Derivadas Parciais - Lista 1

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 1 – Gabaritos – Lista 1 2.o/2013
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) A figura abaixo ilustra o gra´fico da pressa˜o P (t, v) = 10 t/v de um ga´s em um recipiente
de temperatura t e volume v, com (t, v) ∈ (0, 10)× (0, 10). Nesse caso, as curvas de n´ıvel de
P (t, v) sa˜o ditas as isoba´ricas do ga´s, a func¸a˜o g(t) = P (t, v0) fornece a pressa˜o a um volume
constante v0 e h(v) = P (t0, v) fornece a pressa˜o a uma temperatura constante t0.
C E a) As curvas isoba´ricas do ga´s sa˜o segmentos de retas.
C E b) A` temperatura constante, a pressa˜o e´ inversamente
proporcional ao volume
C E c) O gra´fico da func¸a˜o g(t) e´ um arco de hipe´rbole.
C E d) Para t0 ∈ (0, 10), existe o limite lim(t,v)→(t0 ,0) P (t, v).
C E e) Na˜o existe o limite lim(t,v)→(0,0) P (t, v).
vt
2) Suponha que, no anel D = {(x, y) ∈ R2; a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2}, a temperatura T (x, y) no
ponto (x, y) seja inversamente proporcional a` distaˆncia do ponto ate´ a origem O. Suponha
ainda a = 1/2, b = 1 e que T (0, a) = 10.
Ta
Tb
C
H
a
b
a) Obtenha a expressa˜o da func¸a˜o T (x, y) em termos das co-
ordenadas x e y.
Resposta: T (x, y) =
5√
x2+y2
b) Esboce, na figura ao lado, os gra´ficos de T (x, y) ao longo
dos c´ırculos x2 + y2 = a2 e x2 + y2 = b2.
Resposta: sa˜o os c´ırculos Ta e Tb.
c) Descreva as isotermas do anel, isto e´, as curvas de n´ıvel da
temperatura.
Resposta: sa˜o c´ırculos centrados na or´ıgem, como C.
d) Esboce o gra´fico da func¸a˜o T (0, y) com a ≤ y ≤ b.
Resposta: e´ o arco de hiperbole H .
e) Use os itens anteriores para esboc¸ar o gra´fico de T (x, y) na figura ao lado.
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3) Indique por P0 = (0, 0) a origem do plano Oxy e por P = (x, y) um ponto gene´rico.
Indique ainda por f : R2 → R a func¸a˜o f(x, y) = √|xy|, cujo gra´fico esta´ ilustrado abaixo.
a) Esboce as curvas de n´ıvel de f nos n´ıveis 0, 1 e 2.
Resposta: ver Figura 1 abaixo
b) Esboce os gra´ficos das func¸o˜es g(x) = f(x, x) e h(x) = f(x,−x).
Resposta: ver Figura 2 abaixo
Figura 1
c) Use a desigualdade (|x| − |y|)2 ≥ 0 para estimar o valor de
f(x, y) em termos da distaˆncia
√
x2 + y2.
Resposta: x2 + y2 − 2|xy| ≥ 0⇒ f(x, y) ≤ 1√
2
√
x2 + y2
d) Enuncie a definic¸a˜o do limite limP→P0 f(P ) = L.
Resposta: ∀ ǫ > 0, ∃ δ > 0; 0 < ||P − P0|| < δ ⇒ |f(P )− L| < ǫ
e) Use os itens anteriores para verificar se f e´ cont´ınua em P0.
Resposta: ∀ ǫ > 0, ∃ δ = √2ǫ; 0 < ||P − P0|| < δ ⇒ |f(P ) − f(P0)| < ǫ.
Logo, f e´ cont´ınua em P0. Figura 2
4) Considere um fio infinito ao longo do eixo Oz percorrido no sentido positivo por uma cor-
rente ele´trica estaciona´ria. Em um ponto P = (x, y) do plano Oxy, a corrente gera um campo
magne´tico B(P ) que tem a direc¸a˜o e o sentido ilustrados na figura abaixo. Pode-se mostrar
que, no domı´nio D = {(x, y) ∈ R2; y > 0}, o campo e´ dado por B(P ) = (fx(P ), fy(P )), em
que f(x, y) = K arctan(x/y) e K > 0 e´ uma constante apropriada.
P
B
a) Esboce as curvas equ¨ipotenciais do campo B, isto e´, as
curvas de n´ıvel da func¸a˜o f .
Resposta: sa˜o semi-retas que partem da origem.
b) Para y fixo, calcule a derivada parcial fx(x, y) =
d
dx
K arctan(x/y). Calcule fy(x, y) de maneira ana´loga.
Resposta: fx(x, y) = K y/(x
2 + y2) e fy(x, y) = −K x/(x2 + y2)
c) Use as expresso˜es acima para verificar que, como esperado
da simetria da situac¸a˜o, a intensidade de B e´ constante ao
longo de c´ırculos com centro no eixo Oz.
Resposta: ‖B(x, y)‖ = K/
√
x2 + y2.
d) Obtenha o vetor unita´rio U(x, y) que determina a direc¸a˜o e o sentido do campo.
Resposta: U(x, y) = (y,−x)/
√
x2 + y2.
e) Verifique que, como ilustrado na figura, o campo B e´ tangente aos c´ırculos com centro
no eixo Oz.
Resposta: basta verificar que 〈B(P ), P 〉 = 0 para todo P ∈ D.
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