Tópico 5 – Transformações Lineares e Representação Matricial

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL 
Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática 
Álgebra Matricial 
 
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Tópico 5 – Transformações Lineares e 
 Representação Matricial 
 
 As transformações lineares são funções onde o domínio e o contrdomínio são espaços 
vetoriais, isto é, tanto a variável independente quanto a variável dependente são vetores. Este 
tipo de função tem uma propriedade importante: preserva a soma e a multiplicação por escalar. 
As transformações lineares possuem aplicações na Física, Engenharia, Computação, 
Matemática, etc. 
 
Sejam V e W espaços vetoriais; T: V 

 W é uma transformação linear (TL) se T satifaz as 
seguintes propriedades: 
i) T ( u + v ) = T(u) + T(v) , para quaisquer u, v

V 
ii) T(au) = aT(u) , para qualquer a

R e u

V 
No caso de V = W a TL é chamada de operador linear de V. 
 
Exemplos 
1) Uma transformação linear 
T : R 

 R 
T(x) = 2x 
Neste exemplo, estamos considerando o conjunto dos númerors reais como um espaço 
vetorial. A transformação é definida por T(x) = 2x. Vejamos a validade das propriedades 
de uma TL: 
i) T(x+y) = 2(x+y) = 2x + 2y e 
 T(x) + T(y) = 2x + 2y 
 
ii) T(ax) = 2(ax) = 2ax 
 aT(x)=a(2x) = 2ax 
Logo, T é uma transformação linear. 
 
2) Uma transformação não-linear 
T: R 

 R 
T(x) = 2x + 3 
Para mostrar que esta transformação não é linear, basta mostrar um par de vetores 
para os quais T(x+y)

T(x)+T(y). Por exemplo, x = 2 e y = 4; 
T(2 + 4) = T(6) = 15 e 
T(2) + T(4) = 7 + 11 = 18. 
Assim, T(2 + 4) 

 T(2) + T(4). Logo, esta transformação não é linear. 
 
Propriedades de uma transformação linear 
Se T: V 

 W é uma transformação linear do espaço vetorial V no espaço vetorial W, 
então: 
a) T(0) = 0 
b) T(-u) = -T(u), para qualquer u

V 
c) T(u – v) = T(u) – T(v), para quaisquer u, v

V 
 
Assim, no exemplo 2, como T(0) = 3, T não é uma transformação linear, de acordo com a 
propriedade (a) acima. 
 
 
 
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Representação matricial de uma transformação linear 
Uma transformação linear T: Rn 

 Rm pode ser representada na base canônica por 
uma matriz Amxn. Neste texto, sempre serão consideradas as bases canônicas do R
n. 
Notação: A ou [T]. 
 
Exemplos 
1) T: R2 

 R3 definida por T(x,y) = (x + y, x – y, 2x); calculando a imagem dos vetores da 
base canônica, obtemos T(1,0) = (1, 1, 2) e T(0,1) = (1, –1, 0), logo a matriz de T é a matriz 
23
02
11
11
x
A











. Nesta notação, a transformação é interpretada como a multiplicação de A por v: 





























y
x
02
11
11
2x
yx
yx
 
Assim, a matriz que representa esta transformação é
23
02
11
11
x
A











ou 
 
23
02
11
11
x
T











 
 
2) T : R2 

 R2 definida por T(x,y) = (x + 3y, 4x + 2y); calculando a imagem dos vetores da 
base canônica, obtemos T(1,0) = (1,4) e T(0,1) = (3,2),logo a matriz de T é
22
24
31
x
A 






 . 
Nesta notação, a transformação é interpretada como a multiplicação de A por v: 
 




















y
x
24
31
2y4x
3yx
 
 
Por exemplo, T(1,1) = ( 1+3, 4+2) = (4,6) ou 
 


























6
4
24
31
1
1
24
31
 
 
3) T: R3 

 R3 definida por T(x,y,z)= ( x + y + z , x + y + 2z, x – y) . Na base canônica do R3, a 
matriz de T é












011
211
111
A
. 
 
4) A transformação linear T: R3 

 R3 tem representação matricial igual a 











420
321
401
. Calcula 
T(1,4,7). 
Solução: w = T(1,4,7); w = 
































36
14
29
7
4
1
420
321
401
 
Logo, T(1,4,7) = (29, –14, 36) ou, como vetor-coluna, w = 











36
14
29
. 
 
 
 
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5) Seja T: R2 

 R2 uma transformação linear tal que T(1,0) = (2,5) e T(0,1) = (– 4,1). Calcula 
T(x,y). 
Solução: na base canônica, (x,y) = x(1,0) + y(0,1) 
 T(x,y) = T( x(1,0) + y(0,1) ) = xT(1,0) + yT(0,1) = x(2,5) + y(–4,1) 
 T(x,y) = (2x – 4y, 5x + y) 
A matriz de T é a matriz





 

15
42
A
. Observa que as colunas da matriz A são as imagens dos 
vetores da base canônica. Esta propriedade vale em geral. 
 
 
Exercícios 
1) Seja T: R2 

 R2 a transformação linear T(x,y) = (2x + 2y, –x + 5y). Calcula: T(0,0), 
T(1,1) , T(T(2,4)). Pensa em uma maneira prática para calcular T(T(2,4)). 
 
2) Seja T: R2 

 R2 a transformação linear T(x,y) = (2x + 2y, –x + 5y). Calcula o(s) 
vetore(s) v = (x,y) tais que T(x,y) = (0,0). 
 
3) Considera as transformações T1: R
2 

 R2 , T1(x,y) = (2x + 2y, –x + 5y) e T2: R
2 

 R2, 
T2(x,y) = (x + y, x – 2y). Calcula: T1(T2 (3,4)); T2(T2(3,4)); T2(T2(T2(T2(3,4)))). Pensa em 
uma maneira mais rápida de efetuar este cálculo. 
 
4) Seja T: R2 

 R2 dada por T(x,y) = (x + 2y, y) . Calcula T(0,0),T(1,0), T(1,1) e T(0,1). 
 
5) A transformação que efetua uma rotação de um ângulo q (no Matlab, deve ser dado em 
radianos1) no R2 é representada pela matriz 





 

)cos()(
)()cos(


sen
sen
A
. 
 
a) Calcula a imagem do vetor u=(3/5,4/5) por uma rotação de 600 do plano. 
b) Representa geometricamente. 
c) Compara o módulo de u com o módulo de T(u). 
 
6) A matriz 









 

100
0)cos()(
0)()cos(


sen
sen
A
 é uma transformação linear no R3 que representa uma 
rotação em torno do eixo z de um ângulo 

. 
a) Calcula a imagem do vetor u=(2, 0, 4) por uma rotação de 900 do plano. 
b) Representa geometricamente. 
c) Compara o módulo de u com o módulo de T(u). 
 
7) Considera novamente a matriz









 

100
0)cos()(
0)()cos(


sen
sen
A
 de uma transformação linear no 
R3 que representa uma rotação em torno do eixo z de um ângulo 

. 
a) Calcula a imagem do vetor u=(1, 0, 1) por uma rotação de 450 do plano. 
b) Representa geometricamente. 
c) Compara o módulo de u com o módulo de T(u). 
 
 
 
1
  radianos equivale a 1800 . Portanto, x graus equivale a y = 
180
x
 radianos. 
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Respostas: 
 
1) T(0,0) = (0,0) ; T(1,1) = (4,4) ; T(T(2,4)) = (60,78). Se A é a matriz de T, basta fazer A2 
multiplicado por u=(2,4). 
 
2) O único vetor cuja imagem é o vetor nulo é o vetor nulo. 
 
3) T1(T2(3,4)) = ( 4, –32); T2(T2(3,4)) = (2, 17); T2
4(3,4) = (–13,83). Se A é a matriz de T, 
basta fazer A4 multiplicado por u = (3,4). 
 
4) T(0,0)=(0,0); T(1,0) = (1,0); T(1,1) = (3,1) e T(0,1) = (2,1). 
 
5) A matriz de T é a matriz 





 
)3/cos()3/sin(
)3/sin()3/cos(

 
a) T(u) = (–0.3928 , 0.9196) 
b)c) | u | = 1 e |T(u)| = 1. 
 
 
6) A matriz de T é a matriz 









 

100
0)2/cos()2/(
0)2/()2/cos(


sen
sen
A
 
a) T(u) = (0, 2, 4) 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) | u | = 4,4721 e |T(u)| = 4,4721. 
 
 
0
0.5
1
1.5
2
0
0.5
1
1.5
2
0
1
2
3
4
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
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Observação – Trabalhando com figuras no Matlab 
 
Podemos gerar figuras no Matlab indicando os vértices da mesma e a ordem em que eles 
devem ser plotados. Por exemplo, para gerarmos uma figura com os vértices v1(1, 1) v2(2, 3) 
v3(3, 1) devemos utilizar os seguintes comandos: 
>> x = [1 2 3 1] 
>> y = [1 3 1 1] 
>> plot(x, y) 
 
Agora, observa o que acontecerá se utilizarmos 
 >> plot(x, -y) 
 
Ou ainda 
 >> plot(x, y, x, -y, -x, y, -x, -y) 
 
 O que pode ser concluído em relação a cada figura abaixo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: para cada item, analisa o que será executado com as linhas de comando abaixo. 
 
1) >> x1 = [1 2 3 1]; 
 >> y1 = [1 3 1 1]; 
 >> plot (x1, y1, x1, -y1, -x1, y1, -x1, -y1, 0.5*x1, 0.5*y1, x1+2*y1, y1, x1, 2*x1+y1) 
 
2) >> x2 = [1 2 3 1]; 
 >> y2 = [1 3 1 1]; 
 >> t = pi/2 
 >> u = pi 
 >> plot (x2, y2, x2*cos(t)+y2*sin(t), -x2*sin(t)+y2*cos(t), x2*cos(u)+y2*sin(u), -x2*sin(u)+y2*cos(u)) 
 
-3 -2 -1 0 1 2 3
-3
-2
-1
0
1
2
3