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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AD2 – CA´LCULO I – 2016/1 Gabarito Questa˜o 1 [2 pontos] Calcule a derivada das seguintes func¸o˜es: (a) f(x) = ln (x3 − x x2 + 1 ) (b) g(x) = x ex 2 4 + cos(x) Soluc¸a˜o: (a) f ′(x) = (x2 + 1 x3 − x ) [(3x2 − 1)(x2 + 1)− (x3 − x)(2x) (x2 + 1)2 ] = (x2 + 1 x3 − x ) [x4 + 4x2 − 1 (x2 + 1)2 ] = = x4 + 4x2 − 1 (x3 − x)(x2 + 1) (b) g′(x) = (ex 2 + 2x2 ex 2 )(4 + cos x)− (x ex2)(−senx) (4 + cos x)2 = ex 2 [4 + 8x2 + (1 + 2x2)cosx + x senx] (4 + cos x)2 Questa˜o 2 [2,5 pontos] Sejam f e g func¸o˜es diferencia´veis e tais que f ′(x) = 2x − 1 e (f ◦ g)(x) = (x3 − 1) sen(4x). Determine g′(x). Soluc¸a˜o: Utilizando a Regra da Cadeia, obtemos: (f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x). (1) Por hipo´tese, temos que (f ◦ g)(x) = (x3 − 1) sen(4x). Da´ı, utilizando a Regra do Produto e a Regra da Cadeia, derivamos e obtemos: (f ◦ g)′(x) = (x3 − 1)′ · sen(4x) + (x3 − 1) · [sen(4x)]′ = 3x2 sen(4x) + 4(x3 − 1) cos(4x). (2) Da igualdade das equac¸o˜es (1) e (2), segue que: f ′(g(x)) · g′(x) = 3x2 sen(4x) + 4(x3 − 1) cos(4x). (3) CA´LCULO I Gabarito AD2 2 Como, por hipo´tese, f ′(x) = 2x − 1, temos que f ′(g(x)) = 2 g(x) − 1. Assim, substituindo na equac¸a˜o (3), obtemos: (2 g(x)− 1) · g′(x) = 3x2 sen(4x) + 4(x3 − 1) cos(4x). Portanto, g′(x) = 3x2 sen(4x) + 4(x3 − 1) cos(4x) 2 g(x)− 1 . Questa˜o 3 [2 pontos] Seja y = f(x) uma func¸a˜o deriva´vel definida implicitamente pela equac¸a˜o ex+y sen(x2 − y2) = xy + y. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de f no ponto P = (−1, 1). Soluc¸a˜o: Derivando implicitamente, obtemos: ex+y ( 1 + dy dx ) sen(x2 − y2) + ex+y cos(x2 − y2) ( 2x− 2y dy dx ) = y + x dy dx + dy dx . O coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de f no ponto P = (−1, 1) e´ a derivada de f em −1, ou seja, dy dx ∣∣∣ x=−1 . Da´ı, substituindo o ponto P = (−1, 1) na equac¸a˜o acima obtemos: −2− 2 dy dx ∣∣∣ x=−1 = 1− dy dx ∣∣∣ x=−1 + dy dx ∣∣∣ x=−1 . Logo, dy dx ∣∣∣ x=−1 = −3 2 . Questa˜o 4 [2,5 pontos] Dois carros iniciam o movimento de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60km/h, e o outro para o oeste a 25km/h. Determine a taxa de crescimento da distaˆncia entre os dois carros duas horas depois da partida. Soluc¸a˜o: Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ CA´LCULO I Gabarito AD2 3 Sejam P o ponto de partida dos carros, x = x(t) a posic¸a˜o do carro que viaja para o oeste, y = y(t) a posica˜o do carro que viaja para o sul e z = z(t) a distaˆncia entre os dois carros. Graficamente, temos: Como z2 = x2 + y2, segue que 2z dz dt = 2x dx dt + 2y dy dt ⇒ z dz dt = x dx dt + y dy dt . Da´ı, como dx dt = 25 e dy dt = 60, z dz dt = 25x + 60y ⇒ dz dt = 25x + 60 y z . Agora, duas horas depois da partida, o carro que viaja para o oeste estara´ a 25× 2 = 50 km do ponto de partida P e o carro que viaja para o sul estara´ a 60× 2 = 120 km do ponto de partida P . Logo, a distaˆncia z entre os dois carros, duas horas depois da partida, sera´ z = √ 502 + 1202 = 130 km. Portanto, dz dt ∣∣∣ t=2 = 25× 50 + 60× 120 130 = 65, ou seja, taxa de crescimento da distaˆncia entre os dois carros duas horas depois da partida e´ de 65 km. Questa˜o 5 [1 ponto] Considere a func¸a˜o f(x) = x3 + 3x2 − 2x + 1 definida no intervalo [−5, 1]. (a) Verifique que as hipo´teses do Teorema do Valor Me´dio sa˜o satisfeitas; (b) Determine um ponto P = (c, f(c)), c ∈ (−5, 1), do gra´fico de f cuja reta tangente seja paralela a` reta que passa pelos pontos A = (−5,−39) e B = (1, 3). Soluc¸a˜o: Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ CA´LCULO I Gabarito AD2 4 (a) Temos que: • f e´ uma func¸a˜o polinomial e, portanto, f e´ cont´ınua em [−5, 1]; • f e´ deriva´vel em (−5, 1), com f ′(x) = 3x2 + 6x− 2, para todo x ∈ (−5, 1). (b) Pelo Teorema do Valor Me´dio, existe c ∈ (−5, 1) tal que: f ′(c) = f(1)− f(−5) 1− (−5) = 3− (−39) 6 ) = 42 6 = 7. Como, por outro lado, f ′(c) = 3c2 + 6c− 2, segue que 3c2 + 6c− 2 = 7. Da´ı, c = −3 ou c = 1. Como 1 /∈ (−5, 1), segue que c = −3. Portanto, P = (−3, f(−3)) = (−3, 7). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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