soluo exerccio7 cvv

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Resolução do exercício 7 da lista 3 – Prof.: Warley 
3ª Lista de exercícios – Integrais Duplas e Integrais Triplas 
 
QUESTÃO 7 
Use uma integral tripla para encontrar o volume do sólido no primeiro octante, limitado 
pelas superfícies de equações 𝑦2 + 𝑧2 = 4; 𝑥 + 𝑦 = 2; 𝑧 = 0; 𝑦 = 0; 𝑥 = 0. 
SOLUÇÃO: 
Primeiro façamos o esboço do sólido no primeiro octante: 
 Cilindro 𝑦2 + 𝑧2 = 4: Observem que no plano 𝑦𝑧 a equação 𝑦2 + 𝑧2 = 4 é, de 
fato, uma circunferência com centro na origem, e cujo raio mede 2. Como a 
variável 𝑥 não aparece na equação, este cilindro (cuja seção transversal é uma 
circunferência) envolve o eixo 𝑥. 
 
Dessa forma, para o primeiro octante temos a seguinte figura: 
422  yz
2
2
x
y
z
 
 Plano 𝑥 + 𝑦 = 2: Observem que este plano é paralelo ao eixo 𝑧 e, além disso, a 
interseção deste plano com o plano 𝑥𝑦 é uma reta de equação 𝑦 = 2 − 𝑥. 
 
Dessa forma, para o primeiro octante, temos a seguinte figura: 
Resolução do exercício 7 da lista 3 – Prof.: Warley 
422  yz
2
2
x
y
z
2 yx2
 
 
 
Destacando apenas o sólido para o qual desejamos calcular o volume, obtemos a seguinte 
figura: 
422  yz
2
2
x
y
z
2 yx2
 
O volume deste sólido é obtido por meio da integral tripla: 
𝑉(𝐸) =∭𝑑𝑉 
Contudo, observem que este sólido apresenta simetria radial visto que a projeção do 
mesmo no plano 𝑦𝑧 é um 1/4 de círculo de raio igual a 2. 
Resolução do exercício 7 da lista 3 – Prof.: Warley 
Dessa forma, no plano 𝑦𝑧, podemos utilizar as coordenadas polares da seguinte forma: 
{
𝑦 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑧 = 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑑𝑦𝑑𝑧 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
𝑦2 + 𝑧2 = 𝑟2
 
Onde, 𝑟 e 𝜃 têm as seguintes variações: 
{
0 ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2
0 ≤ 𝑟 ≤ 2
 
Por conseguinte, a integral para obter o volume deste sólido usando coordenadas polares 
é dada por: 
𝑉(𝐸) =∬𝑓(𝑦, 𝑧)⏟ 
2−𝑦
𝑑𝑦𝑑𝑧 = ∬𝑓(𝑟, 𝜃)𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = ∫ ∫ (2 − 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃)
2
0
𝜋 2⁄
0
𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 
 
𝑉(𝐸) = ∫ ∫ (2𝑟 − 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃)
2
0
𝜋 2⁄
0
𝑑𝑟𝑑𝜃 = ∫ [𝑟2 −
𝑟3
3
𝑐𝑜𝑠𝜃]
0
2
𝑑𝜃
𝜋 2⁄
0
 
 
𝑉(𝐸) = ∫ (4 −
8
3
𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝜋 2⁄
0
𝑑𝜃 = [4𝜃 −
8
3
𝑠𝑒𝑛𝜃]
0
𝜋 2⁄
 
 
𝑉(𝐸) = 2𝜋 −
8
3
 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒.