Calculo_Diferencial_Integral_III

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Cálculo Diferencial e 
Integral III
Sandra Regina Leme Forster
Revisada por Sandra Regina Leme Forster (janeiro/2013)
APRESENTAÇÃO
É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Cálculo Diferencial e 
Integral III, parte integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâmico 
e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) 
alunos(as) uma apresentação do conteúdo básico da disciplina.
A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidis-
ciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e e-mail.
Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, 
a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, 
bem como acesso a redes de informação e documentação.
Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suple-
mento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para 
uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.
A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!
Unisa Digital
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................... 5
1 A INTEGRAL: INTERPRETAÇÕES E O TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO ...7
1.1 Distância Percorrida (uma Estimativa) .....................................................................................................................7
1.2 Distância Percorrida e Área Abaixo de uma Curva (Valor com Precisão) ................................................11
1.3 A Integral Definida e a Área Abaixo de uma Curva .........................................................................................19
1.4 Teorema Fundamental do Cálculo .........................................................................................................................24
1.5 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................32
1.6 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................32
2 PRIMITIVAS .............................................................................................................................................. 33
2.1 Derivada e Integral de Algumas Funções Elementares .................................................................................36
2.2 Regras Básicas de Integração ...................................................................................................................................39
2.3 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................39
2.4 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................40
3 ALGUMAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO............................................................................... 41
3.1 Integração por Decomposição ................................................................................................................................41
3.2 Integração por Substituição .....................................................................................................................................46
3.3 Integração por Partes ..................................................................................................................................................56
3.4 Integração de Algumas Funções Trigonométricas ..........................................................................................65
3.5 Integração de Função Racional ...............................................................................................................................73
3.6 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................79
3.7 Atividades Propostas ...................................................................................................................................................80
RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS ..................................... 81
REFERÊNCIAS ............................................................................................................................................. 89
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INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a),
Esta apostila destina-se aos universitários do curso de Engenharia e tem a finalidade de servir de 
orientação aos estudos da disciplina Cálculo Diferencial e Integral III. Ela foi elaborada com o objetivo 
de fornecer ferramentas para ampliar os conhecimentos e auxiliar o(a) aluno(a) do Ensino a Distância 
(EaD). 
A apresentação dos conteúdos está estruturada em partes teóricas, aplicações em forma de exercí-
cios resolvidos que aparecem como exemplos e exercícios de aprendizagem para melhor compreensão 
dos assuntos abordados. 
Espera-se, com este material, contribuir de forma expressiva para o seu aprendizado, porém sua 
participação nas aulas ao vivo, realização das atividades e interação no correio, fóruns de discussões e 
chats são fundamentais para o seu sucesso.
Os tópicos apresentados são essenciais para que sejam entendidos o conceito, as técnicas e as 
aplicações das Integrais das funções de uma variável. No capítulo 1, tem-se a Integral: Interpretações e o 
Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), ou seja, a integral é definida por meio de exemplos em que são 
usadas somas de áreas e, com isso, também definimos o TFC. No capítulo 2, são apresentadas as primiti-
vas ou antiderivadas; a integral é apresentada como uma inversa da derivada e, a partir dessa “ideia”, são 
deduzidas as fórmulas de integração imediata, as quais serão utilizadas ao longo do desenvolvimento 
desta disciplina. No capítulo 3, são apresentados quatro métodos de integração: o da decomposição, da 
substituição, da integração por partes e da integração de funções racionais. 
Caso discorde de algo apresentado nesta apostila, comunique ao professor da disciplina, pois de-
sejamos ouvi-lo(la) para que possamos melhorar o curso a cada trimestre.
Sandra Regina Leme Forster
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Caro(a) aluno(a),
Você deve estar lembrado(a) que, no pri-
meiro capítulo da apostila de Cálculo Diferencial 
e Integral II, foi apresentada a interpretação geo-
métrica e física da derivada. Vimos que a derivada 
de uma função em um ponto apresenta a taxa de 
variação instantânea e um exemplo disso é a velo-
cidade instantânea, ou seja, a velocidade que um 
móvel apresenta em um determinado instante. 
Na ocasião, estudamos a velocidade de um móvel 
com destino de São Paulo (Capital) ao município 
de Extrema (MG), os quais estão a aproximada-
mente 110 km de distância.
Agora, queremos fazer o processo inverso; 
faremos uma estimativa da distância percorrida, 
tendo como dados a velocidade e o tempo.
No ensino médio, no estudo da disciplina 
Física, com certeza você resolveu diversos pro-
blemas sobre a velocidade. Então, deve estar 
lembrado(a) que, se a velocidade for uma cons-
tante, podemos encontrar a distância usando a 
fórmula “Distância = Velocidade x Tempo”, mas, 
retornando ao problema real, por exemplo, do 
móvel que está indo de São Paulo a Extrema por 
uma rodovia movimentada, que apresenta alguns 
trechos comcurvas perigosas, alguns problemas 
no asfalto, pedágios, trechos que atravessam as 
zonas urbanas etc., como fazer essa viagem com 
uma velocidade constante? É impossível! Corre-
to? Neste tópico, veremos como fazer uma esti-
mativa da distância quando a velocidade não é 
uma constante.
Em um primeiro momento, não apresenta-
remos como exemplo a situação do móvel que se 
move de São Paulo a Extrema, mas apenas em um 
pequeno intervalo dessa viagem, pois, para a via-
gem toda, além de não considerarmos a velocida-
de como uma constante, deveríamos apresentá-
-la como crescente, decrescente e constante em 
diversos trechos, o que ocasionaria certa dificul-
dade no entendimento do que se deseja apresen-
tar.
A INTEGRAL: INTERPRETAÇÕES E O 
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO1
1.1 Distância Percorrida (uma Estimativa)
Suponha que queremos determinar a dis-
tância percorrida em 1 minuto e que, nesse pe-
ríodo, o carro tenha se movimentado com velo-
cidade crescente. Inicialmente, vamos supor que 
a velocidade seja registrada a cada 10 segundos, 
como a Tabela 1.1 apresenta.
Tabela 1.1 – Velocidade do carro a cada 10 segundos.
Tempo (s) 0 10 20 30 40 50 60
Velocidade (km/h) 36 54,4 57,6 79,2 100,8 122,4 144
Velocidade (m/s) 10 14 16 22 28 34 40
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Qual é a distância que o carro percorreu 
nesses 60 segundos? Como não sabemos a velo-
cidade que o carro está a cada instante (sabemos 
apenas nos instantes apresentados na tabela), 
não podemos calcular a distância exatamente, 
mas podemos fazer uma estimativa. Como a ve-
locidade é crescente, o carro percorre no mínimo 
100 metros ao longo dos primeiros 10 segundos, 
pois se percorre 10 metros em 1 segundo; como 
distância = velocidade x tempo, em 10 segundos 
percorrerá 10m/s x 10s = 100 m.
Calculando de modo análogo as distâncias 
nos demais pontos, o carro percorre no mínimo 
140 metros, no período de 10 a 20 segundos; no 
mínimo 160 metros, de 20 a 30 segundos; no mí-
nimo 220 metros, de 30 a 40 segundos; no míni-
mo 280 metros, de 40 a 50 segundos; no mínimo 
340 metros, de 50 a 60 segundos. Dessa forma, 
em um período de 60 segundos (1 minuto), ele 
percorre, no mínimo:
(10)(10) + (14)(10) + (16)(10) + (22)(10) + (28)
(10) + (34)(10) = 1.240 metros.
Assim, 1.240 metros é uma estimativa in-
ferior da distância total percorrida ao longo de 1 
minuto.
Para obter a estimativa superior, faremos 
da seguinte maneira: ao longo dos 10 primeiros 
segundos, o carro percorre no máximo 140 me-
tros; nos próximos 10 segundos, ou seja, 10 a 20 
segundos, percorre no máximo 160 metros; de 20 
a 30 segundos, no máximo 220 metros; de 30 a 
40 segundos, no máximo 280 metros; de 40 a 50 
segundos, no máximo 340 metros; e de 50 a 60 
segundos, no máximo 400 metros. Dessa forma, 
em um período de 60 segundos (1 minuto), ele 
percorre, no máximo:
140 + 160 + 220 + 280 + 340 + 400 = 1.540 metros.
Assim, 1.540 metros é uma estimativa su-
perior da distância total percorrida ao longo de 1 
minuto.
Portanto, a distância total percorrida está 
entre 1.240 metros a 1.540 metros:
1.240 metros ≤ Distância total percorrida ≤ 1.540 
metros.
Existe uma diferença de 300 metros entre 
nossas estimativas superior e inferior.
Podemos representar essas estimativas, 
superior e inferior, em um gráfico da velocidade. 
Veja na Figura 1.1.
Figura 1.1 – Representação gráfica da velocidade medida a cada 10 segundos.
 
Estimativa superior 
(área dos 
retângulos escuros 
e claros) 
Estimativa inferior 
(área dos 
retângulos escuros) 
10 20 30 40 50 60 
 
10 
 
14 
 
16 
 
22 
 
28 
 
34 
 
40 
Velocidade 
Tempo 
Diferença entre 
as estimativas 
 10 
30 = 40 - 10 
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Para esboçar esse gráfico, usamos os da-
dos da Tabela 1.1 e traçamos uma curva suave 
por meio dos pontos plotados. A área do primei-
ro retângulo escuro (10)(10) = 100 é a estimativa 
inferior da distância percorrida durante os 10 pri-
meiros segundos. A área do segundo retângulo 
escuro é igual a (14)(10) = 140, que é a estimativa 
inferior da distância percorrida no segundo inter-
valo de 10 segundos. Portanto, a área total dos re-
tângulos escuros representa a estimativa inferior 
da distância total percorrida durante os 60 segun-
dos.
Considerando, conjuntamente, os retângu-
los escuros e os claros, então, a primeira área é 
igual a (14)(10) = 140, que é a estimativa superior 
para a distância percorrida durante os 10 primei-
ros segundos. Prosseguindo nesses cálculos, ob-
temos que a estimativa superior para a distância 
total percorrida é representada pela área dos re-
tângulos claros e dos retângulos escuros. Portan-
to, a área apenas dos retângulos claros representa 
a diferença entre as duas estimativas.
Para representar a diferença entre as duas 
estimativas, observe a Figura 1.1 e imagine as par-
tes claras que você pode visualizar dos retângulos 
deslocadas para a direita e empilhadas uma em 
cima da outra. Isso dá um retângulo de base 10 
e altura 30. Observe que a altura 30 é a diferença 
entre os valores inicial e final da velocidade, 30 = 
40 – 10; e a base 10 é o intervalo de tempo entre 
as medidas das velocidades.
Vamos verificar o que ocorre se estudarmos 
essas distâncias observando registros de 5 em 5 
segundos. Veja a Tabela 1.2.
Tabela 1.2 – Velocidade do carro a cada 5 segundos.
Tempo (s) 0 5 10 15 20 25 30
Velocidade (m/s) 10 12 14 15 16 18 22
Tempo (s) 35 40 45 50 55 60
Velocidade (m/s) 26 28 32 34 39 40
Como anteriormente, tomando a velocida-
de em cada intervalo de 5 segundos, obtemos 
uma estimativa inferior para esse grupo de 5 se-
gundos. Durante os primeiros 5 segundos, a ve-
locidade tem valor de, no mínimo, 10 m/s e, por-
tanto, o carro percorre, no mínimo, (10)(5) = 50 
metros. Durante os próximos 5 segundos, o carro 
percorre, no mínimo, (12)(5) = 60 metros, e assim 
por diante. Então, podemos agora dizer que a es-
timativa inferior será dada por:
(10)(5) + (12)(5) + (14)(5) + (15)(5) + (16)(5) + (18)(5) + 
(22)(5) + (26)(5) + (28)(5) + (32)(5) + (34)(5) + (39)(5) = 
50 + 60 + 70 + 75 + 80 + 90 + 110 + 130 + 140 + 160 + 
170 + 195 = 1.330 m.
Observe que esse valor é maior do que a es-
timativa anterior de 1.240 m.
Obtemos uma nova estimativa superior 
considerando a velocidade ao final de cada in-
tervalo de 5 segundos. Durante os primeiros 5 
segundos, a velocidade é de, no máximo, 12 m/s 
e, portanto, o carro percorre, no máximo, (12)(5) 
= 60 metros; durante o próximo intervalo de 5 se-
gundos, ou seja, de 5 a 10 segundos, ele percorre 
no máximo (14)(5) = 70 metros, e assim por dian-
te. Portanto:
(12)(5) + (14)(5) + (15)(5) + (16)(5) + (18)(5) + (22)(5) + 
(26)(5) + (28)(5) + (32)(5) + (34)(5) + (39)(5) + (40)(5) = 
60 + 70 + 75 + 80 + 90 + 110 + 130 + 140 + 160 + 170 
+ 195 + 200 = 1.480 m.
 Esse valor é menor do que a estimativa su-
perior anterior de 1.540 metros. Agora sabemos 
que:
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10
1.330 metros ≤ Distância total percorrida ≤ 1.480 
metros.
Observe que a diferença entre as novas esti-
mativas superior e inferior é, agora, de 150 m, me-
tade do que era antes. Cortando pela metade o 
tamanho dos intervalos entre medidas, cortamos 
pela metade a diferença entre as estimativas infe-
rior e superior.
Podemos observar essas estimativas, infe-
rior e superior, em um novo gráfico da velocidade. 
Os dados para a velocidade, medida a cada 
5 segundos, estão na Figura 1.2. A área dos retân-
gulos escuros representa, mais uma vez, a esti-
mativa inferior e a área da união dos retângulos 
clarose escuros representa a estimativa superior. 
Como antes, a diferença entre as duas estimativas 
é representada pela área dos retângulos claros. 
Essa diferença pode ser calculada empilhando-se 
os retângulos claros verticalmente.
Figura 1.2 – Representação gráfica da velocidade medida a cada 5 segundos.
Tempo 10 20 30 40 50 60 
 
10 
 
14 
 
16 
 
22 
 
28 
 
34 
 
40 
Velocidade 
15 25 35 45 55 5 
 
12 
 
18 
 
26 
 
32 
 
39 
 
15 
Estimativa 
superior (área dos 
retângulos 
escuros e claros) 
Estimativa inferior 
(área dos 
retângulos 
escuros) 
Diferença entre 
as estimativas 
 
5 
30 = 40 -10 
Obtemos, assim, um retângulo com mesma 
altura do anterior, mas com a metade da base. 
Portanto, sua área é a metade da anterior. Mais 
uma vez, sua altura é 30 = 40 – 10 e sua base é o 
intervalo de tempo 5. 
Exemplos
1. Qual seria a diferença entre as estimativas superior e inferior se a velocidade fosse dada a cada 
2,5 segundos? E se fosse dada a cada segundo? E a cada décimo de segundo?
Solução:
A cada 2,5 segundos: (40 – 10).(2,5) = 30.(2,5) = 75 metros.
A cada segundo: (40 – 10).(1) = 30.(1) = 30 metros.
A cada décimo de segundo: (40 – 10).(1/10) = 30.(1/10) = 3 metros.
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2. Com que frequência devemos marcar as velocidades de modo a estimar a distância total per-
corrida com uma precisão de 1 metro?
Solução:
Agora queremos determinar a frequência, ou seja, o intervalo de tempo, em que iremos anotar a 
velocidade do móvel. Se a distância total percorrida deverá ter uma precisão de 1 metro, significa que a 
diferença entre as estimativas superior e inferior deverá ser menor que 1 metro.
A diferença entre a velocidade no início e no final do intervalo de observação é 40 – 10 = 30 e o in-
tervalo de tempo entre as medidas é h; então, a diferença entre as estimativas superior e inferior é (30).h. 
Queremos (30)h < 1, o que nos dá
1 0,03
30
h h< ⇒ @ .
Assim, se as medidas forem feitas a intervalos menores do que 0,03 segundo, a estimativa da dis-
tância terá precisão inferior a 1 metro.
1.2 Distância Percorrida e Área Abaixo de uma Curva (Valor com Precisão)
Como você pode ter notado no tópico an-
terior, fizemos estimativas das distâncias percor-
ridas por um móvel a partir da velocidade em 
determinados instantes. Agora, vamos ver como 
é que se determinam essas distâncias com preci-
são. Para isso, devemos obter uma expressão que 
apresentará essa distância percorrida.
Vamos expressar a distância exata percor-
rida como um limite de estimativas, assim como 
expressamos a velocidade instantânea como um 
limite de velocidades médias, na apostila Cálculo: 
Derivadas, na qual vimos que 
tan 0
limins tânea t
sV
tD →
D
=
D
.
No exemplo do tópico anterior, apresenta-
mos uma estimativa da distância percorrida por 
um mesmo móvel em duas situações:
1. a partir dos registros das velocidades a 
cada 10 segundos;
2. a partir dos registros das velocidades a 
cada 5 segundos.
Nesses dois casos, as velocidades foram re-
gistradas em tempos igualmente espaçados, ou 
seja, de 10 em 10 segundos e de 5 em 5 segundos. 
O tempo inicial, o qual podemos denominar t0, é 
t0 = 0 e o tempo final, o qual podemos denominar 
tn, é tn = 60. Em cada uma das situações, é possível 
determinar o número de intervalos estudados, 
pois temos o intervalo de tempo a ser estudado e 
os tempos inicial e final. Na 1ª situação, temos t0 = 
0 e tn = 60; logo, o tempo total de estudo é tn - t0 = 
60 – 0 = 60 segundos. Além disso, os registros fo-
ram realizados de 10 em 10 segundos, o que nos 
leva a concluir que foram feitos 6 registros após o 
1º registro no tempo inicial de 0 segundo, ou seja:
60 0 60 6
10 10
−
= = , ou seja, 
0 0 0 0
1 0 2 1 1
...n n n n
n n
t t t t t t t t n
t t t t t t t−
− − − −
= = = = =
− − − D
 
(fórmula I)
(onde Dt representa a variação, ou incremento, em t).
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De forma análoga, podemos verificar o nú-
mero n de intervalos na 2ª situação, ou seja, para 
os intervalos de tempo de 5 segundos.
O que pôde ser notado no estudo do tó-
pico 1.1 é que, à medida que são diminuídos os 
intervalos de tempo, ou seja, intervalos de 10 se-
gundos, 5 segundos, 2,5 segundos, 1 segundo, 
0,1 segundo, a distância percorrida pelo móvel 
aproxima-se de seu valor real, ou seja, para inter-
valos de tempo tão pequenos (próximos de zero), 
a distância aproxima-se do valor real. Para dimi-
nuirmos o tamanho dos intervalos estudados, é 
necessário aumentarmos o número de intervalos, 
ou seja, quanto menor o tamanho do intervalo, 
maior a quantidade de intervalos.
Agora vamos estudar uma situação genera-
lizada. Suponha que queiramos saber a distância 
percorrida por um objeto ao longo do intervalo 
de tempo a ≤ t ≤ b. A velocidade no instante t é 
dada por v = f(t). Suponha também que tomemos 
medidas de f(t) em instantes igualmente espaça-
dos, t0, t1, t2 ... tn. Como t0 = a e tn = b, o intervalo de 
tempo entre duas medidas consecutivas é
n
abt −=D (essa fórmula pode ser obtida por meio da 
fórmula I).
Durante o primeiro intervalo de tempo, 
a velocidade pode ser aproximada por f(t0), de 
modo que a distância percorrida é de, aproxima-
damente,
f(t0)Dt (pois vimos que distância = velocidade X tempo).
Durante o segundo intervalo de tempo, a 
velocidade está em torno de f(t1), de modo que a 
distância percorrida é cerca de 
f(t1)Dt. 
Continuando desse modo e somando to-
das as estimativas, obtemos uma estimativa para 
a distância total. No último intervalo de tempo, a 
velocidade é, aproximadamente, f(tn-1). A estima-
tiva para o último termo é f(tn-1) Dt, de modo que
distância percorrida entre a e b @ f(t0)Dt + f(t1)Dt + 
f(t2)Dt + ... + f(tn-1) Dt.
Essa expressão é chamada soma à esquer-
da, pois usamos como valor da velocidade o da 
extremidade esquerda de cada intervalo de tem-
po. Ela pode ser representada pela soma das áreas 
dos retângulos da Figura 1.3. Também podemos 
calcular a soma à direita usando como valor da 
velocidade o da extremidade direita de cada in-
tervalo de tempo. Nesse caso, a estimativa para 
o primeiro intervalo de tempo é f(t1)Dt, para o se-
gundo intervalo a estimativa é f(t2)Dt, e assim por 
diante. A estimativa para o último intervalo é f(tn) 
Dt, de modo que
distância percorrida entre a e b @ f(t1)Dt + f(t2)Dt + 
f(t3)Dt + ... + f(tn) Dt.
A soma à direita é representada pela área 
dos retângulos da Figura 1.4.
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 Figura 1.3 – Somas à esquerda. Figura 1.4 – Somas à direita.
 
Tempo t1 ... 
Velocidade 
t2 tn-1 a = t0 
 
Dt 
f (t1) 
 
f(tn) 
tn = b Tempo t1 ... tn = b 
Velocidade 
t2 tn-1 a = t0 
 
Dt 
f (t0) 
 
f(tn-1) 
 
Tempo t1 ... 
Velocidade 
t2 tn-1 a = t0 
 
Dt 
f (t1) 
 
f(tn) 
tn = b Tempo t1 ... tn = b 
Velocidade 
t2 tn-1 a = t0 
 
Dt 
f (t0) 
 
f(tn-1) 
Sendo f uma função crescente, a soma à 
esquerda será uma estimativa inferior para a dis-
tância total percorrida, já que, para cada intervalo 
de tempo, usamos a velocidade do início daquele 
intervalo para calcular a distância percorrida, en-
quanto a velocidade continua a aumentar após 
aquela medida. Obtemos uma estimativa supe-
rior ao usar a velocidade do lado direito de cada 
intervalo de tempo. Os gráficos das Figuras 1.3 e 
1.4 podem ser representados em um únicoplano, 
como na Figura 1.5.
No gráfico da Figura 1.6, observe que a cur-
va é decrescente, ou seja, a função é decrescen-
te. Veja que, nessa situação, na soma à esquerda, 
teremos uma estimativa superior para a distância 
total percorrida e, na soma à direta, a estimativa 
inferior.
Estudando a função crescente e a decres-
cente, podemos perceber que o valor exato da 
distância percorrida está em algum lugar entre 
as duas estimativas, ou seja, entre as estimativas 
superior e inferior. A precisão dessas estimativas 
depende da proximidade das duas somas, tanto 
para a função crescente quanto para a decrescen-
te no intervalo [a,b]:
| Diferença entre estimativa sup e inf | = |diferença 
entre f(a) e f(b)| x Dt = 
|f(b) – f(a)|. Dt.
Essa diferença é em módulo para torná-la 
não negativa. 
Tomando medidas suficientemente próxi-
mas, podemos tornar Dt tão pequeno quanto qui-
sermos e, dessa forma, tornar as estimativas su-
perior e inferior tão pequenas quanto quisermos.
Para determinar a distância total exata per-
corrida entre os instantes a e b, tomamos os limi-
tes das somas, quando n, números de subdivisões 
do intervalo [a,b], tende para o infinito. A soma 
das áreas dos retângulos se aproxima da área 
abaixo da curva entre t = a e t = b, daí conclui-se 
que
distância percorrida entre a e b = 
)esquerdaàsoma(lim
n ∞→
]t)t(f...t)t(ft)t(f[lim 1n10n D++D+D −∞→
= área abaixo da curva f(t) entre t = a e t = b
e
distância percorrida entre a e b = 
)direitaàsoma(lim
n ∞→
]t)t(f...t)t(ft)t(f[lim n21n D++D+D∞→
= área abaixo da curva f(t) entre t = a e t = b
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Figura 1.5 – Somas à esquerda e à direita para f cres. Figura 1.6 – Somas à direita e a esquerda para f 
decres.
 
Tempo t1 ... tn = b 
Velocidade 
t2 tn-1 a = t0 
 
Dt 
f (a) 
 
f(b) 
Tempo t1 ... tn = b 
Velocidade 
t2 tn-1 a = t0 
 
Dt 
f (b) 
 
f(a) 
Dt 
f (b) – f (a) 
Dif erença entre 
as estimativas 
 
Tempo t1 ... tn = b 
Velocidade 
t2 tn-1 a = t0 
 
Dt 
f (a) 
 
f(b) 
Tempo t1 ... tn = b 
Velocidade 
t2 tn-1 a = t0 
 
Dt 
f (b) 
 
f(a) 
Dt 
f (b) – f (a) 
Dif erença entre 
as estimativas 
Assim, se n for suficientemente grande, as 
somas à esquerda e à direita são estimativas preci-
sas para a distância percorrida. Esse método para 
calcular a distância, tomando-se o limite de uma 
soma, funciona mesmo que a velocidade não seja 
crescente ou decrescente ao longo do intervalo 
de tempo.
O texto anterior apresenta uma situação 
em que a função estudada é a velocidade, po-
rém isso é válido para qualquer função que seja 
contínua em a ≤ x ≤ b, com uma possível exceção 
de alguns pontos e limitada em todo o intervalo. 
Esse intervalo, da mesma forma que foi realizado 
para a função velocidade, pode ser dividido em 
n subintervalos iguais, denotados de Dx cada in-
tervalo, como pode ser observado na Figura 1.7.
Figura 1.7 – Divisões em subintervalos.
 
a b 
f(x) 
f(b) 
f(a) A(x) 
x 
y 
a b 
f(x) 
f(b) 
f(a) ….. 
x 
y 
a b 
f(x) 
f(b) 
f(a) 
x 
y 
 (a) 
4
abx −=D (b) 
8
abx −=D (c) 
n
abx −=D
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15
Conforme ilustra a Figura 1.8, notamos que 
a soma à esquerda de uma função crescente é 
dada pela área formada pela soma de retângulos 
de base Dx e a medida de sua altura é igual ao 
valor funcional no ponto estudado, de forma que, 
em cada retângulo, essa altura é um segmento 
abaixo da curva, já a soma à direita é dada pela 
área formada pela soma de retângulos de base Dx 
e a medida de sua altura é igual ao valor funcional 
no ponto estudado, de forma que essa altura em 
cada retângulo é um segmento acima da curva.
Observe que as Figuras 1.7(c) e 1.8 eviden-
ciam que, quanto maior o número n de subinter-
valos, menor será cada intervalo, aumentará o 
número de retângulos, a área de cada retângulo 
será menor e, dessa forma, as faltas e os excessos 
na área total também serão menores (isso pode 
ser notado nas sobras e excessos das partes cin-
za claro de cada retângulo das Figuras 1.7 (a) e 
(b)). Quanto maior o número de subintervalos, 
mais próximo da área real chegaremos. Fazer n 
tender a infinito é o mesmo que fazer a base de 
cada retângulo tender a zero, ou seja, é fazer cada 
retângulo aproximar-se de uma linha, tornando 
as diferenças das sobras e excessos praticamen-
te insignificantes, ou seja, praticamente iguais a 
zero. Vamos escrever isso por meio de símbolos 
matemáticos (acompanhe isso após a Figura 1.8). 
Figura 1.8 – Somas à esquerda e à direita.
 t0= t1 t2 tn-1 = tn 
 
 
A0 A1 A2 
A1 
A4 An-1 An 
 
A1 
A0 
a b 
f(x) 
f(b) 
f(a) 
 
x 
y 
 ... 
A soma inferior é a soma dos retângulos de cor cinza 
escuro. Inicia-se em A0 e finaliza-se em An-1. Essa soma 
apresenta uma aproximação para a área no intervalo 
[a,b] entre a curva e o eixo Ox. Todos esses retângulos 
estão abaixo da curva e, por isso, a soma dessas áreas 
resulta em uma área inferior.
Este retângulo está por baixo do re-
tângulo cinza escuro. Tem altura f(t1) 
e base Dt. Portanto, A1 = f(t1). Dt.
Este retângulo está dentro do retân-
gulo cinza claro. Tem altura f(t0) e 
base Dt. Portanto, A0 = f(t0). Dt.
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16
Soma à esquerda
Atotal = A0 + A1 + A2 + A3 Para um número finito de subintervalos (Figura 1.7(a)).
Atotal = A0 + A1 + A2 + ... + An-1
Para um número infinito de subintervalos (Figura 1.8).
Atotal = i
1ni
0i
AS
−=
=
O símbolo S é um sigma maiúsculo, ou “S” grego, onde o S 
está informando que estamos somando os termos da forma Ai, 
começando em i = 0 e finalizando em i = n – 1.
Atotal = t)t(f i
1ni
0i
DS
−=
=
Pois a área de cada retângulo é dada por f(ti)Dt.
t)t(f...t)t(ft)t(ft)t(f 1n10i
1ni
0i
D++D+D=D −
−=
=
S
Desmembrando a soma do 1º ao n-ésimo menos 1 termo das 
subdivisões.





 D=D SS
−=
=∞→
−=
=
t)t(flimt)t(f i
1ni
0in
i
1ni
0i
Usamos o limite, pois temos infinitos subintervalos, ou seja, n 
tendendo a um número infinito de subintervalos.
dt)t(ft)t(flimt)t(f
b
ai
1ni
0in
i
1ni
0i
∫SS =



 D=D
−=
=∞→
−=
=
A notação ∫ (de integral) é originária de um “S” antigo, que 
significa “soma”, da mesma forma que o S. O “dt” na integral 
vem do fator Dt. Observe que os limites do símbolo S são 0 e 
n – 1, enquanto os limites para o símbolo ∫ são “a” e “b”.
Soma à direita
Atotal = A1 + A2 + A3 + A4 Para um número finito de subintervalos (Figura 1.7(a)).
Atotal = A0 + A1 + A2 + ... + An Para um número infinito de subintervalos (Figura 1.8).
Atotal = i
ni
1i
AS
=
=
O símbolo S é um sigma maiúsculo, ou “S” grego, onde o S 
está informando que estamos somando os termos da forma Ai, 
começando em i = 1 e finalizando em i = n.
Atotal = t)t(f i
ni
1i
DS
=
=
Pois a área de cada retângulo é dada por f(ti)Dt.
t)t(f...t)t(ft)t(ft)t(f n21i
ni
1i
D++D+D=DS
=
=
Desmembrando a soma do 1º ao n-ésimo menos 1 termo das 
subdivisões.





 D=D SS
=
=∞→
=
=
t)t(flimt)t(f i
ni
1in
i
ni
1i
Usamos o limite, pois temos infinitos subintervalos, ou seja, n 
tendendo a um número infinito de intervalos.
dt)t(ft)t(flimt)t(f
b
ai
ni
0in
i
ni
1i
∫SS =



 D=D=
=∞→
=
=
A notação ∫ (de integral) é originária de um “S” antigo, que 
significa “soma’, da mesma forma que o S. O “dt” na integral 
vem do fator Dt. Observe que os limites do símbolo S são 1 e n, 
enquanto os limites para o símbolo ∫ são “a” e“b”
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17
Observação: Ver fórmulas de somatórios na 
aula web “Somatório”.
Cada uma dessas somas é denominada 
Soma de Riemann, a f é chamada integrando e 
a e b são chamados limites de integração.
Quando os limites à esquerda e à direita 
existem e são iguais para a soma com n tenden-
do ao infinito e com o integrando de uma função 
contínua em a ≤ x ≤ b, define-se a integral defini-
da como sendo o limite dessas somas.
AtençãoAtenção
�
�
Observação
Cada uma dessas somas é denominada Soma de Riemann, a f é chamada 
integrando e a e b são chamados limites de integração. 
: Ver fórmulas de somatórios na aula web “Somatório”. 
 Quando os limites à esquerda e à direita existem e são iguais para a soma com 
n tendendo ao infinito e com o integrando de uma função contínua em a ≤ x ≤ b, define-se 
a integral definida como sendo o limite dessas somas. 
 
Atenção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
1. Determine as somas à esquerda e à direita com n = 4 e n = 10 para GWW���³ . Como fica a 
comparação dos valores dessas somas com o valor verdadeiro da integral? Represente as 
somas por meio de um gráfico para n = 4 e para n = 10. 
 
Tem-se que a = 1 e b = 5, de modo que para n = 4, 
Solução: �� ��W � ' . Portanto, t0 = 1; t1 = 2; t2 = 
3; t3 = 4 e t4 = 5. 
Soma à esquerda = '�'�'�' W���IW���IW���IW���I 
� � ¹¸·©¨§ ' 6³ � fofo WWIHVTXHUGDjVRPDGWWI LQL LQQED ��OLPOLP�� ��� � ¹¸·©¨§ ' 6³ fofo WWIGLUHLWDjVRPDGWWI LQLLQQED ��OLPOLP�� �'HILQLomR�GH�LQWHJUDO�GHILQLGD�$�LQWHJUDO�GHILQLGD�GD�I��GH�³D´�D�³E´��GHQRWDGD�SRU� ³ED GW�W�I ��p�R� OLPLWH�GDV�VRPDV� j� HVTXHUGD� RX� j� GLUHLWD�� FRP� Q� VXELQWHUYDORV�� TXDQGR� Q� ILFD�DUELWUDULDPHQWH�JUDQGH��RX�VHMD�����H�
Exemplo
1. Determine as somas à esquerda e à direita com n = 4 e n = 10 para dt
t
15
1
∫ . Como fica a compa-
ração dos valores dessas somas com o valor verdadeiro da integral? Represente as somas por 
meio de um gráfico para n = 4 e para n = 10.
Solução:
Tem-se que a = 1 e b = 5, de modo que para n = 4, 1
4
15t =−=D . Portanto, t0 = 1; t1 = 2; t2 = 3; t3 = 4 e t4 = 5.
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Soma à esquerda = 
=D+D+D+D t)4(ft)3(ft)2(ft)1(f
1 1 1 1 12 6 4 3.1 .1 .1 .1
1 2 3 4 12
25 2,083
12
+ + +
+ + + = =
= @
Soma à direita = 
=D+D+D+D t)5(ft)4(ft)3(ft)2(f
1 1 1 1 30 20 15 12.1 .1 .1 .1
2 3 4 5 60
77 1,283
60
+ + +
+ + + = =
= @
A soma à esquerda é maior do que a área abaixo da curva e a soma à direita é menor; a área abaixo 
do gráfico de f(t) = 1/t, de t = 1 até t = 5, está entre 1,283 e 2,083. Assim, 
5
1
11,283 2,083.dt
t
≤ ≤∫
Quando n = 10, 
5 1 0,4
10
t −D = = . Portanto, t0 = 1; t1 = 1,4; t2 = 1,8; t3 = 2,2, t4 = 2,6, t5 = 3; t6 = 3,4; t8 = 
3,8; t8 = 4,2; t9 = 4,6, t10 = 5.
Soma à esquerda = 
t)6,4(ft)2,4(f...t)8,1(ft)4,1(ft)1(f D+D++D+D+D
1 1 1 1 1.0,4 .0,4 .0,4 ... .0, 4 .0, 4
1 1, 4 1,8 4, 2 4,6
1,76
+ + + + + @
@
Soma à direita = 
t)6,4(ft)2,4(f...t)8,1(ft)4,1(ft)1(f D+D++D+D+D
1 1 1 1 1.0,4 .0,4 ... .0, 4 .0, 4 .0, 4
1,4 1,8 4,2 4,6 5
1,44
+ + + + + @
@
 
−1 1 2 3 4 5 6 7 8
−0.8
−0.4
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
3.2
3.6
x
y
 
1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
−0.8
−0.4
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
2.8
3.2
3.6
x
y
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19
A soma à esquerda é maior do que a área abaixo da curva e a soma à direita é menor; a área abaixo 
do gráfico de f(t) = 1/t, de t = 1 até t = 5, está entre 1,44 e 1,76. Assim, 
5
1
11,44 1,76.dt
t
≤ ≤∫
Bom, você deve ter obsevado que as somas à esquerda e à direita limitam o valor verdadeiro da 
integral. À medida que os subintervalos tornam-se menores, as somas à esquerda e à direita aproximam-
-se cada vez mais.
1.3 A Integral Definida e a Área Abaixo de uma Curva
Em Cálculo Diferencial e Integral II, vimos 
que a notação de Leibniz, dy/dx, nos lembra de 
que a derivada é o limite de uma razão incremen-
tal. Agora, vamos ver que a notação para a inte-
gral definida nos ajuda a lembrar do significado 
de integral. O símbolo ( )
b
a
f x dx∫ , como vimos em 
soma à esquerda e soma a direita, é um limite de 
somas de termos da forma “f(x) vezes uma peque-
na diferença em x”. Formalmente, dx não é um 
objeto separado, mas sim uma parte do símbolo 
da integral. Assim, da mesma forma que conside-
ramos df/dx, que significa “a derivada da função f 
em relação a x”, também consideramos ( )
b
a
f x dx∫ 
um único símbolo, que significa “a integral da fun-
ção f em relação a x”.
No entanto, conforme se pode ver na Figura 
1.8 e no texto sobre soma à esquerda e soma à 
direita, na ( )
b
a
f t dt∫ , informalmente podemos con-
siderar que dt representa uma variação de t, “in-
finitesimalmente” pequena, que, nesse contexto, 
é multiplicado pelo valor de f(t). Esse enfoque é 
uma das interpretações dadas para a integral de-
finida. Da mesma forma, podemos dar essa inter-
pretação para ( )
b
a
f x dx∫ . 
 
a b 
f(x) 
f(b) 
f(a) A(x) 
x 
y 
a b 
f(x) 
f(b) 
f(a) A(x) 
x 
y 
a b 
f(x) 
f(b) 
f(a) A(x) 
x 
y 
a b 
f(x) 
f(b) 
f(a) A(x) 
x 
y 
a b 
f(x) 
f(b) 
f(a) A(x) 
x 
y 
Figura 1.9 – Integral definida ( ) .
b
a
f x dx∫
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20
A notação 
( )
b
a
f x dx∫ é lida integral definida 
de “a” a “b” da função f(x) dx. Pode ser considera-
da uma soma de pequenas parcelas, fornecendo 
uma área total entre “a” e “b” (ver a sequência de 
gráficos da Figura 1.9). 
Essa notação ajuda a determinar qual uni-
dade deve ser usada no valor numérico da inte-
gral; já que os termos a serem somados são da 
forma f(x)dx, ou seja, “f(x) vezes uma pequena di-
ferença em x”, a unidade de medida é o produto 
da unidade para x e da unidade para f(x). Assim, 
se f(x) e x são dimensões de um retângulo na uni-
dade metro, então, ( )
b
a
f x dx∫ tem como unidade 
metros x metros = m². Se f(x) fosse a velocidade 
de um móvel, dada em m/s, e dx os intervalos de 
tempo em segundos, a unidade de medida da re-
ferida integral definida seria “m/s x s = m”. 
AtençãoAtenção
�
�
Atenção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos 
1. Considere a integral G[[��� �³� � . Interprete a integral como uma área e determine seu 
valor exato. 
 
Observe que a função integrando, ou seja, a f(x) = 
Solução: �[� � é a equação da 
semicircunferência. Veja que podemos reescrevê-la da seguinte forma: �[�\ � ; então, 
elevando os dois membros ao quadrado, vamos ter � � � � ����� [�\[�\ � Ÿ� Ÿ �\[ �� � . Daí, fica fácil notar que se trata de uma circunferência de centro (0,0) e raio = 
2, mas é importante observar que a função original vem de f(x) = �[� � . Como essa raiz 
quadrada assume apenas os valores positivos, significa que temos como resposta apenas 
$�LQWHJUDO�GHILQLGD�FRPR�XPD�iUHD�4XDQGR�I�[��p�SRVLWLYD�H�D���E��ÈUHD�DEDL[R�GR�JUiILFR�GD�I�HQWUH�³D´�H�³E´�p�GDGD�SHOD� ³ED G[�[�I ���4XDQGR�I�[��QmR�p�SRVLWLYD�H�D���E��ÈUHD�HQWUH�D�FXUYD�GD�IXQomR�I���R�HL[R�[�H�R�LQWHUYDOR�>D�E@�VmR�GDGRV�SHOR�RSRVWR�GR�YDORU�QXPpULFR�GD� ³ED G[�[�I ��RX�VHMD��$� � ³� ED G[�[�I ��4XDQGR� I�[�� � p� SRVLWLYD� SDUD�DOJXQV� YDORUHV� GH� [� H� QHJDWLYD� SDUD�RXWURV�H�D���E��³ED G[�[�I �p�D�VRPD�GDV�iUHDV�DFLPD�GR�HL[R�[��FRQWDGDV�SRVLWLYDPHQWH��H�GDV��iUHDV�DEDL[R�GR�HL[R�[��FRQWDGDV�QHJDWLYDPHQWH��
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21
Exemplos
1. Considere a integral dxx4
2
2
2∫
−
− . Interprete a integral como uma área e determine seu valor 
exato.
Solução:
Observe que a função integrando, ou seja, a f(x) = 2x4 − é a equação da semicircunferência. 
Veja que podemos reescrevê-la da seguinte forma: 2x4y −=
; então, elevando os dois membros ao quadrado, vamos ter 
( ) ( ) 22222 x4yx4y −=⇒−= ⇒ 4yx 22 =+ . Daí, fica fácil 
notar que se trata de uma circunferência de centro (0,0) e raio = 
2, mas é importante observar que a função original vem de f(x) 
= 2x4 − . Como essa raiz quadrada assume apenas os valores 
positivos, significa que temos como resposta apenas os valores 
positivos dessa circunferência e, dessa forma, teremos somente 
uma parte da circunferência, ou seja, a semicircunferência.
A integral é a área abaixo do gráfico de f(x) = 2x4 − , entre -2 e 2 e o eixo Ox, que é dada pela 
superfície do semicírculo de raio 2 e área π=
π
=
π 2
2
4
2
r 2 .
2. Considere a integral definida 
1
2
1
( 1)x dx
−
−∫ .
a) Determine o valor dessa integral tendo como referência que 
1
( ) lim ( )
i nb
ia n i
f x dx f x x
=
→∞ =
 = D 
 S∫ .
b) Qual é a relação entre a integral 
1
2
1
( 1)x dx
−
−∫ e a área da região limitada pela parábola y = x² -1 
e o eixo x?
Solução:
a) Vamos determinar a integral 
1
2
1
( 1)x dx
−
−∫ pelo processo da soma das áreas dos retângulos, con-
forme ilustra a 1ª figura a seguir.
 
−2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0
−2.0
2.0
x
y
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22
Definimos, anteriormente, que a 
1
( ) lim ( )
i nb
ia n i
f x dx f x x
=
→∞ =
 = D 
 S∫ . Pelo desenho, podemos notar que os 
valores funcionais que estamos admitindo como os valores das alturas de cada retângulo são os valores à 
esquerda. Dessa forma, ao somarmos as áreas de todos os retângulos da figura, estaremos fazendo uma 
soma à esquerda. Cada retângulo apresenta a área dada por f(xi).Dx. Como o cálculo da integral definida 
da f de “a” a “b” é o limite das somas à esquerda ou à direita, com n subintervalos, quando n fica arbitraria-
mente grande, tanto faz se iremos calcular essas somas à direita ou à esquerda.
Observe que, se considerarmos a soma dos n-ésimos retângulos contidos no intervalo [0,1], vamos 
obter a 
1
2
0
( 1)x dx−∫ . A figura mostra que o eixo Oy é um eixo de simetria do gráfico dessa função e, dessa 
forma, divide o gráfico em duas partes de mesma área, ou seja, 
1
2
0
( 1)x dx−∫
0
2
1
( 1)x dx
−
= −∫ . Sendo assim, 1
2
1
( 1)x dx
−
−∫
1
2
0
2 ( 1)x dx= −∫ .
Para determinar 
1
2
0
( 1)x dx−∫ , vamos dividir o intervalo [0,1] em n subintervalos, cada um com com-
primento 1 0 1x
n n
−
D = = , e vamos denotar o i-ésimo subintervalo de [xi-1, xi]
Vamos ter: x0 = 0; x1 = Dx; x2 = 2Dx; x3 = 3Dx;...; xi-1 = (i-1)Dx; xi = iDx e xn = 1.
 
−1 1
−1
x
y
... 
−1 1
−1
x
y
xi-1 xi 
f(xi-1) 
... 
Valores funcionais 
à esquerda 
Dx 2Dx 3Dx 
Dx �
�
Definimos, anteriormente, que a ¹¸·©¨§ ' 6³ fo [�[�IOLPG[�[�I LQL �LQED . Pelo desenho, podemos 
notar que os valores funcionais que estamos admitindo como os valores das alturas de 
cada retângulo são os valores à esquerda. Dessa forma, ao somarmos as áreas de todos os 
retângulos da figura, estaremos fazendo uma soma à esquerda. Cada retângulo apresenta 
a área dada por f(xi).'x. Como o cálculo da integral definida da f de “a” a “b” é o limite das 
somas à esquerda ou à direita, com n subintervalos, quando n fica arbitrariamente grande, 
tanto faz se iremos calcular essas somas à direita ou à esquerda. 
Observe que, se considerarmos a soma dos n-ésimos retângulos contidos no intervalo 
[0,1], vamos obter a G[��[��� �³ � . A figura mostra que o eixo Oy é um eixo de simetria do 
gráfico dessa função e, dessa forma, divide o gráfico em duas partes de mesma área, ou 
seja, G[��[��� �³ � G[��[��� �³� � . Sendo assim, G[��[��� �³� � G[��[���� �³ � . 
Para determinar G[��[��� �³ � , vamos dividir o intervalo [0,1] em n subintervalos, cada um 
com comprimento Q�Q��[ � ' , e vamos denotar o i-ésimo subintervalo de [xi-1, xi] 
 
 
 
 
Vamos ter: x0 = 0; x1 = 'x; x2 = 2'x; x3 = 3'x;...; xi-1 = (i-1)'x; xi = i'x e xn = 1. 
Estamos considerando as somas à esquerda, portanto ¹¸·©¨§ ' � � fo 6³ [�[�IOLPG[��[� �LQL �LQ��� . 
Como xi-1 = (i-1)'x e f(x) = x² -1, então f(xi-1) = [ [(i-1)'x]²-1]. 
Logo, > @ > @ ¹¸·©¨§ '�'� ¹¸·©¨§ '�'� ¹¸·©¨§ ' � 666³ fo fo� fo [�[��L�OLP[�@[��L>�OLP[�[�IOLPG[��[� ��QL �LQ�QL �LQ�LQL �LQ��� ¹¸·©¨§ '�'� 6 fo [[��L�OLP ��QL �LQ . Mas Q�[ ' , assim vamos ter: '[�[� �� [Q ��[� '[� [� �'[� [�L��� �L���'[� [L L'[����� ����
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�
�
Definimos, anteriormente, que a ¹¸·©¨§ ' 6³ fo [�[�IOLPG[�[�I LQL �LQED . Pelo desenho, podemos 
notar que os valores funcionais que estamos admitindo como os valores das alturas de 
cada retângulo são os valores à esquerda. Dessa forma, ao somarmos as áreas de todos os 
retângulos da figura, estaremos fazendo uma soma à esquerda. Cada retângulo apresenta 
a área dada por f(xi).'x. Como o cálculo da integral definida da f de “a” a “b” é o limite das 
somas à esquerda ou à direita, com n subintervalos, quando n fica arbitrariamente grande, 
tanto faz se iremos calcular essas somas à direita ou à esquerda. 
Observe que, se considerarmos a soma dos n-ésimos retângulos contidos no intervalo 
[0,1], vamos obter a G[��[��� �³ � . A figura mostra que o eixo Oy é um eixo de simetria do 
gráfico dessa função e, dessa forma, divide o gráfico em duas partes de mesma área, ou 
seja, G[��[��� �³ � G[��[��� �³� � . Sendo assim, G[��[��� �³� � G[��[���� �³ � . 
Para determinar G[��[��� �³ � , vamos dividir o intervalo [0,1] em n subintervalos, cada um 
com comprimento Q�Q��[ � ' , e vamos denotar o i-ésimo subintervalo de [xi-1, xi] 
 
 
 
 
Vamos ter: x0 = 0; x1 = 'x; x2 = 2'x; x3 = 3'x;...; xi-1 = (i-1)'x; xi = i'x e xn = 1. 
Estamos considerando as somas à esquerda, portanto ¹¸·©¨§ ' � � fo 6³ [�[�IOLPG[��[� �LQL �LQ��� . 
Como xi-1 = (i-1)'x e f(x) = x² -1, então f(xi-1) = [ [(i-1)'x]²-1]. 
Logo, > @ > @ ¹¸·©¨§ '�'� ¹¸·©¨§ '�'� ¹¸·©¨§ ' � 666³ fo fo� fo [�[��L�OLP[�@[��L>�OLP[�[�IOLPG[��[� ��QL �LQ�QL �LQ�LQL �LQ��� ¹¸·©¨§ '�'� 6 fo [[��L�OLP ��QL �LQ . Mas Q�[ ' , assim vamos ter: '[�[� �� [Q ��[� '[� [� �'[� [�L��� �L���'[� [L L'[����� �����
�
¹¸·©¨§ �� ¸¸¹·¨¨©§ �¹¸·©¨§� 66 fo fo Q�Q���L�OLPQ�Q���L�OLP ��QL �LQ��QL �LQ . 
 Por propriedade de somatório podemos escrever: »¼º«¬ª �� 66 fo �Q���L�Q�OLP QL �L�QL �L�Q = »¼º«¬ª ��� 66 fo �Q���L�L�Q�OLP QL �L�QL �L�Q = »¼º«¬ª ��� 6666 fo �Q��L�LQ�OLP QL �LQL �LQL �L�QL �L�Q »¼º«¬ª ������fo Q�Q�Q� ��Q�Q��� ��Q����Q�Q�Q�OLP �Q (desenvolvendo as operações do numerador e 
transformando as frações em frações equivalentes, vamos ter) »¼º«¬ª ������fo �� Q�Q�Q�QQ�Q��Q�OLP ����Q »¼º«¬ª ���fo �� QQ�Q��Q�OLP ���Q »»»»¼º««««¬ª ���fo �� �Q�Q���Q�Q�OLP ���Q »»»»¼º««««¬ª ���fo �� �Q�Q���OLP �Q ����������� � � � � 
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Como G[��[��� �³� � G[��[���� �³ � G[��[��� �³� �Ÿ ��������� �#� ¹¸·©¨§� . 
 
b. A relação entre a integral G[��[��� �³� � , a área da região limitada 
pela parábola y = x² -1 e o eixo x é que, como essa parábola fica 
abaixo do eixo Ox, a G[��[��� �³� � é menos um vezes o valor da área 
sombreada.�� ��� [\
Sandra Regina Leme Forster
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24
No Cálculo Diferencial e Integral II, estuda-
mos que a derivada f’(x) ou 
df
dx
 de uma função 
f(x) é, em cada ponto, a inclinação da reta tangen-
te ao gráfico de f(x) (ver Figura 1.10 (a)). Já, neste 
Querido(a) aluno(a), 
Em Cálculo Diferencial e Integral II, também 
estudamos os métodos aproximativos para o cál-
culo da derivada (aproximação de pontos trans-
formando a reta secante em uma aproximação da 
reta tangente à curva por um ponto) e, com isso, 
definimos a derivada e demonstramos algumas 
regras de derivação. Neste capítulo, vimos os mé-
todos aproximativos das integrais (por meio das 
somas das áreas de retângulos), entretanto, não 
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transformando as frações em frações equivalentes, vamos ter) »¼º«¬ª ������fo �� Q�Q�Q�QQ�Q��Q�OLP ����Q »¼º«¬ª ���fo �� QQ�Q��Q�OLP ���Q »»»»¼º««««¬ª ���fo �� �Q�Q���Q�Q�OLP ���Q »»»»¼º««««¬ª ���fo �� �Q�Q���OLP �Q ����������� � � � � 
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Como G[��[��� �³� � G[��[���� �³ � G[��[��� �³� �Ÿ ��������� �#� ¹¸·©¨§� . 
 
b. A relação entre a integral G[��[��� �³� � , a área da região limitada 
pela parábola y = x² -1 e o eixo x é que, como essa parábola fica 
abaixo do eixo Ox, a G[��[��� �³� � é menos um vezes o valor da área 
sombreada. 
 
 
 
 
�� ��� [\
1.4 Teorema Fundamental do Cálculo
capítulo, vimos que a área sob o gráfico de f(x) de 
“a” até um ponto “x” é a integral ( )
x
a
f x dx∫ , confor-
me ilustra a Figura 1.10(b).
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�
1.4 Teorema Fundamental do Cálculo 
 
 No Cálculo Diferencial e Integral II, estudamos que a derivada f’(x) ou G[GI de 
uma função f(x) é, em cada ponto, a inclinação da reta tangente ao gráfico de f(x) (ver 
Figura 1.10 (a)). Já, neste capítulo, vimos que a área sob o gráfico de f(x) de “a” até um 
ponto “x” é a integral G[�[�I[D³ , conforme ilustra a Figura 1.10(b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Querido(a) aluno(a), 
 
Em Cálculo Diferencial e Integral II, também estudamos os métodos 
aproximativos para o cálculo da derivada (aproximação de pontos transformando a reta secante em 
uma aproximação da reta tangente à curva por um ponto) e, com isso, definimos a derivada e 
demonstramos algumas regras de derivação. Neste capítulo, vimos os métodos 
aproximativos das integrais (por meio das somas das áreas de retângulos), entretanto, não 
dispomos ainda de um procedimento sistemático para o cálculo de integrais, uma vez que 
o processo direto, envolvendo somatórios, revela-se impraticável, a não ser para funções 
muito simples. 
 Até o presente momento, a derivada e a integral foram tratadas de forma 
independente e, embora a derivada tenha sido estudada antes da integral, historicamente, 
[�\� [� \� �I�[��
\� �D[���E��I¶�[�� �D�5HWD�WDQJHQWH�j�FXUYD�I� �I�[��QR�SRQWR�[�� $�FXUYD��I�[��WHP�LQILQLWRV�SRQWRV�H�FDGD�SRQWR�DSUHVHQWD�XPD�LQFOLQDomR��(VVD�LQFOLQDomR�p�GHILQLGD�SHOD�GHULYDGD�GD�IXQomR�QR�SRQWR�� [�\� D� \� �I�[��[�G[�[�I$ [D³ )LJXUD������±�,OXVWUDomR�GD�GHULYDGD�H�LQWHJUDO���D�� �E�Figura 1.10 – Ilustração da derivada e integral.
dispomos ainda de um procedimento sistemático 
para o cálculo de integrais, uma vez que o proces-
so direto, envolvendo somatórios, revela-se im-
praticável, a não ser para funções muito simples.
 Até o presente momento, a derivada e a 
integral foram tratadas de forma independente e, 
embora a derivada tenha sido estudada antes da 
integral, historicamente, essa ordem foi inversa, 
pois o conceito de integral antecede em muitos 
séculos ao das derivadas.
Cálculo Diferencial e Integral III
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25
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 Por propriedade de somatório podemos escrever: »¼º«¬ª �� 66 fo �Q���L�Q�OLP QL �L�QL �L�Q = »¼º«¬ª ��� 66 fo �Q���L�L�Q�OLP QL �L�QL �L�Q = »¼º«¬ª ��� 6666 fo �Q��L�LQ�OLP QL �LQL �LQL �L�QL �L�Q »¼º«¬ª ������fo Q�Q�Q� ��Q�Q��� ��Q����Q�Q�Q�OLP �Q (desenvolvendo as operações do numerador e 
transformando as frações em frações equivalentes, vamos ter) »¼º«¬ª ������fo �� Q�Q�Q�QQ�Q��Q�OLP ����Q »¼º«¬ª ���fo �� QQ�Q��Q�OLP ���Q »»»»¼º««««¬ª ���fo �� �Q�Q���Q�Q�OLP ���Q »»»»¼º««««¬ª ���fo �� �Q�Q���OLP �Q ����������� � � � � 
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Como G[��[��� �³� � G[��[���� �³ � G[��[��� �³� �Ÿ ��������� �#� ¹¸·©¨§� . 
 
b. A relação entre a integral G[��[��� �³� � , a área da região limitada 
pela parábola y = x² -1 e o eixo x é que, como essa parábola fica 
abaixo do eixo Ox, a G[��[��� �³� � é menos um vezes o valor da área 
sombreada. 
 
 
 
 
�� ��� [\ Saiba maisSaiba maisUm pouco de históriaAs ideias do Cálculo Integral foram introduzidas na Antiguidade. Embora de maneira informal, é a forma de calcularmos áreas e volumes pelo método de exaustão, ou seja, por somas de retângulos, como vimos neste capítulo, ou por soma de fatias cilídricas, que estudaremos mais detalhadamente em Cálculo de duas variáveis e que já era usada por volta do ano 1800 a.C. 
Na Idade Média, por volta do ano 499, a noção de infinitesimal foi usada para expressar um problema de Astronomia na 
forma de uma equação diferencial e esse problema, no século XII, ajudou no desenvolvimento de uma derivada prema-
tura, representada por uma mudança infinitesimal. 
Na Idade Moderna, descobertas independentes no Cálculo foram feitas. O método de exaustão foi expandido. Na Europa, 
a segunda metade do século XVII foi uma época de grandes invenções e o Cálculo abriu novas oportunidades na Física/
matemática de resolver problemas muito antigos. Muitos matemáticos contribuíram para essas descobertas. Coube a 
Gottfried Wilhelm Von Leibniz e a Isaac Newton recolher e juntar essas ideias em um corpo teórico, que viria a constituir 
o Cálculo. Historicamente, Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física, ao passo que Leibniz desenvolveu a notação 
utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram 
de maneiras distintas ao TFC.
Newton e Leibniz perceberam de modo claro a relação essencial existente entre as noções de derivada e de integral, ou 
seja, perceberam em que medida se relacionam áreas e tangentes. Essa relação é que irá possibilitar um procedimento 
sistemático para o cálculo das integrais. O resultado que concretiza isso é o TFC. 
Bom, agora que você já conhece um pouco 
da história do Cálculo e da relação existente en-
tre a derivada e a integral, que tal estudar alguns 
exemplos que ilustram tal fato?
Então, vamos aos exemplos.
Exemplos
1. Consideremos a função f(x) = 4. A área sob o gráfico de f(x) entre x 
= 0 e x = 3 é dada por A = 4.3 = 12. Vimos, neste capítulo, que isso 
também pode ser representado por 
3
0
( ) 12A f x dx= =∫
2. Consideremos a função f(x) = 4. A área sob o gráfico de f(x) en-
tre x = 0 e um ponto genérico x (x ≥ 0) é A(x) = 4x, ou seja, 
0 0
( ) ( ) 4 4
x x
A x f x dx dx x= = =∫ ∫ . Notamos que, quando x aumenta 
uma unidade, A(x) aumenta 4 unidades, ou seja, a taxa de variação 
A’(x) é igual a 4, que é o valor de f(x).
 
0 3 
4 
x 
y 
f(x) = 4 
0 x 
4 
x 
y 
f(x) = 4 
x+1 
A(x) 4 
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26
3. Consideremos agora a função f(x) = 6 e calculemosa área sob 
o gráfico entre 3 e x (x ≥ 3).
Temos: 
3 3
( ) ( ) 6 6( 3) 6 18
x x
A x f x dx dx x x= = = − = −∫ ∫ . Obser-
ve que A’(x) = 6 = f(x). Também nesse caso, a variação de A(x) 
por unidade a mais de x é a constante igual a 6, ou seja, A’(x) = 
f(x) = 6.
A alteração do ponto inicial para o cálculo de A(x) não interfere 
no valor de A’(x) (é possível compreender isso observando a figura e lembrando o significado 
de A’(x)).
4. Se agora f(x) = 2x entre 0 e x (x ≥ 0). Temos, nesse caso, A(x) = x², ou seja, 2
0 0
( ) ( ) 2 .
x x
A x f x dx xdx x= = =∫ ∫ 
Quando x aumenta uma unidade, a variação de A(x) não é mais constante, passando a depen-
der do x. No entanto, parece razoável esperar que a rapidez com que A(x) varia dependa, em 
cada ponto, do valor f(x). No caso, temos A’(x) = f(x) = 2x.
0 x 
6 
x 
y 
f(x) = 6 
x+1 
A(x) 6 
3 
 
A(x)= área do triângulo de 
base = x e altura = 2x. Logo, 
2x
2
x2.x)x(A == 
0 x 
2(x+1) 
x 
y 
f(x) = 2x 
x+1 
2x 
A(x) 
Este trapézio está ilustrando a 
variação da área do triângulo 
quando x aumenta uma unidade. 
Cada ponto desse segmento 
inclinado depende de f(x) = 2x, ou 
seja, a variação da área depende 
de f(x), logo A’(x) = f(x) = 2x. 
5. Sendo f(x) = 2x entre 3 e x (x ≥ 3), temos:
 2
3 3
(2 6)( 3) 2( 3)( 3)( ) ( ) 2 ( 3)( 3) 9
2 2
x x x x x xA x f x dx xdx x x x+ − + −= = = = = + − = −∫ ∫ .
Aqui também A’(x) = 2x. Novamente, notamos o fato de a alteração do ponto inicial (de 0 a 3) 
não influir no valor de A’(x).
Cálculo Diferencial e Integral III
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27
Nos 5 exemplos, determinamos a integral definida de um dado número até um valor desco-
nhecido por meio do cálculo da área de superfícies de figuras geométricas conhecidas, pois, 
nos casos apresentados, as superfícies formadas entre o gráfico da função, o eixo x e o intervalo 
de valores para x foram o retângulo e o trapézio. No exemplo 6, trataremos de uma situação em 
que a área da superfície formada entre o gráfico da função, o eixo Ox e o intervalo estabelecido 
não será uma figura da qual dispomos de uma fórmula conhecida para a determinação de sua 
área e, nesse caso, geometricamente, iremos decompor a superfície em “n” retângulos e, alge-
bricamente, partiremos da definição que a 
1
( ) lim ( )
i nb
ia n i
f x dx f x x
=
→∞ =
 = D 
 S∫
.
6. Para f(x) = 3x², calculemos a área sob o gráfico entre 0 e x.
(acompanhe a ilustração)
Temos:
A(x) = 2
0 0 1
( ) 3 lim ( )
i nx x
i in i
f x dx x dx f x x
=
→∞ =
 = = D 
 S∫ ∫ .
Observe na 2ª figura que:
ƒƒ o intervalo [0,x] foi dividido em n subintervalo, de forma que:
x0 = 0; x1 = Dx; x2 = 2Dx; x3 = 3Dx;...; xi = iDx; e xn = x;
ƒƒ estamos considerando as somas à esquerda.
Como xi = iDx e f(x) = 3x² , então f(xi) = [ 3(iDx)²].
 
x
y
x
y
A(x) 
... ... 
f(x) = 3x² 
x0 x1 xi xi-1 x xn=x 
Dx 
 3x² 3x² 
Não dispomos de uma 
fórmula específica para 
calcular essa área. 
Retângulos acima da curva. 
Vamos calcular a soma 
superior. Cada retângulo 
tem base Dx e altura 
igual ao valor 
funcional. 
n
x
n
0xx =−=D
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28
Logo, 
2 2
0 1 1
2 2 2 2 3
1 1
( ) 3 lim ( ) lim 3( )
lim 3 lim 3
i n i nx
in ni i
i n i n
n ni i
A x x dx f x x i x x
i x x i x
= =
→∞ →∞= =
= =
→∞ →∞= =
    = = D = D D =       
    D D = D       
S S∫
S S
Mas 
n
xx =D , assim vamos ter:
3 3 3
2 2
1 1
( 1)(2 1)lim 3 lim 3 lim 3
6
n n
n n ni i
x x x n n ni i
n n n→∞ →∞ →∞= =
    + +       = = ⋅ =                       
∑ ∑ 
2 2 3 2
3 3 3 3
3 3 3
3 ( )(2 1) 1 ( )(2 1) 1 2 3 1lim lim lim 2
6 2 2 2n n n
n n n n n n n n nx x x x
n n n→∞ →∞ →∞
     + + + + + +
= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅     
     
⇒ A(x) = 2 3
0 0
( ) 3
x x
f x dx x dx x= =∫ ∫
Mais uma vez, podemos observar que a variação de A(x) por unidade a mais de x depende, em cada 
ponto, do valor do f(x). Logo, temos que A’(x) = f(x) = 3x².
AtençãoAtenção
�
�
Mais uma vez, podemos observar que a variação de A(x) por unidade a mais de 
x depende, em cada ponto, do valor do f(x). Logo, temos que A’(x) = f(x) = 3x². 
 
Atenção 
 
 
 
 
 
 Então, generalizando, sendo A(x) = ³[D �G[�[�I calculemos A’(x). Lembre-se de 
que, se A(x) é uma função, a A’(x) é a sua derivada. 
 Inicialmente, raciocinaremos como se f(x) ≥ 0 e x ≥ a. Veja a Figura 1.11. A outra 
situação poderá ser reduzida a esta, conforme veremos por meio de alguns exemplos. 
Figura 1.11 
 
 Para calcular a derivada A’(x), lembraremos que, por definição, 
 [ �[�$�[[�$OLP�[�
$ �[ ' �'� o , mas Q�[ ' e se �[o' , então o n o ∞. Dessa forma, 
 
podemos reescrever Q� �[�$�Q�[�$OLP�[�
$ Q �� fo . Logo, Q
�[ �[
\ $�[�� [��D�
\� �I�[��
[
\ $�[�� [��D�
\� �I�[���[�$Q�[$ �¹¸·©¨§ �������
$QDOLVDQGR�D�UHVROXomR�GRV�H[HPSORV�DQWHULRUHV��FRQFOXL�VH�TXH��5DVHQGR��;�$G[�[�$G[�[�I [D 
[D  ³³ ��
Então, generalizando, sendo A(x) = ( ) ,
x
a
f x dx∫ calculemos A’(x). Lembre-se de que, se A(x) é uma 
função, a A’(x) é a sua derivada.
Inicialmente, raciocinaremos como se f(x) ≥ 0 e x ≥ a. Veja a Figura 1.11. A outra situação poderá ser 
reduzida a esta, conforme veremos por meio de alguns exemplos.
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29
Figura 1.11 – TFC parte 1. 
 
n
1x +
x
y
A(x) 
x a 
y = f(x) 
x
y
A(x) 
x a 
y = f(x) 
)x(A
n
1xA −




 +
 0 0 
Para calcular a derivada A’(x), lembraremos que, por definição,
x
)x(A)xx(Alim)x('A
0x D
−D+
=
→ , mas n
1x =D e se 0x →D , então o n → ∞. Dessa forma, podemos 
reescrever 
n
1
)x(A)n
1x(A
lim)x('A
n
−+
=
∞→
. Logo, ( ) ( )[ ]xAn1xAnlim)x('A n −+⋅= ∞→ .
Para n suficientemente grande, podemos aproximar a área da faixa ( ) )x(An1xA −+ pela área do 
retângulo de base n
1 e altura f(x):
( ) n1).x(f)x(An1xA @−+
Em consequência, para ( ) ( )[ ]xAn1xAnlim)x('A n −+⋅= ∞→ , vamos ter que:
( )[ ] )x(fn1).x(fn)x(An1xAn)x('A =⋅@−+⋅@ , ou seja: )x(f)x('A =
Com isso, concluímos: 
( ) ( ) , '( ) ( )
x
a
A x f x dx então A x f x= =∫
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30
Esse resultado apresenta a 1ª parte do TFC.
O TFC possibilita um procedimento sistemático para o cálculo da integral, dispensando-nos de 
recorrer a somatórios. Vamos ver como isso ocorre:
Queremos calcular ( )
b
a
f x dx∫ :
Figura 1.12 – TFC parte 2.
 
 0 0 
x
y
 
b a 
y = f(x) 
x
y y = f(x) 
A(x) 
dx)x(f
b
a∫
a x b 
Sabemos, pela 1ª parte do TFC, que, se ( ) ( )
x
a
A x f x dx= ∫ , então A’(x) = f(x).
Da obtenção de A(x), decorrerá que ( ) ( )
b
a
f x dx A b=∫ .
Para obter A(x), procuramos uma função cuja derivada seja f(x) (existem muitas dessas funções, 
pois, se duas funções diferem apenas de um valor constante, ambas têm a mesma derivada). Encontrada 
uma dessas funções F(x) com F’(x) = f(x), não podemos concluir que F(x) = A(x), mas apenas que F(x) = 
A(x) + c (c constante).
Disso, no entanto, segue-se que:



+=
+=
c)b(A)b(F
c)a(A)a(F
Veja na Figura 1.12 que A(a) representa a área da figura no intervalo [a,a] e, dessa forma, A(a) = 0.
Subtraindo membro a membro, resulta: 
F(b) – F(a) = A(b) – A(a) +c – c ⇒ F(b) – F(a) = A(b) e como ( ) ( )
b
a
f x dx A b=∫ , então, vamos ter a 2ª parte 
do TFC:
( ) ( ) ( )
b
a
f x dx F b F a= −∫
CálculoDiferencial e Integral III
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31
Exemplos
1. Calcule a integral 
2 2
0
x dx∫ .
Solução:
Conforme o TFC, temos de achar qual das funções que, de-
rivada, resulta em f(x) = x².
Perceba que pode ser a função 
3
x)x(F
3
= , pois 
3
x.3)x('F
13−
= , então F’(x) = x².
Com isso, determinamos a 
3
x)x(F
3
= . Daí, aplicando a 1ª 
parte do TFC, chegamos em F’(x) = f(x).
Com a 2ª parte do TFC, vamos ter que 
2 2
0
(2) (0)x dx F F= −∫ . Como 3
x)x(F
3
= , faremos que 
3 32 2
0
2 0 8
3 3 3
x dx = − =∫ .
2. Calcule a integral 
2
1
(3 2)x dx−∫ e interprete o resultado.
Solução:
Temos f(x) = 3x – 2. Uma função que, derivada, resulta em 3x – 2 é a 
x2
2
x3)x(F
2
−= , pois 2x32
2
x.2.3)x(F
12
' −=−=
−
.
Com isso, chegamos à 1ª parte do TFC, pois F’(x) = f(x).
Logo, com a 2ª parte do TFC, vamos ter que 
2
1
(3 2) (2) (1)x dx F F− = −∫
. Como x2
2
x3)x(F
2
−= , faremos que 
2
1
(3 2)x dx−∫ = F(2) – F(1) = 
2
2
346)1(2
2
)1(3)2(2
2
)2(3 22
+−−=





−−−
Então 
2
1
3 8 3 5(3 2) 4
2 2 2
x dx −− = − = =∫ .
 
1 2 3
−1
1
2
3
4
x
y
A(x) 
 
−2 −1 1 2 3 4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
A(x) 
Sandra Regina Leme Forster
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32
Neste capítulo, estudamos que a área sob o gráfico de f(x) de “a” até um ponto “x” é a integral 
( )
x
a
f x dx∫ e vimos os métodos aproximativos da integrais (por meio das somas das áreas de retângulos – a 
soma de Riemann) e que esse processo direto, envolvendo somatórios, revela-se impraticável, a não ser 
para funções muito simples. Aqui, também foi apresentado que, embora a derivada tenha sido estudada 
antes da integral, historicamente, essa ordem foi inversa, pois o conceito de integral antecede em muitos 
séculos ao das derivadas. Ainda, estudamos que o TFC, possibilita um procedimento sistemático para o 
cálculo da integral, o que nos dispensa recorrer ao somatório.
Bom, vamos, a seguir, avaliar a sua aprendizagem.
1.5 Resumo do Capítulo
1.6 Atividades Propostas
1. Usando o TFC (partes 1 e 2), mostre que: 
 a) 
9 2
0
243x dx =∫ b) 
2 6
0
128
7
x dx =∫ c) 
2
1
39(5 9)
2
x dx
−
− = −∫ 
2. Desenhe o gráfico que representa o valor numérico da 
4 2
3
( 2)x x dx
−
− −∫ .
3. Calcule a área sob o gráfico de f(x) = x² + 7x entre x = 0 e x = 2.
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Caro(a) aluno(a),
Você sabe o que é uma primitiva, em cálcu-
lo diferencial e integral?
Bom, suponha que um colega de curso dê a 
seguinte resposta: “dada a derivada de uma fun-
ção, determinar a primitiva é descobrir a função 
inicial”. 
O que achou dessa resposta? 
Agora, imagine que a resposta de seu pro-
fessor de Cálculo seja: “dizemos que uma função 
F é primitiva de outra função f se a f é a derivada 
da F, ou seja, F’ = f ”. 
O que achou das duas respostas? Com elas, 
já é possível saber o que é uma primitiva? 
Para ter certeza se você entendeu, estude 
atentamente cada um dos exemplos a seguir.
PRIMITIVAS2
Exemplos
Estude, a seguir, alguns exemplos de primitivas:
ƒƒ x² é a primitiva de 2x, pois (x²)’ = 2x;
ƒƒ x³ é a primitiva de 3x², pois (x³)’ = 3x²;
ƒƒ x7 é a primitiva de 7x6, pois (x7)’ = 7x6;
ƒƒ sen(x) é a primitiva de cos(x), pois [sen(x)]’ = cos(x);
ƒƒ ex é a primitiva de ex, pois (ex)’ = ex;
ƒƒ arc cotg(x) é a primitiva de 2x1
1
+
− , pois [arc cotg(x)]’ = 2x1
1
+
− ;
ƒƒ x10 + 5x² - 5x é a primitiva de 10x9 + 10x – 5, pois (x10 + 5x² - 5x)’ =10x9 + 10x – 5;
ƒƒ 2
)4x3( 2+ é a primitiva de 3(3x+4), pois 
'2
2
)4x3(





 +
= 3(3x+4).
Sugestão: Resolva as duas últimas derivas dos exemplos. Observe que a última função é uma função com-
posta e, para derivá-la, use a regra da cadeia.
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Agora vamos ver o seguinte: 
ƒƒ x² + 1 é a primitiva de 2x, pois (x² + 1)’ = 2x;
ƒƒ x² - 28 é a primitiva de 2x, pois (x² - 28)’ = 2x;
ƒƒ x² + ½ é a primitiva de 2x, pois (x² + ½ )’ = 2x;
ƒƒ x² + 5 é a primitiva de 2x, pois (x² + 5 )’ = 2x.
Como a derivada de uma função constante é sempre zero, se F é a primitiva de f, então F + c (com 
“c” constante) também é, e isso pode ser observado anteriormente, ou seja, 
[ ]' ' '( ) [ ( )] ( ) 0 ( )F x c F x c f x f x+ = + = + =
A primitiva de uma função é também conhecida como a antiderivada da função. 
A primitiva de f(x), ou seja, a F(x), é representada por ( )f x dx∫ . Assim, sendo F’(x) = f(x), podemos 
escrever:
AtençãoAtenção
�
�
ƒ� x² - 28 é a primitiva de 2x, pois (x² - 28)’ = 2x; ƒ� x² + ½ é a primitiva de 2x, pois (x² + ½ )’ = 2x; ƒ� x² + � é a primitiva de 2x, pois (x² + � )’ = 2x. 
 
 Como a derivada de uma função constante é sempre zero, se F é a primitiva de 
f, então F + c (com “c” constante) também é, e isso pode ser observado anteriormente, ou 
seja, 
 
 
A primitiva de uma função é também conhecida como a antiderivada da função. 
 
A primitiva de f(x), ou seja, a F(x), é representada por ³ G[�[�I . Assim, sendo 
F’(x) = f(x), podemos escrever: 
 
 
Atenção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
³ G[�[�I�[�)> @ ������@�>�� 
 [I[IF[)F[) � � �'HILQLomR�8PD�IXQomR�)�p�XPD�SULPLWLYD��DQWLGHULYDGD��GH�XPD�IXQomR�I�VH��SDUD�WRGR�[�QR�GRPtQLR�GH�I��WHPRV�)¶�[�� �I�[����1RWDomR�GH�LQWHJUDO�SDUD�SULPLWLYDV��DQWLGHULYDGDV��F�[�)G[�[�I � ³6LQDO�GH�,QWHJUDO�,QWHJUDQGR� 3ULPLWLYD��DQWLGHULYDGD��'LIHUHQFLDO� ��RQGH�³F´�p�XPD�FRQVWDQWH�DUELWUiULD��VLJQLILFD�TXH�)�p�XPD�DQWLGHULYDGD�GH�I��LVWR�p��)¶�[�� �I�[��QR�GRPtQLR�GH�I��
Cálculo Diferencial e Integral III
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Observação: A diferencial dx na integral indefinida identifica a variável de integração, ou seja, o 
símbolo ( )f x dx∫ denota a “antiderivada de f em relação a x”, da mesma forma que o símbolo f’(x) ou dy/
dx, a “derivada da função f em relação a x ou a derivada de y em relação a x”.
A ( )f x dx∫ também é chamada integral indefinida e representa uma família de primitivas de f(x).
Exemplos
 Observe, a seguir, a notação de integral sendo usada para representar primitivas:
3 3dx x c= +∫ ; 6 77x dx x c= +∫ ; cos( ) ( )x dx sen x c= +∫ .
 
Caro(a) aluno(a),
Você sabe que, a partir das regras de derivação conhecidas, podemos determinar primitivas, ou 
seja, antiderivadas, para as funções mais frequentes e, dessa forma, construir as tabelas de integração? 
No próximo tópico, você vai ver os exemplos simples, os quais chamaremos integrais de funções 
elementares e que nos fornecerão a tabela de integração básica.
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Linha Função f(x) Derivada: f’(x)
Primitiva: ( )f x dx∫
A 0 0 c
B 1 0 x + c
C c 0 c.x + c1
D x 1
c
2
x2
+
E xn nxn-1
c
1n
x 1n
+
+
+
, (n ≠ -1)
F
 ln|x|
x
1 (**) Não é imediata
G
x
1
(é o mesmo de x-1) 2x
1−
(é o mesmo de -1x-2)
ln|x|
H ex ex ex
I ax (0 < a ≠ 1) axln(a)
c
)aln(
ax
+
J sen(x) cos(x) - cos(x) + c
K cos(x) -sen(x) sen(x) + c
L tag(x) sec2(x) Não é imediata
M cotg(x) cossec2(x) Não é imediata
N sec(x) sec(x)tag(x) Não é imediata
O cosec(x) -cosec(x)cotag(x) Não é imediata
P arc sen(x)
2x1
1
−
Não é imediata
Q arc cos(x)
2x1
1
−
−
Não é imediata
2.1 Derivada e Integral de Algumas Funções Elementares
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R arc tag(x)
2x1
1
+
Não é imediataS arc cotag(x)
2x1
1
+
−
Não é imediata
T sec²(x) (derivada de função composta) tag(x) + c
U cossec2(x) (derivada de função composta) - cotg(x) + c
V sec(x)tag(x)
(derivada do produto de duas funções 
elementares) sec(x) + c
w cosec(x)cotag(x)
(derivada do produto de duas funções 
elementares) - cosec(x) + c
x
2x1
1
−
(derivada de função composta) ( ) ,
cos( )
arc sen x c ou
arc x c
+
=  − +
y
2x1
1
+
(derivada do quociente de funções 
elementares)
( ) ,
cot ( )
arc tag x c ou
arc g x c
+
= − +
z
A função derivada em cada uma das 
linhas dessa coluna já foi estudada em 
Cálculo: Derivada e demonstrada por 
meio da definição de derivada.
A função primitiva de cada uma das linhas dessa 
coluna tem como característica o estudado 
anteriormente, ou seja, se a primitiva for 
denominada F(x) a F’(x) = f(x). Isso significa que, 
ao derivar cada uma das funções dessa coluna, 
irá obter a correspondente na 1ª coluna.
(*)A função ln|x| não é elementar, pois a função |x| dada por , 0| |
, 0
x se x
x
x se x
≥
= − <
não é elementar. Essa função foi co-
locada na tabela pois ela resume duas funções elementares, correspondentes aos valores de x > 0 e x < 0 de seus 
domínios, respectivamente. Assim: ln( ), 0ln( )
( ), 0
x se x
x
x se x
>
=  − <
.
(**) Integração não é imediata: trata-se de primitivas que não apresentam a derivada na tabela de funções ele-
mentares.
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38
Saiba maisSaiba mais
�
�
F’(x) = f(x). Isso significa que, ao 
derivar cada uma das funções 
dessa coluna, irá obter a 
correspondente na 1ª coluna. 
 
(*)A função ln|x| não é elementar, pois a função |x| dada por ®¯­ �� t �[VH�[ �[VH�[_[_ não é elementar. Essa função 
foi colocada na tabela pois ela resume duas funções elementares, correspondentes aos valores de x > 0 e x < 
0 de seus domínios, respectivamente. Assim: ®¯­ �� ! �[VH��[� �[VH��[OQ��[OQ� . 
(**) Integração não é imediata: trata-se de primitivas que não apresentam a derivada na tabela de funções 
elementares. 
 
Saiba mais $QDOLVDQGR�D�WDEHOD��DQWHULRU�9DPRV�YHU�R�TXH�VLJQLILFD��SRU�H[HPSOR��R�WH[WR�GD���FROXQD�GD�OLQKD�=��2EVHUYH�DV�OLQKDV�)�H�*�GD�WDEHOD��1RWH�TXH��QD�OLQKD�*��WHPRV�D�LQIRUPDomR�GH�TXH� D� SULPLWLYD� GH� [� � p� D� IXQomR� OQ_[_�� Mi� QD� OLQKD�)�� WHPRV� TXH� D� GHULYDGD� GD�IXQomR�OQ_[_�p�D�IXQomR� [� ��(P�RXWURV�WHUPRV���> @ [�
F_[_OQF_[_OQG[[� �Ÿ� ³ ��8VDQGR�RXWUD�VLPERORJLD��SRGHPRV�HVFUHYHU��> @ [�F_[_OQG[GF_[_OQG[[� �Ÿ� ³ ���QRWDomR�GH�/HLEQL]�SDUD�GHULYDGD���� $JRUD�� YDPRV� HVWXGDU� R� TXH� RFRUUH� QD� OLQKD� ,�� $� IXQomR� TXH� LUHPRV�HVWXGDU�p�D�IXQomR�H[SRQHQFLDO�GH�EDVH�³����D�z��´��1D���FROXQD�GHVVD�WDEHOD��WHPRV�D� LQIRUPDomR�TXH�D�SULPLWLYD�GH�D[�p�GDGD�SRU� F�DOQ�D[ � ��/RJR��YDPRV�WHU�TXH�D�GHULYDGD�GD�IXQomR� F�DOQ�D[ � �p�D�IXQomR�D[��(P�VLPERORJLD��[[[[ DF�DOQ�DG[GF�DOQ�DG[D »¼º«¬ª �Ÿ� ³ �6HUi"��9DPRV�YHULILFDU��
Saiba maisSaiba mais
�
�
»¼º«¬ª � F�DOQ�DG[G [ = > @ 
F
�DOQ�D[ �»¼º«¬ª = A derivada da soma é a soma das derivadas. � � � � > @ 
F�D�OQ 
��D��OQ�D�DOQ�
�D � [[ �»¼º«¬ª � = Aplicar a regra do quociente para derivações. � � � � ��D�OQ ��D�DOQ���DOQ�D � [[ �»¼º«¬ª � = Derivada ax está na linha I da tabela. Note que ln(a) é uma constante, portanto sua derivada é zero. 
 � � »¼º«¬ª �D�OQ �D�OQD � �[ = [D Resolver as multiplicações, adições e simplificar. 
 
Você notou que o relacionamento entre integração e diferenciação permite 
obtermos fórmulas de integração diretamente a partir de fórmulas de diferenciação? No 
próximo tópico, serão apresentadas as regras de integração que correspondem a algumas 
regras de derivação, demonstradas, em parte, na disciplina Cálculo Diferencial e Integral II. 
 
2.2 Regras Básicas de Integração 
I. ³ � F.[.G[ (onde K é uma constante) Regra da Constante 
II. ³ ³ G[�[�I.G[�[�.I Regra do Múltiplo Constante 
III. G[�[�JG[�[�IG[�@[�J�[�I> ³³ ³ � � Regra da Soma 
IV. G[�[�JG[�[�IG[�@[�J�[�I> ³³ ³ � � Regra da Diferença 
 
As tabelas dos tópicos 2.1 e 2.2 nos serão úteis para a resolução de integrais 
pelos métodos de integração, dos quais alguns serão apresentados no próximo capítulo. 
 
Cálculo Diferencial e Integral III
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39
Você notou que o relacionamento entre integração e diferenciação permite obtermos fórmulas de 
integração diretamente a partir de fórmulas de diferenciação? No próximo tópico, serão apresentadas 
as regras de integração que correspondem a algumas regras de derivação, demonstradas, em parte, na 
disciplina Cálculo Diferencial e Integral II.
2.2 Regras Básicas de Integração
I. Kdx Kx c= +∫ (onde K é uma constante) Regra da Constante
II. ( ) ( )Kf x dx K f x dx=∫ ∫ Regra do Múltiplo Constante
III. [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫ Regra da Soma
IV. [ ( ) ( )] ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx− = −∫ ∫ ∫ Regra da Diferença
As tabelas dos tópicos 2.1 e 2.2 nos serão úteis para a resolução de integrais pelos métodos de in-
tegração, dos quais alguns serão apresentados no próximo capítulo.
2.3 Resumo do Capítulo
Neste capítulo, estudamos que a primitiva de uma função também é conhecida como antiderivada.
Ao conjunto de todas as primitivas de uma função f, chama-se integral indefinida ou, sim-
plesmente, integral da função f e representa-se por ( )f x dx∫ .
Com base no conceito de primitivação, foi apresentada a tabela de integração das funções elemen-
tares; a partir dela e por meio de técnicas que estudaremos no próximo capítulo, a tabela das integrais 
poderá ser ampliada.
Bom, vamos, a seguir, avaliar a sua aprendizagem.
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40
Nos exercícios 1 ao 3, determine as primitivas F(x) das funções f(x):
1. f(x) = 4x³ - 3x² + 1 
2. f(x) = ex + 5x4 + 6 
3. 
1x2
3)x(f
−
= 
2.4 Atividades Propostas
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41
Caro(a) aluno(a),
Vamos dar início ao cálculo das integrais?
Há várias formas para escrever uma integral 
de modo que ela se ajuste a uma ou mais fórmu-
las básicas, as quais vimos na 3ª coluna da tabela 
do tópico 2.1 desta apostila. Neste capítulo, estu-
daremos as técnicas que nos levam a esses resul-
tados.
ALGUMAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO3
3.1 Integração por Decomposição
Para resolvermos integrais pelo método da 
decomposição, usaremos as fórmulas de integra-
ção imediatas constantes na tabela do tópico 2.1; 
além disso, usaremos a propriedade que afirma 
[ ]( ) ( ) ( ) ( )af x bg x dx a f x dx b g x dx± = ±∫ ∫ ∫
que, se f(x) e g(x) são funções contínuas em um 
intervalo I, sendo a e b constantes reais, então a 
função dada por “af(x) ± bg(x)” é também integrá-
vel em I e ainda vale a fórmula:
Note que o que é apresentado é a utilização 
das regras (II) e (III) e (IV) da tabela do tópico 2.2.
Exemplos
Resolva as integrais:
a) (5 )x dx+∫
Solução:
(5 )x dx+∫ =
5dx xdx+∫ ∫ =
A integral da soma é a soma das integrais (Regra III).
5 dx xdx+∫ ∫ =
Regra do Múltiplo Constante (Regra II). 
2
1 25 2
xx c c+ + + =
Integrar. Fórmulas (B) e (D). 
2
5
2
xx c+ +
c1 + c2 = c.
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Querido(a) aluno(a),
As indicações Regra II, Regra III e Fórmulas (B) e (C) são apenas referências para o entendimento do que 
foi feito na resolução do exercício. Quando você for resolver as integrais na lista de exercícios ou em ativida-
des, não é necessário fazer uso disso.
b) 9x dx∫
Solução:
9x dx∫ = 
9 1
9 1
x c
+
+
+
= 
10
10
x c+ Integrar. Fórmula (E).
c) dxx5 3∫
Solução:
5 3x dx∫