Espaços Vetoriais

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Espaços Vetoriais
Um espaço vetorial é um conjunto não
vazio V com duas operações soma (+) e
multiplicação por escalar (números reais),
tais que as seguintes propriedades são
satisfeitas para quaisquer u, v, w ∈ V e a, b
∈ R:
INTRODUÇÃO
A adição é associativa: (u + v) + w
= u + (v + w)
PROPRIEDADES
A adição é comutativa: u + v = v +
u
A adição possui um elemento
neutro: existe um elemento 0 ∈
V , chamado de vetor nulo de V,
tal que u + 0 = u
A adição possui elemento
oposto (simétrico): para cada u
∈ V , existe um elemento −u ∈
V tal que u + (−u) = 0, chamado
de vetor oposto de u
A adição possui elemento
oposto (simétrico): para cada u
∈ V , existe um elemento −u ∈
V tal que u + (−u) = 0, chamado
de vetor oposto de u
a (u + v) = au + av
(a + b) v = av + bv
(ab)v = a(bv)
(ab)v = a(bv)
Todos os elementos de V são chamados
de vetores. 
São espaços vetoriais, por exemplo, o
plano R² e o espaço R³ com suas
operações usuais. De forma geral;
com as operações dadas por:
Soma de dois vetores: u + v =
(x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn).
Multiplicação de um vetor por
um número (escalar): ku = (kx1,
kx2, . . . , kxn).
É espaço vetorial o conjunto V = Pn(R) dos
polinômios com coeficientes reais e grau
menor ou igual a n, com as operações de
soma de polinômios e multiplicação destes
por números reais.
É espaço vetorial o conjunto V = M(m, n)
das matrizes reais m × n com as operações
soma e multiplicação por escalar usuais.
Algumas propriedades importantes dos
espaços vetoriais:
O vetor nulo é único.
O vetor oposto é único. 
0 * u = 0 para todo u ∈ V .
(−1) u = −u, para todo u ∈ V .
SUBESPAÇO VETORIAL
Sejam V um espaço vetorial e W um
subconjunto não vazio de V. Então, W é um
subespaço vetorial de V se: 
Para quaisquer u, v ∈ W
tivermos u + v ∈ W.
Para quaisquer a ∈ R, u ∈ W
tivermos au ∈ W
Com essa definição, dizemos que W é
fechado para a soma e para a
multiplicação por escalar. Podemos fazer
três observações:
No caso em que exista algum ai 0,
dizemos que {v1, ... , vn} é linearmente
dependente (LD).
Sejam v1, v2, ... vr vetores em Rn. Se r > n,
então os vetores v1, v2, ... vr são
linearmente dependentes (LD).
Pela definição, ao operarmos
em W não obteremos vetores
fora de W. Isto é suficiente para
afirmar que W também é um
espaço vetorial, pois as
operações ficam bem definidas
e não precisamos verificar as
propriedades de (1) a (8) de
espaço vetorial, pois elas são
válidas em V, que contém W.
Qualquer subespaço W de V
precisa conter o vetor nulo (por
causa da condição (2) quando a
= 0)
Todo espaço vetorial admite
pelo menos dois subespaços
(chamados subespaços triviais):
o subespaço {0} formado
somente pelo vetor nulo e o
próprio espaço vetorial V
Se W1 e W2 são subespaços
vetoriais de V, então a
interseção W1 ∩ W2 é
subespaço vetorial de V
Se W1 e W2 são subespaços de
V, então W1 + W2 também é
subespaço de V
COMBINAÇÃO LINEAR
Seja V um espaço vetorial. Dizemos que um
vetor v ∈ V é combinação linear dos
vetores v1, v2, ... , vn ∈ V se existirem
escalares a1, a2, ... , an tais que:
Fixados os vetores v1, ... , vn ∈ V, o
conjunto de todas as combinações lineares
destes vetores é denotado por [v1, ... , vn].
Dizemos que [v1, ... , vn] é o subespaço
gerado por v1, ... , vn. De fato, esse conjunto
é um subespaço de V .
Sejam V um espaço vetorial e v1, ... , vn ∈ V.
Dizemos que o conjunto {v1, ... , vn} ´e
linearmente independente (LI) se a
equação:
Um conjunto de vetores é LI se, e somente
se, nenhum dos vetores for uma
combinação linear dos outros.
Qualquer conjunto S que contenha o vetor
nulo é LD. De fato, se S = {v1, v2, ... , vn, 0},
então 0 = 0v1 + 0v2 + ··· + 0vn + 1 . 0 é uma
combinação linear nula não-trivial dos
vetores de S.
BASE
Um conjunto {v1, ... , vn} de vetores de V
será uma base de V se:
Sejam V = R², e1 = (1, 0), e2 = (0, 1). Então {e1,
e2} é base de V, conhecida como base
canônica de R².
Suponha que V = [v1, ... , vn]. Então dentre
esses vetores podemos extrair uma base
de V. As colunas da matriz dos vetores de
V que contém pivôs, na forma escalonada
reduzida por linhas, indicam os vetores
originais que constituem a base.
Suponha que um espaço vetorial V possui
uma base com n elementos. Então
qualquer conjunto com mais de n vetores
em V é necessariamente LD. Em outras
palavras, todo conjunto LI em V tem no
máximo n vetores.
MUDANÇA DE BASE
Seja β = {v1, ... , vn} uma base de um espaço
vetorial V. Então todo vetor de V é escrito
de maneira única como combinação linear
de v1, ... , vn.
Sejam α e β bases de V . Então é
invertível e 
A toda matriz m × n está associada uma
transformação linear de .
Se β = {v1, ... , vn} é base de V e v ∈ V é tal
que v = a1v1 + ··· + anvn, dizemos que os
números a1, ... , an são as coordenadas de v
na base β, e denotamos por:
Matriz mudança de base:
Se α, β e γ são bases de V , então: 
TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Uma função f : R → R é linear se existe a ∈
R tal que f(x) = ax, para todo x ∈ R. Note
que as funções lineares satisfazem:
Sejam V e W espaços vetoriais. Uma
transformação linear entre V e W é uma
função T : V → W que satisfaz: 
Se T : V → W é uma transformação linear,
então ela leva o vetor nulo de V no vetor
nulo de W, isto é, se 0 ∈ V , T(0) = 0 ∈ W.