Aplicações de EDO Cálculo 3

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Questões : Tipo B
(1) Uma colônia de bactérias encontra-se num meio de cultura em que os nutrientes são fornecidos constantemente, em quantidade constante por unidade de tempo. Evidentemente, há um número máximo de bactérias que pode existir na colônia ao mesmo tempo, limitado pela quantidade de nutrientes disponível. Enquanto existe um número de bactérias menor que esse máximo, a colônia cresce com uma taxa de crescimento que é proporcional à diferença entre o número atual de bactérias e o número máximo possível. Deseja-se descrever o número n(t) de bactérias presentes a cada instante de tempo.
 dN / dt α N(t)
N(0) = N0
dN / dt = KN
ʃ dN / N = ʃ Kdt
ln N = Kt + C
e ln N = e Kt + C
N = e Kt+ C
N = e K t * eC
N= N0 * e K t
(2) Um corpo é colocado num quarto aquecido a uma temperatura constante de 30 °F. Depois de 10 minutos, a temperatura do corpo é de 0 °F, e ao fim de 20 minutos a temperatura do corpo é de 15 °F. Qual a temperatura inicial do corpo?
2) Ta = 30º F
{ T = ?			t = 0
T = 0º F		t = 10 min.
T= 15º F		t = 20 min
T − Ta = A e K t
{Ta = 30º F
T – 30 = A e K t (I)
{ T = 0º F		t = 10 min.
T − 30= A e Kt 
0 − 30= A e 10K
A = − 30 / e 10K
T – 30 = A e K t 
{ T = 15º F		t = 20 min.
15 – 30 = −30 e 20K / e 10K
 – 15 = −30 e 10K
ln 0,5 = 10K
K = − 0,0693
T − 30= A e −0,0693t
{ T = ?			t = 0
T = [− 30/( e 10(-0,0693))] * e −0,0693*0 + 30
T = − 30 e −0,693 + 30
T = − 29,99º F
(3) O fabricante de um certo produto chega à conclusão de que, para garantir o lucro, a taxa de variação do preço P do produto deve ser proporcional (k = 0,03) à escassez (D - S), onde D e S são, respectivamente, a demanda e a oferta do produto. Suponha que a oferta e a demanda variam com o preço de acordo com as equações S(t) = 1+ P e D (t) = 2 + 8e-t/2 e que o preço do produto é R$2,00 no instante t = 0. 
a)Determine a função P(t). 
b) Calcule o preço unitário da mercadoria no instante t = 4 meses.
c) Determine o que acontece com o preço do produto a longo prazo.
 P = 2		t = 0
P = ?	 	t = 4
a) 
P(x)= 0,03
Q(x) = 
I(t) = e ʃ0,03dt		= e 0,03t
ʃ(e 0,03t* P)’ = 0,03ʃe 0,03t + 0,24ʃe -0,47t 
e ʃ0,03t * P = e 0,03t - 0,51 e -0,47t + C
P = 1- 0,51 e -0,5t + C e -0,03t
P(0) = 2
C = 0,49
P = 1- 0,51 e -0,5t + 0,49 e -0,03t
b) P(4) = ?
P(4) = 1- 0,51 e -0,5*4 + 0,49 e -0,03*4
P(4) = R$ 1,36
c) Preço a longo prazo
P(∞) =? 		 0		0
Lim P(t) 	1- 0,51 e -0,5t↑ + 0,49 e -0,03t↑
t→∞
Lim P(t) → R$1,00
t→∞