Tópico 4 – Espaços Gerados, Base de um Espaço Vetorial,

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática 
Álgebra Matricial 
 
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Tópico 4 – Espaços Gerados, Base de um Espaço Vetorial, 
Bases Ortogonais e Ortonormais 
 
Espaços gerados 
Vamos supor que V seja um espaço vetorial e B = { v1, v2,...,vn }  V um conjunto de 
vetores linearmente independentes; então o conjunto de todas as combinações lineares dos 
vetores de B é um sub-espaço vetorial de V, gerado por B. 
 
Exemplo 1: V = R2. 
 B = { ( 1,2 ) } 
 
O conjunto de todos os vetores múltiplos ou combinações lineares do vetor (1,2) é a reta 
que passa pela origem com equação y = 2x. Esta reta é um sub-espaço vetorial do R2, de 
dimensão 1. 
 
 
A reta y = 2x é um sub-espaço vetorial do R2 de dimensão 1. 
 
Exemplo 2: V = R3 
 B = { (1,0,0) , (0,1,0) } 
 
O conjunto de todos os vetores que são combinações lineares dos vetores (1,0,0) e 
(0,1,0) formam um plano contido no R3, em que cada vetor tem a terceira coordenada nula. 
Este plano é um sub-espaço vetorial do R3, de dimensão 2. 
 
O plano xOy é um sub-espaço vetorial do R3 de dimensão 2. 
 
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Base 
Um conjunto B = {v1,v2,...,vn} de vetores de um espaço vetorial V é chamado de base de 
V se é Linearmente Independente e se gera V. 
 
Exemplo 3: V = R2. 
 B = { (1,0), (0,1) } é a base canônica do R2 
De fato: B = { (1,0), (0,1) } é LI , pois 
10
01
 = 1

0 e B gera o R2, pois qualquer vetor 
(x,y) é combinação linear dos vetores (1,0) e (0,1): 
 (x,y) = x(1,0) + y(0,1) 
Por exemplo: (3, 4) = 3(1,0) + 4(0,1) 
 
 
Exemplo 4: V = R2. 
 B = { (1,1), (–1,1) } é uma base do R2 
 
De fato, B= { (1,1), (–1,1) } é LI , pois 
11
11

 = 2 e todo vetor (x,y) é combinação linear dos 
vetores de B. Por exemplo, expressar o vetor u = (3,4) nesta base. 
 
Solução: (3,4) = a(1,1) + b( –1,1) 
 (3,4) = (a – b, a + b) 
 
Resulta no sistema : 





4ba
3ba
 . No Matlab, a solução é obtida pelo comando A\b, onde 
A = 





 
11
11
 e b=[3;4]. 
 
Somando as duas linhas do sistema, resulta: 2a = 7 , logo a = 7/2 . 
Da segunda equação, vem : b = 4 – 7/2 = 1/2 
 
Conclusão: (3,4) = 
2
7
(1,1) + 
2
1
(–1,1) 
 
Logo, as coordenadas do vetor (3,4) na base { (1,1),(–1,1) } são 7/2 e 1/2. Resumindo: 
na base canônica {(1,0),(0,1)}, temos u = (3,4). Na base B= {(1,1), (–1,1)}, temos u = (7/2 , 1/2). 
 
Analogia: na base 10, o símbolo 100 representa o número cem (1 centena); na base 2, o 
símbolo 100 representa o número 4, da base 10. 
 
Base 10 : 100 = 1*102 + 0*101 + 0*100 
Base 2 : 1002 = 1*2
2 + 0*21 + 0*20 = 4 
 
 
Exemplo 5: V = R3 
 B = { (1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1) } é a base canônica do R3 
 De fato, B é um conjunto LI, pois 
100
010
001
 = 1 e todo vetor (x, y, z) do R3 é uma 
combinação linear dos vetores do conjunto B: 
 
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(x,y,z) = x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1) 
 
Por exemplo: (3,4,5) = 3(1,0,0) + 4(0,1,0) + 5(0,0,1) 
 
 
Exemplo 6: V = R3 
 B = { (0,2,0), (3,0,3), (– 4,0,4) } é base do R3. 
 
De fato, B é um conjunto LI, pois 
404
303
020

 = – 48 . Todo vetor do R3 é uma combinação 
linear destes três vetores. 
 
Exercício. Determinar as coordenadas do vetor v = (3,4,5) na base B do exemplo 6. 
 
Solução: (3,4,5) = a(0,2,0) + b(3,0,3) + c(–4,0,4) 
 (3,4,5) = (0,2a,0) + (3b,0,3b) + (–4c,0,4c) 
 (3,4,5) = (3b–4c, 2a , 3b+4c) 
 
Equivale ao sistema : 








543
42
343
cb
a
cb
 
 
Logo: a = 2 , b = 4/3 e c= 1/4 
Isto é, na base B, as coordenadas do vetor v são (2, 4/3, 1/4) . 
 
 
Produto Escalar 
O produto escalar de dois vetores (do Rn) u= (u1,u2,..,un) e v=(v1,v2,...vn) é 
vu 
 = 


n
1i
iivu
 
No matlab, o produto escalar é calculado de u e v é calculado pelo comando dot(u,v). 
 
Exemplo 7: Calcula o produto escalar dos vetores u =(1,2) e v=(3,5). 
Solução: 
vu 
 = 
31
+ 
52 
= 3 + 10 = 13. 
 
Exemplo 8: Calcular o produto escalar dos vetores u =(1,2,-1) e v=(0,3,5). 
Solução: 
vu 
 = 
01
+ 
32 
+ 
5)1( 
 = 0 + 6 – 5 = 1. 
 
 
Vetores Ortogonais 
Dois vetores u e v são ortogonais se 
vu 
 = 0. 
 
Exemplo 9: Os vetores u = (1,1) e v = (–1,1) são ortogonais, pois 
vu 
= 
)1(1 
+ 
11
= –1 + 1 = 
0. Os vetores do exemplo 8 não são ortogonais. Geometricamente, dois vetores do R2 ( ou do 
R3 ) são ortogonais se o ângulo entre eles for igual a 90o. 
 
Conjuntos Ortogonais 
Um conjunto M={v1,v2,...,vn} de uma espaço vetorial V é ortogonal se 
0vv ji 
, para 
cada par i , j, com i 

j. Por exemplo, o conjunto M={ (1,–1,0), (2,2,4), (4,4,–4) } é ortogonal. 
 
 
 
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Bases Ortogonais 
Uma base B={v1,v2,...,vn} de uma espaço vetorial V é ortogonal se 
0vv ji 
, para cada 
par i , j, com i 

j. 
 
Exemplo 10: As bases canônicas do R2 e do R3 são ortogonais. 
 
Exemplo 11: A base B = { (1,1), (–1,1) } é uma base ortogonal do R2. 
 
Normalização de um vetor 
Dado um vetor u = (u1,u2,...un) do R
n, o módulo de u é dado por | u | = 
22
2
2
1 ... nuuu 
. 
Se | u | = 1, então u é um vetor unitário. Todo vetor u com módulo não-nulo pode ser 
normalizado, fazendo-se v = 
|| u
u
. No matlab, o módulo de u é calculado através de norm(u). 
Exemplo 12: u = (3,4) | u | = 5. v = (3/5 , 4/5 ) | v | = 1. 
 
O vetor v = ( 3/5, 4/5) é um vetor unitário que tem a mesma direção de u. 
 
 
Bases Ortonormais 
É uma base ortogonal formada por vetores unitários. 
 
Exemplo 13: B = { (1,1) , (–1,1) } é uma base ortogonal, mas não é ortonormal; a base 
B’ = { ( 1/
2
, 1/
2
) , ( – 1/
2
, 1/
2
) } é uma base ortonormal do R2. 
 
No Matlab, obtemos | (1,1) | = 1.4141 e | (–1,1) | = 1.4142 
Logo, a base ortonormal no Matlab é 
B’ = { (0.7071, 0.7071) , (–0.7071,0.7071) } . 
 
Exemplo 14: O conjunto { (-1,2,3), (2,-2,2) } é LI. Acrescentar um terceiro vetor a este conjunto 
para que ele se transforme numa base ortogonal do R3. Obter uma base ortonormal do R3. 
 
Solução: procuramos um vetor v = (a,b,c) do R3 tal que 
 
0)3,2,1(),,( cba
 
 
0)2,2,2(),,( cba
 
Equivale ao sistema : –a + 2b + 3c = 0 
 2a – 2b + 2c = 0 
Somando as duas equações , resulta: 
 a + 5c = 0, logo, a = –5c. 
Substituindo na primeira equação, resulta: b = –4c. 
 
Se c = 1, então a = –5 e b = –4.O vetor é v = (–5,–4,1). 
Verificação: 
 )3,2,1()1,4,5(
 5 + (-8) + 3 = 0 
 
 )2,2,2()1,4,5(
–10 + 8 + 2 = 0 
 
 Assim, uma base ortogonal do R3 é o conjunto 
 B = {(-1,2,3), (2,-2,2), (–5,–4,1)}. 
 
Para obter uma base ortonormal do R3, basta dividir cada vetor de B pelo seu 
módulo.Assim, uma base ortonormal do R3 é o conjunto 
B’ = { (-0.2673,0.5345,0.8018),(0.5774,–0.5774,0.5774),(–0.7715,–0.6172,0.1543) } 
Cada vetor do conjunto B’ é unitário e os vetores são ortogonais dois a dois. 
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Exercícios1) Calcula as coordenadas do vetor v = ( 3, 5) na base B={ (1,2), (-2,1) }. 
 
2) Verifica se o conjunto B = { (1,1,3), (2,3,6), (3,4,9) } é ou não base do R3. 
 
3) Verifica se o conjunto B = { (1,1,1,3), (0,0,1,-4), (1,0,5,9), (1,0,9,4) } é ou não base do R4. 
 
4) O conjunto B = { (1,1,1),(-1,1,0) } é LI. Adiciona um terceiro vetor não-nulo a este 
conjunto de modo que o conjunto resultante seja ortogonal. 
 
5) Normaliza o conjunto B = { (1,2),(-2,1) }.