210




A
A
Md
x
 
 
Desvio médio do conjunto A 
 
xj xj- x | xj- x | xj-Md | xj-Md| 
10 10-22,714= 
-12,714 
12,714 10 - 20= -10 10 
12 -10.714 -10.714 -8 8 
13 -9,7144 -9,7144 -7 7 
20 -2,714 -2,714 0 0 
25 2,286 2,286 5 5 
34 11,286 11,286 14 14 
45 22,286 22,286 25 25 
 
  0)( xx j
 
  714,71xx j
 
69 xx j
 
 
2- Calcular o desvio médio utilizando os dados mostrados na seguinte tabela: 
 
Cosumo (kwh) Número de usuários (fj) Freqüência acumulada 
(Fj) 
5 |–– 25 4 4 
25 |–– 45 6 10 
45 |–– 65 14 24 
65 |–– 85 26 50 
85 |–– 105 14 64 
105 |–– 125 8 72 
125 |–– 145 6 78 
145 |–– 165 2 80 
Total 80 
 
Medidas de Dispersão 
 
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Consumo Número 
de 
usuários 
xj xj- x 
jj fxx 
 
xj - Md 
jj fMdx 
 
Fj 
5 |––25 4 15 -64,5 258 -62,31 249,24 4 
25 |––45 6 35 -44,5 267 -42,31 253,86 10 
45 |––65 14 55 -24,5 343 -22,31 312,34 24 
65 |––85 26 75 -4,5 117 -2,31 60,06 50 
85 |––105 14 95 15,5 217 17,69 247,66 64 
105 |––125 8 115 35,5 284 37,69 301,52 72 
125 |––145 6 136 55,5 333 57,69 5346,14 78 
145 |––165 2 155 75,5 151 77,69 155,38 80 
Total 1970 1926,2 
 
Cálculo pela média: 
 
625,24
80
1970
80
5,79
8
1




j
jj
m
fx
D
 
 
Cálculo pela mediana: 
 
08,24
80
2,1926
80
3,77
8
1




j
jj
m
fx
D 
 
Observações: 
 
1- O desvio médio resulta mais vantajoso que as medidas de dispersão 
precedentes, principalmente pelo fato de, em seu cálculo, levar em 
consideração todos os valores da distribuição. 
2- O desvio médio, calculado levando-se em consideração os desvios em 
torno da mediana, é mínimo, ou seja, é menor do que qualquer desvio 
médio calculado com base em qualquer outra medida de tendência 
central. 
3- Apesar de o desvio médio expressar aceitavelmente a dispersão de uma 
amostra, não é tão freqüentemente empregado como o desvio–padrão. 
 
 
 
 
 
 
Medidas de Dispersão 
 
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Desvio–Padrão 
 
Símbolo: S 
 
O desvio–padrão é a medida de dispersão mais usada, tendo em comum com o 
desvio médio o fato de em ambos serem considerados os desvios com relação 
a 
x
. Só que, no cálculo do desvio–padrão, em lugar de serem usados os 
valores absolutos das discrepâncias ou desvios calculam-se os quadrados 
deste. 
 
Desvio–Padrão para dados brutos 
 
Seja um conjunto de números X, 
 
n
xx
n
d
S
n
i
i
n
i
i 


 1
2
1
2 )( 
 
Quando se quer representar uma descrição da amostra e não da população, 
caso mais freqüente na estatística, o denominador da expressão anterior será 
igual a n-1, em vez de n. Além do mais, quando o valor dos dados excede 30, 
existe pouca diferença se colocarmos n ou n-1. 
 
1
)(
1
1
2
1
2







n
xx
n
d
S
n
i
i
n
i
i