Exerccio resolvido coordenadas esfricas

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Una – Centro Universitário – Prof.: Warley L. de Souza 
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Exercício resolvido sobre integrais triplas em coordenadas esféricas 
 
1) Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido delimitado pelo cone: 
𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 e pela esfera: 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑧. 
Solução: 
Para determinarmos os limites da integral tripla em coordenadas esféricas é necessário 
fazer um esboço do sólido delimitado pelas superfícies acima. 
Observem que a esfera não está escrita em sua forma canônica necessária para obter as 
coordenadas do seu centro. 
Podemos obter as coordenadas do centro da esfera assim como o seu raio completando o 
quadrado conforme mostrado na sequência: 
 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 𝑧 = 0 → 𝑥2 + 𝑦2 + (𝑧 −
1
2
)
2
⏟ 
𝑧2−2∙𝑧∙
1
2+
1
4
=
1
4
→ (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 + (𝑧 −
1
2
)
2
= (
1
2
)
2
 
De acordo com a última igualdade acima, as coordenadas são 𝐶 (0, 0,
1
2
) e a medida do 
seu raio vale 
1
2
. 
Escrevamos agora as equações da esfera e do cone em coordenadas esféricas e façamos 
o esboço do sólido para o qual desejamos calcular o volume: 
Consideremos as seguintes equivalências entre as coordenadas retangulares e as 
esféricas: 
{
𝑥 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑦 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑧 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑
 
 Para a esfera: 
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − 𝑧 = 0 → (𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃)2 + (𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝜃)2 + (𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑)2 − 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 = 0 
𝜌2𝑠𝑒𝑛2𝜑 ∙ (𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃)⏟ 
1
+ 𝜌2𝑐𝑜𝑠2𝜑 = 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 
𝜌2 ∙ (𝑐𝑜𝑠2𝜑 + 𝑠𝑒𝑛2𝜑)⏟ 
1
= 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 
𝝆 = 𝒄𝒐𝒔𝝋 
 Para o cone: 
𝑧 = √𝑥2 + 𝑦2 → 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 = √(𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠𝜃)2 + (𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑𝑠𝑒𝑛𝜃)2 
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2 
 
𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 = √𝜌
2𝑠𝑒𝑛2𝜑 ∙ (𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑠𝑒𝑛2𝜃)⏟ 
1
 
𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜑 
𝑐𝑜𝑠𝜑 = 𝑠𝑒𝑛𝜑 
𝝋 =
𝝅
𝟒
 
 
Esboço do sólido: 
 
A descrição do sólido E acima se baseia na identificação da variação das coordenadas 
esféricas: 
 Para a coordenada 𝜌: 
Observe pela figura acima que qualquer ponto do sólido essa coordenada varia de 0 
(quando um ponto do sólido E está na origem) até 𝑐𝑜𝑠𝜑 quando o ponto está sobre 
a superfície esférica. 
Logo temos a seguinte variação para essa coordenada: 0 ≤ 𝜌 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝜑. 
 
 Para a coordenada 𝜃: 
A interseção de qualquer plano horizontal (paralelo ao plano 𝑥𝑦) com o sólido E é 
um círculo. Assim, o segmento de reta entre um ponto no interior deste círculo em 
relação ao eixo x vale 𝜃. 
Para “varrer” todos os pontos desta interseção temos a seguinte variação para essa 
coordenada: 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋. 
 
 Para a coordenada 𝜑: 
Para qualquer ponto no interior deste sólido E, o ângulo 𝜑 é observado entre o eixo 
z e o segmento de reta que conecta este ponto à origem do eixo coordenado. Como 
o sólido encontra-se limitado inferiormente pelo cone, onde todos os pontos sobre 
essa superfície estão afastados do eixo z segundo o ângulo 𝜑 = 
𝜋
4
, todos os pontos 
 
𝝆 = 𝒄𝒐𝒔𝝋 
 
 
𝝋 =
𝝅
𝟒
 
 
 
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no interior do sólido (naturalmente acima da superfície do cone) estão afastados do 
eixo z segundo um ângulo menor do que 
𝜋
4
. 
Portanto, temos a seguinte variação para essa coordenada: 0 ≤ 𝜑 ≤
𝜋
4
. 
Em face do exposto acima, o sólido E apresenta a seguinte descrição em coordenadas 
esféricas: 
𝐸 = {(𝜌, 𝜃, 𝜑)|0 ≤ 𝜌 ≤ 𝑐𝑜𝑠𝜑, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, 0 ≤ 𝜑 ≤
𝜋
4
 } 
O volume do sólido E é, portanto, obtido por meio da integral: 
𝑉(𝐸) =∭𝑑𝑉 = ∫ ∫ ∫ 𝜌2𝑠𝑒𝑛𝜑𝑑𝜌𝑑𝜑𝑑𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜑
0
𝜋 4⁄
0
2𝜋
0
 
𝑉(𝐸) = ∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜑
𝜌3
3
]
0
𝑐𝑜𝑠𝜑
𝑑𝜑𝑑𝜃
𝜋 4⁄
0
2𝜋
0
 
𝑉(𝐸) =
1
3
∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑐𝑜𝑠3𝜑𝑑𝜑𝑑𝜃
𝜋 4⁄
0
2𝜋
0
 
Considere a mudança de variável: 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠𝜑 → 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛𝜑𝑑𝜑 𝑒 {
𝜑 = 0 → 𝑢 = 1
𝜑 =
𝜋
4
→ 𝑢 =
√2
2
 
Com efeito, obtemos: 
𝑉(𝐸) = −
1
3
∫ ∫ 𝑢3𝑑𝑢𝑑𝜃
√2
2
1
2𝜋
0
 
𝑉(𝐸) = −
1
3
∫
𝑢4
4
]
1
√2
22𝜋
0
𝑑𝜃 
𝑉(𝐸) = −
1
3
∫
(√2 2⁄ )
4
− 14
4
2𝜋
0
𝑑𝜃 
𝑉(𝐸) = −
1
3
∫
4
16 − 1
4
2𝜋
0
𝑑𝜃 = −
1
3
∫
1
4 − 1
4
2𝜋
0
𝑑𝜃 = −
1
3
∫
−3
4
4
2𝜋
0
𝑑𝜃 =
1
16
∫ 𝑑𝜃 =
𝜋
8
2𝜋
0
 
 
Dessa forma, o volume deste sólido vale: 
𝝅
𝟖
 u.v.