Reações de apoio e várias outras.

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SUMÁRIO 
 
 
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................. 
1.1 Parâmetros que influenciam a concepção de sistemas estruturais .............. 
1.2 Classificação das peças estruturais quanto à geometria ............................... 
1.3 Tipos de Vínculos ........................................................................................ 
1.4 Estaticidade e Estabilidade .......................................................................... 
1.5 Reações de apoio em estruturas planas ....................................................... 
1.6 Reações de Apoio no Espaço ...................................................................... 
2. ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS ...................... 
2.1 Treliças ........................................................................................................ 
 2.1.1 Método de Ritter .................................................................................... 
 2.1.2 Método Cremona ................................................................................... 
2.2 Vigas ............................................................................................................ 
 2.2.1 Método Direto para Diagramas ............................................................. 
 2.2.2 Vigas Gerber ......................................................................................... 
 2.2.3 Vigas Inclinadas .................................................................................... 
2.3 Pórticos ........................................................................................................ 
 2.3.1 Estruturas Aporticadas .......................................................................... 
 2.3.2 Pórtico Simples ..................................................................................... 
 2.3.3 Pórtico com Articulação e Tirante ........................................................ 
 2.3.4 Pórticos Compostos ............................................................................... 
2.3 Cabos ........................................................................................................... 
 2.4.1 Reações de Apoio para Cabos ............................................................... 
 2.4.2 Esforços Normais de Tração Atuantes em Cabos ................................. 
 2.4.3 Conformação Geométrica Final do Cabo .............................................. 
2.5 Arcos ........................................................................................................... 
 2.5.1 Arcos Biapoiados ................................................................................... 
 2.5.2 Pórticos com Arcos ............................................................................... 
 2.5.3 Arcos Triarticulados .............................................................................. 
 
 
1 
1 
1 
3 
8 
13 
19 
21 
21 
27 
33 
42 
42 
48 
54 
61 
61 
69 
76 
78 
82 
87 
92 
97 
106 
109 
112 
114 
 
 
 
 
 
 
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 1 
Profº Rodrigo da Mata 
 
 
1 – INTRODUÇÃO 
1.1 - Parâmetros que influenciam a concepção de sistemas estruturais 
A estrutura é conjunto formado pelas partes resistentes que garantem a estabilidade de um 
objeto de projeto, por exemplo, uma edificação. Quando se projeta uma estrutura, a análise do 
comportamento estrutural exige que sejam feitas algumas simplificações que conduzem a 
modelos estruturais. Para que se defina o sistema estrutural mais adequado, para uma 
determinada situação de projeto, devem ser considerados vários fatores. Os principais são: 
 Projeto arquitetônico: 
-Aspectos funcionais (dimensão do espaço interno, iluminação, limitações do espaço 
exterior,...) 
 -Aspectos estéticos (sistemas diferentes geram formas diferentes) 
 Carregamento atuante: 
-Permanente 
-Variável Acidental 
 Efeito do vento 
 Condições de fabricação, transporte e montagem da estrutura (vias de acesso, içamento) 
 Material estrutural a ser utilizado (cada material possui características mecânicas 
peculiares): o material deve estar adequado ao tipo de esforços solicitantes as estrutura 
 
Para identificação do sistema estrutural mais adequado deve-se: 
1º.) Identificar as possíveis opções; 
2º.) Analisar e comparar as vantagens e inconvenientes de cada um ; 
 
1.2 - Classificação das peças estruturais quanto à geometria 
 Os sistemas estruturais são modelos de comportamento idealizados para representação e 
análise de uma estrutura tridimensional. Estes modelos obedecem a uma convenção. Esta 
convenção pode ser feita em função da geometria das peças estruturais que compõem o conjunto 
denominado sistema estrutural. 
 Quanto à geometria, um corpo pode ser identificado por três dimensões principais que 
definem seu volume. Conforme as relações entre estas dimensões, surgem quatro tipos de peças 
estruturais: 
 
 
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 2 
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Barra: duas dimensões da mesma ordem de grandeza e uma terceira maior que as outras duas. 
 
Barra de elementos delgados: as três dimensões principais são de diferentes ordens de 
grandeza. É o caso dos perfis metálicos, onde a espessura é muito menor que as dimensões da 
seção transversal, que é menor que o comprimento da peça. As barras de elementos delgados são 
tratadas, sob o ponto de vista estrutural, da mesma forma que as barras, exceção feita à 
solicitação por torção. 
 
Folhas ou lâminas: duas dimensões de mesma ordem de grandeza, maiores que a terceira 
dimensão. Subdividem-se em: 
 
Placas: carregamento perpendicular ao plano médio. 
Chapas: carregamento contido no plano médio. 
Cascas: superfície média curva. 
Bloco: as três dimensões são da mesma ordem de grandeza. 
 
 
 
 
 
 
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Mz=0
x
y
Ry
Rx
1.3 – Tipos de Vínculos 
 Vínculos são elementos que impedem o deslocamento de pontos das peças, introduzindo 
esforços nesses pontos correspondentes aos deslocamentos impedidos. Os deslocamentos podem 
ser de translação ou de rotação. 
 
1.3.1 – Vínculos no plano: 
 No plano, um corpo rígido qualquer tem três graus de liberdade de movimento: 
deslocamento em duas direções e rotação. 
a)Apoio simples ou de primeiro gênero: 
Reação na direção do movimento impedido. 
Exemplo de movimento: rolete do skate. 
b)Articulação, rótula ou apoio do segundo gênero: 
 
 
 
 
Exemplo de movimento: dobradiça. 
c)Engaste: ou apoio de terceiro gênero: 
Exemplo de movimento: poste enterrado no solo. 
Rx
Ry=0Mz=0
x
y
Ry
Rx=0
y
z
x x
y
z
y
x
Mz
Rx
Ry
z
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 4 
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Vínculos no Plano 
 
Tipo de vínculo Símbolo Reações 
Cabo 
 
Ligação esbelta_________________________________________________ 
Roletes 
 
Rótula_________________________________________________ 
 
luva com articulação__________________________________________ 
 
 
Articulação ________________________________ 
 
 
 
 
 
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Apoio 
deslizante
 
Luva rígida ______________________________________________ 
 
 
Apoio rígido, engaste______________________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 6 
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
MK
Rigidez de uma Ligação 
 
Rigidez à Rotação Ligação Articulada 
 
K  0 
 
 
 Ligação Rígida 
 
K     0o 
 
 
 Ligação Semi-Rígida 
 
0 < K <  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
K = M /
M

M
geometria indeformada
geometria deformada
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Exemplos de Vínculos 
Apoio rotulado em viga de ponte Apoio com material de baixo coeficiente 
de atrito, funcionando como roletes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Roletes nos apoios de vigas de 
 Rolete nos apoios de vigas de 
 concreto protendido de uma 
 ponte rodoviária 
 
 
 
 
 
 
 
Ligação de canto rígida de um pórtico de 
aço. Observam-se as chapas formando 
uma ligação rígida com os pilares. 
 
 
 
 
 
A inclinação da rótula de apoio entre as duas 
vigas indica a expansão térmica do tabuleiro da 
ponte. Os enrijecedores verticais na região de apoio 
previnem a flambagem local causadas pelas altas 
reações de apoio 
 
 
 
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1.4 –Estaticidade e Estabilidade: 
a) Estrutura é restringida e número de incógnitas é igual ao número de equações de 
equilíbrio: ISOSTÁTICA. 
b) Estrutura é restringida e o número de incógnitas é maior que o número de equações de 
equilíbrio: HIPERESTÁTICA. 
c) Estrutura não é restringida ou número de incógnitas é menor que o número de equações 
de equilíbrio: HIPOSTÁTICA. 
Uma estrutura está restringida quando possui vínculos para restringir todos os movimentos 
possíveis da estrutura (translação e rotação) como um corpo rígido. 
Número de incógnitas: 
- Externas: reações de apoio ou vinculares 
- Internas: esforços internos necessários ao traçado dos diagramas (conhecidas as reações 
de apoio) – estruturas fechadas. 
Número de equações de equilíbrio: 
- Externo: equações de equilíbrio estático para a estrutura como um todo (seis no espaço e 
três no plano). 
- Interno: equações de equilíbrio estático para parte da estrutura conhecido um ou mais 
esforços internos (ex.: rótula). 
g: grau de estaticidade ou hiperestaticidade = número de incógnitas – número de equações. 
Sussekind: g = ge + gi, sendo ge = número de incógnitas externas – número de equações de 
equilíbrio externo e interno e gi, = número de incógnitas internas, ou também 
ge = grau de hiperestaticidade externa 
gi = grau de hiperestaticidade interna 
Tipos de Equilíbrio: 
 
 Estável Instável Indiferente 
 
 
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Exemplos: Estruturas Planas 
Vigas 
 
g = número de incógnitas – número de equações = 4 – ( 3+1 ) = 4 – 4 = 0 
ou g = ge + gi ge = 4 – 4 = 0 
gi = 0 
Como resolver: 4 incógnitas: VA, HA, VB, VD . 
i)  FX = 0 HA + ... = 0 
 FY = 0 VA + VB + VD = 0 3 Equações 
 MA = 0 d1.VB + d2.VD - ... - ... = 0 
 (qualquer ponto) 
Uma equação adicional: 
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 10 
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MC = 0 (Parte da direita ou da esquerda da viga) 
Ex.: À Direita 
 Mo = 0 
MC + Rxd + F1Yx(d/2) - VDxd = 0 VD= 0 
 
 
 
ii) Separar em diversas vigas isostáticas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nº de Equações adicionais = Nº de barras ligadas pela rótula - 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estrutura Isostática g = 0 
Restringida a movimentação de corpo rígido 
 
 
 
 
 
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Exemplos: Pórticos, Arcos, Quadros. 
Pórticos: 
 
 
 
 
 (Triarticulado) 
 g = ge = 3 – 3 = 0 g = ge = 3 – 3 = 0 g = ge = 4 – (3 + 1) = 0 
 (Triarticulado) Hiperestática Hiperestática 
 g = ge = 4 – (3 + 1) = 0 g = ge = 4 – 3 = 1 g = ge = 4 – 3 = 1 
4 Incóg.: VA, HA, VB (Ext) Incog(Ext) = 3 g = ge + gi 
 NF10 (Int) Incog(Int) = 1 ge = 3 – 3 = 0 
ge = 3 – 3 = 0 Eq(Ext) = 3 gi = 1 
gi = 1 Eq(Int) = 1 g = 0 
g = ge + gi = 1 g =(3+1)-(3+1)=0 Isostática 
Hiperestática ou ge = 3 - 4= -1 Restringida 
 g =0 gi = 1 
 Isostática 
MC = 0 (À direita 
ou à esquerda) 
MCD = MCE = 0 
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g = 1 g = 2 
Momento 
fletor é nulo 
Arcos: 
 
 
 
 
 g = ge = 3 – 3 = 0 g = ge = 4 – 3 = 1 ge = 4 – (3 + 1) = 0 
 Isostática Hiperestática Isostática 
 
 
 
 
 g = ge = ((3 + 2) – 3)= 2 ge = 3 – 3 = 0 ge = 4 – 3 = 1 
 gi = 1 gi = 1 
 Hiperestática Hiperestática 
Quadros: 
 Conhecidos N1, V1 e M1, obtem-se os esforços N2, V2 e M2 ou em qualquer seção. 
 
 
 
 
 
 
 
 ge = 3 – 3 = 0 gi = 3 
 Não é possível traçar os g = ge + gi = 0 + 3 = 3 
 diagramas, só conhecidas Hiperestática internamente 
 as reações de apoio HA, VA, VB. 
 
g = ge + gi = 0 + 6 = 6 
Hiperestática internamente 
 
 
 
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1.
50
m
1.
50
m
2 .00m 2.00m 3.00m





2.
50
m


1.4 – Reações de apoio em estruturas planas: 
1) Estrutura Aporticada 
Cos  =4/5 
Sen  =3/5 
 
 
 
 
 
Decompor a força de 10kN nas direções x e y: 
 
i) FX = 0 HA + 6kN = 0 HA = - 6kN 
ii) FY = 0 VA + VB = (10x3) + 8 = 38kN 
iii) MA = 0 7xVB – (30x 5,5)- (8x2) – (6x1,5) = 0 
7VB = 190  VB = 27,14N 
Logo, VA = 38kN – 27,14kN = 10,86kN 
 
 
Outra maneira seria: 
MA = 0 
 
7VB – (30x 5,5)- (10x2,5) = 0 
7VB = 165+25 = 190 
VB = 27,14kN 
 
Verificação: MB = 0 
(10,86x7) + (6x3) – (30x1,5) – (8x5) = 0 
76 + 18 – 45 – 40 – 9 = 0 
 
 
 
Y
X
10x(3/5)=6kN 
10x(4/5)=8kN 
10kN
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4.00m 4.00m
3
.0
0m
3
.0
0m
1 .50m 1.50m
2
.0
0m
2
.0
0m
2) Pórtico Isostático 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) FX = 0 -HA + 40 = 0 HA = 40kN 
ii) FY = 0 VA + VB = 60kN 
iii) MA = 0 8VB + 80 - (40x6) – (60x4) = 0 
 8VB = 400  VB = 50kN 
 VA = 60 – 50 = 10kN 
 
Verificação: MB = 0 (10x8) + (40x3) – 80 – (60x4) + (40x3) = 0 
120 + 120 – 240 = 0 
 
 
3) Treliça Isostática 
i) FX = 0 HB + 4 -12 = 0 HB = 8kN 
ii) FY = 0 VA + VB = 6 + 8 = 14kN 
iii) MB = 0 (4x4) + (8x1,5) – (12x2) – 3VA = 0 
 3VA = 16 + 12 – 24 = 4 
 VA = (4/3) = 1,33kN 
 VB = 12,67kN 
 
Verificação: MA = 0 
r=3; b=5; n=4. r + b = 2n 
 5 + 3= 2x4 
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4) Pórtico Triarticulado Isostático 
 
2.00m2.00m
4
.0
0
m
2
.0
0m
 
 
i) FX = 0 HA + HB +20 -12 = 0 HA+ HB = -8kN 
ii) FY = 0 VA + VB = 10x4 = 40kN 
iii) MA = 0 4VB - (40x2) + (12x2) – (20x4) = 0 
 4VB = 80 – 24 + 80  VB = 34kN 
 VA = 40 – 34 = 6kN 
iv) Momento Fletor em C é nulo (Esq. Ou Dir.) 
 
2.00m
4.
00
m
 
 
 
Verif. MD = 0 (6 + 2)x4 + (12x2) + (6x4) – (40x2) = 0 
 48 + 24 +24 – 80 = 0 
 
 
 4 Incógnitas (Reação) 
 3 Equações Estáticas 
 1 Equação interna 
 MCD = MCE = 0 
 Estrutura restringida 
 
Isostática 
 
MC – (6x2) + (20x1) + (HAx4) = 0 
Ou MC =(6x2) – (20x1) – (4HA) 
Mas MC=0  4HA= 12 – 20 = -8 
HA = – 2kN 
HB = –8 + 2 = -6kN 
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45°
Exercícios: Determinar a reação de apoio. 
a) 
2.00m 6.00m
6.
00
m
 
 
FX = 0 (+) RAX - RBX = 0  RAX = RBX (I) 
FY = 0 (+) RAY - RBY - 20 - 112= 0  RAY + RBY = 132 
MA = 0 (20x8) + (112x4) – (6xRBX) = 0 
 RBX = 160 + 448  RBX=101,33kN 
 6 
 
RAX = RBX (I)  RAX=101,33kN 
RAX = RBY (45º)  RAY=101,33kN 
RBY = 132 - RAY  RBY=30,67kN 
RA = RAX/cos 45º  RA= (RAX)x2 =143,30kN 
 2 
Conferindo 
MC = 0 (20x2) - (112x2) + (6xRBY) – (6xRAX) + (6xRAY) = 0 
 10 – 224 + (30,67x6) – (101,33x6) + (101,33x6) = 0 
 -184 + 184 – 608 + 608 =0 
 184 – 184 = 0 
 
 
 
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3.00m3.00m6.00m3.00m
 
b)
12.00m 3.00m
6.
00
m
6.
00
m
 
i) FX = 0 RAX = RBX 
ii) FY = 0 RAY – 12(12) – 30 RAY = 174kN 
iii) MA = 0 12xRBX – 30x20 – 144x6 = 0 
 RBX = 600 + 864 RBX = 122kN RAX = 122kN 
 12 
 
Conferindo 
MB = 0 12xRAX – 144x6 – 30x20 = 0 
 1464 – 864 – 600 = 0 
 
MC = 0 6xRBX – 144x14 + 6xRAX – 20xRAY = 0 
 122x6 + 2016 + 122x6 – 174x20 = 0 
 732 + 2016 + 732 – 3480 = 0 
 
c) Achar as reações de apoio para a viga abaixo : 
 
 
 kN210 
 
 
 
 
 
 
kN210
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kN210
 
 Balanço 
 
 
 
 
d) Determinar as reações de apoio para a viga: 
3.00m3.00m3.00m 2.00m2.00m
 
 
 
 
72   (144/2) = 72 
34   10 + 24 = 34 
(8x3)/9 = 2,67   (8x6)/9 = 5,33 
108,67   111,33 
6   (12/2) = 6 
6   6 + 8 = 14 
2,67   (20-12)/3=2,67 
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r = 3x3 = 9 
b = 3 
n = 4 
 
r + b = 3n 
9 + 3 = 3x4 
12 = 12 
3 incógnitas 
N1, N2, N3 
3 equações: FX = 0, FY = 0, FZ = 0 
 
1.5 – Reações de apoio no espaço: 
6 Equações de Equilíbrio: 
FX = 0; FY = 0; FZ = 0; MX = 0; MY = 0; MZ = 0 
 
1) Treliça Isostática r + b = 3n 
 Restringida 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inicia-se pelo equilíbrio do nó D: 
 
 
 
Em seguida passa-se aos nós com apoios: Conhecidos agora os esforços N1, N2 e N3, para cada 
nó A, B ou C existem 3 incógnitas (Reações) e 3 equações de equilíbrio. 
 
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3.
00
m4.00m
5.
0
0m
 
2) Pórtico Espacial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isostática 6 reações 
 6 equações de equilíbrio 
 Restringida 
 
 
i) FX = 0 RAX – 2tf = 0 RAX = 2tf 
ii) FY = 0 RAY – 4tf = 0 RAY = 4tf 
iii) FZ = 0 RAZ – 1tf = 0 RAZ = 1tf 
iv) MX = 0 MAX – (4x3) – (1x5) = 0 MAX = 17tfm 
v) MY = 0 MAY + (2x3) - (1x4) = 0 MAY = - 2tfm 
vi) MZ = 0 MAZ + (2x5) – (4x4) = 0 MAZ = 6tfm 
 
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2 – ESFORÇOS INTERNOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 
 
2.1 – Treliças 
 
Treliças - Estruturas reticuladas, ou seja, formadas por barras (em que uma direção é 
predominante) de eixo reto, ligadas por rótulas ou articulações (nós). 
 Quando submetidas a cargas aplicadas nos nós apenas, as barras estão submetidas 
somente a esforços axiais. 
 
Estaticidade e Estabilidade: 
Condições para obtenção de uma treliça isostática: 
1. equilíbrio Estável (Restringida, nós indeslocáveis); 
2. número de incógnitas (*) igual ao número de equações de 
equilíbrio da estática (**). 
 
* O número de incógnitas é dados por: 
- número de reações (r) + número de barras (b). 
 (Incógnitas Externas) (Incógnitas Internas) 
** Número de equações de equilíbrio é o resultado do: 
- número de nós (n) x 2 (o valor é multiplicado devido a existência 
de uma equação no eixo x e outra no y). 
 
Desta forma, podemos classificá-las da seguinte maneira: 
1a. Condição 2a. Condição Classificação 
indeslocável e r + b = 2n Isostática 
indeslocável e r + b > 2n Hiperestática 
deslocável ou r + b < 2n Hipostática 
 
 
 Os métodos de obtenção de esforços em treliças são: 
1. Equilíbrio dos Nós; 
2. Ritter; 
3. Cremona (Maxwell). 
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Treliças Planas 
 
Fonte: Engel, Heino, 1981 
 
 
Sentido dos Esforços 
 
Treliça com diagonais tracionadas 
 
 
 
Treliça com diagonais comprimidas 
Fonte: Salvadori, Heller, 1975 
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Transmissão de Cargas para as Treliças 
 
Treliça de Cobertura 
 
Treliça de Ponte 
Fonte: Süssekind, José Carlos, 1979, vol.1 
 
Ligações das Extremidades das Barras 
 
 
Fonte: Salvadori, Heller, 1975 Fonte: Süssekind, José Carlos, 1979, vol.1 
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 24 
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Mecanismo de Treliças Aplicado a Outros Sistemas Estruturais 
 
 
 
Pórtico de Treliça Biarticulado 
 
 
 
Pórticos de Treliça Triarticulado com Balanços 
 
 
 
 
Arco de Treliça Triarticulado 
 
 
 
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Treliças com Diferentes Condições de Apoios 
 
 
 
Treliças apoiadas nas duas extremidades: Estrutura de vão livre 
 
 
 
 
Treliças com Apoio Duplo no Centro: Estruturas em Balanço 
 
 
 
 
Treliças com Extremidades em Balanço: Estrutura com Vão Livre e Balanço 
 
Fonte: Engel, Heino, 1981 
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Lei de Formação de Treliças Isostáticas: 
 
 
 
Treliça Hiperestática: 
 
 
Treliça Hipostática: 
 
 
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2.1.1 – Método de Ritter 
 
 Seja a seguinte treliça: 
 
 Suponhamos que deseja-se determinar os esforços axiais nas barras 3, 6 e 10. Parte-se a 
estrutura em duas partes, de forma a partir estas barras, através da seção SS indicada. 
 Considerando a parte da direita, deve-se colocar os esforços internos axiais que surgem 
nas barras para estabelecer o equilíbrio: 
 
 As forças N3, N6 e N10 representam a ação da parte da direita da treliça sobre a parte da 
esquerda. 
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 É indiferente considerar a parte da esquerda ou a da direita: 
 
 Os esforços indicados N3, N6 e N10 são iguais em módulo e direção, mas têm os sentidos 
opostos dos que aparecem na parte esquerda. Representam a ação da parte esquerda sobre a parte 
da direita. 
 Para obter os esforços N3, N6 e N10 utilizam-se as equações da estática, devendo ser 
escolhidas e usadas numa ordem tal que permita determinar cada incógnita diretamente. 
 Para o exemplo, pode-se resolver utilizando: 
MC = 0  Obtém-se N3; 
 MD = 0  Obtém-se N6; 
 Fy = 0  Obtém-se N10. (tanto faz pela esquerda ou direita) 
 Se os esforços forem positivos terão o sentido indicado (tração) senão terão sentido 
inverso (compressão). 
 
Observações: 
1. seções de Ritter não podem interceptar 3 barrras paralelas, nem 3 barras concorrentes no 
mesmo ponto; 
2. as seções podem ter forma qualquer (não necessitando ser retas); 
3. para barras próximas às extremidades da treliça (no exemplo, barras 1, 5, 4 e 7), pode ocorrer 
que a seção de Ritter só intercepte 2 barras  neste caso obter os esforços fazendo equilíbrio 
dos nós (conforme vimos anteriormente). 
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Exemplos: 
1. Obter os esforços nas barras 2, 3, 9 e 10. 
 
I. Obter as reações de apoio: 
Fx = 0  HB = -6 tf; 
Fy = 0  VA + VB = 10 tf; 
MA = 0  VB . 10 - 6 x 4 - 4 x 6 - 6 x2 = 0; 
 VB = 6 tf e VA = 4 tf. 
 
II. Seção S1S1 
 
MH = 0  N2 x 2 - 6 x 2 - 4 x 4 = 0 N2 = 14 tf (tração); 
MD = 0  -N16 x 2 - 6 x 2 - 4 x 4 = 0 N16 = -14 tf (compressão); 
Fy = 0  N9 + 6 = 4 N9 = -2 tf (compressão). 
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III. Seção S2S2 
 
Fx = 0  N3 + N10 cos45º = 14 tf; 
Fy = 0  N10 sen45º + 4 - 6 = 0; 
 N10 = 2,83 tf e N3 = 12 tf. 
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 31 
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2. Obter os esforços nas barras 2, 10, 19, 3 e 13. 
 
I. Seção S1S1 
 
MD = 0  N19 x 2 + 6 x 2 + 5 x 4 = 0 N19 = -16 tf (compressão); 
Fx = 0  N19 + N2 = 0 N2 = 16 tf (tração); 
Fy = 0  N10 + 6 - 5 = 0 N10 = -1 tf (compressão); 
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II. Seção S2S2 
 
MJ = 0  N3 x 2 + 6 x 2 - 5 x 6 - 6 x 2 = 0 N3 = 15 tf (tração); 
 
III. Seção S3S3 
 
Fy = 0  N13 cos45º + 5 = 0; N13 = -7,1 tf (compressão); 
 
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 33 
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2.1.2 – Método de Cremona 
 Seja a seguinte treliça para a qual se obtiveram as reações e esforços indicados: 
 
 Se um nó está em equilíbrio, a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre ele será 
nula: 
Nó A: 
 
Nó B: 
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Nó C: 
 
 A soma vetorial das forças externas e internas atuantes forma sempre um polígono 
fechado. 
 O método de Cremona consiste em encontrar os esforços internos graficamente, a partir 
do equilíbrio dos nós da treliça, seguem-se os seguintes passos: 
 inicia-se por um nó com apenas duas incógnitas; 
 marca-se em escala as forças externas atuantes, formando um polígono aberto; 
 pelas extremidades deste polígono traçam-se paralelas às barras que concorrem no nó, cujos 
esforços desejamos conhecer; 
 a interseção destas paralelas determinará o polígono fechado de equilíbrio; obtêm-se assim 
os módulos e sinais dos esforços nas barras; 
 Os sinais dos esforços são obtidos verificando-se: 
- se o esforço normal aponta para o nó  negativo (compressão); 
- se o esforço normal foge do nó  positivo (tração); 
 O sentido do percurso de traçado de forças é arbitrário, adotaremos o sentido horário; 
 Obtém-se 2 a 2 incógnitas na análise  sobrarão 3 equações de equilíbrio, já usadas para as 
reações. 
 
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2.1.2.1 – Notação de Bow 
 
 Marcar com letras todos espaços compreendidos entre as forças (exteriores e interiores), 
que serão identificadas pelas duas letras adjacentes. No exemplo: 
 reação Vertical no nó A : ab; 
 reação Horizontal no nó A: bc; 
 esforço Normal na Barra2: cf (ou fc); 
 esforço Normal na Barra2: cf (ou fc). 
 
Roteiro do Método: 
1. Iniciar o traçado do Cremona pelo equilíbrio de um nó que contém somente duas barras 
com esforços normais desconhecidos (incógnitas); 
2. Começar com as forças conhecidas, deixando as incógnitas como forças finais; 
3. Todos os nós são percorridos no mesmo sentido (horário ou anti-horário), para o exemplo 
escolheu-se o horário; 
4. Prosseguir o traçado do Cremona pelos nós onde só haja 2 incógnitas a determina, até 
esgotar todos os nós, encerrando-se a resolução da treliça. 
5. Os valores dos esforços nas barras são medidos no gráfico em escala; 
6. Os sinais dos esforços são obtidos verificando-se: 
 - se o esforço normal aponta para o nó: COMPRESSÃO (-); 
 - se o esforço normal sai do nó: TRAÇÃO (+). 
 
O polígono resultante do traçado do Cremona deverá resultar num polígono fechado para que 
a treliça esteja em equilíbrio. 
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Fonte: Süssekind, José Carlos, 1979, vol.1 
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 37 
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Nó A: 
Medir em escala N2 e N7 
Nó E: 
N2 conhecido - N3,N1 incógnitas: 
 mede-se em escala 
 
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Exemplos: 
1. 
 
Nó A: 
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Nó D: 
 
Nó B: 
 
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ENG 2031 - ISOSTÁTICA 41 
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2. 
 
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3. 
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 43 
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2.2 – Vigas 
2.2.1 - Vigas simples - método direto para diagramas 
 
Convenção de sinais: 
Revisão: 
Esquerda com carga para cima Esquerda com carga para baixo 
V – F = 0  V = +F positivo. V + F = 0  V = - F negativo. 
M – F.a = 0  M = +F.a positivo. M + F.a = 0  M = - F.a negativo. 
Direita com carga para cima Direita com carga para baixo 
V + F = 0  V = - F negativo. V – F = 0  V = +F positivo. 
M - F.a = 0  M = +F.a positivo. M + F.a = 0  M = - F.a negativo. 
 Traçar DEC diretamente vindo pela esquerda. 
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 Traçar DMF vindo pela esquerda, calculando M nos pontos de aplicação de força 
concentrada. 
 
 
Lembrando: 
 Força Concentrada: Descontinuidade no DEC 
 Binário Aplicado: Descontinuidade no DMF 
 
 
q=0 ; (entre cargas conc.) 
 V Constante 
 M Varia Linearmente em x 
 
q= k ; 
 V Varia Linearmente em x 
 M Varia Parabolicamente em x 
 
Integrando q  V; Integrando V  M. 
 
Exemplos:
dx
dV
=q
dx
dM
=V
dx
Md
=q 2
2
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1. (Obs.: dimensões em metros) 
 
MC = 60.4 = 240 kN; 
MD = 60.8 – 50.4 = 280 kN; 
MEDir. = 110.2 = 220 kN ou 
MEEsq. = 60.11 – 50.7 – 30.3 = 220 kN
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2. (Obs.: dimensões em metros) 
 
 
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3. (Obs.: dimensões em metros) 
 
 
MMÁX = q.a2/2 = 12.32/8 = 13,5 
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4. (Obs.: dimensões em metros) 
 
(q . a 2 ) / 8 = (20 . 2 2 ) / 8 = 10 
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2.2.2 – Vigas Gerber 
 Aplicações principais – Pontes; 
 Surgiram por motivos de ordem estrutural e de ordem construtiva; 
 Vigas Gerber Isostáticas serão decompostas nas diversas vigas isostáticas que as 
constituem: 
- Vigas com estabilidade própria; 
- Vigas que se apóiam sobre as demais; 
 
Exemplos de Decomposição: 
 
Os algarismos romanos I, II, III e IV indicam a ordem de resolução, para obtenção das reações 
de apoio. 
 Os diagramas podem ser traçados separadamente, juntando-os em seguida; 
 As rótulas transmitem forças verticais e horizontais, mas não transmitem momento; 
 Basta que um dos apoios resista a forças horizontais na viga Gerber. Apenas as cargas 
verticais provocam esforço cortante e momento fletor nas vigas, portanto, na 
decomposição não é necessário distinguir apoios do 1o ou 2o gênero. Usaremos 
apenas:  
 
II
I
II
I
II
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I
II
III
IV
II
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Esforços Internos – Diagramas – Exemplos: 
1. 
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MA = 0 
MB = -6 x 2 = -12 
MC = -6 x 5 + 9,33 x 3 – 12 x 1,5 = -20 
MD = -6 x 7 + 9,33 x 5 – 20 x 2,5 + 22,67 x 2 = -0,01  0  OK 
(o momento fletor na rótula é sempre nulo, a não ser que haja um binário aplicado na rótula.) 
ME = -36 + 18 x 3 – 12 x 1,5 = 0  OK 
MF = -36 
 
Quando na rótula não há força concentrada:Vdesq = Vddir 
Veesq = Vedir 
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2. 
12
6
 
 
 
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MD = -4+ (2.42)/8 + (4.4)/4 = 4 MI = 1.2 = 2 
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2.2.3 – Vigas Inclinadas 
Independente do valor de b, as reações verticais serão iguais (= q.a / 2) 
1. 
x
x/2
90 - 
(q.a)/2
S
V
b
a
x
A
(q.a)/2
q.x M N
S
(q.a)/2
B
q
 
Esforços Internos: Seção S (a x do apoio A) 
 
 
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

  cos.x.q
2
a.qV 

  sen.x.q
2
a.qN 


 
2
x.qx.
2
a.qM
2
 
(para fins de momento fletor a viga se comporta como se fosse horizontal) 
 
Diagramas: 
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(+)
q.a²/8
(-)
DMF
- q.a(cos /2
(-)
- q.a.(sen /2
q.a.(cos /2
DEC
(+) DEN
q.a.(sen /2
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2. 
A
VA
VB
S
B
q
HA
a
x
b
 
I. Fx = 0 
HA = q.b 
Esforços Internos: 
II. Fy = 0 
HA = q.b 
 
III. MA = 0 
a.VB – qb.b/2 = 0 
 VB = qb2/2a = VA 
x V
q.x
(q.b²)/2.a
x/
2
q.b
M N
S
N = (qb – qx)cos + (qb2/2.a) . sen 
V = (qb – qx)sen - (qb2/2.a) . cos 
M = x.qb – qx2/2 – y.(qb2/2.a) 
M = x.qb – qx2/2 – x.(a/b).(qb2/2.a) 
M = qbx/2 – qx2/2
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Diagramas: 
/ ]
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3. R = q . (a2 + b2) 0,5 
A
a
q.b
A
q
B
q.a
B
q
A
b
B
q
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Logo, o diagrama de momento fletor fica: 
Se tivermos, por exemplo, as estruturas: 
8 m
2
-6
6
DMF
2
6
 m
6 tf.m
A
1 tf/m
B
2 tf.m
 
DMF
q.(a²+
b²)/8
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52,5
4 m
10
(+)
DMF
-20
(-)
A
20 kN/m
3
 m
20 kN.m
B
 
 
 
 
 
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2.3 – Pórticos 
2.3.1 – Estruturas Aporticadas 
Seção S1: 
Fx = 0 
N – 6.cos + 10,86.sen = 0 
N = 6.cos - 10,86.sen 
N = -1,72 kN (const.) 
 
Ft = 0 
V = 6.sen + 10,86.cos = 12,2 kN (const.) 
 
 
Mz = 0 
M = 10,86.x + 6.y  y = x.tg 
M = 10,86.x + 4,5.x = 15,36.x 
Para x=0, M=0; 
 x=2, M=30,72 kN.m;
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Seção S2: 
N = -1,72 kN (const.) 
 
V = 12,29 - 10 = 2,29 kN (const.) 
 
M = 15,36.x –8(x-2) –6(y-1,5) = 2,86.x + 25 – 0,75.x  y = x.tg 
Para x=2, M=30,72 kN.m; 
 x=4, M=36,44 kN.m; 
 
Seção S3: (direita) 
V = 10.x’ – 27,14 
Para x’=0, V=-27,14 kN; 
 x’=3, V=2,86 kN; 
 
M = 27,14.x’ – 10.x’2/2 
Para x’=0, M=0 kN.m; 
 x’=3, M=36,42 kN.m; 
 
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Diagramas: 
 
 x = 10 x 3 2 / 8 
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Não havendo barras inclinadas, recomeça-se o traçado de diagramas pelo método direto. 
 
x = 10 x 4 2 / 8 
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 65 
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Considerações Sobre os Sinais dos Diagramas: 
 As fibras inferiores serão tracejadas, definindo portanto a parte à esquerda e à direita da 
seção. Exemplos: 
 
S1
S3
S2
S3
N
V
S1
M V
M
N
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Exemplos: 01. 
Fy = 0  N = P 
Fx = 0  V = 0 
Mz = 0  M = -P.a + P.2a = P.a (constante) 
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 67 
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02. 
 
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 69 
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2.3.2 – Pórticos Simples 
 
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Pelo Método Direto: 
 Obter os diagramas solicitantes para o quadro abaixo: 
 Reações: 
Fx = 0  RAx = 1 tf 
Fy = 0  RAy = 3 + 1.4 + 1 
 RAy = 8 tf 
MA = 0  3.2 – 1.4.2 – 1.1 + 1.2 + MA = 0 
 MA = 1 tf.m 
 
Seção S1: trecho DC 
N = 0; 
V = -3 tf 
MC = -6 tf.m 
 
Seção S2: trecho CE 
N = 0; 
V = 1.x 
Para x = 0; V = 0; 
 x = 4; V = 4 tf; 
M = -1.x2/2 
Para x = 0; M = 0; 
 x = 4; M = -8 tf.m; 
 
 
 Seção S3: trecho FB 
N = -1 tf 
V = 1 tf 
M = -1.x 
Para x = 0; M = 0; 
 x = 1; M = -1 tf.m; 
 
Seção S4: trecho BC 
N = -7 tf 
V = 0 
M = -2 tf.m 
 
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 71 
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Seção S5: trecho AB 
N = -8 tf 
V = -1 tf 
M = -1 – 1 . x 
Para x = 0; M = -1 tf.m; 
 x = 2; M = -3 tf.m;
 
Diagramas: 
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 72 
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 Reações: 
Fy = 0  1 + 6 – 4.5 + VA + VB = 0 
 VA + VB = 13 
MA = 0  1.2,5 – 4.5.2,5 + 6.5 + HB.10 = 0 
 HB = 1,75 tf 
Fx = 0  HB = - HA  HA = - 1,75 tf 
MEDir = 0  HB.4 - VB.5 = 0 
(embaixo) VB = 1,4 tf  VA = 11,6 tf 
 Seção S1: [0  x  2,5] 
N = + 1,75 tf; 
V = 11,6 - 4.x 
Para x = 0; V = 11,6; 
 x = 2,5; V = 1,6 tf; 
M = 11,6.x - 2.x2 
Para x = 0; M = 0; 
 x = 2,5; M = 16,5 tf.m; 
 Seção S2: [2,5  x  5,0] 
N = + 1,75 tf; 
V = 12,6 - 4.x 
Para x = 2,5; V = 2,6 tf; 
 x = 5; V = -7,4 tf; 
M = 12,6.x - 2.x2 – 2,5 
Para x = 2,5; M = 16,5 tf.m; 
 x = 5; M = 10,5 tf.m; 
 
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 73 
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 Seção S4: [0  x  5,0]
tg = 4/5 sen = 4/41 
N + 1,75.cos + 1,4 sen = 0  N = - 2,24 tf; 
V + 1,75.sen - 1,4.cos = 0  V = 0; 
M = 1,4.x – 1,75.y  M = 0; 
 Seção S3: [0  x’  6,0] 
N = - 7,4 tf; 
V = -1,75 tf; 
 
M = 1,75.x’ 
Para x’ = 0; M = 0; 
 x’ = 6; M = 10,5 tf.m;
 
 
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 74 
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Reações: 
Fx = 0  HA + HB + 12 – 3,33 = 0 
HA + HB = - 8,67 tf 
Fy = 0  -10 + 4,99 + VA + VB = 0 
 VA + VB = 5,01 tf 
MB = 0  6.1 + 10.4 – 12.3 – 9.VA = 0 
 VA = 1,11 tf  VB = 3,9 tf; 
MEEsq = 0  - HA.6 + VA.2,5 – 12.3 = 0 
 HA = -5,54 tf  HB = -3,13 tf
 
Diagramas: 
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 75 
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Determinar os diagramas de esforços solicitantes: 
N = - 4,42 kN 
V = - 2,55 kN 
0 = M + 3,2.(x - 0,3) + 1,9.x 
M = -5,1.x + 2,56 
Para x = 1,6; M = -5,6 kN.m; 
 x = 3,2; M = -15,8 kN.m; 
 
ENG 2031 - ISOSTÁTICA 76 
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
2.3.3 – Pórtico com Articulação e Tirante 
 
Análise da estaticidade: 
4 incógnitas: 3 inc. ext.; 
 1 inc. int.; 
4 equações: 3 eqs estática; 
 1 eq. MFD = MFE; 
g = (3+1) – (3+1) = 0 
 
 
 
 
Substitui-se a barra CD pelo par 
de esforços N: 
 
 
 
 
 Reações e N: 
Fx = 0  HA = 0; 
Fy = 0  VA + VB = 8 tf 
Mz = 0 (A) VB.4 – 8.2 = 0 
VB = 4 tf.m  VA = 4 tf.m 
 Momento Fletor em F, pela 
direita: 
MFD = 0  4 – 2.N = 0 
 + N = 2 tf. 
 
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Diagramas: 
 
 x = 2 x 42 / 8 = 4 
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2.3.4 – Pórticos Compostos 
 
Pórticos Compostos são uma associação de pórticos simples. Assim como a viga Gerber 
é uma associação de vigas simples. Se forem isostáticos, o resultado será uma Associação de 
Pórticos Simples Isostáticos. 
 
1. 
 
A
D
B J K
IH
GE
C
F
E
BA
C
J
HD
K
I
F G
Hy
HxHHDx
Dy
Dy
Dx Hx
Hy
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2. 
 
 
 
3. 
 
 
 
 
4. 
 
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5. 
 
 
Decompondo: 
 
Fx = 0  HC = 30 kN; 
Fy = 0  VA + VC = 80 kN; 
MA = 0 8.VC + 4.HC –80.4 – 30.2 = 0 
 VC = 32,5 kN  VA = 47,5 kN 
 
 
Fx = 0  HD + HG +30 = 0 
Fy = 0  VD + VG = 20 + 32,5 + 80 
 VD + VG = 132,5 kN 
MD = 0  8.VG – 20.5 – 80.4 – 30.4 = 0 
 VG = 67,5 kN  VD = 65 kN 
MCD = 0  4.HD = 0 
 HD = 0  HG = - 30 kN 
 
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Diagramas: