Aula 6: Aproximações lineares

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Exemplo de função de duas variáveis que possui derivadas parciais
em R2 mas que não são contínuas
Exemplo 1. Considere a função definida por partes
f(x, y) =
{ xy
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
Em (0, 0) temos
fx(0, 0) = lim
h→0
f(h, 0)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
0 = 0
fy(0, 0) = lim
h→0
f(0, h)− f(0, 0)
h
= lim
h→0
0 = 0
Logo, as derivadas parciais de f em (0, 0) existem. Além disso, se (x, y) 6= (0, 0), então
fx(x, y) =
y(x2 + y2)− xy · 2x
(x2 + y2)2
=
x2y + y3 − 2x2y
(x2 + y2)2
=
y3 − x2y
(x2 + y2)2
fy(x, y) =
x(x2 + y2)− xy · 2y
(x2 + y2)2
=
xy2 + x3 − 2xy2
(x2 + y2)2
=
x3 − xy2
(x2 + y2)2
Logo, as derivadas parciais de f
fx(x, y) =

y3−x2y
(x2+y2)2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
fy(x, y) =

x3−xy2
(x2+y2)2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
estão definidas em todo R2. Mas, se x 6= 0, então
fx
(
x,
x
2
)
=
x3
8
− x3
2(
x2 + x
2
4
)2 = − 3x38(5x2
4
)2 = −3x38 · 1625x4 = − 625x
Ou seja, fx(x, y)→ −∞ quando (x, y)→ (0, 0) pela reta y = x2 . Como o limite da derivada de
primeira ordem não existe sobre o caminho y = x
2
, então a função fx(x, y) não é contínua na
origem. De forma análoga, se y 6= 0, então
fx
(y
2
, y
)
= − 6
25y
Ou seja, fy(x, y)→ −∞ quando (x, y)→ (0, 0) pela reta x = y2 . Como o limite da derivada de
primeira ordem não existe sobre o caminho x = y
2
, então a função fy(x, y) não é contínua na
origem.
Conclusão: a função f possui derivadas parciais de primeira ordem em todo R2, mas es-
sas derivadas parciais não são contínuas na origem.
1
Veja abaixo o gráfico da função f(x, y) =
{ xy
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
Lembramos que se f(x) é uma função real que possui derivada em um ponto a, então
necessariamente f era contínua em a.
ENTRETANTO, NÃO PODEMOS AFIRMAR QUE SE UMA FUNÇÃO f DE DUAS VA-
RIÁVEIS POSSUI DERIVADAS PARCIAIS EM UM PONTO (a, b), ENTÃO f É CONTÍNUA
EM (a, b).
De fato, no exemplo acima, a função f não é contínua em (0, 0), mas f possui derivadas de
primeira ordem em (0, 0).
Aproximação Linear para funções de duas variáveis
À medida que nos aproximamos de um certo ponto (a, b, f(a, b)), o gráfico da função f se
torna cada vez mais parecido com o seu plano tangente no ponto (a, b, f(a, b)). Com isso, pode-
mos obter valores aproximados para uma função f de duas variáveis perto de (a, b) utilizando
seu plano tangente. Vamos formalizar isto:
Seja f(x, y) uma função de duas variáveis e seja
z = f(a, b) + fx(a, b)(x− a) + fy(a, b)(y − b)
a equação do plano tangente à superfície z = f(x, y) no ponto (a, b, f(a, b)). Chamamos a
função
L(x, y) = f(a, b) + fx(a, b)(x− a) + fy(a, b)(y − b)
de linearização de f em (a, b). Ou seja, a linearização de f em (a, b, f(a, b)) é a função linear
de duas variáveis cujo gráfico é o plano tangente de z = f(x, y) em (a, b, f(a, b)).
A aproximação para a função f dada pela linearização
f(x, y) ≈ f(a, b) + fx(a, b)(x− a) + fy(a, b)(y − b)
é chamada de aproximação linear de f em (a, b) e ela é uma aproximação bem satisfatória nas
proximidades do ponto (a, b).
Observe que a função f pode ser bastante complicada, mas com a aproximação linear
podemos calcular seus valores aproximados de forma bem mais simples.
2
Exemplo 2. A equação do plano tangente ao parabolóide elíptico f(x, y) = 2x2 + y2 no ponto
(1, 1, 3) é
z = 4x+ 2y − 3
Portanto a linearização de f em (1, 1) é a função linear
L(x, y) = 4x+ 2y − 3
e a aproximação linear de f em (1, 1) é
f(x, y) ≈ 4x+ 2y − 3
Veja nas figuras abaixo que, quando damos um zoom no ponto (1, 1, 3), o gráfico da função
f(x, y) e o seu plano tangente ficam cada vez mais parecidos:
Na tabela abaixo estão alguns valores de L(x, y) e f(x, y). Observamos que, realmente, à
medida que nos aproximamos de (1, 1) as duas funções ficam cada vez mais próximas.
(x, y) L(x, y) f(x, y)
(−1,−1) −9 3
(−1, 0) −7 2
(0, 0) −3 0
(0, 1) −1 1(
1
2
, 1
)
1 1.5(
4
5
, 1
)
2.2 2.28(
99
100
, 1
)
2.96 2.9602
(0, 1) −1 1
(1, 1) 3 3(
101
100
, 1
)
3.04 3.0402(
6
5
, 1
)
3.8 3.88(
3
2
, 1
)
5 5.5
(2, 1) 7 10
3
Exemplo 3. Determine a linearização e a aproximação linear da função
f(x, y) = exy tan y +
1√
x2 + y2
em (1, 0).
Temos que
fx(x, y) = ye
xy tan y − x
(x2 + y2)
3
2
⇒ fx(1, 0) = −1
fy(x, y) = xe
xy tan y + exy sec2 y − y
(x2 + y2)
3
2
⇒ fy(1, 0) = 1
Logo, a equação do plano tangente à superfície z = exy ln y no ponto (1, 0, 1) é
z = f(1, 0) + fx(1, 0)(x− 1) + fy(1, 0)(y − 0)
= 1− (x− 1) + y
= y − x+ 2
Portanto a linearização de f em (1, 0) é a função linear
L(x, y) = y − x+ 2
e a aproximação linear de f em (1, 0) é
f(x, y) ≈ y − x+ 2
Na tabela abaixo estão alguns valores de L(x, y) e f(x, y). Observamos que, realmente, à medida
que nos aproximamos de (1, 0) as duas funções ficam cada vez mais próximas.
(x, y) L(x, y) f(x, y) (aproximados)(
1
2
,−1
2
)
1 0.988753(
1,−1
2
)
0.5 0.5630(
1,− 1
100
)
0.99 0.99004(
1, 1
1000
)
0.999 0.9990005
(1, 0) 1 1(
1, 1
1000
)
1.001 1.0010005(
1, 1
100
)
1.01 1.01005(
1, 1
2
)
1.5 1.79513
(0, 1) 3 2.5463
4
Aproximação Linear para funções de três variáveis
Podemos definir também linearizações e aproximações lineares para funções de três variáveis.
Seja f(x, y, z) uma função de três variáveis que possui derivadas parciais contínuas. Cha-
mamos a função
L(x, y, z) = f(a, b, c) + fx(a, b, c)(x− a) + fy(a, b, c)(y − b) + fz(a, b, c)(z − c)
de linearização de f em (a, b, c).
A aproximação para a função f dada pela linearização
f(x, y, z) ≈ f(a, b, c) + fx(a, b, c)(x− a) + fy(a, b, c)(y − b) + fz(a, b, c)(z − c)
é chamada de aproximação linear de f em (a, b, c) e ela é uma aproximação bem satisfatória
nas proximidades do ponto (a, b, c).
Observe que a função f pode ser bastante complicada, mas com a aproximação linear
podemos calcular seus valores aproximados de forma bem mais simples.
Exemplo 4. Determine a linearização e a aproximação linear da função
f(x, y, z) = x2yz3 + ln(xy) + e−z
em (1, 1, 0).
Temos que
fx(x, y, z) = 2xyz
3 +
1
x
⇒ fx(1, 1, 0) = 1
fy(x, y, z) = x
2z3 +
1
y
⇒ fy(1, 1, 0) = 1
fz(x, y, z) = 3x
2yz2 − e−z ⇒ fy(1, 1, 0) = −1
Portanto a linearização de f em (1, 1, 0) é a função linear
L(x, y, z) = f(1, 1, 0) + fx(1, 1, 0)(x− 1) + fy(1, 1, 0)(y − 1) + fz(1, 1, 0)(z − 0)
= 1 + x− 1 + y − 1− z
= x+ y − z − 1
e a aproximação linear de f em (1, 1, 0) é
f(x, y, z) ≈ x+ y − z − 1
Na tabela abaixo estão alguns valores de L(x, y, z) e f(x, y, z). Observamos que, realmente, à
medida que nos aproximamos de (0, 1) as duas funções ficam cada vez mais próximas.
(x, y) L(x, y) f(x, y) (aproximados)(
1
2
, 1
2
,−1
2
)
0.5 0.24680190(
9
10
, 9
10
,− 1
10
)
0.9 0.89372088(
999
1000
, 999
1000
,− 1
1000
)
0.999 0.998999498
(1, 1, 0) 1 1(
1001
1000
, 1001
1000
, 1
1000
)
1.001 1.0009995(
11
10
, 11
10
, 1
10
)
1.1 1.0967887(
3
2
, 3
2
, 1
2
)
1.5 1.8393358
5