2 QuestõesComplementaresAula2Gabarito Eletromagnetismo

Prévia do material em texto

1. 
A densidade de fluxo elétrico é uma grandeza importante para o entendimento 
de condutores, capacitores e dielétricos. Parte da análise das cargas elétricas e 
da densidade de campo por elas produzidas. Sabendo-se que existe, no Sistema 
Internacional de Unidades uma relação direta em ter o campo elétrico e a 
densidade de fluxo elétrico. 
Determine a densidade de fluxo elétrico 𝑫 no ponto 𝑃(4, 0, 3) se existe uma carga 
pontual de −5𝜋 𝑚𝐶 no ponto 𝐴(4, 0, 0) e uma linha com densidade linear de 
cargas de 3𝜋 𝑚𝐶/𝑚 ao longo do eixo 𝑦 (SADIKU, 2014). 
Solução: 
Considerando o princípio da superposição temos: 
𝑫 = 𝑫𝑄 + 𝑫𝐿 
Neste caso, 𝑫𝑄 densidade de fluxo devida a existência da carga pontual será 
dada por: 
𝑫𝑄 = 𝜖0𝑬 
Sabemos que o campo elétrico devido a uma carga pontual é dado por: 
𝑬 =
𝑄
4𝜋𝜖0𝑅2
𝒂𝑟 
Ou: 
𝑬 =
𝑄
4𝜋𝜖0(|𝑟 − 𝑟′|)2
(𝑟 − 𝑟′)
|𝑟 − 𝑟′|
=
𝑄(𝑟 − 𝑟′)
4𝜋𝜖0(|𝑟 − 𝑟′|)3
 
Sendo assim, a densidade de fluxo devida a carga pontual será dada por: 
𝑫𝑄 = 𝜖0
𝑄(𝑟 − 𝑟′)
4𝜋𝜖0(|𝑟 − 𝑟′|)3
 
Calculando as distâncias: 
(𝑟 − 𝑟′) = (4, 0, 3) − (4, 0, 0) = (0, 0, 3) 
Substituindo teremos: 
𝑫𝑄 =
𝑄(0, 0, 3)
4𝜋(3)3
=
−5𝜋 × 10−3)(3𝒂𝑧)
4𝜋(27)
= −0,1389𝑥10−3 𝒂𝑧 = 138,9 𝜇𝐶/𝑚
2 
Da mesma forma, podemos pegar a equação da densidade de cargas devida a 
uma distribuição linear de cargas: 
𝐸 =
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝜌
 𝒂𝜌 
Como: 
𝑫 = 𝜖0𝑬 
Temos: 
𝑫𝑙 =
𝜌𝑙
2𝜋𝜌
 𝒂𝜌 
Neste caso, tanto o 𝑎𝜌 quanto o 𝜌 no denominador são referentes as 
coordenadas cilíndricas. Precisamos agora calcular a distância entre um ponto 
da linha de cargas e o ponto 𝑃(4, 0, 3) como a linha está sobre o eixo 𝑦 o ponto 
cuja distância será menor é a própria origem. Sendo assim: 
𝒂𝜌 =
(4, 0, 3) − (0, 0, 0)
|(4, 0, 3) − (0, 0, 0)|
=
(4, 0, 3)
5
 
Logo, o raio, distância, 𝜌 será dado por: 𝜌 = |(4, 0, 3) − (0, 0, 0)| = 5, 
substituindo teremos: 
𝑫𝑙 =
𝜌𝑙
2𝜋𝜌
 𝒂𝜌 
𝑫𝑙 =
3𝜋 × 10−3
2𝜋(5)
 (4𝒂𝑥 + 3𝒂𝑧) 
𝑫𝑙 =
3 × 10−3
10
 (4𝒂𝑥 + 3𝒂𝑧) = 0,3 × 10
−3(4𝒂𝑥 + 3𝒂𝑧) 
𝑫𝑙 = 1,2𝒂𝑥 + 0,9𝒂𝑧 𝑚𝐶/𝑚
2 
Sendo assim: 
𝑫 = 𝑫𝑄 + 𝑫𝐿 
𝑫 = 1,2𝒂𝑥 + 0,76𝒂𝑧 𝑚𝐶/𝑚
2 
 
2. 
Três superfícies cilíndricas concêntricas em 𝜌 = 1, 2 𝑒 3 𝑐𝑚 possuem densidades 
uniformes de carga de 20, −8 𝑒 5 𝑛𝐶/𝑚2, respectivamente. Qual a intensidade do 
fluxo elétrico que atravessa uma superfície fechada de 𝜌 = 5 𝑐𝑚 em 0 < 𝑧 < 1 𝑚 
? Qual a densidade de fluxo elétrico 𝑫 em 𝑃(1, 2, 3) 𝑐𝑚? 
Solução: Como as densidades de carga são uniformes, usando o princípio da 
superposição, o fluxo será o somatório de todos os fluxos. Considerando que 
para um cilindro com densidade uniforme o fluxo que atravessa sua superfície 
será igual a carga envolvida por ele: 
Φ = Ds2𝜋𝜌𝐿 
Ou, graças ao somatório: 
Φ = Ds12𝜋𝜌1𝐿 + Ds22𝜋𝜌2𝐿 + Ds32𝜋𝜌3𝐿 
Φ = 2𝜋𝐿(Ds1𝜌1 + Ds2𝜌2 + Ds3𝜌3) 
Φ = 2𝜋(1)((0,01)(20) + (0,02)(−8) + (0,03)(5)) × 10−9 = 1,193 𝑛𝐶 
𝚽 = 𝟏, 𝟏𝟗𝟑 𝒏𝑪 
Antes de calcularmos a densidade de fluxo elétrico 𝑫 em 𝑃(1, 2, 3) 𝑐𝑚 
precisamos encontrar o raio 𝜌 do cilindro gaussiano que passe por este ponto 
para isso calculamos o valor de 𝜌, dadas as coordenadas do ponto segundo a 
tabela de conversão de sistemas de coordenadas de nossa aula 1: 
𝜌 = √12 + 22 = √5 ≅ 2,236 𝑐𝑚 
Observamos que esta superfície gaussiana engloba as superfícies 𝜌 = 1 𝑒 𝜌 =
2. Também sabemos que superfícies cilíndricas apresentam fluxo apenas no 
componente 𝜌 também sabemos que referente a superfície gaussiana cilíndrica 
a densidade 𝑫 será dada por: 
𝑫 =
𝑎𝜌𝑠
𝜌
 
No nosso caso, novamente graças a simetria: 
𝑫 =
𝑎𝜌𝑠 + 𝑏𝜌𝑠
𝜌
=
(0,01)(20) + (0,02)(−8)
√0,05
= 1,789 𝑛𝐶/𝑚2 
𝑫 = 𝟏, 𝟕𝟖𝟗 𝒏𝑪/𝒎𝟐 
 
3. 
Uma superfície fechada 𝑺 qualquer engloba três cargas pontuais distintas no 
espaço livre com valores dados respectivamente por: 𝑄1 = 40 𝑛𝐶, 𝑄2 = 150 𝑛𝐶 e 
𝑄3 = −70 𝑛𝐶. Qual o fluxo total através da superfície 𝑺? 
Uma superfície fechada 𝑺 qualquer engloba três cargas pontuais distintas no 
espaço livre com valores dados respectivamente por: 𝑄1 = 40 𝑛𝐶, 𝑄2 = 150 𝑛𝐶 e 
𝑄3 = −70 𝑛𝐶. Qual o fluxo total através da superfície 𝑺? 
Solução: Segundo estudamos na aula 2, o fluxo elétrico total que atravessa uma 
superfície fechada é igual a carga englobada por essa superfície. Sendo assim; 
Ψ = 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 40 + 150 − 70 = 120 𝑛𝐶 
 
4. 
Considere a carga pontual de valor 2 𝜇𝐶 localizada no ponto 𝐴(1, −1, 3) e a carga 
pontual de valor −3 𝜇𝐶 localizada no ponto 𝐵(1, 4, −2). Encontre o potencial no 
ponto 𝑃(1, 0, 1) considerando que o potencial zero, de referência, está localizado 
no infinito. 
Solução: 
Neste caso, podemos aplicar a equação de potencial elétrico diretamente 
considerando a superposição dos efeitos relacionados as cargas. Sendo assim, 
e considerando que a referência está no infinito, teremos a soma algébrica dos 
efeitos de cada uma das cargas ou: 
𝑉 = 
𝑄1
4𝜋𝜖0
(
1
|𝑟 − 𝑟1|
) + 
𝑄2
4𝜋𝜖0
(
1
|𝑟 − 𝑟2|
) 
Calculando os vetores raio teremos: 
|𝑟 − 𝑟1| = |(1, 0, 1) − (1, −1, 3)| = |0, 1, −2| = √12 + 22 = √5 
|𝑟 − 𝑟2| = |(1, 0, 1) − (1, 4, −2)| = |0, −4, 3| = √42 + 32 = √25 = 5 
Sendo assim, colocando em evidência o que é comum, teremos: 
𝑉 = 
1
4𝜋𝜖0
[(
𝑄1
|𝑟 − 𝑟1|
) + (
𝑄2
|𝑟 − 𝑟2|
)] 
Substituindo teremos: 
𝑉 = 
1
4𝜋10−9
36𝜋
[(
2 × 10−6
|𝑟 − 𝑟1|
) + (
−3 × 10−6
|𝑟 − 𝑟2|
)] 
𝑉 = 
10−6
10−9
9
[(
2
√5
) + (
−3
5
)] 
Resolvendo: 
𝑉 = 9 × 103[(0,894) + (−0,6)] = 2,6460 𝑘𝑉 
 
5. 
Uma carga pontual 𝑄 de 6 𝑛𝐶 está localizada no ponto 𝐴(−3, 4, 0) neste mesmo 
espaço vazio existe ainda uma distribuição infinita, linear e uniforme de cargas 𝐿 
localizada em 𝑦 = 1 𝑒 𝑧 = 1, sabendo que a densidade de cargas desta 
distribuição linear é dada por 𝜌𝑙 = 2 𝑛𝐶/𝑚. Encontre o potencial elétrico 𝑉 no 
ponto 𝑃(5, 0, 1) sabendo que na origem o potencial elétrico é nulo. 
Solução: 
Sabemos, pelo princípio da superposição que o potencial 𝑉, em qualquer ponto 
será dado por: 
𝑉 = 𝑉𝑄 + 𝑉𝐿 
Ou seja, a soma dos potenciais elétricos provocados pela carga 𝑄 e pela linha 
𝐿. Sendo assim, nosso trabalho se resume em calcular o efeito devido a carga 
pontual e somar ao efeito devido a distribuição linear de cargas. 
Para a carga pontual, partindo da definição teremos que: 
𝑉𝑄 = ∫ 𝑬 ⋅ 𝑑𝒍 = − ∫
𝑄
4𝜋𝜖0𝑟2
𝒂𝑟 ⋅ 𝑑𝑟𝒂𝑟 
Resolvendo esta integral chegamos a equação do potencial devido a uma carga 
elétrica pontual. 
𝑉𝑄 =
𝑄
4𝜋𝜖0𝑟
+ 𝐶1 
Já para a linha infinita de cargas o potencial será dado, também partindo da 
definição: 
𝑉𝐿 = − ∫ 𝑬 ⋅ 𝑑𝒍 = − ∫
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝜌
𝒂𝜌 ⋅ 𝑑𝜌𝒂𝜌 
Resolvendo esta integral chegamos a: 
𝑉𝐿 = −
𝜌𝐿
2𝜋𝜖𝑜
ln 𝜌 + 𝐶2 
Sendo assim o potencial em um ponto qualquer será a soma destes dois efeitos: 
𝑉 = 𝑉𝑄 + 𝑉𝐿 
Ou; 
𝑉 =
𝑄
4𝜋𝜖0𝑅2
−
𝜌𝐿
2𝜋𝜖𝑜
ln 𝜌 + 𝐶 
Onde 𝐶 representa a soma das duas constantes de integração 𝐶1 + 𝐶2, 𝑅 
representa a distância entre a carga e o ponto desejado e 𝜌 será a distância 
perpendicular entre a linha e o ponto desejado. 
Agora, precisamos, segundo enunciado, determinar o potencial 𝑉 no ponto 
𝑃(5, 0, 1) sabendo que em 𝑂(0, 0, 0) temos 𝑉 = 0 𝑉. 
Para resolver este problema precisamos determinar as distâncias 𝑅 𝑒 𝜌. Em 
relação a origem, onde está o potencial 𝑉 = 0 e ao ponto 𝑃(5, 0, 1) desejado. 
Determinamos 𝑅 por meio do módulo do vetor que parte da caga 𝑄 e chega ao 
ponto desejado. Logo:𝑹𝑶 = (0, 0,0) − (−3, 4, 0) = (3, −4, 0) ∴ |𝑹| = 𝑅 = √32 + 42 = √25 = 5 
𝑹𝒑 = (5, 0, 1) − (−3, 4, 0) = (8, −4, 1) ∴ |𝑹| = 𝑅 = √82 + 42 + 12 = √81 = 9 
Agora podemos calcular a diferença entre os potenciais provocados pela carga 
pontual: 
𝑉𝑂 − 𝑉𝑃 =
𝑄
4𝜋𝜖0𝑅𝑜
−
𝑄
4𝜋𝜖0𝑅𝑝
 
𝑉𝑂 − 𝑉𝑃 =
𝑄
4𝜋𝜖0
[
1
𝑅𝑜
−
1
𝑅𝑝
] 
𝑉𝑂 − 𝑉𝑃 =
6 × 10−9
4𝜋10−9
36𝜋
[
1
5
−
1
9
] 
 
𝑉𝑂 − 𝑉𝑃 =
6 × 10−9
10−9
9
[
1
5
−
1
9
] = 4,8 𝑉 
Se a linha é infinita e passa em todos os 𝑦 = 1, 𝑒 𝑧 = 1 indica que ela é paralela 
ao eixo 𝑥 então, precisamos encontrar um ponto 𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧) sobre esta linha que 
seja perpendicular ao ponto 𝑃(5, 0, 1) e repetir este mesmo raciocínio com 
relação a Origem. Sendo assim: 
𝜌𝑂 = (0, 0, 0) − (0, 1, 1) = √12 + 12 = √2 
𝜌𝑝 = (5, 0, 1) − (5, 1, 1) = √12 = 1 
Sendo assim, teremos: 
𝑉𝑂 − 𝑉𝑃 = −
𝜌𝐿
2𝜋𝜖𝑜
(ln 𝜌𝑂 − ln 𝜌𝑝) 
𝑉𝑂 − 𝑉𝑃 = −
𝜌𝐿
2𝜋𝜖𝑜
ln
𝜌𝑂
𝜌𝑝
 
𝑉𝑂 − 𝑉𝑃 = −
2 × 10−9
2𝜋10−9
36𝜋
ln
√2
1
 
𝑉𝑂 − 𝑉𝑃 = −
2 × 10−9
10−9
18
ln √2 = −12,477 𝑉 
Logo o potencial em 𝑃 será dado por: 
0 − 𝑉𝑝 = −12,477 + 4,8 
𝑉𝑝 = 7,677 𝑉 
 
6. 
Dado um potencial elétrico 𝑉 =
10
𝑟2
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜙 encontre a densidade de fluxo 
elétrico 𝐷 no ponto 𝑃(2,
𝜋
2
, 0) (SADIKU, 2014). 
Solução: 
Precisamos começar pela avaliação da densidade de fluxo elétrico 𝑫 sabemos 
que: 
𝑫 = 𝜖0𝑬 
Sendo assim, tudo que precisamos é encontrar o valor de 𝑬 no ponto desejado. 
Observe o enunciado. Estamos trabalhando com coordenadas esféricas e 
sabemos como relacionar o campo elétrico 𝑬 com o potencial elétrico 𝑉. Neste 
caso: 
𝐸 = −∇𝑽 
O campo elétrico é o oposto do gradiente do potencial elétrico. Sendo assim, 
como estamos em coordenadas esféricas: 
𝐸 = (
𝛿𝑉
𝛿𝑟
𝒂𝑟 +
1
𝑟
𝛿𝑉
𝛿𝜃
𝒂𝜃 +
1
𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝛿𝑉
𝛿𝜙
𝒂𝜙) 
Substituindo a equação do potencial teremos: 
𝑬 = (
𝛿(
10
𝑟2
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜙)
𝛿𝑟
𝒂𝑟 +
1
𝑟
𝛿(
10
𝑟2
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜙)
𝛿𝜃
𝒂𝜃 +
1
𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝛿(
10
𝑟2
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜙)
𝛿𝜙
𝒂𝜙) 
Considerando o que é constante em cada derivada parcial e resolvendo estas 
derivadas teremos: 
𝑬 = (
20
𝑟3
𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜙 𝒂𝑟 −
10
𝑟3
cos 𝜃 cos 𝜙 𝒂𝜃 +
10
𝑟3
𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝒂𝜙) 
Esta é a equação, agora temos que substituir o ponto 𝑃(2,
𝜋
2
, 0) mas antes lembre 
que 𝑠𝑒𝑛 0 = cos
𝜋
2
= 0 então onde tivermos cos 𝜃 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝜙 não teremos 
componentes logo: 
𝑬 =
20
𝑟3
𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜙 𝒂𝑟 =
20
23
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
 cos 0 𝒂𝑟 =
5
2
𝒂𝑟 
𝑫 = 𝜖0𝑬 
𝑫 =
10−9
36𝜋
5
2
= 22,105𝒂𝑟 𝑝𝐶/𝑚
3 
 
7. 
Dois cubos de 2 𝑚 estão colocados em torno de uma carga de 5𝐶 posicionada 
exatamente na origem de um sistema cartesiano. Sabendo que as coordenadas 
do vértice do segundo cubo estão a + 30 𝑐𝑚 das coordenadas do primeiro cubo. 
Dada esta distribuição de superfícies fechadas em torno de uma carga, 
comparando o fluxo do campo elétrico que atravessa os dois cubos, podemos 
afirmar que: 
(a) O fluxo que atravessa o cubo 2 é menor que o que atravessa o cubo 
1; 
(b) Os fluxos elétricos que atravessam ambos os cubos são iguais; 
(c) Os fluxos são diferentes, mas não temos como calcular a diferença; 
(d) O fluxo que atravessa o cubo 2 é maior que o que atravessa o cubo 1; 
(e) Nenhuma das anteriores. 
 
8. 
Talvez, em eletricidade e eletrônica, nenhum estudo seja mais importante que o 
estudo do potencial elétrico. Este valor escalar é um dos principais, se não o 
principal, fator limitador na criação de novos dispositivos elétricos e eletrônicos. 
O potencial, mesmo no espaço livre, indica o efeito de cargas elétricas espúrias 
sobre pontos de interesse e é definitivo no funcionamento, ou não, de um circuito. 
Considere, por exemplo que você precisa saber o potencial no ponto(1, 0, 1) do 
espaço livre e que nos pontos (2, −1, 3) e (0, 4, −2) existem duas cargas pontuais 
de −4 𝜇𝐶 e 5 𝜇𝐶 , respectivamente. Assumindo que o potencial zero está no 
infinito, qual é o potencial no ponto desejado? 
Solução: a resposta correta é a letra d. 
Trata-se de aplicação direta da fórmula de cálculo do potencial elétrico: 
𝑉 = 
𝑄
4𝜋𝜖0
(
1
|𝑟 − 𝑟′|
) 
Ou, no caso, como temos mais de uma carga: 
𝑉𝑝 = 
𝑄1
4𝜋𝜖0
(
1
|𝑟 − 𝑟1|
) +
𝑄2
4𝜋𝜖0
(
1
|𝑟 − 𝑟2|
) 
Para obter o potencial, precisamos considerar, na verdade, a diferença de 
potencial entre o ponto desejado e o zero, mas como o zero está no infinito. Não 
precisaremos considerar este ponto. Resta-nos calcular os vetores raio. 
|𝑟 − 𝑟1| = (1, 0, 1) − (2, −1, 3) = |−1, 1, −2| = √6 
|𝑟 − 𝑟1| = (1, 0, 1) − (0, 4, −2) = |1, −4, 3| = √26 
Sendo assim: 
𝑉𝑃 =
10−6
4𝜋 ×
10−9
36𝜋
[−
4
√6
 
+
5
√26
] = 5,87 𝑘𝑉 
9. 
As aplicações da Lei de Gauss vão desde a simples análise do fluxo elétrico 
proveniente de uma carga colocada no espaço até a análise da influência dos 
fluxos provocados por guias de onda em sistemas de transmissão de micro-
ondas, como, por exemplo, estações de satélite. Considerando um guia de onda 
cilíndrico, colocado dentro de um amplificador de baixo ruído, com densidade de 
cargas de 𝜌𝑠 = 5𝑒
−20|𝑧| 𝑛𝐶
𝑚2
 calcule o fluxo elétrico proveniente da região limitada 
por 1 < 𝑧 < 5 𝑐𝑚 e 30° < 𝜙 < 90° se o cilindro estiver sobre o eixo 𝑧 e tiver 𝜌 =
8 𝑐𝑚. 
(a) 5,01 𝑝𝐶 
(b) 6,12 𝑝𝐶 
(c) 7,23 𝑝𝐶 
(d) 8,34 𝑝𝐶 
(e) 9,45 𝑝𝐶 
Solução: a resposta correta é a letra e. 
Trata-se de uma aplicação direta da fórmula do fluxo considerando as 
coordenadas cilíndricas. 
𝑄 𝐶 = Ψ C 
𝑄 = 𝑫𝑠 ∫ ∫ 𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧
𝜙′
𝜙
𝑧′
𝑧
 
Ou seja: 
𝑄 = 𝑫𝑠 ∫ ∫ 5𝑒
−20𝑧 𝑑𝜙𝑑𝑧
90°
30°
0,05
0,01
 
Logo: 
𝑄 = (
90 − 30
360
) 2𝜋(5)(0.08) (
−1
20
) 𝑒−20𝑧|
0,01
0,05
= 9,45 × 10−3 = 9,45 𝑝𝐶 
10. 
Encontre o campo elétrico 𝑬 a densidade de fluxo elétrico 𝑫 em um ponto 𝑃 
localizado a três metros de distância de uma linha uniforme de carga com 8 𝑛𝐶/𝑚 
sobre o eixo 𝑧 no vácuo. 
Solução: 
Para o cálculo do campo elétrico recorremos diretamente a equação para o 
cálculo referente a esta distribuição de cargas. Lembrando que o enunciado já 
faz a gentileza de nos informar que 𝜌 = 3 𝑚, sendo assim: 
𝑬 =
𝜌𝐿
2𝜋𝜖0𝜌
𝒂𝜌 
Substituindo os dados do enunciado temos: 
𝐸 =
8 × 10−9
2𝜋10−9(3)
36𝜋
𝒂𝜌 = 48𝒂𝜌 𝑉/𝑚 
Com este valor em mãos podemos calcular a densidade de fluxo elétrico há 
mesma distância. 
𝑫 = 𝜖0𝑬 
Logo: 
𝑫 = 𝜖048𝒂𝜌 
𝑫 =
10−9
36𝜋
 48𝒂𝜌 = 424,41 𝑝𝐶/𝑚
2