pef2602 estruturas sistemas reticulados exercício01 resolvido

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equipe26
pef2602 estruturas na arquitetura II: sistemas reticulados
setembro/2009exercício01
gisellemendonça
flaviobragaia
steladadalt
natáliatanaka
leonardoklis
1
viga isostática
equações de equilíbrio reações de apoio
Antes de traçar os diagramas de esforços solicitantes, deve-se calcular as reações de apoio através 
das equações de equilíbrio — nesse caso, são três valores que buscamos (uma força normal, outra 
cortante e o momento), todos referentes ao único apoio da viga, o engastamento A. Para realizar 
os cálculos, foi necessário transformar os carregamentos distribuídos em forças pontuais fictícias 
equivalentes (valor obtido por meio da multiplicação da força distribuída pela medida do trecho da 
viga que está sob ação desse carregamento). Para elaboração da estrutura no FTool, consideramos 
o valor de 5 kN/m para o carregamento distribuído no trecho AC, resultante da soma da força de 
3 kN/m (aplicada em toda a extensão da viga) à força de 2 kN/m (aplicada somente neste trecho).
Para calcular as reações de apoio, adotamos como sinal positivo as forças para a direita no eixo x, 
para cima no eixo y e no sentido horário para o momento fletor.
forças equivalentes
esquema da viga 
isostática
A C D B
viga
equações de equilíbrio
!N = 0 
15 + NA = 0 
NA = –15 kN
!V = 0
VA – 2·4 – 3·7 – 18 + 15 = 0
VA – 8 – 21 – 18 + 15 = 0
VA = 32 kN
!M = 0 
MA + 8·2 + 21·3,5 + 18·5 – 15·7 = 0
MA + 16 + 73,5 + 90 – 105 = 0 
MA = – 74,5 kNm
esforços solicitantes
trecho AC
NX = 15 kN
VX = 5·x + 3·3 + 18 – 15
para x = 0 ! VC = 12 kN
para x = 4 ! VA = 32 kN 
MX = 15·(x + 3) – 18·(x + 1) – 3·3·(x + 3/2) – 5·x·(x/2)
para x = 0 ! MC = 13,5 kN
para x = 4 ! MA = – 74,5 kN (já calculado)
trecho CD
NX = 15 kN
VX = 3·(x + 2) + 18 – 15
para x = 0 ! VD = 9 kN
para x = 1 ! VC = 12 kN
MX = 15·(x + 2) – 18·x – 3·(x + 2)·[(x + 2)/2]
para x = 0 ! MD = 24 kN
para x = 1 ! MC = 13,5 kN
trecho DB
NX = 15 kN
VX = – 15 + 3·x
para x = 0 ! VB = – 15 kN
para x = 2 ! VD = – 9 kN
MX = 15·x – 3·x·(x/2)
para x = 0 ! MB = 0 kN
para x = 2 ! MD = 24 kN
viga
equações de equilíbrio
!N = 0 
15 + NA = 0 
NA = –15 kN
!V = 0
VA – 2·4 – 3·7 – 18 + 15 = 0
VA – 8 – 21 – 18 + 15 = 0
VA = 32 kN
!M = 0 
MA + 8·2 + 21·3,5 + 18·5 – 15·7 = 0
MA + 16 + 73,5 + 90 – 105 = 0 
MA = – 74,5 kNm
esforços solicitantes
trecho AC
NX = 15 kN
VX = 5·x + 3·3 + 18 – 15
para x = 0 ! VC = 12 kN
para x = 4 ! VA = 32 kN 
MX = 15·(x + 3) – 18·(x + 1) – 3·3·(x + 3/2) – 5·x·(x/2)
para x = 0 ! MC = 13,5 kN
para x = 4 ! MA = – 74,5 kN (já calculado)
trecho CD
NX = 15 kN
VX = 3·(x + 2) + 18 – 15
para x = 0 ! VD = 9 kN
para x = 1 ! VC = 12 kN
MX = 15·(x + 2) – 18·x – 3·(x + 2)·[(x + 2)/2]
para x = 0 ! MD = 24 kN
para x = 1 ! MC = 13,5 kN
trecho DB
NX = 15 kN
VX = – 15 + 3·x
para x = 0 ! VB = – 15 kN
para x = 2 ! VD = – 9 kN
MX = 15·x – 3·x·(x/2)
para x = 0 ! MB = 0 kN
para x = 2 ! MD = 24 kN
viga
equações de equilíbrio
!N = 0 
15 + NA = 0 
NA = –15 kN
!V = 0
VA – 2·4 – 3·7 – 18 + 15 = 0
VA – 8 – 21 – 18 + 15 = 0
VA = 32 kN
!M = 0 
MA + 8·2 + 21·3,5 + 18·5 – 15·7 = 0
MA + 16 + 73,5 + 90 – 105 = 0 
MA = – 74,5 kNm
esforços solicitantes
trecho AC
NX = 15 kN
VX = 5·x + 3·3 + 18 – 15
para x = 0 ! VC = 12 kN
para x = 4 ! VA = 32 kN 
MX = 15·(x + 3) – 18·(x + 1) – 3·3·(x + 3/2) – 5·x·(x/2)
para x = 0 ! MC = 13,5 kN
para x = 4 ! MA = – 74,5 kN (já calculado)
trecho CD
NX = 15 kN
VX = 3·(x + 2) + 18 – 15
para x = 0 ! VD = 9 kN
para x = 1 ! VC = 12 kN
MX = 15·(x + 2) – 18·x – 3·(x + 2)·[(x + 2)/2]
para x = 0 ! MD = 24 kN
para x = 1 ! MC = 13,5 kN
trecho DB
NX = 15 kN
VX = – 15 + 3·x
para x = 0 ! VB = – 15 kN
para x = 2 ! VD = – 9 kN
MX = 15·x – 3·x·(x/2)
para x = 0 ! MB = 0 kN
para x = 2 ! MD = 24 kN
viga
equações de equilíbrio
!N = 0 
15 + NA = 0 
NA = –15 kN
!V = 0
VA – 2·4 – 3·7 – 18 + 15 = 0
VA – 8 – 21 – 18 + 15 = 0
VA = 32 kN
!M = 0 
MA + 8·2 + 21·3,5 + 18·5 – 15·7 = 0
MA + 16 + 73,5 + 90 – 105 = 0 
MA = – 74,5 kNm
esforços solicitantes
trecho AC
NX = 15 kN
VX = 5·x + 3·3 + 18 – 15
para x = 0 ! VC = 12 kN
para x = 4 ! VA = 32 kN 
MX = 15·(x + 3) – 18·(x + 1) – 3·3·(x + 3/2) – 5·x·(x/2)
para x = 0 ! MC = 13,5 kN
para x = 4 ! MA = – 74,5 kN (já calculado)
trecho CD
NX = 15 kN
VX = 3·(x + 2) + 18 – 15
para x = 0 ! VD = 9 kN
para x = 1 ! VC = 12 kN
MX = 15·(x + 2) – 18·x – 3·(x + 2)·[(x + 2)/2]
para x = 0 ! MD = 24 kN
para x = 1 ! MC = 13,5 kN
trecho DB
NX = 15 kN
VX = – 15 + 3·x
para x = 0 ! VB = – 15 kN
para x = 2 ! VD = – 9 kN
MX = 15·x – 3·x·(x/2)
para x = 0 ! MB = 0 kN
para x = 2 ! MD = 24 kN
viga
equações de equilíbrio
!N = 0 
15 + NA = 0 
NA = –15 kN
!V = 0
VA – 2·4 – 3·7 – 18 + 15 = 0
VA – 8 – 21 – 18 + 15 = 0
VA = 32 kN
!M = 0 
MA + 8·2 + 21·3,5 + 18·5 – 15·7 = 0
MA + 16 + 73,5 + 90 – 105 = 0 
MA = – 74,5 kNm
esforços solicitantes
trecho AC
NX = 15 kN
VX = 5·x + 3·3 + 18 – 15
para x = 0 ! VC = 12 kN
para x = 4 ! VA = 32 kN 
MX = 15·(x + 3) – 18·(x + 1) – 3·3·(x + 3/2) – 5·x·(x/2)
para x = 0 ! MC = 13,5 kN
para x = 4 ! MA = – 74,5 kN (já calculado)
trecho CD
NX = 15 kN
VX = 3·(x + 2) + 18 – 15
para x = 0 ! VD = 9 kN
para x = 1 ! VC = 12 kN
MX = 15·(x + 2) – 18·x – 3·(x + 2)·[(x + 2)/2]
para x = 0 ! MD = 24 kN
para x = 1 ! MC = 13,5 kN
trecho DB
NX = 15 kN
VX = – 15 + 3·x
para x = 0 ! VB = – 15 kN
para x = 2 ! VD = – 9 kN
MX = 15·x – 3·x·(x/2)
para x = 0 ! MB = 0 kN
para x = 2 ! MD = 24 kN
viga
equações de equilíbrio
!N = 0 
15 + NA = 0 
NA = –15 kN
!V = 0
VA – 2·4 – 3·7 – 18 + 15 = 0
VA – 8 – 21 – 18 + 15 = 0
VA = 32 kN
!M = 0 
MA + 8·2 + 21·3,5 + 18·5 – 15·7 = 0
MA + 16 + 73,5 + 90 – 105 = 0 
MA = – 74,5 kNm
esforços solicitantes
trecho AC
NX = 15 kN
VX = 5·x + 3·3 + 18 – 15
para x = 0 ! VC = 12 kN
para x = 4 ! VA = 32 kN 
MX = 15·(x + 3) – 18·(x + 1) – 3·3·(x + 3/2) – 5·x·(x/2)
para x = 0 ! MC = 13,5 kN
para x = 4 ! MA = – 74,5 kN (já calculado)
trecho CD
NX = 15 kN
VX = 3·(x + 2) + 18 – 15
para x = 0 ! VD = 9 kN
para x = 1 ! VC = 12 kN
MX = 15·(x + 2) – 18·x – 3·(x + 2)·[(x + 2)/2]
para x = 0 ! MD = 24 kN
para x = 1 ! MC = 13,5 kN
trecho DB
NX = 15 kN
VX = – 15 + 3·x
para x = 0 ! VB = – 15 kN
para x = 2 ! VD = – 9 kN
MX = 15·x – 3·x·(x/2)
para x = 0 ! MB = 0 kN
para x = 2 ! MD = 24 kN
cálculo das 
reações de apoio
modelo no ftool
cálculos esforços solicitantes
trecho AC
trecho CD
trecho DB
Para realizar os cálculos dos esforços solicitantes, dividimos a análise em três partes, uma para 
cada trecho da viga — trechos AC, CD e DB. Os cálculos baseiam-se no Teorema do Corte, se-
gundo o qual a redução dos esforços de um lado do corte da viga equivale à redução dos esfor-
ços do outro lado. Quanto aos valores que são definidos pela variável distância (local do corte), 
realizamos os cálculos considerando os extremos do trecho analisado (x igual a zero e x igual à 
máxima distância do trecho).
Adotamos as seguintes convenções de sinal positivo: força normal para a direita, força cortante 
para cima e momento fletor no sentido horário. 
*essas mesmas observações também se aplicam aos cálculos dos trechos da segunda estrutura analisada, o 
pórtico isostático.
viga
equações de equilíbrio
!N = 0 
15 + NA = 0 
NA = –15 kN
!V = 0
VA – 2·4 – 3·7 – 18 + 15 = 0
VA – 8 – 21 – 18 + 15 = 0
VA = 32 kN
!M = 0 
MA + 8·2 + 21·3,5 + 18·5 – 15·7 = 0
MA + 16 + 73,5 + 90 – 105 = 0 
MA = – 74,5 kNm
esforços solicitantes
trecho AC
NX = 15 kN
VX = 5·x + 3·3 + 18 – 15
para x = 0 ! VC = 12 kN
parax = 4 ! VA = 32 kN 
MX = 15·(x + 3) – 18·(x + 1) – 3·3·(x + 3/2) – 5·x·(x/2)
para x = 0 ! MC = 13,5 kN
para x = 4 ! MA = – 74,5 kN (já calculado)
trecho CD
NX = 15 kN
VX = 3·(x + 2) + 18 – 15
para x = 0 ! VD = 9 kN
para x = 1 ! VC = 12 kN
MX = 15·(x + 2) – 18·x – 3·(x + 2)·[(x + 2)/2]
para x = 0 ! MD = 24 kN
para x = 1 ! MC = 13,5 kN
trecho DB
NX = 15 kN
VX = – 15 + 3·x
para x = 0 ! VB = – 15 kN
para x = 2 ! VD = – 9 kN
MX = 15·x – 3·x·(x/2)
para x = 0 ! MB = 0 kN
para x = 2 ! MD = 24 kN
viga
equações de equilíbrio
!N = 0 
15 + NA = 0 
NA = –15 kN
!V = 0
VA – 2·4 – 3·7 – 18 + 15 = 0
VA – 8 – 21 – 18 + 15 = 0
VA = 32 kN
!M = 0 
MA + 8·2 + 21·3,5 + 18·5 – 15·7 = 0
MA + 16 + 73,5 + 90 – 105 = 0 
MA = – 74,5 kNm
esforços solicitantes
trecho AC
NX = 15 kN
VX = 5·x + 3·3 + 18 – 15
para x = 0 ! VC = 12 kN
para x = 4 ! VA = 32 kN 
MX = 15·(x + 3) – 18·(x + 1) – 3·3·(x + 3/2) – 5·x·(x/2)
para x = 0 ! MC = 13,5 kN
para x = 4 ! MA = – 74,5 kN (já calculado)
trecho CD
NX = 15 kN
VX = 3·(x + 2) + 18 – 15
para x = 0 ! VD = 9 kN
para x = 1 ! VC = 12 kN
MX = 15·(x + 2) – 18·x – 3·(x + 2)·[(x + 2)/2]
para x = 0 ! MD = 24 kN
para x = 1 ! MC = 13,5 kN
trecho DB
NX = 15 kN
VX = – 15 + 3·x
para x = 0 ! VB = – 15 kN
para x = 2 ! VD = – 9 kN
MX = 15·x – 3·x·(x/2)
para x = 0 ! MB = 0 kN
para x = 2 ! MD = 24 kN
viga
equações de equilíbrio
!N = 0 
15 + NA = 0 
NA = –15 kN
!V = 0
VA – 2·4 – 3·7 – 18 + 15 = 0
VA – 8 – 21 – 18 + 15 = 0
VA = 32 kN
!M = 0 
MA + 8·2 + 21·3,5 + 18·5 – 15·7 = 0
MA + 16 + 73,5 + 90 – 105 = 0 
MA = – 74,5 kNm
esforços solicitantes
trecho AC
NX = 15 kN
VX = 5·x + 3·3 + 18 – 15
para x = 0 ! VC = 12 kN
para x = 4 ! VA = 32 kN 
MX = 15·(x + 3) – 18·(x + 1) – 3·3·(x + 3/2) – 5·x·(x/2)
para x = 0 ! MC = 13,5 kN
para x = 4 ! MA = – 74,5 kN (já calculado)
trecho CD
NX = 15 kN
VX = 3·(x + 2) + 18 – 15
para x = 0 ! VD = 9 kN
para x = 1 ! VC = 12 kN
MX = 15·(x + 2) – 18·x – 3·(x + 2)·[(x + 2)/2]
para x = 0 ! MD = 24 kN
para x = 1 ! MC = 13,5 kN
trecho DB
NX = 15 kN
VX = – 15 + 3·x
para x = 0 ! VB = – 15 kN
para x = 2 ! VD = – 9 kN
MX = 15·x – 3·x·(x/2)
para x = 0 ! MB = 0 kN
para x = 2 ! MD = 24 kN
diagramas ftool força normal e força cortante
A C D B
força cortante
força normal
A C D B
A C D B
Observa-se que a força normal é constante por toda a viga, com o valor de 15 kN (o valor obtido 
pelo FTool equivale ao resultado de nossos cálculos); além disso, nota-se que a força normal é 
positiva em toda a viga, o que indica que a estrutura está sendo tracionada no eixo horizontal.
Os valores resultantes da análise do FTool correspondem aos nossos resultados, calculados 
anteriormente. Quanto ao diagrama, observa-se que a força cortante varia linearmente em todos 
os trechos da viga, já que há forças distribuídas atuando em todos eles; porém, como também há 
forças pontuais e inclusive a força distribuída varia em cada trecho, o diagrama resultante não é 
contínuo em toda a viga. Nos trechos AC e CD, os valores da força cortante são positivos, o que 
indica que, nesses trechos, as fibras superiores estão tracionadas e as inferiores, comprimidas; já 
no trecho DB, a força é negativa, revelando que nesse trecho ocorre o oposto — é no nó D que 
ocorre a mudança: à direita do nó a força cortante é negativa e, à esquerda, positiva. A inclinação 
diferente dos diagramas dos trechos AC e CD é explicada pelo valor, diferente, da força distribuída 
nos dois trechos — no primeiro, a força é de 5 kN/m e, no segundo, 3 kN/m.
A
C D B
momento fletor
deformada
diagramas ftool momento fletor e deformada
Os valores dos momentos fletores nos nós A, C, D e B revelados pelo FTool equivalem aos 
resultados obtidos em nossos cálculos. Como em toda a extensão da barra há carregamento 
distribuído, os diagramas de momentos fletores de todos os trechos têm formas de parábolas — é 
importante ressaltar esse aspecto, pois, devido à escala do gráfico fornecido pelo FTool, o diagra-
ma pode ser confundido com linhas retas.
A deformada dessa estrutura revela uma deformação com duas concavidades: a partir do engasta-
mento até o ponto que o momento é nulo, a cavidade é para baixo (já que as fibras superiores 
estão tracionadas nesse trecho); no restante da viga, a concavidade é para cima (as fibras traciona-
das são as inferiores).
A
C D B
A C D B
A
C
D
B
A
C D B
2
pórtico isostático
equações de equilíbrio reações de apoio
Por meio das equações de equilíbrio, é possível descobrir as reações de apoio do pórtico analisa-
do; buscamos três valores: referentes à articulação fixa A, devemos encontrar uma força de reação 
normal (eixo x) e outra cortante (eixo y), e quanto à articulação móvel B, procuramos somente 
uma reação de apoio, cortante, já que, por ser móvel, essa articulação não oferece reação de apoio 
no eixo x. 
Sobre as forças, vale destacar dois pontos: primeiro, que o carregamento distribuído de 10 kN/m 
foi substituído, para efeito de cálculo, por uma força pontual de 50 kN, localizada no meio do 
trecho DE; segundo, que foi necessário decompor as forças inclinadas em duas forças, nos eixos x 
e y — além de ser um passo importante para o cálculo das reações de apoio, foi por meio dessa 
decomposição que incluímos as forças diagonais no modelo do FTool, já que o programa não 
representa forças inclinadas.
Para calcular as reações de apoio, adotamos como sinal positivo as forças para a direita no eixo x, 
para cima no eixo y e no sentido horário para o momento fletor.
decomposição das 
forças inclinadas
esquema do 
pórtico isostático
A
B
C D FE
G
pórtico
equações de equilíbrio
!N = 0 
NA + 30 – 40 – 20 = 0
NA = 30 kN
!V = 0
VA + VB – 40 – 30 – 10·5 = 0
VA + VB = 120 ! VA = 72 kN (da equação abaixo)
VB = 48 kN
MB = 0 
VA·5 – 40·2,5 + 30·1 – 20·1,25 – 50·2,5 + 30 ·1,5 + 30·2,5 – 40·6,5 = 0
VA·5 – 100 + 30 – 25 – 125 + 45 + 75 – 260 = 0
VA = 360 / 5
VA = 72 kN
esforços solicitantes
trecho CD
NX = – 30 kN
VX = – 40 kN
MX = 40·x
para x = 0 ! MC = 0
para x = 1,5 ! MD = 60 kNm
trecho AD
NX = – 72 kN
VX = – 30 kN
MX = 30·x
para x = 0 ! MA = 0
para x = 1 ! MD = 30 kNm
trecho DE
NX = –30 – 30 = – 60 kN
VX = – 40 + 72 – 10·x
para x = 0 ! VD = 32 kN
para x = 5 ! VE = – 18 kN
MX = – 40·(x +1,5) – 5·x2 + 72·x – 30
para x = 0 ! MD = – 90 kNm
para x = 5 ! ME = – 55 kNm
pórtico
equações de equilíbrio
!N = 0 
NA + 30 – 40 – 20 = 0
NA = 30 kN
!V = 0
VA + VB – 40 – 30 – 10·5 = 0
VA + VB = 120 ! VA = 72 kN (da equação abaixo)
VB = 48 kN
MB = 0 
VA·5 – 40·2,5 + 30·1 – 20·1,25 – 50·2,5 + 30 ·1,5 + 30·2,5 – 40·6,5 = 0
VA·5 – 100 + 30 – 25 – 125 + 45 + 75 – 260 = 0
VA = 360 / 5
VA = 72 kN
esforços solicitantes
trecho CD
NX = – 30 kN
VX = – 40 kN
MX = 40·x
para x = 0 ! MC = 0
para x = 1,5 ! MD = 60 kNm
trecho AD
NX = – 72 kN
VX = – 30 kN
MX = 30·x
para x = 0 ! MA = 0
para x = 1 ! MD = 30 kNm
trecho DE
NX = –30 – 30 = – 60 kN
VX = – 40 + 72 – 10·x
para x = 0 ! VD = 32 kN
para x = 5 ! VE = – 18 kN
MX = – 40·(x +1,5) – 5·x2 + 72·x – 30
para x = 0 ! MD = – 90 kNm
para x = 5 ! ME = – 55 kNm
pórtico
equações de equilíbrio
!N = 0 
NA + 30 – 40 – 20 = 0
NA = 30 kN
!V = 0
VA + VB – 40 – 30 – 10·5 = 0
VA + VB = 120 ! VA = 72 kN (da equação abaixo)
VB = 48 kN
MB = 0 
VA·5 – 40·2,5 + 30·1 – 20·1,25 – 50·2,5 + 30 ·1,5 + 30·2,5 – 40·6,5 = 0
VA·5 – 100 + 30 – 25 – 125 + 45 + 75 – 260 = 0
VA = 360 / 5
VA = 72 kN
esforços solicitantes
trecho CD
NX = – 30 kN
VX = – 40 kN
MX = 40·x
para x = 0 ! MC = 0
para x = 1,5 ! MD = 60 kNm
trecho ADNX = – 72 kN
VX = – 30 kN
MX = 30·x
para x = 0 ! MA = 0
para x = 1 ! MD = 30 kNm
trecho DE
NX = –30 – 30 = – 60 kN
VX = – 40 + 72 – 10·x
para x = 0 ! VD = 32 kN
para x = 5 ! VE = – 18 kN
MX = – 40·(x +1,5) – 5·x2 + 72·x – 30
para x = 0 ! MD = – 90 kNm
para x = 5 ! ME = – 55 kNm
pórtico
equações de equilíbrio
!N = 0 
NA + 30 – 40 – 20 = 0
NA = 30 kN
!V = 0
VA + VB – 40 – 30 – 10·5 = 0
VA + VB = 120 ! VA = 72 kN (da equação abaixo)
VB = 48 kN
MB = 0 
VA·5 – 40·2,5 + 30·1 – 20·1,25 – 50·2,5 + 30 ·1,5 + 30·2,5 – 40·6,5 = 0
VA·5 – 100 + 30 – 25 – 125 + 45 + 75 – 260 = 0
VA = 360 / 5
VA = 72 kN
esforços solicitantes
trecho CD
NX = – 30 kN
VX = – 40 kN
MX = 40·x
para x = 0 ! MC = 0
para x = 1,5 ! MD = 60 kNm
trecho AD
NX = – 72 kN
VX = – 30 kN
MX = 30·x
para x = 0 ! MA = 0
para x = 1 ! MD = 30 kNm
trecho DE
NX = –30 – 30 = – 60 kN
VX = – 40 + 72 – 10·x
para x = 0 ! VD = 32 kN
para x = 5 ! VE = – 18 kN
MX = – 40·(x +1,5) – 5·x2 + 72·x – 30
para x = 0 ! MD = – 90 kNm
para x = 5 ! ME = – 55 kNm
pórtico
equações de equilíbrio
!N = 0 
NA + 30 – 40 – 20 = 0
NA = 30 kN
!V = 0
VA + VB – 40 – 30 – 10·5 = 0
VA + VB = 120 ! VA = 72 kN (da equação abaixo)
VB = 48 kN
MB = 0 
VA·5 – 40·2,5 + 30·1 – 20·1,25 – 50·2,5 + 30 ·1,5 + 30·2,5 – 40·6,5 = 0
VA·5 – 100 + 30 – 25 – 125 + 45 + 75 – 260 = 0
VA = 360 / 5
VA = 72 kN
esforços solicitantes
trecho CD
NX = – 30 kN
VX = – 40 kN
MX = 40·x
para x = 0 ! MC = 0
para x = 1,5 ! MD = 60 kNm
trecho AD
NX = – 72 kN
VX = – 30 kN
MX = 30·x
para x = 0 ! MA = 0
para x = 1 ! MD = 30 kNm
trecho DE
NX = –30 – 30 = – 60 kN
VX = – 40 + 72 – 10·x
para x = 0 ! VD = 32 kN
para x = 5 ! VE = – 18 kN
MX = – 40·(x +1,5) – 5·x2 + 72·x – 30
para x = 0 ! MD = – 90 kNm
para x = 5 ! ME = – 55 kNm
pórtico
equações de equilíbrio
!N = 0 
NA + 30 – 40 – 20 = 0
NA = 30 kN
!V = 0
VA + VB – 40 – 30 – 10·5 = 0
VA + VB = 120 ! VA = 72 kN (da equação abaixo)
VB = 48 kN
MB = 0 
VA·5 – 40·2,5 + 30·1 – 20·1,25 – 50·2,5 + 30 ·1,5 + 30·2,5 – 40·6,5 = 0
VA·5 – 100 + 30 – 25 – 125 + 45 + 75 – 260 = 0
VA = 360 / 5
VA = 72 kN
esforços solicitantes
trecho CD
NX = – 30 kN
VX = – 40 kN
MX = 40·x
para x = 0 ! MC = 0
para x = 1,5 ! MD = 60 kNm
trecho AD
NX = – 72 kN
VX = – 30 kN
MX = 30·x
para x = 0 ! MA = 0
para x = 1 ! MD = 30 kNm
trecho DE
NX = –30 – 30 = – 60 kN
VX = – 40 + 72 – 10·x
para x = 0 ! VD = 32 kN
para x = 5 ! VE = – 18 kN
MX = – 40·(x +1,5) – 5·x2 + 72·x – 30
para x = 0 ! MD = – 90 kNm
para x = 5 ! ME = – 55 kNm
cálculo das 
reações de apoio
modelo no ftool
cálculos esforços solicitantes
pórtico
equações de equilíbrio
!N = 0 
NA + 30 – 40 – 20 = 0
NA = 30 kN
!V = 0
VA + VB – 40 – 30 – 10·5 = 0
VA + VB = 120 ! VA = 72 kN (da equação abaixo)
VB = 48 kN
MB = 0 
VA·5 – 40·2,5 + 30·1 – 20·1,25 – 50·2,5 + 30 ·1,5 + 30·2,5 – 40·6,5 = 0
VA·5 – 100 + 30 – 25 – 125 + 45 + 75 – 260 = 0
VA = 360 / 5
VA = 72 kN
esforços solicitantes
trecho CD
NX = – 30 kN
VX = – 40 kN
MX = 40·x
para x = 0 ! MC = 0
para x = 1,5 ! MD = 60 kNm
trecho AD
NX = – 72 kN
VX = – 30 kN
MX = 30·x
para x = 0 ! MA = 0
para x = 1 ! MD = 30 kNm
trecho DE
NX = –30 – 30 = – 60 kN
VX = – 40 + 72 – 10·x
para x = 0 ! VD = 32 kN
para x = 5 ! VE = – 18 kN
MX = – 40·(x +1,5) – 5·x2 + 72·x – 30
para x = 0 ! MD = – 90 kNm
para x = 5 ! ME = – 55 kNm
trecho CD
pórtico
equações de equilíbrio
!N = 0 
NA + 30 – 40 – 20 = 0
NA = 30 kN
!V = 0
VA + VB – 40 – 30 – 10·5 = 0
VA + VB = 120 ! VA = 72 kN (da equação abaixo)
VB = 48 kN
MB = 0 
VA·5 – 40·2,5 + 30·1 – 20·1,25 – 50·2,5 + 30 ·1,5 + 30·2,5 – 40·6,5 = 0
VA·5 – 100 + 30 – 25 – 125 + 45 + 75 – 260 = 0
VA = 360 / 5
VA = 72 kN
esforços solicitantes
trecho CD
NX = – 30 kN
VX = – 40 kN
MX = 40·x
para x = 0 ! MC = 0
para x = 1,5 ! MD = 60 kNm
trecho AD
NX = – 72 kN
VX = – 30 kN
MX = 30·x
para x = 0 ! MA = 0
para x = 1 ! MD = 30 kNm
trecho DE
NX = –30 – 30 = – 60 kN
VX = – 40 + 72 – 10·x
para x = 0 ! VD = 32 kN
para x = 5 ! VE = – 18 kN
MX = – 40·(x +1,5) – 5·x2 + 72·x – 30
para x = 0 ! MD = – 90 kNm
para x = 5 ! ME = – 55 kNm
trecho AD
pórtico
equações de equilíbrio
!N = 0 
NA + 30 – 40 – 20 = 0
NA = 30 kN
!V = 0
VA + VB – 40 – 30 – 10·5 = 0
VA + VB = 120 ! VA = 72 kN (da equação abaixo)
VB = 48 kN
MB = 0 
VA·5 – 40·2,5 + 30·1 – 20·1,25 – 50·2,5 + 30 ·1,5 + 30·2,5 – 40·6,5 = 0
VA·5 – 100 + 30 – 25 – 125 + 45 + 75 – 260 = 0
VA = 360 / 5
VA = 72 kN
esforços solicitantes
trecho CD
NX = – 30 kN
VX = – 40 kN
MX = 40·x
para x = 0 ! MC = 0
para x = 1,5 ! MD = 60 kNm
trecho AD
NX = – 72 kN
VX = – 30 kN
MX = 30·x
para x = 0 ! MA = 0
para x = 1 ! MD = 30 kNm
trecho DE
NX = –30 – 30 = – 60 kN
VX = – 40 + 72 – 10·x
para x = 0 ! VD = 32 kN
para x = 5 ! VE = – 18 kN
MX = – 40·(x +1,5) – 5·x2 + 72·x – 30
para x = 0 ! MD = – 90 kNm
para x = 5 ! ME = – 55 kNm
trecho DE
trecho EF
NX = – 40 kN
VX = 30 kN
MX = 30·x
para x = 0 ! MF = 0
para x = 1 ! ME = 30 kNm 
trecho BG
NX = 0
VX = – 48 kN
MX = 0
trecho EG
NX = – 48 kN
VX = 20 kN
MX = 20·x
para x = 0 ! MG = 0
para x = 1,25 ! ME = 25 kNm
trecho EF
trecho EF
NX = – 40 kN
VX = 30 kN
MX = 30·x
para x = 0 ! MF = 0
para x = 1 ! ME = 30 kNm 
trecho BG
NX = 0
VX = – 48 kN
MX = 0
trecho EG
NX = – 48 kN
VX = 20 kN
MX = 20·x
para x = 0 ! MG = 0
para x = 1,25 ! ME = 25 kNm
trecho BG
trecho EF
NX = – 40 kN
VX = 30 kN
MX = 30·x
para x = 0 ! MF = 0
para x = 1 ! ME = 30 kNm 
trecho BG
NX = 0
VX = – 48 kN
MX = 0
trecho EG
NX = – 48 kN
VX = 20 kN
MX = 20·x
para x = 0 ! MG = 0
para x = 1,25 ! ME = 25 kNm
trecho EG
diagramas ftool força normal
O diagrama de forças normais gerado pelo FTool confere com os dados obtidos manualmente. Os 
valores negativos indicam, por convenção, que esta estrutura está submetida a esforços normais de 
compressão em todos seus trechos.
A
B
C D FE
G
A
B
C D FE
G
As forças cortantes encontradas manualmente também coincidem com as resoluções do Ftool. 
Nota-se que a carga distribuída presente no trecho DE da estrutura resulta na variação linear da 
força cortante, revelada pelo diagrama acima; já nos outros trechos, como só atuam forças pon-
tuais, as forças cortantes são constantes. No trecho BG a força cortante é nula, pois o apoio em 
B é uma articulação móvel — ou seja, não oferece uma reação de apoio horizontal (eixo-x), que 
atuaria, caso não fosse nula, como força cortante no trecho BG.
diagramas ftool força cortante
A
B
C D FE
G
A
B
C D FE
G
As informações obtidas outra vez coincidem. Observa-se que o trecho com carregamento dis-
tribuído (DE) resulta em um gráfico em parábola, conforme previsto, enquanto os trechos restant-
es apresentam diagramas que variam linearmente. No trecho BG não há momento fletor, pois não 
há uma força cortante atuando nesse trecho — que provocaria o momento. Importante notar que 
o lado para o qual o diagrama está traçado indica o lado das fibras tracionadas da barra; com essas 
informações, é possível traçar a deformada da viga.
diagramas ftool momento fletor
A
B
C D FE
G
A
B
C D FE
G
diagramas ftool deformada
Como esperado, a deformada gerada pelo programa indica na estrutura a tendência de se arquear 
com concavidade para baixo. Observa-se claramente nessa deformada o apoio móvel da direita 
se movendo horizontalmente, conforme as deformações da estrutura; esteapoio garante que as 
possíveis deformações resultadas com o tempo e com as variações de dimensão por dilatação não 
levem a estrutura à ruptura.
A
B
C
D
F
E
G
A
B
C
D
F
E
G