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da questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS. 1. Calcule a integral dupla da função f(x,y) = -y e x onde R = [-1,1]x[0, pi/2] (-e + e -1) (pi2/8) 1 8 Nenhuma das respostas anteriores zero 2. A definição rigorosa da interpretação geometrica da integral dupla utiliza o método e Riemann. Este tem como idéia principal ? Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito. Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Riemann de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito. Utilizar a partição regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito. Utilizar a partição nao regular de ordem n do retângulo R = [a,b] x[c,d] onde a função encontra-se definida, e decompor em subretângulos. Forma-se a soma de Euler de f sobre R (nos n subretângulos) e em seguida aplicasse o limite com n tendendo a infinito. Nenhuma das respostas anteriores 3. Seja a função f(x,y) = 1. Podemos afirmar que a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalor 2 ≤ x ≤ 4 e 2 ≤ y ≤ 6, tem como solução e geometricamente define: Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um volume. Tem como solução o valor 5 e define geometricamente um volume. Tem como solução o valor 8 e define geometricamente um área. Tem como solução o valor 8 e não tem definição geometricamente. Nenhuma das respostas anteriores Um engenheiro fez os cálculos do volume do sólido situado abaixo do parabolóide z = 4 - x2 - y2 e acima do plano z = 0. Qual foi o volume encontrado pelo engenheiro supondo que seus cálculos estão corretos. 7π37π3 2 ππ 8π8π 2π32π3 3π53π5 Explicação: O domínio D interior a interseção de z = 4 - x2 - y2 com o plano z = 0 entao temos 0 = 4 - x2 - y2 ou x2 + y2 = 2, ou seja , D é o interior do disco de raio 2. OBS: Esse exercicio pode ser feito por integral tripla também. V = ∫∫4−x2−y2dxdy=∫2π0∫20(4−r2)rdrdθ∫∫4−x2−y2dxdy=∫02π∫02(4−r2)rdrdθ (4r22−r44)|20θ|2π0=8π(4r22−r44)|02θ|02π=8π 2. Se g(x) e h(y) são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então podemos afirmar que: ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2. 9 u.v 10 u.v 1 u.v 5 u.v 4 u.v Explicação: Se g(x) e h(y) são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2. Solução: Para encontrar o volume do sólido descrito devemos fazer a integral dupla dentro da região D. ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy Utilizando a definição dada temos ∫10∫102−x−ydxdy∫01∫012−x−ydxdy ∫102x−x2/2−xydy=∫10(3/2)−ydy=1∫012x−x2/2−xydy=∫01(3/2)−ydy=1 3. Determine o volume do sólido S que é delimitado pelo parabolóide elíptico x2 + 2y2 + z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os três planos coordenados. 35 49 40 Nenhuma das respostas anteriores 48 4. Resolvendo a integral tripla a seguir encontramos: int0 até 3int de -1 até 2 int_0 até 1(xyz²)dxdydz 27/4 7/4 -27/4 4/27 -7/4 5. Seja o sólido limitado pelas superfícies x2 + y2 = 1, z + y = 2 e z = 0. Determite a massa do sólido supondo que a densidade é dada por s(x,y,z) = z. 7 ππ u.m Será (17 ππ) / 8 u.m ππ u.m 2ππ/3 u.m 2ππ u.m 6. Calcular o volume do sólido:∫10∫01 ∫1−z0∫01-z ∫20∫02 dxdydz. 1 1.5 2.5 2 3 7. Determine o valor da integral dupla da função f(x,y) = ex2ex2, ou seja, eu onde u = x 2, no intevalo 0 <= x <=1 e 0<= y <= x (e−1)2(e−1)2 e Nenhuma das respostas anteriores e - 1 1/2 Explicação: ∫10∫x0eudydxondeu=x2∫01∫0xeudydxondeu=x2 ∫10yex2dx∫01yex2dx passando os limites de integracao de y temos ∫10xex2dx∫01xex2dx chame u = x2 e du = 2x dx ∫12eudu=12ex2∫12eudu=12ex2 aplicando os limites de integracao encontra-se=e−12=e−12 8. Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x está no intervalo 1≤x≤41≤x≤4 e y esta no intervalo 1≤y≤21≤y≤2 . Além disso ela deverá explicar o que representa o cálculo de ∫∫1dxdy∫∫1dxdy no 1≤x≤41≤x≤4 e 1≤y≤21≤y≤2 . O que Gisele apresentou como resultado da integral e sua explicação sobre o o significado da integral ∫∫1dxdy∫∫1dxdy no intevalo dado ? A integral tem como resultado 1 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = 4 A integral tem como resultado 4 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,5]x[1,2] e altura k = 4 A integral tem como resultado 5 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,1] e altura k = 6 A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = 1 A integral tem como resultado 2 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,1]x[1,2] e altura k = 2 Explicação: Gisele precisa apresentar o resultado correto da integral dupla da função f(x,y) = 1 em relação às variáveis x, y onde x varia 1≤x≤41≤x≤4 e y varia no intervalo 1≤y≤21≤y≤2 e especificar para turma o que representa o cálculo de ∫∫1dxdy∫∫1dxdy . O que Gisele apresentou como resultado da integral e sua explicação sobre o o significado da integral ∫∫1dxdy∫∫1dxdy: ∫21∫411dxdy=∫21xdy∫12∫141dxdy=∫12xdy Passando os limites de integração de x temos ∫21xdy=∫21(4−1)dy=∫213dy=3∫21dy∫12xdy=∫12(4−1)dy=∫123dy=3∫12dy 3∫21dy=3y3∫12dy=3y Passando os limites de integração de y teremos 3 ( 2-1) = 3 A integral tem como resultado 3 e representa o volume de uma caixa retangular de base R = [1,4]x[1,2] e altura k = f(x,y) = 1 Determine o volume do sólido que está abaixo do parabolóide z = x2 + y2 e acima da região do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parábola y = x 2. 216/35 23/35 1/3 45 Nenhuma das respostas anteriores Gabarito Coment. 2. Calcule a integral dupla da função f(x,y) = xy, onde D é a região limitada pela reta y = x - 1 e pela parábola y2 = 2x + 6. 56 36 Nenhuma das respostas anteriores 30 22 3. Se g(x) e h(y) são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então podemos afirmar que: ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2. 9 u.v 4 u.v 10 u.v 1 u.v 5 u.vExplicação: Se g(x) e h(y) são contínuas em [a,b] e [c,d], respectivamente então ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy Usando a definição de integral dupla defina o volume do sólido acima da região D = [0,1]x[0,1] do plano xy e abaixo do plano x+y+z = 2. Solução: Para encontrar o volume do sólido descrito devemos fazer a integral dupla dentro da região D. ∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫bag(x)dx∫dch(y)dy∫∫[a,b]x[c,d]g(x)h(y)dxdy=∫abg(x)dx∫cdh(y)dy Utilizando a definição dada temos ∫10∫102−x−ydxdy∫01∫012−x−ydxdy ∫102x−x2/2−xydy=∫10(3/2)−ydy=1∫012x−x2/2−xydy=∫01(3/2)−ydy=1 O ponto dado em coordenadas cartesianas (0,1,2) pode ser representado em coordenadas cilíndricas como: (1, pi/2; 2) (1, pi/2; -2) (2, pi/2; 2) (2, pi/2; 1) (1, 3pi/2; 2) 2. Calcule a integral tripla e marque a única resposta correta: `I = int_0^3int_(-1)^2int_0^1(xyz²)dxdydz -27/4 4/27 27/4 -7/4 7/4 Explicação: Integral tripla resolvida pelo Método de Fubini. 3. Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. Nenhuma das respostas anteriores Volume 3 u.v Volume 4 u.v Volume 2 u.v Volume 1/3 u.v 4. Encontre o volume do sólido sob o gráfico da função f (x, y) = 5 e acima do domínio dado pelas inequações y ≤ X ≤ 3y e 0 ≤ y ≤ 5 120 110 125 105 115 5. Determine o volume do sólido representado pela integral dupla, onde a função a ser integrada f(x,y) = x2+ y2 esta definida em R = [0,1] x[0,1]. 1/3 Nenhuma das respostas anteriores 2 3 2/3 1. Seja f:R3→Rf:R3→R definida por f(x,y,z)=x+3y2+zf(x,y,z)=x+3y2+z e ττ o segmento de reta que une (0,0,0)(0,0,0) e (1,1,1)(1,1,1). Calcule ∫τfds∫τfds Sugestão: Utilize a parametrização deste segmento : r(t)=(t,t,t)r(t)=(t,t,t), t∈[0,1]t∈[0,1] . 4√343 3√232 √33 √55 2√323 2. Calcule a integral de linha da forma diferencial x2y dx + z dy + xy dz, ao longo do arco da parábola y = x2, z = 1 do ponto A(-1,1,1) ao ponto B(1,1,1). 7 2/5 3/5 4/7 7/3 3. Determine a integral de linha sendo γγ o segmento de reta da origem A(1,1) a extremidade B(4,2). ∫γ(x+y)dx+(y−x)dy∫γ(x+y)dx+(y-x)dy 10 5 11 2/5 5/4 1. Calcule a integral ∫C(x+2y)dS∫C(x+2y)dS onde C é uma semicircunferência centrada na origem de raio igual a 3 e orientada no sentido positivo. 45 36 10 18 25 2. Encontrar o volume do tetraedro: ∫10∫01 ∫1x∫x1 ∫y−x0∫0y-xF(x, y, z)dzdydx. Considerar F(x, y, z) = 1. 7/6 2/3 5/6 1/6 1/2 3. Calcule ∫CxzdS∫CxzdS , onde C é a interseção da esfera x² + y² + z² = 4 com o plano x = y. √88 16 √66 10 0 4. Supondo um campo F = xy i - xy2 j, ao longo do triângulo de vértices A (0,0), B(1,0) e C(1,1). Calcule a integral do campo vetorial ao longo do triângulo. 1/4 3/5 2/3 2 3 5. Calcule a integral dupla: ∫42∫24 ∫21∫12 (x2x2 + y2y2) dydx 70/15 70/3 70/9 70/13 70/11 6. Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação f(x,y) = e(x+2y) dxdy, para os intervalos R= [0,1]x[0,3]. 1/2(e-1) -1/2(e-1)(e6e6-1) 1/2(e-1)(e6e6-1) (e-1)(e6e6-1) 1/2(e6e6-1) 7. Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫∫ ∫∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-2,1]. 21(u.v.) 15(u.v.) 8(u.v.) 17(u.v.) 2(u.v.) 8. Calcule a integral ∮Cx2ydx−y2xdy∮Cx2ydx-y2xdy em que C é a fronteira da região no primeiro quadrante compreendida pelos eixos coordenados e o círculo x2 + y2 = 16. −16π-16π 18π18π −32π-32π 32π32π 20π 1. Determine a integral dupla da função f(x,y) = y2 sen x2 tendo com limites de integração y3= x , y3 = -x , x = 0 e x = 8. Nenhuma das respostas anteriores - cos 64 (- cos 64 +1):3 (cos 64 + 1):3 cos 64 2. Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo →F(x,y)=−3y5→i+5y2x3→jF→(x,y)=-3y5i→+5y2x3j→ para mover uma partícula ao longo da circunferência x2 + y2 = 4, partindo do ponto (2; 0) e retornando a este ponto apenas uma vez. 70π70π 150π150π 160π160π 180π180π 90π90π 3. Calcule a integral ∫C(x+2y)dS∫C(x+2y)dS onde C é uma semicircunferência centrada na origem de raio igual a 3 e orientada no sentido positivo. 10 36 45 25 18 4. Calcule ∫CxzdS∫CxzdS , onde C é a interseção da esfera x² + y² + z² = 4 com o plano x = y. 16 √66 √88 10 0 5. Supondo um campo F = xy i - xy2 j, ao longo do triângulo de vértices A (0,0), B(1,0) e C(1,1). Calcule a integral do campo vetorial ao longo do triângulo. 1/4 3 2 3/5 2/3 6. Encontrar o volume do tetraedro: ∫10∫01 ∫1x∫x1 ∫y−x0∫0y-xF(x, y, z)dzdydx. Considerar F(x, y, z) = 1. 7/6 1/6 2/3 5/6 1/2 7. Calcule a integral dupla: ∫42∫24 ∫21∫12 (x2x2 + y2y2) dydx 70/15 70/9 70/11 70/3 70/13 8. Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação f(x,y) = e(x+2y) dxdy, para os intervalos R= [0,1]x[0,3]. 1/2(e6e6-1) 1/2(e-1) (e-1)(e6e6-1) 1/2(e-1)(e6e6-1) -1/2(e-1)(e6e6-1 16/3 u.v 24/5 u.v 18 u.v 9/2 u.v 10 u.v Explicação: O aluno usará a integral dupla. Usará a integral dupla. Uma sugestão de limites de integração: 0=<="" td=""> 2. Seja uma superfície parametrizada por j(u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2 ) com 0 ≤ u ≤ 2 ππ e v ³ 0. Determine a equação do plano tangente a S em j (0,1). 3z + x = 1 3x + 5z = 1 z = 2 5x + 4 = 0 2x + z - 2 = 0 3. Determine a integral `int_pi^(2pi) int_0^(pi) (senx+cosy)dxdy `2pi 0 `pi+senx `pi `cos(2pi)-sen(pi) 4. Determine a área da região limitada pelas curvas: x = y3 , x + y = 2 e y = 0. 2 5/4 3 3/5 1/2 5. A área da região limitada pelo círculo de raio r, positivamente orientada e parametrizada pelo caminho λ(t) = (r cost, r sin t) definida em λ: [0, 2π] ⊂ R → R², safisfaz as condições do Teorema de Green. Aplicando o Teorema podemos encontrar: 2πr² 2πr πr² π²r πr 6. Seja uma superfície parametrizada por j(u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2 ) com 0 ≤ u ≤ 2 ππ e v ³ 0. Determine o vetor normal a S em j (0,1). O vetor normal será (-2,0,-1) O vetor normal será (-2,3,-1) O vetor normal será (0,0,0) O vetor normal será (2,0,1) O vetor normalserá (0,0,-1 1. Calcule a integral dupla da função f(x,y) = exp ( (y-x) / (y+x) ) sobre a região D delimitada pelas retas x + y = 1, x + y = 2 , x = 0 e y = 0. Nenhuma das respostas anteriores -1/e 3 e - 1/e (3/4) ( e - 1/e) e - 1/e 2. Em uma indústria existe uma reservatório para armazenamento de um certo produto químico por algum período de tempo. O volume deste reservatório é definido pelo interior da esfera x2 + y2 + z2 = z e o cone z2 = 3 (x2 + y2). Determine o volume do reservatório. pi/96 7pi 7/96 Nenhuma das respostas anteriores 7 pi /96 3. Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 4 2 * (14)^(1/2) 4 * (14)^(1/2) 4 * (2)^(1/2) 14 * (2)^(1/2) 4. Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z). 2π2π π2π2 3π23π2 2π32π3 2π22π2 5. Dado o ponto (1,1,1), em coordenadas cartesianas, a representação deste ponto em coordenadas cilíndricas é apresentada em: (sqrt(2);pi/4 ; 2) (sqrt(2);pi/4 ; 1) (sqrt(2);pi/4 ; -1) (sqrt(3);pi/4 ; 1) (sqrt(2);2pi/4 ; 1) 1. Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z). 2π2π 2π22π2 3π23π2 π2π2 2π32π3 2. Calcule a integral dupla da função f(x,y) = exp ( (y-x) / (y+x) ) sobre a região D delimitada pelas retas x + y = 1, x + y = 2 , x = 0 e y = 0. e - 1/e Nenhuma das respostas anteriores -1/e 3 e - 1/e (3/4) ( e - 1/e) 3. Dado o ponto (1,1,1), em coordenadas cartesianas, a representação deste ponto em coordenadas cilíndricas é apresentada em: (sqrt(2);pi/4 ; -1) (sqrt(2);pi/4 ; 2) (sqrt(2);pi/4 ; 1) (sqrt(3);pi/4 ; 1) (sqrt(2);2pi/4 ; 1) 4. Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 4 * (14)^(1/2) 14 * (2)^(1/2) 4 * (2)^(1/2) 4 2 * (14)^(1/2) 5. Em uma indústria existe uma reservatório para armazenamento de um certo produto químico por algum período de tempo. O volume deste reservatório é definido pelo interior da esfera x2 + y2 + z2 = z e o cone z2 = 3 (x2 + y2). Determine o volume do reservatório. 7 pi /96 7/96 pi/96 Nenhuma das respostas anteriores 7pi 1. Calcule a massa da superfície S parte do plano z + x = 2 e dentro do cilindro x2 + y2 = 1 sendo a densidade dada por d(x,y,z) = y2. M = [ ( 2 ) 1/2 ππ] u.m M = ππ u.m M = [ ππ]/4 u.m M = [ ( 2 ) 1/2 ππ]/4 u.m M = 3 ππ u.m. 2. Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z). Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S. S: x2 + y2 = a2 com a > 0 e 0 ≤ z ≤ h. 8p a2h p a2h 22ph 2p a2h 8 p ah 3. Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano xy, com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a 2 e cujo topo está na superfície f(x,y) = 4 - y^2. 16 20 10 14 12 4. Uma lâmina tem a forma da parte do plano z = x recortada pelo cilindro ( x - 1)2 + y2 = 1. Determine a massa dessa lâmina se a densidade no ponto (x,y,z) é proporcional a distância desse ponto ao plano xy. 2π u.m. k√3k3 u.m. k√2k2ππu.m. k u.m. √22 u.m. 5. Determine a integral `int_0^1 int_0^2 int_0^(1-z)dydxdz 2-2z 1-z 0 2 1 6. Calcule a circulação do campo F (x,y,z) = (y, xz, z2 ) ao redor da curva C fronteira do triânculo cortado do plano x + y + z = 1 pelo primeiro octante, no sentido horário quando vista da origem. -1/2 5 24 9 3 Calcule a integral dupla da função f(x,y) = x + 2y, onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x 2. 36 32/25 Nenhuma das respostas anteriores 1/3 32/15 2. Seja f(x,y) = 1 / (x2+ y2). Determine a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalo 0 ≤ x ≤ y e 1 ≤ y ≤ e. pi/4 Nenhuma das respostas anteriores pi / 5 pi 2 pi Gabarito Comentado 3. Calculo o trabalho realizado pelo campo de força F(x,y,z) = ( xx + z2 , yy + x2 , zz + y2 ) quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que esta no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima, 3/2 5/2 16 5 20 4. Marque a alternativa que indica o resultado da integral dupla A = ∫20∫02 ∫06(4-x2)dydx 24 32 10 18 54 5. Ao calcular-se a área da região encerrada pela elípse 4x²+16y²=64, encontra-se o valor de: 16pi 64pi 4pi 9pi 8pi Explicação: A área da elípse é dada por A=a.b.pi, neste caso a=2 e b=4, pois a eq. da elípse fica ( x²/2²) + (y²/4²)=1 6. Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F (x,y,z) = (xx + z2, yy + x2, zz + y2) quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera de raio 2 que esta no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima. 22 16 10 12 8√5 1. Seja S a parte do cilindro x2 + y2 = 1 limitado pelos planos z = 0 e z = x + 1. Determine a integral de superfície S dado por ʃ ʃ z dS 6 ππ 3 ππ/2 5/2 ππ 2ππ ππ 2. Determine o fluxo do campo vetorial →F(x,y,z)=z→i+y→i+x→kF→(x,y,z)=zi→+yi→+xk→ sobre a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1. 23π23π 3π3π 25π25π 43π43π 2π2π 3. Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z). Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S. S: x2 + y2+z2 = a2 com a > 0. 3/5 p a3 5p a3 2p a3 3 a3p 4p a3 Se f(x,y) = 1 - x e a região de integração é definida por R = [0,1] x [0,1]. Defina a integral dupla e seu resultado. ∫10∫10(1−x)dxdy=3∫01∫01(1−x)dxdy=3 ∫10∫10(1−x)dxdy=1/2∫01∫01(1−x)dxdy=1/2 ∫10∫10xdxdy=2∫01∫01xdxdy=2 ∫10∫10(1−x)dxdy=2∫01∫01(1−x)dxdy=2 ∫10∫10dxdy=1∫01∫01dxdy=1 Respondido em 17/06/2020 21:13:09 2a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Calcule a integral dupla da função f(x,y) = xy, onde D é a região limitada pela reta y = x - 1 e pela parábola y2 = 2x + 6. 56 Nenhuma das respostas anteriores 36 22 30 Respondido em 17/06/2020 21:17:15 3a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0. Volume 3 u.v Volume 4 u.v Nenhuma das respostas anteriores Volume 1/3 u.v Volume 2 u.v Respondido em 17/06/2020 21:25:07 4a Questão Acerto: 1,0/ 1,0 Calcule a integral de linha da forma diferencial x2y dx + z dy + xy dz, ao longo do arco da parábola y = x2, z = 1 do ponto A(-1,1,1) ao ponto B(1,1,1). 7 7/3 3/5 2/5 4/7 Respondido em 17/06/2020 21:29:35 5a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫∫ ∫∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-2,1]. 8(u.v.) 21(u.v.) 2(u.v.) 17(u.v.) 15(u.v.) Respondido em 17/06/2020 21:26:52 6a Questão Acerto: 0,0 / 1,0 O volume de uma esfera de raio igual a 6 vale: 36π36π 288π288π 244π244π 188π188π 144π144π Respondido em 17/06/2020 21:39:30 7a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Em uma indústria existe uma reservatório para armazenamento de um certo produto químico por algum período de tempo. O volume deste reservatório é definido pelo interior da esfera x2 + y2 + z2 = z e o cone z2 = 3 (x2 + y2). Determine o volume do reservatório. 7/96 7 pi /96 Nenhuma das respostas anteriores 7pi pi/96 Respondido em 17/06/2020 21:29:27 8a Questão Acerto: 0,0 / 1,0 Seja S a superfície parametrizada por ϕ(u,v)ϕ(u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2) onde 0≤u≤2π,v≥00≤u≤2π,v≥0 . Identifique esta superfície. A superfície S definida acima é um cilindro. A superfície S definida acima é uma esfera A superfície S definida acima é um parabolóide circular. Não temos como definir quem é a superfície S. A superfície S definida acima é um plano. Respondido em 17/06/2020 21:39:17 9a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Seja f(x,y) = 1 / (x2+ y2). Determine a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalo 0 ≤ x ≤ y e 1 ≤ y ≤ e. Nenhuma das respostas anteriores pi pi/4 2 pi pi / 5 Respondido em 17/06/2020 21:35:16 Gabarito Coment. 10a Questão Acerto: 1,0 / 1,0 Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z). Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S. S: x2 + y2+z2 = a2 com a > 0. 4p a3 5p a3 2p a3 3 a3p 3/5 p a3 2. Seja uma superfície parametrizada por j(u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2 ) com 0 ≤ u ≤ 2 ππ e v ³ 0. Determine a equação do plano tangente a S em j (0,1). z = 2 5x + 4 = 0 3x + 5z = 1 2x + z - 2 = 0 3z + x = 1 3. Determine a integral `int_pi^(2pi) int_0^(pi) (senx+cosy)dxdy `pi+senx `2pi 0 `cos(2pi)-sen(pi) `pi 4. Determine a área da região limitada pelas curvas: x = y3 , x + y = 2 e y = 0. 1/2 3/5 2 5/4 3 5. A área da região limitada pelo círculo de raio r, positivamente orientada e parametrizada pelo caminho λ(t) = (r cost, r sin t) definida em λ: [0, 2π] ⊂ R → R², safisfaz as condições do Teorema de Green. Aplicando o Teorema podemos encontrar: 2πr² π²r πr 2πr πr² 6. Seja uma superfície parametrizada por j(u,v) = (vcos u, vsen u, 1 - v2 ) com 0 ≤ u ≤ 2 ππ e v ³ 0. Determine o vetor normal a S em j (0,1). O vetor normal será (-2,0,-1) O vetor normal será (-2,3,-1) O vetor normal será (0,0,0) O vetor normal será (0,0,-1) O vetor normal será (2,0,1) 1. Supondo um campo F = xy i - xy2 j, ao longo do triângulo de vértices A (0,0), B(1,0) e C(1,1). Calcule a integral do campo vetorial ao longo do triângulo. 3/5 2 3 1/4 2/3 2. Calcule a integral ∮Cx2ydx−y2xdy∮Cx2ydx-y2xdy em que C é a fronteira da região no primeiro quadrante compreendida pelos eixos coordenados e o círculo x2 + y2 = 16. 20π20π −16π-16π −32π-32π 18π18π 32π32π 3. Utilize o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado pelo campo →F(x,y)=−3y5→i+5y2x3→jF→(x,y)=-3y5i→+5y2x3j→ para mover uma partícula ao longo da circunferência x2 + y2 = 4, partindo do ponto (2; 0) e retornando a este ponto apenas uma vez. 70π70π 180π180π 160π160π 150π150π 90π90π 4. Determine a integral dupla da função f(x,y) = y2 sen x2 tendo com limites de integração y3= x , y3 = -x , x = 0 e x = 8. - cos 64 cos 64 Nenhuma das respostas anteriores (- cos 64 +1):3 (cos 64 + 1):3 5. Calcule ∫CxzdS∫CxzdS , onde C é a interseção da esfera x² + y² + z² = 4 com o plano x = y. √66 √88 0 16 10 6. Usando à técnica de integração dupla, calcular o volume do sólido gerado pela equação f(x,y) = e(x+2y) dxdy, para os intervalos R= [0,1]x[0,3]. 1/2(e-1)(e6e6-1) 1/2(e6e6-1) -1/2(e-1)(e6e6-1) (e-1)(e6e6-1) 1/2(e-1) 7. Calcule a integral dupla: ∫42∫24 ∫21∫12 (x2x2 + y2y2) dydx 70/9 70/11 70/15 70/3 70/13 8. Usando a técnica da integral dupla, encontre o volume do sólido gerado pela expressão ∫∫ ∫∫(x2 + y2) dxdy para os intervalos R=[-1,1] x[-2,1]. 2(u.v.) 15(u.v.) 8(u.v.) 17(u.v.) 21(u.v.) 1. Calcule a integral dupla da função f(x,y) = exp ( (y-x) / (y+x) ) sobre a região D delimitada pelas retas x + y = 1, x + y = 2 , x = 0 e y = 0. (3/4) ( e - 1/e) 3 e - 1/e -1/e e - 1/e Nenhuma das respostas anteriores 2. Em uma indústria existe uma reservatório para armazenamento de um certo produto químico por algum período de tempo. O volume deste reservatório é definido pelo interior da esfera x2 + y2 + z2 = z e o cone z2 = 3 (x2 + y2). Determine o volume do reservatório. 7 pi /96 7/96 7pi Nenhuma das respostas anteriores pi/96 3. Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 4 * (14)^(1/2) 4 14 * (2)^(1/2) 2 * (14)^(1/2) 4 * (2)^(1/2) 4. Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z). 2π2π 3π23π2 π2π2 2π22π2 2π32π3 5. Dado o ponto (1,1,1), em coordenadas cartesianas, a representação deste ponto em coordenadas cilíndricas é apresentada em: (sqrt(2);pi/4 ; -1) (sqrt(2);pi/4 ; 1) (sqrt(3);pi/4 ; 1) (sqrt(2);pi/4 ; 2) (sqrt(2);2pi/4 ; 1) 1. Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z). Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S. S: x2 + y2 = a2 com a > 0 e 0 ≤ z ≤ h. 2p a2h 8p a2h 8 p ah 22ph p a2h 2. Uma lâmina tem a forma da parte do plano z = x recortada pelo cilindro ( x - 1)2 + y2 = 1. Determine a massa dessa lâmina se a densidade no ponto (x,y,z) é proporcional a distância desse ponto ao plano xy. 2π u.m. k√3k3 u.m. k√2k2ππu.m. k u.m. √22 u.m. 3. Calcule a massa da superfície S parte do plano z + x = 2 e dentro do cilindro x2 + y2 = 1 sendo a densidade dada por d(x,y,z) = y2. M = [ ππ]/4 u.m M = [ ( 2 ) 1/2 ππ] u.m M = ππ u.mM = [ ( 2 ) 1/2 ππ]/4 u.m M = 3 ππ u.m. 4. Determine a integral `int_0^1 int_0^2 int_0^(1-z)dydxdz 2-2z 1 0 2 1-z 5. Calcule o volume do sólido cuja base inferior é a região retangular no plano xy, com x variando de 0 a 3 e y variando de 0 a 2 e cujo topo está na superfície f(x,y) = 4 - y^2. 10 16 12 20 14 6. Calcule a circulação do campo F (x,y,z) = (y, xz, z2 ) ao redor da curva C fronteira do triânculo cortado do plano x + y + z = 1 pelo primeiro octante, no sentido horário quando vista da origem. 5 24 9 -1/2 3 1. Calcule a integral dupla da função f(x,y) = x + 2y, onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x 2. 1/3 36 32/25 32/15 Nenhuma das respostas anteriores 2. Calculo o trabalho realizado pelo campo de força F(x,y,z) = ( xx + z2 , yy + x2 , zz + y2 ) quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que esta no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima, 5 3/2 16 5/2 20 3. Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F (x,y,z) = (xx + z2, yy + x2, zz + y2) quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera de raio 2 que esta no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima. 12 8√585 22 16 10 4. Ao calcular-se a área da região encerrada pela elípse 4x²+16y²=64, encontra-se o valor de: 4pi 9pi 8pi 64pi 16pi Explicação: A área da elípse é dada por A=a.b.pi, neste caso a=2 e b=4, pois a eq. da elípse fica ( x²/2²) + (y²/4²)=1 5. Marque a alternativa que indica o resultado da integral dupla A = ∫20∫02 ∫06(4-x2)dydx 54 18 10 32 24 6. Seja f(x,y) = 1 / (x2+ y2). Determine a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalo 0 ≤ x ≤ y e 1 ≤ y ≤ e. pi pi / 5 2 pi Nenhuma das respostas anteriores pi/4 1. Seja S a parte do cilindro x2 + y2 = 1 limitado pelos planos z = 0 e z = x + 1. Determine a integral de superfície S dado por ʃ ʃ z dS 6 ππ 5/2 ππ 2ππ 3 ππ/2 ππ . Calcule a integral dupla da função f(x,y) = x + 2y, onde D é a região limitada pelas parábolas y = 2x2 e y = 1 + x 2. 32/15 36 32/25 1/3 Nenhuma das respostas anteriores 2. Seja f(x,y) = 1 / (x2+ y2). Determine a integral dupla da função f(x,y) definida no intervalo 0 ≤ x ≤ y e 1 ≤ y ≤ e. pi / 5 2 pi pi Nenhuma das respostas anteriores pi/4 Gabarito Comentado 3. Calculo o trabalho realizado pelo campo de força F(x,y,z) = ( xx + z2 , yy + x2 , zz + y2 ) quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera x2 + y2 + z2 = 4 que esta no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima, 3/2 5 16 5/2 20 4. Marque a alternativa que indica o resultado da integral dupla A = ∫20∫02 ∫06(4-x2)dydx 18 10 54 24 32 5. Ao calcular-se a área da região encerrada pela elípse 4x²+16y²=64, encontra-se o valor de: 16pi 64pi 9pi 4pi 8pi Explicação: A área da elípse é dada por A=a.b.pi, neste caso a=2 e b=4, pois a eq. da elípse fica ( x²/2²) + (y²/4²)=1 6. Calcule o trabalho realizado pelo campo de força F (x,y,z) = (xx + z2, yy + x2, zz + y2) quando uma partícula se move sob sua influência ao redor da borda da esfera de raio 2 que esta no primeiro octante, na direção anti-horária quando vista por cima. 22 10 12 16 8√5 2. Determine o fluxo do campo vetorial →F(x,y,z)=z→i+y→i+x→kF→(x,y,z)=zi→+yi→+xk→ sobre a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1. 3π3π 43π43π 25π25π 2π2π 23π23π 3. Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z). Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S. S: x2 + y2+z2 = a2 com a > 0. 5p a3 3 a3p 2p a3 3/5 p a3 4p a3 Seja S a parte do cilindro x2 + y2 = 1 limitado pelos planos z = 0 e z = x + 1. Determine a integral de superfície S dado por ʃ ʃ z dS 5/2 ππ 2ππ 3 ππ/2 6 ππ ππ 2. Seja o campo vetorial F(x,y,z) = (x - y, x + y, z). Calcule o fluxo de F através de S, orientada com o vetor n exterior a S. S: x2 + y2+z2 = a2 com a > 0. 2p a3 4p a3 3 a3p 5p a3 3/5 p a3 3. Determine o fluxo do campo vetorial →F(x,y,z)=z→i+y→i+x→kF→(x,y,z)=zi→+yi→+xk→ sobre a esfera unitária x2 + y2 + z2 = 1. 3π3π 25π25π 23π23π 43π43π 2π
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