Resumo 8 - Derivadas Direcionais e Vetor Gradiente

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UNIVERSIDADE SÃO JUDAS TADEU 
 
DATA: 
CURSO: ENGENHARIA TURMA: 
 
 
 
Nº DE ORDEM: 
DISCIPLINA: CÁLCULO II Prof. Ms Rogério Lobo 
 
 
 
 
 
 
 
DERIVADAS DIRECIONAIS E VETOR GRADIENTE 
 RESUMO 08 
 
Derivadas Direcionais 
 
A derivada direcional nos permite encontrar a 
taxa de variação de uma função de duas ou 
mais variáveis na direção de um vetor. 
 
Caso Particular: Se z = f(x, y) possui as 
derivadas parciais fx e fy definidas como: 
 
● fx(x0, y0) = limh→0
f(x0+h,y0)−f(x0,y0)
h
 que é a 
derivada (ou taxa de variação) na direção x, 
ou seja, na direção do vetor unitário u = i. 
Esta derivada é indicada por D𝐮f (𝑥0, 𝑦0) =
D𝐢f(𝑥0, 𝑦0) = fx (𝑥0, 𝑦0). 
 
● fy (x0, y0) = limh→0
f(x0,y0+h)−f(x0,y0)
h
 que é a 
derivada (ou taxa de variação) na direção y, 
ou seja, na direção do vetor unitário u = j. 
Esta derivada é indicada por D𝐮f (𝑥0, 𝑦0) =
D𝐣f(𝑥0, 𝑦0) = fy (𝑥0, 𝑦0). 
 
Definição: 
 
A derivada direcional de f em (𝑥0, 𝑦0) na 
direção do vetor unitário u = ai + bj = (a, b) 
é: 
 
D𝐮f(x0, y0) = lim
h→0
f(x0 + ha, y0 + hb) − f(x0, y0)
h
 
 
Teorema: Se f é uma função diferenciável de 
x e y, então f tem derivada direcional na 
direção de qualquer vetor u = ai + bj = (a, b) 
e: 
D𝐮f(x, y) = fx(x, y). a + fy(x, y). b 
 
Se o vetor unitário u faz um ângulo 𝜃 com o 
eixo x positivo então podemos escrever 
u = cos 𝜃i + sen𝜃j e assim o teorema resulta 
em: 
 
D𝐮f(x, y) = fx(x, y). cosθ + fy(x, y). senθ 
 
Exemplo 
 
Encontre a derivada direcional D𝐮f(1, 2) 
se u é o vetor unitário dado pelo ângulo 𝜃 =
𝜋
3
 
e f(x, y) = x2 + y. 
 
Solução: 
D𝐮f(x, y) = fx(x, y). cos
π
3
+ fy(x, y). sen
π
3
⇔ 
 D𝐮f(x, y) = 2𝑥
1
2
+ 1.
√3
2
⇔ 
D𝐮f(1,2) = 1 +
√3
2
 
 
VETOR GRADIENTE 
 
●De uma função de duas variáveis 
 
Definição: Seja z = f(x, y) uma função que 
admite derivadas parciais em (x0, y0). O vetor 
 
2 
 
𝛁𝐟(x0, y0) = (
∂f
∂x
(x0 , y0),
∂f
∂y
(x0 , y0)) 
 
denomina-se gradiente de f em (x0, y0). 
Geometricamente, interpretamos 𝛁𝐟(x0, y0) 
como um vetor aplicado no ponto (x0, y0). O 
símbolo ∇ (lemos “del”) é o operador de 
Laplace ou simplesmente Laplaciano. 
 
Teorema: Se f é uma função diferenciável de 
x e y, então f tem derivada direcional na 
direção de qualquer vetor u = ai + bj = (a, b) 
e: 
D𝐮f(x, y) = 𝛁𝐟(x, y) ● 𝐮 
 
●De uma função de três variáveis 
 
Definição: Seja F = f(x, y, z) uma função que 
admite derivadas parciais em (x0, y0, z0). O 
vetor 
 
𝛁𝐅(x0, y0, z0) == (
∂F
∂x
(x0, y0, z0),
∂F
∂y
(x0, y0, z0),
∂F
∂z
(x0, y0, z0)) 
 
denomina-se gradiente de f em (x0, y0, z0). 
Geometricamente, o vetor gradiente, 
𝛁𝐅(x0, y0, z0), é normal (ou perpendicular) a 
superfície de nível f(x, y, z) = c. 
 
 
Exemplo 
 
Seja f(x, y) = x2 + y2. Calcule 𝛁𝐟(1, 1) e 
represente-o geometricamente. 
 
Solução: 
𝛁𝐟(x , y ) = (
∂f
∂x
(x , y ),
∂f
∂y
(x , y ))= 
=(2x, 2y). Assim: 
 
𝛁𝐟(1, 1) = 2𝐢 + 2𝐣 . 
 
 
Teorema: Se f é uma função diferenciável de 
x, y e z, então f tem derivada direcional na 
direção de qualquer vetor u = ai + bj +ck= (a, 
b,c) e: 
D𝐮f(x, y, z) = 𝛁𝐟(x, y, z) ● 𝐮 
 
 Exercícios de Sala 
 
1) Encontre a derivada direcional D𝐮f(x, y) se 
f(x, y) = x3 − 3xy + 4y2 e u é o vetor unitário 
dado pelo ângulo 𝜃 =
𝜋
6
. Qual será D𝐮f(1,2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
2)Para a função 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑒2𝑦𝑧 determine: 
a) o gradiente de f. 
b) o gradiente no ponto P(3,0,2) 
c) a taxa de variação de f em P na direção do 
vetor 𝐮 =<
2
3
·, −
2
3
,
1
3
>. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine a derivada direcional da função 
f(x, y) = √xy em P(2,8) na direção de Q(5,4). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Determine a taxa de variação máxima de f 
no ponto dado e a direção em que isso 
ocorre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Suponha que em uma certa região do 
espaço o potencial elétrico V seja dado por 
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 5𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑥𝑦𝑧. 
a) Determine a taxa de variação do potencial 
em P(3, 4, 5) na direção do vetor v = i + j – k. 
b) Em que direção V varia mais rapidamente 
em P? 
c) Qual a taxa máxima de variação em P? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
Sejam r = xi+yj+zk e r = |r|. Verifique as 
identidades : 
a) 𝛁r =
𝐫
r
 
 
 
 
 
 
b) 𝛁 (
1
r
) = −
𝐫
r𝟑
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 𝛁lnr =
𝐫
r𝟐
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de Casa 
 
Calcule 𝛁𝐟(x, y) sendo f(x, y) = 
 
1-) x4y 
 
2-) ex
4−y3 
 
3-) 
𝐱
𝐲𝟑
 
4-) arctan (
x
y
) 
 
Calcule 𝛁𝐟(x, y, z) sendo f(x, y, z) = 
 
5-) √x2 + y2 + z2 
 
6-) x2 + y2 + z2 
 
7-)(x2 + y2 + z2)3 
 
8-) zln (
x
y
) 
 
Represente geometricamente 𝛁𝐟(x0, y0) 
sendo f(x, y) = x2 − y2 e (x0, y0) = 
 
9-) (1, 1) 
 
10-) (-1,-1) 
 
11-) (-1,1) 
 
12-) (1, -1) 
 
13-) Seja 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2. Calcule D𝐮f(1,1) 
onde u é o versor de 
a) v = (-1,1) 
b) v = (1, 2) 
c) v = (1,1) 
Resposta: a) 0 b) 
6
√5
 c) 
4
√2
 
 
14-) Seja 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑥𝑦. Calcule D𝐮f(1,2) 
onde u é o versor de 
a) v = (1,1) 
b) v = (3, 4) 
Resposta: a) 
5
√2
 b) 
16
5
 
 
5 
 
15-) Seja 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2𝑦. 
a) Determine u de modo que D𝐮f(1,1) seja 
máximo. 
b) Qual é o valor máximo de D𝐮f(1,1)? 
c) Estando- se em (1,1), que direção e 
sentido deve-se tomar para que f cresça mais 
rapidamente? 
Resposta: a) 𝒖 = (
2
√5
,
1
√5
) b) √5 c) 
𝛁𝐟(1,2) = (2,1) aponta a direção e sentido 
em que f cresce mais rapidamente.