7 Estrategia Eletromagnetismo

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1. 
Três superfícies cilíndricas concêntricas em 𝜌 = 1, 2 𝑒 3 𝑐𝑚 possuem densidades 
uniformes de carga de 20, −8 𝑒 5 𝑛𝐶/𝑚2, respectivamente. Qual a intensidade do fluxo 
elétrico que atravessa uma superfície fechada de 𝜌 = 5 𝑐𝑚 em 0 < 𝑧 < 1 𝑚 ? Qual a 
densidade de fluxo elétrico 𝑫 em 𝑃(1, 2, 3) 𝑐𝑚? 
Solução: Como as densidades de carga são uniformes, usando o princípio da 
superposição, o fluxo será o somatório de todos os fluxos. Considerando que para um 
cilindro com densidade uniforme o fluxo que atravessa sua superfície será igual a carga 
envolvida por ele: 
Φ = Ds2𝜋𝜌𝐿 
Ou, graças ao somatório: 
Φ = Ds12𝜋𝜌1𝐿 + Ds22𝜋𝜌2𝐿 + Ds32𝜋𝜌3𝐿 
Φ = 2𝜋𝐿(Ds1𝜌1 + Ds2𝜌2 + Ds3𝜌3) 
Φ = 2𝜋(1)((0,01)(20) + (0,02)(−8) + (0,03)(5)) × 10−9 = 1,193 𝑛𝐶 
𝚽 = 𝟏, 𝟏𝟗𝟑 𝒏𝑪 
Antes de calcularmos a densidade de fluxo elétrico 𝑫 em 𝑃(1, 2, 3) 𝑐𝑚 precisamos 
encontrar o raio 𝜌 do cilindro gaussiano que passe por este ponto para isso calculamos 
o valor de 𝜌, dadas as coordenadas do ponto segundo a tabela de conversão de sistemas 
de coordenadas de nossa aula 1: 
𝜌 = √12 + 22 = √5 ≅ 2,236 𝑐𝑚 
Observamos que esta superfície gaussiana engloba as superfícies 𝜌 = 1 𝑒 𝜌 = 2. 
Também sabemos que superfícies cilíndricas apresentam fluxo apenas no componente 
𝜌 também sabemos que referente a superfície gaussiana cilíndrica a densidade 𝑫 será 
dada por: 
𝑫 =
𝑎𝜌𝑠
𝜌
 
No nosso caso, novamente graças a simetria: 
𝑫 =
𝑎𝜌𝑠 + 𝑏𝜌𝑠
𝜌
=
(0,01)(20) + (0,02)(−8)
√0,05
= 1,789 𝑛𝐶/𝑚2 
𝑫 = 𝟏, 𝟕𝟖𝟗 𝒏𝑪/𝒎𝟐 
2. 
Uma superfície fechada 𝑺 qualquer engloba três cargas pontuais distintas no espaço livre 
com valores dados respectivamente por: 𝑄1 = 40 𝑛𝐶, 𝑄2 = 150 𝑛𝐶 e 𝑄3 = −70 𝑛𝐶. Qual 
o fluxo total através da superfície 𝑺? 
Solução: Segundo estudamos na aula 2, o fluxo elétrico total que atravessa uma 
superfície fechada é igual a carga englobada por essa superfície. Sendo assim; 
Ψ = 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 40 + 150 − 70 = 120 𝑛𝐶 
 
3. 
Encontre o campo elétrico 𝑬 a densidade de fluxo elétrico 𝑫 em um ponto 𝑃 localizado a 
três metros de distância de uma linha uniforme de carga com 8 𝑛𝐶/𝑚 sobre o eixo 𝑧 no 
vácuo. 
Solução: 
Para o cálculo do campo elétrico recorremos diretamente a equação para o cálculo 
referente a esta distribuição de cargas. Lembrando que o enunciado já faz a gentileza 
de nos informar que 𝜌 = 3 𝑚, sendo assim: 
𝑬 =
𝜌𝐿
2𝜋𝜖0𝜌
𝒂𝜌 
Substituindo os dados do enunciado temos: 
𝐸 =
8 × 10−9
2𝜋10−9(3)
36𝜋
𝒂𝜌 = 48𝒂𝜌 𝑉/𝑚 
Com este valor em mãos podemos calcular a densidade de fluxo elétrico há mesma 
distância. 
𝑫 = 𝜖0𝑬 
Logo: 
𝑫 = 𝜖048𝒂𝜌 
𝑫 =
10−9
36𝜋
 48𝒂𝜌 = 424,41 𝑝𝐶/𝑚
2 
4. 
Uma corrente elétrica flui de um condutor cilíndrico de uma liga de cobre com 
condutividade 𝜎 = 6,17 × 106 𝑆/𝑚 e 1 𝑚𝑚 de raio, para um resistor cilíndrico de carbono 
de 𝜎 = 61 × 10−3 𝑆/𝑚 e seção reta de raio de 3 𝑚𝑚, como pode ser visto na figura 
abaixo. Considerando que todos os meios são homogêneos e que o campo elétrico no 
resistor é de 579,80 𝑘𝑉/𝑚, qual será a corrente no cobre? 
 
a) 4 𝐴 
b) 3 𝐴 
c) 2 𝐴 
d) 1 𝐴 
e) 0,5 𝐴 
Solução: A resposta certa é a letra d 
Não existem fontes de corrente entre os três meios. Ou seja, a corrente neste sistema é 
idêntica em todos os meios. Também sabemos que, para qualquer condutor, podemos 
relacionar o campo 𝑬 com a densidade de corrente por: 
𝑬 =
𝑱
𝜎
 
Sendo assim, podemos achar a densidade de corrente no resistor: 
𝑱 = 𝑬𝜎 = 579,80 × 103(61 × 10−3) = 35,37 𝑘𝐴/𝑚2 
Tendo a densidade de corrente em um condutor podemos achar a corrente facilmente já 
que: 
𝑱 =
𝑰
𝑆
∴ 𝑰 = 𝑱𝑺 
Sabemos que a corrente atravessa uma seção reta circular cuja área pode ser calculada 
por: 
𝑆 = 𝜋𝑅2 
Para o resistor de carbono: 
𝑆 = 𝜋𝑅2 = 𝜋(0,003)2 = 28,27 × 10−6 𝑚2 
Sendo assim a corrente será: 
𝑰 = 𝑱𝑺 = 35,37 × 103(28,27 × 10−6 ) = 0,999 𝐴 ≅ 1 𝐴 
 
5. 
Se uma barra de um composto de carbono de condutividade dada por 𝜎 = 3 × 104 𝑆/𝑚 
, raio de 5 𝑚𝑚 e 80 𝑐𝑚 de comprimento, não isolada nos seus terminais, mas no espaço 
livre, está submetido a um campo elétrico 𝑬 = 120 × 10−3 𝑉/𝑚 encontre a potência que 
será dissipada nesta barra. 
 
Solução: 
Podemos começar encontrando a corrente que atravessa este condutor lembrando que 
podemos relacionar o campo elétrico com a densidade de corrente. Sendo assim: 
𝑱 = 𝑬𝜎 = 120 × 10−3(3 × 104) = 3,6 × 103 𝐴/𝑚2 
Também podemos relacionar a corrente com a densidade por meio da área da seção 
reta atravessada por essa corrente. Ou seja: 
𝑱 =
𝑰
𝑆
∴ 𝐼 = 𝐽𝑆 = 3,6 × 103(𝜋(5 × 10−3)2) = 282,7 × 10−3 𝐴 
Logo: 
Também sabemos que a potência pode ser obtida apenas com a corrente e a resistência. 
𝑃 = 𝑅𝐼2 
Como a resistência pode ser calculada apenas com as características geométricas e 
físicas do condutor. 
𝑅 =
𝑙
𝜎𝑆
=
800 × 10−3
3 × 104(𝜋(5 × 10−3)2)
= 339,5 × 10−3 Ω 
Logo: 
𝑃 = 𝑅𝐼2 = (339,5 × 10−3)(282,7 × 10−3)2 = 27,14 × 10−3 𝑊 
Ou como: 
𝑰
𝑆
= 𝑬𝜎 ∴ 𝐼 = 𝑆𝑬𝜎 
Então: 
𝑃 = 
𝑙
𝜎𝑆
(𝑆𝑬𝜎)2 =
𝑙𝑆2𝐸2𝜎2
𝑆𝜎 
= 𝑙𝑆𝐸2𝜎 
𝑃 = 800 × 10−3(𝜋(5 × 10−3)2)(120 × 10−3)2(3 × 104) = 27,14 × 10−3 𝑊 
 
6. 
Duas cargas pontuais localizadas no espaço livre, exercem entre si uma força de 4 𝜇𝐶. 
Quando o espaço entre elas é totalmente preenchido com um material dielétrico com 
permissividade relativa de 0,5. Encontre a nova força entre estas cargas. 
Solução: 
Trata-se da aplicação da Lei de Coulomb e de uma única consideração sobre o 
enunciado. Sabemos que a Lei de Coulomb para cargas no espaço livre é, na sua forma 
escalar: 
𝐹 =
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜖0𝑅2
= 𝐹1 
Também sabemos que em qualquer dielétrico esta Lei terá a forma: 
𝐹 =
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜖𝑅2
= 𝐹2 
Onde 𝜖 = 𝜖𝑟𝜖0, sendo assim podemos equacionar a Lei de Coulomb em materiais 
dielétricos: 
𝐹2 =
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜖𝑟𝜖0𝑅2
∴ 𝐹2𝜖𝑟 =
𝑄1𝑄2
4𝜋𝜖0𝑅2
 
Observe que o valor que temos do lado direito do igual é 𝐹1, sendo assim: 
𝐹2𝜖𝑟 = 𝐹1 
Logo a segunda força, 𝐹2 será dada por: 
𝐹2 =
𝐹1
𝜖𝑟
=
4 × 10−6
0,5
= 8 𝜇𝑁 
 
7. 
Uma esfera de material condutor e raio de 10 𝑐𝑚 está centrada na origem e envolvida 
por um material dielétrico com 𝜖 = 2,5𝜖0. Sabendo que esta esfera carrega uma 
densidade superficial de cargas de 4 𝑛𝐶/𝑚2 e que a área da superfície da esfera é dada 
por 𝑆 = 4𝜋𝑅2 encontre o valor do campo elétrico 𝑬 a distância de 12 𝑐𝑚 do centro da 
esfera na direção 𝒂𝑟 
 
Solução: 
Primeiro, sabemos que a densidade será uma grandeza dividido por uma dimensão. 
Então: 
𝐷 =
𝑄
𝑆
 
Como temos a densidade superficial e o raio, será fácil calcular a carga. Neste caso, 
consideraremos a esfera como uma carga pontual colocada na origem, centro da esfera. 
Sendo assim: 
𝐷 =
𝑄
𝑆
∴ 𝑄 = 𝐷𝑆 = 4 × 10−9(4 × 𝜋(100 × 10−3)2) = 502,7 × 10−12𝐶 
Sabemos que o campo elétrico tem origem na carga e se espalha de forma radial até o 
infinito. Então esta densidade de cargas é normal a superfície da esfera em todos os 
pontos e, em coordenadas esféricas segue o sentido 𝒂𝑟 que coincide com a direção 
pedida no enunciado. 
Também sabemos que podemos relacionar a densidade de cargas com o campo elétrico 
em meios dielétricos: 
𝑫 = 𝜖𝑬 
Já vimos também que o campo elétrico devido a uma carga pontual em qualquer ponto 
do espaço será dado por: 
𝑬 = 
𝑄
4𝜋𝜖0𝑟2
 𝒂𝑟 
Neste caso, como estamos em um dielétrico teremos: 
𝑬 = 
𝑄
4𝜋2,5𝜖0𝑟2
 𝒂𝑟 
Logo, substituindo os valores que temos: 
 
𝑬= 
502,7 × 10−12
4𝜋 (2,5
10−9
36𝜋 )
(120 × 10−3)2 
 𝒂𝑟 
 
𝑬 = 125,7 𝑉/𝑚 
8. 
Dados os pontos 𝐶(2, −2, 3) e 𝑃(2, −1, 2) e considerando que um elemento diferencial 
de corrente 𝐼𝑑𝑳 = 10−4(4, −3, 1)𝐴 ⋅ 𝑚 no ponto 𝐶 produz um campo 𝑑𝑯 no ponto 𝑃. 
Especifique a direção do elemento diferencial 𝑑𝑯 em relação a um vetor unitário 𝒂𝐻. 
Solução: 
Usando a Lei de Biot-Savart, em forma diferencial, encontraremos: 
𝑑𝑯 =
𝐼𝑑𝑳 × 𝒂𝐶𝑃
4𝜋𝑅𝐶𝑃
2 
𝒂𝐶𝑃 = (2, −1, 2) − (2, −2, 3) = (0, 1, −1) = 𝒂𝑦 − 𝒂𝑧 
|𝒂𝐶𝑃| = 𝑎𝐶𝑃 = √12 + 12 = √2 
Logo: 
𝑑𝑯 =
𝐼𝑑𝑳 × 𝒂𝐶𝑃
4𝜋𝑅𝐶𝑃
2 =
10−4(4𝒂𝑥 − 3𝒂𝑦 + 𝒂𝑧) × (𝒂𝑦 − 𝒂𝑧)
4𝜋(√2)
2
(√2)
 
Fazendo o produto vetorial temos: 
𝐼𝑑𝑳 × 𝒂𝐶𝑃 = |
𝒂𝑥 𝒂𝑦 𝒂𝑧
4 −3 1
0 1 −1
| = |
−3 1
1 −1
| 𝒂𝑥 − |
4 1
0 −1
| 𝒂𝑦 + |
4 −3
0 1
| 𝒂𝑧 
 
𝐼𝑑𝑳 × 𝒂𝐶𝑃 = [(−3)(−1) − (1)(1)]𝒂𝑥 
− [(4)(−1) − (1)(0)]𝒂𝑦 
+[(4)(1) − (−3)(0)]𝒂𝑧 
 
𝐼𝑑𝑳 × 𝒂𝐶𝑃 = [3 − 1]𝒂𝑥 − [−4 − 0]𝒂𝑦 + [4 − 0]𝒂𝑧 
𝑨 × 𝑩 = 2𝒂𝑥 + 4𝒂𝑦 + 4𝒂𝑧 
𝑑𝑯 =
10−4(2𝒂𝑥 + 4𝒂𝑦 + 4𝒂𝑧)
4𝜋(23/2)
 
𝑑𝑯 = 2,813 × 10−6(2𝒂𝑥 + 4𝒂𝑦 + 4𝒂𝑧) 
Tudo que precisamos agora é encontrar o vetor unitário na direção 𝑑𝑯 
𝒂𝐻 =
2𝒂𝑥 + 4𝒂𝑦 + 4𝒂𝑧
√22 + 42 + 42
=
2𝒂𝑥 + 4𝒂𝑦 + 4𝒂𝑧
6
 
𝒂𝐻 = 0,333𝒂𝑥 + 0,667𝒂𝑦 + 0,667𝒂𝑧 
 
9. 
Considere o campo 𝑯 = 𝑦𝒂𝑥 − 𝑥𝒂𝑦 𝐴/𝑚 no plano 𝑧 = 0 usando a lei de Ampère, calcule 
a corrente na superfície definida por 𝑧 = 0; 0 < 𝑥 < 3; −1 < 𝑦 < 4 (SADIKU, 2014). 
Solução: 
Antes de qualquer coisa, precisamos observar esta 
superfície com cuidado. Veja a figura ao lado, neste 
caso, o sentido positivo do eixo 𝑧 está saído da tela na 
sua direção. 
Segundo a Lei de Ampére 
∮ 𝑯 ⋅ 𝑑𝒍 = 𝑰 
Então, para acharmos a corrente teremos que 
fazer a integral de linha de todo este percurso. 
Fazendo, neste caso, o produto escalar entre 
campo e o elemento diferencial de 
comprimento neste percurso assim podemos, por exemplo, resolver quatro 
integrais cada uma em relação a uma das linhas do retângulo que 
representa a superfície. 
Para o percurso 1 teremos que fazer a integral de linha, na linha que vai de 
zero a três, na direção positiva de 𝒂𝑥 em 𝑦 = −1 neste caso, o elemento 
diferencial de comprimento será 𝒂𝑥𝑑𝑥: 
𝐼1 = ∫ (𝑦𝒂𝑥 − 𝑥𝒂𝑦) ⋅ 𝒂𝑥𝑑𝑥
3
0
= ∫ 𝑦𝑑𝑥(𝒂𝑥 ⋅ 𝒂𝑥) − 𝑥𝑑𝑥(𝒂𝑦 ⋅ 𝒂𝑥)
3
0
 
𝐼1 = ∫ 𝑦𝑑𝑥(1) − 𝑥𝑑𝑥(0) = 
3
0
 ∫ 𝑦𝑑𝑥|𝑦=−1 = −1[3 − 0] = −3 𝐴
3
0
 
Poderíamos ter usado apenas o componente do campo nesta direção, mas 
resolvi fazer toda a integral para mostrar o processo. 
Para o percurso 2 teremos que fazer a integral de linha na linha que vai de 
−1 a 4 no sentido positivo de 𝒂𝑦 para 𝑥 = 3 logo: 
𝐼2 = ∫ (𝑦𝒂𝑥 − 𝑥𝒂𝑦) ⋅ 𝒂𝑦𝑑𝑦
4
−3
= ∫ 𝑦𝑑𝑦(𝒂𝑥 ⋅ 𝒂𝑦) − 𝑥𝑑𝑦(𝒂𝑦 ⋅ 𝒂𝑦)
4
−3
 
𝐼2 = ∫ 𝑦𝑑𝑦(0) − 𝑥𝑑𝑦(1)
4
−1
= ∫ −𝑥𝑑𝑦|𝑥=3 = −3[4 + 1] = −15 𝐴
4
−1
 
Para o percurso 3 teremos que fazer a integral de linha na linha que vai de 
3 até zero, no sentido negativo de 𝒂𝑥 para 𝑦 = 4, logo 
𝐼3 = ∫ (𝑦𝒂𝑥 − 𝑥𝒂𝑦) ⋅ 𝒂𝑥𝑑𝑥
0
3
= ∫ 𝑦𝑑𝑥(𝒂𝑥 ⋅ 𝒂𝑥) − 𝑥𝑑𝑥(𝒂𝑦 ⋅ 𝒂𝑥)
0
3
 
𝐼3 = ∫ 𝑦𝑑𝑥(1) − 𝑥𝑑𝑥(0)
0
3
= ∫ 𝑦𝑑𝑥|𝑦=4
0
3
= 4[0 − 3] = −12 𝐴 
Para o percurso 4 teremos que fazer a integral de linha entre 4 e −3 na 
direção negativa de 𝒂𝑦 para 𝑥 = 0 
𝐼4 = ∫ (𝑦𝒂𝑥 − 𝑥𝒂𝑦) ⋅ 𝒂𝑦𝑑𝑦
−3
4
= ∫ 𝑦𝑑𝑦(𝒂𝑥 ⋅ 𝒂𝑦) − 𝑥𝑑𝑦(𝒂𝑦 ⋅ 𝒂𝑦)
−3
4
 
𝐼4 = ∫ 𝑦𝑑𝑦(0) − 𝑥𝑑𝑦(1)
−3
4
= ∫ −𝑥𝑑𝑦|𝑥=0
−3
4
= 0[−3 − 4] = 0 𝐴 
Somando estas correntes chegamos que a corrente total que atravessa a 
superfície dada será de −30 𝐴 
 
10. 
Um filamento infinito de corrente, no espaço livre, carrega uma corrente de 2 𝐴 na direção 
positiva de 𝒂𝑧. Calcule a intensidade do campo magnético 𝑩 no ponto 𝑃(−3, 4, 7). 
 
Solução: 
Partimos do formulário para encontrar a fórmula do campo magnético 𝑩 em torno de uma 
distribuição linear de corrente. Contudo, precisamos fazer algumas considerações antes 
de começar. 
Sabemos de antemão que o campo magnético será dado pela regra da mão direita com 
o polegar apontado no sentido da corrente, na direção positiva de 𝒂𝑧 então este campo 
se propaga na forma de círculos por todo o espaço. 
Como o filamento está no eixo 𝑧, este e este propaga a corrente o campo existirá em um 
plano 𝑥𝑦 em um determinado 𝑧, neste caso segundo o enunciado, 𝑧 = 7 
O campo 𝑩 irá variar apenas no sentido de 𝜙 lembre-se que em coordenadas cilíndricas 
a coordenada 𝜙 é a coordenada relacionada ao ângulo. Logo: 
𝑩 =
𝜇0𝐼
2𝜋𝜌
 𝒂𝜙 
Temos todas a variáveis exceto este 𝜌. Trata-se da distância entre o ponto desejado e o 
filamento. Sobre um plano 𝑥𝑦, o 𝜌, raio do círculo que passa pelo ponto desejado pode 
ser encontrado usando o teorema de Pitágoras onde cada coordenada é um lado e o 
raio, 𝜌, a hipotenusa. Sendo assim a distância entre o filamento e o ponto desejado será: 
𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2 = √32 + 42 = 5 
 Sendo assim: 
𝑩 =
(4𝜋 × 10−7)(2)
2𝜋(5)
 𝒂𝜙 
𝑩 = 80 𝑛𝑊𝑏/𝑚2 
 
11. 
Um laço retangular formado por um condutor ideal, no espaço livre, junta os pontos 
𝐴(1, 0, 1); 𝐵(3, 0, 1); 𝐶(3, 0,4) 𝑒 𝐷(1, 0, 4). Neste condutor existe uma corrente de 6 𝑚𝐴, 
correndo na direção de 𝒂𝑧 de 𝐵 para 𝐶. Além disso, existe uma corrente filamentar de 
15 𝐴 ao longo de todo eixo 𝑧 na direção 𝒂𝑍. Encontre as forças que agem sobre os 
segmentos 𝐵𝐶 e 𝐴𝐵. 
Solução: 
Antes de qualquer coisa precisamos calcular a densidade de fluxo magnético 𝐵 devido 
ao filamento infinito de corrente sobre o eixo 𝑧. Como vimos, o campo magnético em 
torno de um filamento infinito de corrente será dado por: 
𝑯 =
𝐼
2𝜋𝜌
 
Podemos relacionar este campo magnético com a densidade de fluxo magnético no 
espaço livre por: 
𝑩 = 𝜇0𝑯 
Logo: 
𝐻 = 𝜇0 (
𝐼
2𝜋𝜌
) = 
𝐼𝜇0
2𝜋𝜌
 
Note que este campo varia com a distância 𝜌 e que 𝜌 é a distância entre o 
filamento e o ponto onde vamos perceber a existência deste campo neste 
caso, precisaremos calcular o campo em 𝒂𝑦 sobre os dois segmentos de 
interesse: 𝐵𝐶 e 𝐴𝐵 
Sendo assim, para o primeiro lado da espira 𝐵𝐶 que está a 3 unidades de distância do 
eixo 𝑧, temos: 
𝑯𝐵𝐶 = 
𝐼𝜇0
2𝜋𝜌
=
15(4𝜋 × 10−7)
2𝜋(3)
𝒂𝑦 
 
𝑯𝐵𝐶 = 
15(4𝜋 × 10−7)
2𝜋(3)
𝒂𝑦 = 
15(2 × 10−7)
 (3)
𝒂𝑦 
𝑯𝐵𝐶 = (10 × 10
−7)𝒂𝑦 
Para calcular a força que age sobre esta espira no segmento 𝐵𝐶 teremos: 
𝑭 = ∫ 𝐼𝑑𝑳 × 𝑩
𝑏
𝑎
 
Substituindo: 
𝑭 = ∫ (6 × 10−3) 𝑑𝑧 𝒂𝑧 × (10 × 10−7)𝒂𝑦
4
1
 
Resolvendo este produto vetorial teremos: 
 
 
𝑭 = |
𝒂𝑥 𝒂𝑦 𝒂𝑧
0 0 6 × 10−3
0 (10 × 10−7) 0
| 
 
𝑭 = |
0 6 × 10−3
(10 × 10−7) 0
| 𝒂𝑥 − |
0 6 × 10−3
0 0
| 𝒂𝑦 + |
0 0
0 (10 × 10−7)|
𝒂𝑧 
𝑭 = − 6 × 10−3(10 × 10−7)𝒂𝑥 = −6 × 10
−9𝒂𝑥 
Agora podemos fazer a integral: 
𝑭 = ∫ −6 × 10−9𝒂𝑥 𝑑𝑧
4
1
 
𝑭 = −6 × 10−9𝒂𝑥 ∫ 𝑑𝑧
4
1
 
𝑭 = −6 × 10−9𝒂𝑥(4 − 1) = −18𝒂𝑥 𝑛𝑁 
Precisamos agora, repetir os mesmos cálculos para o segundo segmento 𝐴𝐵 desta vez, o 
campo continua na mesma direção mas varia de acordo com a distância 𝑥. Ou seja: 
 
𝑯𝐴𝐵 = 
𝐼𝜇0
2𝜋𝑥
𝒂𝑦 
𝑯𝐴𝐵 = 
15(4𝜋 × 10−7)
2𝜋𝑥
𝒂𝑦 
𝑯𝐴𝐵 = 
15(2 × 10−7)
𝑥
𝒂𝑦 =
(30 × 10−7)
𝑥
𝒂𝑦 
Sendo assim, a força será dada por: 
 
𝑭 = ∫ 𝐼𝑑𝑳 × 𝑩
𝑏
𝑎
 
Substituindo: 
𝑭𝐴𝐵 = ∫ (6 × 10
−3) 𝑑𝑥 𝒂𝑥 ×
(30 × 10−7)
𝑥
𝒂𝑦
3
1
 
𝑭𝐴𝐵 = ∫ (6 × 10
−3) 𝑑𝑥𝒂𝑥 ×
(30 × 10−7)
𝑥
𝒂𝑦
3
1
 
𝑭 = ∫
(18 × 10−9)
𝑥
 𝒂𝑧 𝑑𝑥
3
1
 
 
 
𝑭𝐴𝐵 = (18 × 10
−9)(ln 3 − ln 1) = 19,7 𝑛𝑁 
 
12. 
Um motor utiliza uma bobina retangular de 20 𝑚𝑚 por 20 𝑚𝑚 pivotado no centro do lado 
menor. Se ele for montado em um campo magnético radial constante de densidade de 
fluxo dada por 0,4 𝑊𝑏/𝑚2 que está sempre atuando em um ângulo de 30° em relação ao 
plano da bobina e se a bobina tiver 500 voltas e for atravessada por uma corrente de 5 
mA, encontre o torque exercido sobre a bobina. 
Solução: 
Sabemos que o torque exercido sobre uma espira será dado por: 
𝑇 = 𝐵𝐼𝑆 𝑠𝑒𝑛𝛼 
Enquanto o torque sobre 𝑁 espiras será dado por: 
𝑇 = 𝑁𝐵𝐼𝑆 𝑠𝑒𝑛𝛼 
𝑇 = (500)(0,4)(5 × 10−3)(20 × 10−3)(20 × 10−3)𝑠𝑒𝑛30° 
𝑇 = 200 𝜇𝑁𝑚 
 
13. 
Em um material ferromagnético isotrópico linear e homogêneo de 𝜇𝑟 = 2,5, sujeito a uma 
densidade de fluxo magnético dada por 𝑩 = 4𝑦𝒂𝑧 𝑚𝑊𝑏/𝑚
2, determine o valor da magnetização 
𝑴. 
Solução: 
Sabemos que a magnetização em meios isotrópicos pode ser encontrada por: 
𝑴 = Χ𝑚𝑯 
Mas, não temos nenhuma destas grandezas no enunciado então devemos começar observando 
que existe uma relação entre a permeabilidade relativa e a susceptibilidade por: 
𝜇𝑟 = Χ𝑚 + 1 
Logo: 
𝜇𝑟 − 1 = Χ𝑚 
Χ𝑚 = 2,5 − 1 = 1.5 
Também podemos relacionar o campo magnético 𝑯 com a densidade de fluxo magnético 
𝑩 por: 
𝑩 = 𝜇𝑯 
Logo: 
𝑩 = 𝜇𝑯 ∴ 𝑯 =
𝑩
𝜇
=
𝑩
𝜇0𝜇𝑟
 
𝑯 =
𝑩
𝜇0𝜇𝑟
=
4𝑦 × 10−3𝒂𝑧
(4𝜋 × 10−7)(2,5)
= 1,273 𝑦𝒂𝑧 𝑘𝐴/𝑚 
Agora podemos chegar a magnetização: 
𝑴 = Χ𝑚𝑯 = 1,5(1,273 ) = 1,910𝒂𝑧 𝑘𝐴/𝑚 
 
14. 
Em um certo material isotrópico linear e homogêneo de 𝜇𝑟 = 1,5, sujeito a uma densidade de 
fluxo magnético dada por 𝑯 = 10𝒂𝑧 + 20𝒂𝑦 − 40𝒂𝑧 𝐴/𝑚, determine a magnetização 𝑴. 
Solução: 
Sabemos que a magnetização em meios isotrópicos pode ser encontrada por: 
𝑴 = Χ𝑚𝑯 
Mas, não temos nenhuma destas grandezas no enunciado então devemos começar observando 
que existe uma relação entre a permeabilidade relativa e a susceptibilidade por: 
𝜇𝑟 = Χ𝑚 + 1 
Logo: 
𝜇𝑟 − 1 = Χ𝑚 
Χ𝑚 = 1,5 − 1 = 0.5 
Sabemos também que a magnetização pode ser determinada por: 
𝑴 = Χ𝑚𝑯 
Logo: 
𝑴 = Χ𝑚𝑯 = 0,5(10𝒂𝑧 + 20𝒂𝑦 − 40𝒂𝑧 ) = 5𝒂𝑧 + 10𝒂𝑦 − 20𝒂𝑧 𝐴/𝑚 
 
15. 
Em um sistema de coordenadas cilíndricas, um fio condutor ideal de 2𝑚 de comprimento 
carregando uma corrente de 5 𝐴 na direção positiva do eixo 𝑧 está localizado em 𝜌 =
4 𝑐𝑚; −1 𝑚 < 𝑧 < 1 𝑚. Este condutor está sujeito a um campo magnético cuja densidade 
de fluxo é dada por: 𝑩 = 0,2 cos 𝜙 𝒂𝜌. Determine a coordenada 𝜙 onde a força será a 
maior possível. 
Solução: 
𝑭 = 𝐼𝑙 × 𝑩 
𝑭 = (5𝒂𝑧)2 × 2,0 cos 𝜙 𝒂𝜌 
𝑭 = 10𝒂𝑧 × 2,0 cos 𝜙 𝒂𝜌 
Resolvendo este produto vetorial teremos: 
𝑭 = |
𝒂𝜌 𝒂𝜙 𝒂𝑧
0 0 10 
0,2 cos 𝜙 0 0
| 
 
𝑭 = |
0 10
0 0
| 𝒂𝜌 − |
0 10
0,2 cos 𝜙 0 | 𝒂𝜙 + |
0 0
0,2 cos 𝜙 0| 𝒂𝑧 
𝑭 = 2 cos 𝜙 𝒂𝜙 
Ou seja, nossa força depende do cosseno de 𝜙. Como o cosseno varia entre 0 e 1 a força será 
a maior possível em 𝜙 = 0 
 
16. 
Dado um material no qual encontramos Χ𝑚 = 4 com um fluxo magnético interno 𝑩 =
1,2𝑦 𝒂𝑧 𝑇 encontre a magnetização 𝑴 no interior deste material. 
Solução: 
Sabemos que a densidade de corrente pode ser relacionada com o campo magnético 
por: 
𝑱 = ∇ × 𝑯 
Então, antes de achar a densidade de corrente precisamos achar o campo 𝑯 no interior 
deste material para tal podemos relacionar o campo 𝑯 com susceptibilidade magnética 
Χ𝑚 por: 
𝑩 = 𝜇𝑜(𝑯 + Χ𝑚𝑯) 
Ou, acertando o algebrismo: 
𝑩 = 𝜇0(1 + Χ𝑚)𝑯 
Logo: 
𝑩
𝜇0(1 + Χ𝑚)
= 𝑯 
Neste caso: 
𝑯 =
𝑩
𝜇𝑜(1 + Χ𝑚)
=
1,2𝑦𝒂𝑧
𝜇0(1 + 3,1)
= 
1,2𝑦𝒂𝑧
( 4𝜋 × 10−7)(1 + 4)
 
 
𝑯 = 191 𝑦𝒂𝑧 𝑘𝐴/𝑚 
Sabemos também que podemos relacionar a magnetização com o campo 𝑯 por: 
𝑴 = Χ𝑚𝑯 
𝑴 = 4(191 𝑦𝒂𝑧) = 764 𝑘𝐴/𝑚 
 
17. 
Considere uma região do espaço para a qual temos Χ𝑚 = 3 e um campo magnético dado 
por 𝐻 = 5𝑥𝒂𝑥 + 2𝑦𝒂𝑦 − 3𝑧𝒂𝑧. Determine a energia total acumulada em −1 < 𝑥 < 2 ; 0 <
𝑦 < 2, 0 < 𝑧 < 1 . 
Solução: 
Sabemos que podemos relacionar susceptibilidade magnética com a permeabilidade 
magnética relativa por: 
𝜇𝑟 = Χ𝑚 + 1 
 
𝜇𝑟 = 3 + 1 = 4 
Também podemos relacionar o campo magnético com densidade de fluxo magnético 
por: 
𝑩 = 𝜇𝑜(1 + Χ𝑚)𝑯 
𝑩 = 𝜇𝑜(4)𝑯 
Por fim, a energia armazenada em um campo magnético é dada por: 
𝑊𝑚 =
1
2
𝑩 ⋅ 𝑯 
Antes de progredirmos precisamos resolver 𝑩 ⋅ 𝑯 
𝜇𝑜(4)𝑯 ⋅ 𝑯 
𝑯 ⋅ 𝑯 = (5𝑥𝒂𝑥 + 2𝑦𝒂𝑦 − 3𝑧𝒂𝑧) ⋅ (5𝑥𝒂𝑥 + 2𝑦𝒂𝑦 − 3𝑧𝒂𝑧) 
𝑯 ⋅ 𝑯 = (5𝑥 × 5𝑥) + (2𝑦 × 2𝑦) + (−3𝑧 × −3𝑧) 
𝑯 ⋅ 𝑯 = (25𝑥2) + (4𝑦2) + (9𝑧) 
Então a energia acumulada será dada por 
𝑊𝑚 =
1
2
𝜇𝑜(4)𝑯 ⋅ 𝑯 
𝑊𝑚 =
4𝜇0
2
𝑯 ⋅ 𝑯 
𝑊𝑚 = 2𝜇0𝑯 ⋅ 𝑯 
𝑊𝑚 = 2𝜇0(25𝑥
2 + 4𝑦2 + 9𝑧) 
Para encontrar a energia total precisamos integrar esta equação nos limites 
determinados pelo enunciado em relação a um elemento de volume no espaço 
cartesiano dado por 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 
𝑊𝑚 = 2𝜇0 ∫ ∫ ∫ 25𝑥
2 + 4𝑦2 + 9𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
2
−1
2
0
1
0
= 2𝜇0(209) 
𝑊𝑚 = 2𝜇0(256) = 2(4𝜋 × 10
−7)(209) = 525,3 𝜇𝐽 
18. 
O entendimento do campo magnético gerado por filamentos de corrente e fundamental 
para o entendimento de motores e solenoides. 
Um filamento infinito de corrente, no espaço livre, provoca no ponto 𝑃(2, 2, 7), um campo 
magnético 𝑩 = 100 𝑛𝑊/𝑚2 calcule a corrente necessária, na direção positiva de 𝒂𝑧 
capaz de gerar este campo. 
Solução: 
Partimos do formulário para encontrar a fórmula do campo magnético 𝑩 em torno de uma 
distribuição linear e infinita de corrente. 
Sabemos de antemão que o campo magnético será dado pela regra da mão direita com 
o polegar apontado no sentido da corrente, na direção positiva de 𝒂𝑧 então este campo 
se propaga na forma de círculos por todo o espaço. 
Como o filamento está no eixo 𝑧, este e este propaga a corrente o campo existirá em um 
plano 𝑥𝑦 em um determinado 𝑧, neste caso segundo o enunciado, 𝑧 = 7 
O campo 𝑩 irá variar apenas no sentido de 𝜙 lembre-se que em coordenadas cilíndricas 
a coordenada 𝜙 é a coordenada relacionada ao ângulo. Logo: 
𝑩 =
𝜇0𝐼
2𝜋𝜌
 𝒂𝜙 
Temos todas a variáveis exceto a corrente desejada e este 𝜌. Trata-se da distância entre 
o ponto desejado e o filamento. Sobre um plano 𝑥𝑦, o 𝜌, raio do círculo que passa pelo 
ponto desejado pode ser encontrado usando o teorema de Pitágoras onde cada 
coordenada é um lado e o raio, 𝜌, a hipotenusa. Sendo assim, a distância entre o 
filamento e o ponto desejado será: 
𝜌 = √𝑥2 + 𝑦2 = √22 + 22 = √8 
 Ou seja, aplicando os valores dados no enunciado na fórmula e resolvendo teremos: 
100𝑥10−9𝒂𝜙 =
(4𝜋 × 10−7)(𝐼)
2𝜋(√8)
 𝒂𝜙 
100𝑥10−9 (2𝜋(√8))
4𝜋 × 10−7
= 𝑰 
100𝑥10−9 (2𝜋(2√2))
4𝜋 × 10−7
= 𝑰 
1𝑥10−7(√2)
10−7
= 𝑰 
𝑰 = √2 𝐴 
 
 
 
19. 
Três superfícies cilíndricas concêntricas em 𝜌 = 1, 2 𝑒 3 𝑐𝑚 possuem densidades 
uniformes de carga de 20, −8 𝑒 5 𝑛𝐶/𝑚2, respectivamente. Qual a intensidade do fluxo 
elétrico que atravessa uma superfície fechada de 𝜌 = 5 𝑐𝑚 em 0 < 𝑧 < 1 𝑚 ? Qual a 
densidade de fluxo elétrico 𝑫 em 𝑃(1, 2, 3) 𝑐𝑚? 
Solução: Como as densidades de carga são uniformes, usando o princípio da 
superposição, o fluxo será o somatório de todos os fluxos. Considerando que para um 
cilindro com densidade uniforme o fluxo que atravessa sua superfícieserá igual a carga 
envolvida por ele: 
Φ = Ds2𝜋𝜌𝐿 
Ou, graças ao somatório: 
Φ = Ds12𝜋𝜌1𝐿 + Ds22𝜋𝜌2𝐿 + Ds32𝜋𝜌3𝐿 
Φ = 2𝜋𝐿(Ds1𝜌1 + Ds2𝜌2 + Ds3𝜌3) 
Φ = 2𝜋(1)((0,01)(20) + (0,02)(−8) + (0,03)(5)) × 10−9 = 1,193 𝑛𝐶 
𝚽 = 𝟏, 𝟏𝟗𝟑 𝒏𝑪 
Antes de calcularmos a densidade de fluxo elétrico 𝑫 em 𝑃(1, 2, 3) 𝑐𝑚 precisamos 
encontrar o raio 𝜌 do cilindro gaussiano que passe por este ponto para isso calculamos 
o valor de 𝜌, dadas as coordenadas do ponto segundo a tabela de conversão de sistemas 
de coordenadas de nossa aula 1: 
𝜌 = √12 + 22 = √5 ≅ 2,236 𝑐𝑚 
Observamos que esta superfície gaussiana engloba as superfícies 𝜌 = 1 𝑒 𝜌 = 2. 
Também sabemos que superfícies cilíndricas apresentam fluxo apenas no componente 
𝜌 também sabemos que referente a superfície gaussiana cilíndrica a densidade 𝑫 será 
dada por: 
𝑫 =
𝑎𝜌𝑠
𝜌
 
No nosso caso, novamente graças a simetria: 
𝑫 =
𝑎𝜌𝑠 + 𝑏𝜌𝑠
𝜌
=
(0,01)(20) + (0,02)(−8)
√0,05
= 1,789 𝑛𝐶/𝑚2 
𝑫 = 𝟏, 𝟕𝟖𝟗 𝒏𝑪/𝒎𝟐 
 
20. 
Uma superfície fechada 𝑺 qualquer engloba três cargas pontuais distintas no espaço livre 
com valores dados respectivamente por: 𝑄1 = 40 𝑛𝐶, 𝑄2 = 150 𝑛𝐶 e 𝑄3 = −70 𝑛𝐶. Qual 
o fluxo total através da superfície 𝑺? 
Uma superfície fechada 𝑺 qualquer engloba três cargas pontuais distintas no espaço livre 
com valores dados respectivamente por: 𝑄1 = 40 𝑛𝐶, 𝑄2 = 150 𝑛𝐶 e 𝑄3 = −70 𝑛𝐶. Qual 
o fluxo total através da superfície 𝑺? 
Solução: Segundo estudamos na aula 2, o fluxo elétrico total que atravessa uma 
superfície fechada é igual a carga englobada por essa superfície. Sendo assim; 
Ψ = 𝑄𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 40 + 150 − 70 = 120 𝑛𝐶 
 
21. 
Considere a carga pontual de valor 2 𝜇𝐶 localizada no ponto 𝐴(1, −1, 3) e a carga pontual 
de valor −3 𝜇𝐶 localizada no ponto 𝐵(1, 4, −2). Encontre o potencial no ponto 𝑃(1, 0, 1) 
considerando que o potencial zero, de referência, está localizado no infinito. 
Solução: 
Neste caso, podemos aplicar a equação de potencial elétrico diretamente considerando 
a superposição dos efeitos relacionados as cargas. Sendo assim, e considerando que a 
referência está no infinito, teremos a soma algébrica dos efeitos de cada uma das cargas 
ou: 
𝑉 = 
𝑄1
4𝜋𝜖0
(
1
|𝑟 − 𝑟1|
) + 
𝑄2
4𝜋𝜖0
(
1
|𝑟 − 𝑟2|
) 
Calculando os vetores raio teremos: 
|𝑟 − 𝑟1| = |(1, 0, 1) − (1, −1, 3)| = |0, 1, −2| = √12 + 22 = √5 
|𝑟 − 𝑟2| = |(1, 0, 1) − (1, 4, −2)| = |0, −4, 3| = √42 + 32 = √25 = 5 
Sendo assim, colocando em evidência o que é comum, teremos: 
𝑉 = 
1
4𝜋𝜖0
[(
𝑄1
|𝑟 − 𝑟1|
) + (
𝑄2
|𝑟 − 𝑟2|
)] 
Substituindo teremos: 
𝑉 = 
1
4𝜋10−9
36𝜋
[(
2 × 10−6
|𝑟 − 𝑟1|
) + (
−3 × 10−6
|𝑟 − 𝑟2|
)] 
𝑉 = 
10−6
10−9
9
[(
2
√5
) + (
−3
5
)] 
Resolvendo: 
𝑉 = 9 × 103[(0,894) + (−0,6)] = 2,6460 𝑘𝑉 
 
22. 
Uma carga pontual 𝑄 de 6 𝑛𝐶 está localizada no ponto 𝐴(−3, 4, 0) neste mesmo espaço 
vazio existe ainda uma distribuição infinita, linear e uniforme de cargas 𝐿 localizada em 
𝑦 = 1 𝑒 𝑧 = 1, sabendo que a densidade de cargas desta distribuição linear é dada por 
𝜌𝑙 = 2 𝑛𝐶/𝑚. Encontre o potencial elétrico 𝑉 no ponto 𝑃(5, 0, 1) sabendo que na origem 
o potencial elétrico é nulo. 
Solução: 
Sabemos, pelo princípio da superposição que o potencial 𝑉, em qualquer ponto será 
dado por: 
𝑉 = 𝑉𝑄 + 𝑉𝐿 
Ou seja, a soma dos potenciais elétricos provocados pela carga 𝑄 e pela linha 𝐿. Sendo 
assim, nosso trabalho se resume em calcular o efeito devido a carga pontual e somar ao 
efeito devido a distribuição linear de cargas. 
Para a carga pontual, partindo da definição teremos que: 
𝑉𝑄 = ∫ 𝑬 ⋅ 𝑑𝒍 = − ∫
𝑄
4𝜋𝜖0𝑟2
𝒂𝑟 ⋅ 𝑑𝑟𝒂𝑟 
Resolvendo esta integral chegamos a equação do potencial devido a uma carga elétrica 
pontual. 
𝑉𝑄 =
𝑄
4𝜋𝜖0𝑟
+ 𝐶1 
Já para a linha infinita de cargas o potencial será dado, também partindo da definição: 
𝑉𝐿 = − ∫ 𝑬 ⋅ 𝑑𝒍 = − ∫
𝜌𝑙
2𝜋𝜖0𝜌
𝒂𝜌 ⋅ 𝑑𝜌𝒂𝜌 
Resolvendo esta integral chegamos a: 
𝑉𝐿 = −
𝜌𝐿
2𝜋𝜖𝑜
ln 𝜌 + 𝐶2 
Sendo assim o potencial em um ponto qualquer será a soma destes dois efeitos: 
𝑉 = 𝑉𝑄 + 𝑉𝐿 
Ou; 
𝑉 =
𝑄
4𝜋𝜖0𝑅2
−
𝜌𝐿
2𝜋𝜖𝑜
ln 𝜌 + 𝐶 
Onde 𝐶 representa a soma das duas constantes de integração 𝐶1 + 𝐶2, 𝑅 representa a 
distância entre a carga e o ponto desejado e 𝜌 será a distância perpendicular entre a 
linha e o ponto desejado. 
Agora, precisamos, segundo enunciado, determinar o potencial 𝑉 no ponto 𝑃(5, 0, 1) 
sabendo que em 𝑂(0, 0, 0) temos 𝑉 = 0 𝑉. 
Para resolver este problema precisamos determinar as distâncias 𝑅 𝑒 𝜌. Em relação a 
origem, onde está o potencial 𝑉 = 0 e ao ponto 𝑃(5, 0, 1) desejado. 
Determinamos 𝑅 por meio do módulo do vetor que parte da caga 𝑄 e chega ao ponto 
desejado. Logo: 
𝑹𝑶 = (0, 0,0) − (−3, 4, 0) = (3, −4, 0) ∴ |𝑹| = 𝑅 = √32 + 42 = √25 = 5 
𝑹𝒑 = (5, 0, 1) − (−3, 4, 0) = (8, −4, 1) ∴ |𝑹| = 𝑅 = √82 + 42 + 12 = √81 = 9 
Agora podemos calcular a diferença entre os potenciais provocados pela carga pontual: 
𝑉𝑂 − 𝑉𝑃 =
𝑄
4𝜋𝜖0𝑅𝑜
−
𝑄
4𝜋𝜖0𝑅𝑝
 
𝑉𝑂 − 𝑉𝑃 =
𝑄
4𝜋𝜖0
[
1
𝑅𝑜
−
1
𝑅𝑝
] 
𝑉𝑂 − 𝑉𝑃 =
6 × 10−9
4𝜋10−9
36𝜋
[
1
5
−
1
9
] 
 
𝑉𝑂 − 𝑉𝑃 =
6 × 10−9
10−9
9
[
1
5
−
1
9
] = 4,8 𝑉 
Se a linha é infinita e passa em todos os 𝑦 = 1, 𝑒 𝑧 = 1 indica que ela é paralela ao eixo 
𝑥 então, precisamos encontrar um ponto 𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧) sobre esta linha que seja perpendicular 
ao ponto 𝑃(5, 0, 1) e repetir este mesmo raciocínio com relação a Origem. Sendo assim: 
𝜌𝑂 = (0, 0, 0) − (0, 1, 1) = √12 + 12 = √2 
𝜌𝑝 = (5, 0, 1) − (5, 1, 1) = √12 = 1 
Sendo assim, teremos: 
𝑉𝑂 − 𝑉𝑃 = −
𝜌𝐿
2𝜋𝜖𝑜
(ln 𝜌𝑂 − ln 𝜌𝑝) 
𝑉𝑂 − 𝑉𝑃 = −
𝜌𝐿
2𝜋𝜖𝑜
ln
𝜌𝑂
𝜌𝑝
 
𝑉𝑂 − 𝑉𝑃 = −
2 × 10−9
2𝜋10−9
36𝜋
ln
√2
1
 
𝑉𝑂 − 𝑉𝑃 = −
2 × 10−9
10−9
18
ln √2 = −12,477 𝑉 
Logo o potencial em 𝑃 será dado por: 
0 − 𝑉𝑝 = −12,477 + 4,8 
𝑉𝑝 = 7,677 𝑉 
 
23. 
Dado um potencial elétrico 𝑉 =
10
𝑟2
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜙 encontre a densidade de fluxo elétrico 𝐷 
no ponto 𝑃(2,
𝜋
2
, 0) (SADIKU, 2014). 
Solução: 
Precisamos começar pela avaliação da densidade de fluxo elétrico 𝑫 sabemos que: 
𝑫 = 𝜖0𝑬 
Sendo assim, tudo que precisamos é encontrar o valor de 𝑬 no ponto desejado. Observe 
o enunciado. Estamos trabalhando com coordenadas esféricas e sabemos como 
relacionar o campo elétrico 𝑬 com o potencial elétrico 𝑉. Neste caso: 
𝐸 = −∇𝑽 
O campo elétrico é o oposto do gradiente do potencial elétrico. Sendo assim, como 
estamos em coordenadas esféricas: 
𝐸 = (
𝛿𝑉
𝛿𝑟
𝒂𝑟 +
1
𝑟
𝛿𝑉
𝛿𝜃
𝒂𝜃 +
1
𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝛿𝑉
𝛿𝜙
𝒂𝜙) 
Substituindo a equação do potencial teremos: 
𝑬 = (
𝛿(
10
𝑟2
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜙)
𝛿𝑟
𝒂𝑟 +
1
𝑟
𝛿(
10
𝑟2
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜙)
𝛿𝜃
𝒂𝜃 +
1
𝑟 𝑠𝑒𝑛𝜃
𝛿(
10
𝑟2
 𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜙)
𝛿𝜙
𝒂𝜙) 
Considerando o que é constante em cada derivada parcial e resolvendo estas derivadas 
teremos: 
𝑬 = (
20
𝑟3
𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜙 𝒂𝑟 −
10
𝑟3
cos 𝜃 cos 𝜙 𝒂𝜃 +
10
𝑟3
𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝒂𝜙) 
Esta é a equação, agora temos que substituir o ponto 𝑃(2,
𝜋
2
, 0) mas antes lembre que 𝑠𝑒𝑛 0 =
cos
𝜋
2
= 0 então onde tivermos cos 𝜃 𝑜𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝜙 não teremos componentes logo: 
𝑬 =
20
𝑟3
𝑠𝑒𝑛 𝜃 cos 𝜙 𝒂𝑟 =
20
23
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
 cos 0 𝒂𝑟 =
5
2
𝒂𝑟 
𝑫 = 𝜖0𝑬 
𝑫 =
10−9
36𝜋
5
2
= 22,105𝒂𝑟𝑝𝐶/𝑚
3 
 
24. 
Dois cubos de 2 𝑚 estão colocados em torno de uma carga de 5𝐶 posicionada 
exatamente na origem de um sistema cartesiano. Sabendo que as coordenadas do 
vértice do segundo cubo estão a + 30 𝑐𝑚 das coordenadas do primeiro cubo. Dada esta 
distribuição de superfícies fechadas em torno de uma carga, comparando o fluxo do 
campo elétrico que atravessa os dois cubos, podemos afirmar que: 
(a) O fluxo que atravessa o cubo 2 é menor que o que atravessa o cubo 
1; 
(b) Os fluxos elétricos que atravessam ambos os cubos são iguais; 
(c) Os fluxos são diferentes, mas não temos como calcular a diferença; 
(d) O fluxo que atravessa o cubo 2 é maior que o que atravessa o cubo 1; 
(e) Nenhuma das anteriores. 
 
25. 
Talvez, em eletricidade e eletrônica, nenhum estudo seja mais importante que o estudo 
do potencial elétrico. Este valor escalar é um dos principais, se não o principal, fator 
limitador na criação de novos dispositivos elétricos e eletrônicos. O potencial, mesmo no 
espaço livre, indica o efeito de cargas elétricas espúrias sobre pontos de interesse e é 
definitivo no funcionamento, ou não, de um circuito. Considere, por exemplo que você 
precisa saber o potencial no ponto(1, 0, 1) do espaço livre e que nos pontos (2, −1, 3) e 
(0, 4, −2) existem duas cargas pontuais de −4 𝜇𝐶 e 5 𝜇𝐶 , respectivamente. Assumindo 
que o potencial zero está no infinito, qual é o potencial no ponto desejado? 
Solução: a resposta correta é a letra d. 
Trata-se de aplicação direta da fórmula de cálculo do potencial elétrico: 
𝑉 = 
𝑄
4𝜋𝜖0
(
1
|𝑟 − 𝑟′|
) 
Ou, no caso, como temos mais de uma carga: 
𝑉𝑝 = 
𝑄1
4𝜋𝜖0
(
1
|𝑟 − 𝑟1|
) +
𝑄2
4𝜋𝜖0
(
1
|𝑟 − 𝑟2|
) 
Para obter o potencial, precisamos considerar, na verdade, a diferença de potencial entre 
o ponto desejado e o zero, mas como o zero está no infinito. Não precisaremos 
considerar este ponto. Resta-nos calcular os vetores raio. 
|𝑟 − 𝑟1| = (1, 0, 1) − (2, −1, 3) = |−1, 1, −2| = √6 
|𝑟 − 𝑟1| = (1, 0, 1) − (0, 4, −2) = |1, −4, 3| = √26 
Sendo assim: 
𝑉𝑃 =
10−6
4𝜋 ×
10−9
36𝜋
[−
4
√6
 
+
5
√26
] = 5,87 𝑘𝑉 
26. 
As aplicações da Lei de Gauss vão desde a simples análise do fluxo elétrico proveniente 
de uma carga colocada no espaço até a análise da influência dos fluxos provocados por 
guias de onda em sistemas de transmissão de micro-ondas, como, por exemplo, 
estações de satélite. Considerando um guia de onda cilíndrico, colocado dentro de um 
amplificador de baixo ruído, com densidade de cargas de 𝜌𝑠 = 5𝑒
−20|𝑧| 𝑛𝐶
𝑚2
 calcule o fluxo 
elétrico proveniente da região limitada por 1 < 𝑧 < 5 𝑐𝑚 e 30° < 𝜙 < 90° se o cilindro 
estiver sobre o eixo 𝑧 e tiver 𝜌 = 8 𝑐𝑚. 
(a) 5,01 𝑝𝐶 
(b) 6,12 𝑝𝐶 
(c) 7,23 𝑝𝐶 
(d) 8,34 𝑝𝐶 
(e) 9,45 𝑝𝐶 
Solução: a resposta correta é a letra e. 
Trata-se de uma aplicação direta da fórmula do fluxo considerando as coordenadas 
cilíndricas. 
𝑄 𝐶 = Ψ C 
𝑄 = 𝑫𝑠 ∫ ∫ 𝜌𝑑𝜙𝑑𝑧
𝜙′
𝜙
𝑧′
𝑧
 
Ou seja: 
𝑄 = 𝑫𝑠 ∫ ∫ 5𝑒
−20𝑧 𝑑𝜙𝑑𝑧
90°
30°
0,05
0,01
 
Logo: 
𝑄 = (
90 − 30
360
) 2𝜋(5)(0.08) (
−1
20
) 𝑒−20𝑧|
0,01
0,05
= 9,45 × 10−3 = 9,45 𝑝𝐶 
27. 
Encontre o campo elétrico 𝑬 a densidade de fluxo elétrico 𝑫 em um ponto 𝑃 localizado a 
três metros de distância de uma linha uniforme de carga com 8 𝑛𝐶/𝑚 sobre o eixo 𝑧 no 
vácuo. 
Solução: 
Para o cálculo do campo elétrico recorremos diretamente a equação para o cálculo 
referente a esta distribuição de cargas. Lembrando que o enunciado já faz a gentileza 
de nos informar que 𝜌 = 3 𝑚, sendo assim: 
𝑬 =
𝜌𝐿
2𝜋𝜖0𝜌
𝒂𝜌 
Substituindo os dados do enunciado temos: 
𝐸 =
8 × 10−9
2𝜋10−9(3)
36𝜋
𝒂𝜌 = 48𝒂𝜌 𝑉/𝑚 
Com este valor em mãos podemos calcular a densidade de fluxo elétrico há mesma 
distância. 
𝑫 = 𝜖0𝑬 
Logo: 
𝑫 = 𝜖048𝒂𝜌 
𝑫 =
10−9
36𝜋
 48𝒂𝜌 = 424,41 𝑝𝐶/𝑚
2