integral_tripla_Gabarito

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Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul 
Escola Politécnica – 4115R-04 Cálculo Diferencial e Integral IV 
Integração Tripla - Gabarito 
 
Exemplos: 
1) Calcule as integrais abaixo: 
a) 
Q
32 dVzxy , onde Q é um sólido determinado por 0  x  2, 0  y  3, 0  z  1. 
 
Solução: A integral tripla pode ser escrita como: 
  


















R
2
R
1
0
4
2
R
1
0
32
Q
32 dA
4
xy
dA
4
z
xydAdzzxydVzxy , 
onde a região R de integração é dada por R = {(x,y) | 0  x  2, 0  y  3}. Assim, 
2
9
)02(
4
9
2
x
4
9
xdx9
4
1
dx
3
y
x
4
1
dxdyxy
4
1
dVzxy
2
0
22
0
2
0
3
0
32
0
3
0
2
Q
32 

















   . 
 
b) 
Q
dV
9
x
, onde Q é um sólido determinado por 3x + y + z = 3, no primeiro octante. 
Solução: Primeiro, vamos fazer um esboço do sólido. Para tanto, esboço do plano é obtido 
pela intersecção deste com os eixos coordenados, ou seja, substituímos na equação do plano 
duas variáveis nulas e encontramos a outra, que é marcada no eixo respectivo. O plano é 
representado pelo triângulo que tem este três pontos como vértice. Assim, pelo esboço do 
sólido, vemos que z varia entre o chão (o plano z = 0) e o plano 3x + y + z = 3, enquanto que 
a região R será a sombra no plano xy, que é um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,3). 
 
 
0<y<3 
0 < x < 2 
0 < z <1 
y = ax + b  b = 3 e a = - h/c = -3/1 = -3  y = -3x + 3 
 
Assim, o sólido Q é dado por 












x33y0
1x0
:R)y,x(
yx33z0
:Q e a integral tripla é descrita 
como: 
   
        
     
.
24
1
24
386
0
4
1
3
1
2
2
1
2
1
4
x
3
x
2
2
x
2
1
dxxx2x
2
1
dxx9x18x9
18
1
dxx
2
x33
9
1
dxx
2
x33
x33x
9
1
dxx
2
x33
x33x3x3
9
1
dxx
2
y
yx3x3
9
1
dxdyyxx3x3
9
1
dxdy)yx33(
9
x
dAdz
9
x
dV
9
x
1
0
432
1
0
321
0
321
0
2
1
0
2
21
0
2
2
1
0
x33
0
2
21
0
x33
0
2
1
0
x33
0
R
yx33
0Q


























 








 








 




























 
  




 
 
2) Determine o volume de um sólido limitado pelas superfícies 22 yxz  e z = 3. 
Solução: Primeiro, vamos desenhar o sólido Q. Observamos que fica abaixo do plano z = 3 e 
acima do cone 22 yxz  . Assim, temos que o sólido é descrito como abaixo, onde a 
região R de integração é obtida pela intersecção das duas superfícies, ou seja, 
9yx3yx 2222  . 
 












3r0
20
:R)y,x(
3zyx
:Q
22
. 
Portanto, o volume será dado pela integral tripla: 
 
 
  .v.u9d9
2
27
d
3
r
2
r
3ddrrr3
ddrrr3dAyx3dAdz1dV1V
2
0
2
0
3
0
32
2
0
3
0
2
2
0
3
0
R
22
R
3
yxQ 22




















 











 
  


 
 
3) Considere um pedaço de queijo na forma de uma cunha cortada de um cilindro de 4 cm de 
altura e de 6 cm de raio, formando um ângulo de /6 rad no centro. Calcule a massa do 
pedaço de queijo, sabendo que a densidade é igual a distância do ponto ao eixo de rotação do 
cilindro (dada em g/cm
3
). 
Solução: Primeiro, vamos desenhar o sólido Q. Vamos considerar a altura do cilindro como 
estando na direção de z e a contagem do ângulo começando no eixo x positivo, assim, 
podemos ter um figura como abaixo e podemos observar que a região no plano xy pode ser 
descrita em coordenadas polares, ou seja: 
 
 











6r0
6/0
:R)y,x(
4z0
:Q 
Portanto, como a distância de um ponto (x, y, z) ao eixo z é igual a 22 yx  , temos que a massa 
deste pedaço de queijo pode ser dada por: 
 
  .m.u48d288d
3
r
4ddrr4
ddrrr4dAyx4dAdzyxdVyxM
6/
0
6/
0
6
0
3
6/
0
6
0
2
6/
0
6
0
R
22
R
4
0
22
Q
22




















 
  

