Integrais Duplas: Coordenadas Polares

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Exemplo 1: Trace a curva, expressa em coordenadas polares, por r = 4sen(, 0 ( ( ( (.
Solução: 
	(
	r
	0
	0
	(/6
	2
	(/4
	2
	(/3
	2
	(/2
	4
	2(/3
	2
	3(/4
	2
	5(/6
	2
	(
	0
 4 
 
 2
 -2 (/3 2 
Em coordenadas cartesianas ou retangulares:
r = 4 sen( ( 
= 4
			( x2 + y2 = 4y
			( x2 + y2 – 4y + 4 = 4
			( x2 + (y – 2)2 = 4
Exemplo 2: Qual é a equação, em coordenadas polares, da circunferência com centro na origem e raio a?
Solução: Equação em coordenadas retangulares: x2 + y2 = a2
x = r cos (
y = r sen (
Exemplo 3: Calcule 
, onde 
R: 0 ( ( ( ( e 0 ( r ( 1 + cos(
Solução: 
Exemplo 4: Calcule 
, onde R: x2 + y2 ( 1, x ( 0 e y ( 0.
Solução: 
Exemplo 5: 
Calcule 
 onde D é a região limitada dada por:
 1 ( x2 + y2 ( 9, x ( 0 e y ( 0.
Solução: 		
Exemplo 6: Determine o volume do sólido interior à superfície x2 + y2 + z2 = 25 e exterior à superfície x2 + y2 = 9. 
Solução:
D: 0 < ( < 2(, 3 < r < 5
Exemplo 7: Uma região R é exterior ao gráfico de r = a (círculo de centro na origem e raio a) e interior ao gráfico de r = 2asen( (círculo de centro em (0,a) e raio a). Determine a área de R.
Solução: 	
Intersecção: a = 2asen( ( 1 = 2sen( (
			 sen( = 1/2 ( ( = (/6 ou 
 ( = 5(/6
D = {(r,() | (/6 < ( < 5(/6, 
 a < r < 2asen(}
r2 cos2 ( + r2 sen2 ( = a2 
r2 (cos2 ( + sen2 () = a2 
r2 = a2 ( r = a
R: 0 ( ( ( (/2
 0 ( r ( 1
1
R
1
D
3
1
1
3
D: 0 ( ( ( (/2
 1 ( r ( 3
� EMBED MSPhotoEd.3 ���
5
3
a
a
-a
(/6
5(/6
2a
R
_1098341571.unknown
_1098504411.unknown
_1098507613.unknown
_1098518257.unknown
_1098691984.unknown
_1098507714.unknown
_1098504551.unknown
_1098343658.unknown
_1098344143.unknown
_1098345841.bin
_1098343621.unknown
_1098338208.unknown
_1098338687.unknown
_1098338779.unknown
_1098338545.unknown
_1098338184.unknown
_1098338202.unknown
_1098338150.unknown