Aula 18: Integrais duplas em coordenadas polares

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Integrais duplas em coordenadas polares
Chamamos de retângulo polar uma região da forma
{(r, θ) ∈ R2 | a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}
(ou seja, uma região que é representada por um retângulo no plano cartesiano rθ).
Se f é contínua no retângulo polar D dado por
D = {(r, θ) ∈ R2 | a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β}
onde a ≥ 0 e 0 ≤ β − α ≤ 2pi, então a integral dupla de f em D pode ser calculada por∫∫
D
f(x, y) dA =
∫ β
α
∫ b
a
f(r cos θ, r sen θ) r dr dθ
Ou seja, para convertermos uma integral dupla de coordenadas cartesianas para polares,
usamos as relações
x = r cos θ y = r sen θ
na fórmula de f . Mas, para fazer a mudança de variáveis é necessário utilizar o fator de
correção r para substituir dx dy por dr dθ e é necessário escrever os limites de integração de
forma adequada.
Observação 1. Não se esqueça do termo r que aparece do lado direito da equação!
Exemplo 1. Calcule
∫∫
D
3x+ 4y2 dA onde D é a região do semiplano superior limitada pelos
círculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.
1
A região D pode ser descrita em coordenadas polares por
D = {(r, θ) ∈ R2 | 1 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ pi}
Temos que, se f(x, y) = 3x+ 4y2, então, em coordenadas polares,
f(x, y) = f(r cos θ, r sen θ) = 3r cos θ + 4r2 sen 2θ
e, portanto,∫∫
D
f(x, y) dA =
∫ pi
0
∫ 2
1
(3r cos θ + 4r2 sen 2θ) r dr dθ =
∫ pi
0
∫ 2
1
3r2 cos θ + 4r3 sen 2θ dr dθ
Como ∫ 2
1
3r2 cos θ + 4r3 sen 2θ dr =
[
r3 cos θ + r4 sen 2θ
]r=2
r=1
=
[
8 cos θ + 16 sen 2θ
]− [cos θ + sen 2θ]
= 7 cos θ + 15 sen 2θ
então, utilizando que
cos(2θ) = cos2 θ− sen 2θ = 1− sen 2θ− sen 2θ = 1−2 sen 2θ ⇒ sen 2θ = 1
2
[1− cos(2θ)]
obtemos∫∫
D
f(x, y) dA =
∫ pi
0
7 cos θ + 15 sen 2θ dθ
=
∫ pi
0
7 cos θ +
15
2
[1− cos(2θ)] dθ
=
∫ pi
0
7 cos θ +
15
2
− 15
2
cos(2θ) dθ
=
[
7 sen θ +
15θ
2
− 15 sen (2θ)
4
]θ=pi
θ=0
=
[
7 sen pi +
15pi
2
− 15 sen (2pi)
4
]
−
[
7 sen 0 + 0− 15 sen 0
4
]
=
15pi
2
Observação 2. Poderíamos escrever a região do exemplo anterior em coordenadas cartesianas
como
D = {(x, y) ∈ R2 | − 2 ≤ x ≤ 2,
√
1− x2 ≤ y ≤
√
4− x2}
e teríamos que resolver a integral ∫ 2
−2
∫ √4−x2
√
1−x2
3x+ 4y2 dy dx
2
Como ∫ √4−x2
√
1−x2
3x+ 4y2 dy =
[
3xy +
4y3
3
]y=√4−x2
y=
√
1−x2
= 3x
√
4− x2 + 4(4− x
2)
3
2
3
− 3x
√
1− x2 − 4(1− x
2)
3
2
3
então teríamos ∫ 2
−2
[
3x
√
4− x2 + 4(4− x
2)
3
2
3
− 3x
√
1− x2 − 4(1− x
2)
3
2
3
]
dx
e para resolver esta integral, teríamos que utilizar substituição trigonométrica (que dá muito
trabalho).
Exemplo 2. Determine o volume do sólido limitado pelo plano z = 0 e pelo parabolóide z =
1− x2 − y2.
Observe que a interseção entre o plano xy e o parabolóide ocorre quando z = 0 e, portanto,
tal interseção é o círculo
x2 + y2 = 1
Logo, o volume desejado pode ser obtido pelo cálculo da integral dupla∫∫
D
1− x2 − y2 dA
onde D é o círculo de raio 1 dado por x2+y2 = 1. A região D pode ser descrita em coordenadas
polares por
{(r, θ) ∈ R2 | 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2pi}
Temos que, se f(x, y) = 1− x2 − y2, então, em coordenadas polares,
f(x, y) = f(r cos θ, r sen θ) = 1− r2 cos2 θ − r2 sen 2θ = 1− r2
e, portanto, ∫∫
D
f(x, y) dA =
∫ 2pi
0
∫ 1
0
(1− r2) r dr dθ =
∫ 2pi
0
∫ 1
0
r − r3 dr dθ
Como ∫ 1
0
r − r3 dr =
[
r2
2
− r
4
4
]r=1
r=0
=
1
2
− 1
4
=
1
4
3
então ∫∫
D
f(x, y) dA =
∫ 2pi
0
1
4
dθ =
[
θ
4
]θ=2pi
θ=0
=
2pi
4
=
pi
2
Observação 3. Poderíamos escrever a região do exemplo anterior em coordenadas cartesianas
como
D = {(x, y) ∈ R2 | − 1 ≤ x ≤ 1, −
√
1− x2 ≤ y ≤
√
1− x2}
e teríamos que resolver a integral∫ 1
−1
∫ √1−x2
−√1−x2
1− x2 − y2 dy dx
Como ∫ √1−x2
−√1−x2
1− x2 − y2 dy =
[
y − yx2 − y
3
3
]y=√1−x2
y=−√1−x2
= 2
√
1− x2 − 2x2
√
1− x2 − 2(1− x
2)
3
2
3
então ∫ 1
−1
[
2
√
1− x2 − 2x2
√
1− x2 − 2(1− x
2)
3
2
3
]
dx
e para resolver esta integral, teríamos que utilizar substituição trigonométrica (que dá muito
trabalho).
Exercício 1. Calcule a integral dupla
∫∫
D
arctan
(y
x
)
dA onde
D = {(x, y) ∈ R2 | 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4, 0 ≤ y ≤ x}
Podemos querer calcular integrais sobre regiões polares mais complicadas do que retângulos
polares. Por exemplo, podemos querer calcular a integral dupla em uma região D na qual r
varia entre duas funções de θ e não entre duas constantes, isto é, em uma região descrita em
coordenadas polares por
D = {(r, θ) ∈ R2 | h1(θ) ≤ r ≤ h2(θ), α ≤ θ ≤ β}
4
Neste caso, a integral dupla sobre D pode ser calculada pela fórmula∫∫
D
f(x, y) dA =
∫ β
α
∫ h2(x)
h1(x)
f(r cos θ, r sen θ) r dr dθ
Em particular, se tomarmos f(x, y) = 1, α ≤ θ ≤ β, h1(θ) = 0 e h2(θ) = h(θ), então a área
da região D limitada pelas curvas θ = α, θ = β e r = h(θ) é dada por
A(D) =
∫∫
D
1 dA =
∫ β
α
∫ h(θ)
0
r dr dθ
Como ∫ h(θ))
0
r dr =
[
r2
2
]r=h(θ)
r=0
=
h(θ)2
2
então
A(D) =
∫ β
α
h(θ)2
2
dθ
Exemplo 3. Calcule a área de uma pétala da rosácea de quatro pétalas r = cos(2θ).
Observe que a pétala da rosácea pode ser descrita como
D = {(r, θ) ∈ R2 | 0 ≤ r ≤ cos 2θ, −pi
4
≤ θ ≤ pi
4
}
Sua área é dada por
A(D) =
∫∫
D
1 dA =
∫ pi
4
−pi
4
cos2(2θ)
2
dθ
Como
cos(4θ) = cos2(2θ)− sen 2(2θ) = 2 cos2(2θ)− 1
então ∫ pi
4
−pi
4
cos2(2θ)
2
dθ =
∫ pi
4
−pi
4
cos(4θ) + 1
4
dθ =
[
sen (4θ)
16
+
θ
4
]θ=pi
4
θ=−pi
4
=
[
sen (pi)
16
+
pi
16
]
−
[
sen (−pi)
16
− pi
16
]
=
pi
8
5
Exemplo 4. Determine o volume do sólido que está sob o parabolóide z = x2 + y2, acima do
plano xy e dentro do cilindro x2 + y2 = 2x.
Observe que o que queremos é a região entre o gráfico da função f(x, y) = x2+ y2 e o plano
xy para (x, y) no círculo x2 + y2 = 2x. Logo, o volume desejado por ser obtido pelo cálculo da
integral dupla ∫∫
D
x2 + y2 dA
onde D é o círculo (x − 1)2 + y2 = 1. Observe que a equação deste círculo em coordenadas
polares é
r2 = 2r cos θ
e, portanto,
r = 0 ou r = 2 cos θ
Observe que o caso r = 0 está incluso na equação r = 2 cos θ (uma vez que 2 cos θ = 0 para
θ = pi
2
,−pi
2
, 3pi
2
, ...). Logo, a região D pode ser descrita em coordenadas polares por
{(r, θ) ∈ R2 | 0 ≤ r ≤ 2 cos θ, −pi
2
≤ θ ≤ pi
2
}
Temos que
f(x, y) = f(r cos θ, r sen θ) = r2
e, portanto, ∫∫
D
f(x, y) dA =
∫ pi
2
−pi
2
∫ 2 cos θ
0
r3 dr dθ =
∫ pi
2
−pi
2
∫ 2 cos θ
0
r3 dr dθ
Como ∫ 2 cos θ
0
r3 dr =
[
r4
4
]r=2 cos θ
r=0
= 4 cos4 θ
então ∫∫
D
f(x, y) dA =
∫ pi
2
−pi
2
4 cos4 θ =
3pi
2
6