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FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA - GST1073
Semana Aula: 4
Razão e proporção, Propriedades das proporções, Regras de três simples e composta, 
Porcentagem.
Tema
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE ÁLGEBRA E ARITMÉTICA. Razão e 
proporção, Propriedades das proporções, Regras de três simples e composta, 
Porcentagem.
Palavras-chave
Objetivos
Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: 
 
Compreender o conceito de razão entre duas grandezas.
Reconhecer os termos de uma razão.
Reconhecer razões inversas.
Identificar proporções como igualdade de duas razões.
Identificar meios e extremos de uma proporção.
Determinar o termo desconhecido de uma proporção, aplicando a propriedade 
fundamental das proporções.
Aplicar as propriedades de proporções nas diversas situações.
Resolver problemas que envolvam duas grandezas direta e inversamente proporcionais.
Resolver problemas que envolvam três ou mais grandezas diretamente ou inversamente 
proporcionais.
Compreender a ideia de taxa de porcentagem.
Identificar e representar porcentagens.
Representar porcentagens em frações e em decimais, e vice-versa.
Resolver problemas, envolvendo porcentagens em sua vida prática.
Estrutura de Conteúdo
1. MOTIVAÇÃO/INTRODUÇÃO.
Nos mapas temos um exemplo clássico de uso de razões. As distâncias nos mapas estão 
em escala menor que a real, e Escala é a razão entre a medida do desenho e a medida 
real. 
 
2. RAZÃO 
Razão entre dois números a e b, , é o quociente . 
A razão compara quantidades, calculando o quociente entre estas quantidades. 
Dizemos que “a está para b”.
Nomenclatura: 
Os números a e b são os termos da razão. 
O numerador a é o antecedente e o denominador b é o consequente da razão.
 
Exemplo.
Consideremos uma casa com 1200 m² de área construída em uma área total de 4800 
m² de área total. 
A razão da área construída para a área total será:
 
Razões Equivalentes 
Duas ou mais razões são equivalentes quando as frações que as representam são 
equivalentes. 
Exemplo: 
 
Razões Inversas 
Duas razões são inversas quando o antecedente da primeira é igual ao consequente da 
segunda e vice versa. 
Exemplo: e .
 
3. PROPORÇÃO
Chamamos de proporção à igualdade entre razões.
 
Sendo a, b, c, d números reais com b e d diferentes de zero.
Nomenclaturas: 
k é constante da proporção.
a e d de extremos da proporção e 
b e c de meios da proporção. 
 
4. PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES
Seja a proporção 
1) Propriedade Fundamental da Proporção: O produto dos meios é igual ao produto 
dos extremos. 
2) A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como cada 
antecedente está para o seu consequente. 
 ou 
3) Troca dos meios
 
4) Troca dos extremos
5) Inversão das razões
 
 
5. GRANDEZAS PROPORCIONAIS
 
Grandezas Diretamente Proporcionais
Se um produto custa 30 reais a unidade e quisermos comprar duas unidades, pagaremos 
60, se quisermos comprar três unidades, 90, e assim por diante. 
Dobrando a quantidade de unidades de produtos que compramos, dobrará o valor a ser 
pago, se triplicarmos a quantidade, pagaremos o triplo. 
As grandezas quantidade de produtos e preço pago são diretamente proporcionais. 
Exemplo: 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, multiplicando o valor de uma 
delas por um número positivo, o valor da outra fica multiplicado por esse mesmo número 
positivo.
 
 
Grandezas Inversamente Proporcionais
Quando percorremos um trecho, por exemplo, de 240 km, em uma rodovia, com 
velocidade média de 24 km/h, levaremos 10 horas para percorrê-lo. Se percorrermos este 
mesmo trecho, com velocidade média de 48 km/h, levaremos 5 horas para percorrer e 
assim por diante. 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, multiplicando o valor de uma 
delas por um número positivo, o valor da outra é dividido por esse mesmo número 
positivo. 
Velocidade média (km/h) Tempo
(h)
24 10
48 5
 
No problema, o produto dos números correspondentes é 240: 
Temos que : 
 
 
6. REGRA DE TRÊS SIMPLES
 
A regra de três simples é uma regra prática para determinar o quarto termo de uma 
proporção, conhecendo-se os outros três termos. 
Quando há somente duas grandezas, a regra é simples.
Para resolvermos a regra de três simples, após organizá-las em uma tabela, basta que 
identifiquemos se as grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente 
proporcionais.
 Se as grandezas são diretamente proporcionais, mantemos as razões e montamos a 
proporção entre estas razões.
 Se as grandezas forem inversamente proporcionais, invertemos uma das razões e 
montamos a proporção. 
Uma outra forma de se resolver a regra de três é, depois de organizada a tabela, marcar o 
número que está na coluna do x (valor desconhecido). Identificamos se as grandezas 
envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
 Se as grandezas são diretamente proporcionais, multiplicamos os valores em 
forma de X. 
 Se as grandezas forem inversamente proporcionais, multiplicamos os valores em 
linha. 
 
Exemplo.
 
Um artesão consegue fazer três bonecos em 18 minutos. Em oito horas de trabalho 
quantos bonecos este artesão conseguiria produzir?
Resolução. 
8 horas = 8x60 minutos= 480 minutos
 
Bonecos Tempo (min)
3 18
x 480
 
Se temos mais tempo, poderemos fazer mais bonecos. As grandezas são diretamente 
proporcionais. Mantemos a razão. 
Portanto em 8 horas o artesão conseguiria produzir 80 bonecos.
 
Pensando da outra forma, marcando o número que está na coluna do x, como as 
grandezas são diretamente proporcionais, marcamos o valor em X com o valor marcado. 
Bonecos Tempo (min)
3 18
x 480
 
O valor de x será o produto dos números marcados, dividido pelos não marcados. 
 
7. REGRA DE TRÊS COMPOSTA
 
A regra é dita composta quando envolve três ou mais grandezas, sejam elas diretas ou 
inversas.
O primeiro passo para resolvermos uma regra de três composta é organizar as grandezas 
em uma tabela, colocamos cada grandeza e seus valores em suas colunas. Marcamos o 
valor conhecido que está na mesma coluna de x. O que se faz depois é identificar se as 
grandezas envolvidas são diretamente ou inversamente proporcionais, relacionando cada 
grandeza com a grandeza cujo valor é desconhecido (x).
Se as grandezas são diretamente proporcionais, marcamos o valor que está na direção em 
forma de X com o valor marcado referente à grandeza desconhecida.
Se as grandezas são inversamente proporcionais, marcamos o valor que está em linha 
com o valor marcado da coluna da grandeza desconhecida. 
O valor de x será o produto dos números marcados, divididos pelo produto dos números 
não marcados. 
 
Exemplo. 
Um grupo de 10 trabalhadores descarregam 210 caixas de mercadoria em 3 horas. 
Quantas horas 25 trabalhadores precisarão para descarregar 350 caixas?
Resolução. 
Trabalhadores caixas horas
10 210 3
25 350 x
 
A princípio, marcamos o número conhecido na coluna do valor desconhecido (horas)
Comparando a primeira coluna, número de trabalhadores com as horas, quando 
aumentamos o número de trabalhadores, podemos diminuir as horas trabalhadas. 
Grandezas inversamente proporcionais: marcamos o valor que está em linha com o valor 
numérico marcado na coluna de x. 
Comparar a segunda coluna (caixas) com a última (horas), se precisamos descarregar 
mais caixas, precisaremos aumentar a quantidade de horas trabalhadas. 
Grandezas diretamente proporcionais: marcamos o valor em X com o valor numérico 
marcado na coluna de x.
Trabalhadores caixas horas
10 210 3
25 350 x
Aumentamos. 
Aumentamos
Diminui.
Aumenta.
 
Assim, 350 caixas podem ser descarregadas por 25 trabalhadores em 2 horas de trabalho.
 
 
8. PORCENTAGEM
Considere uma pizza, dividida em 100 pedaços iguais. 
Cada pedaço corresponderá a um por cento. 
Considerando os 100 pedaços, teremos a unidade: 
Formasde representação:
 Forma fracionária: .
 Forma decimal ou taxa unitária: 0,20
 Forma ou taxa Percentual: 20%
 
Exemplo.
Um certo produto sofreu dois descontos sucessivos de 15% e depois um acréscimo de 
8%. Seu preço final, em relação ao inicial:
a) decresceu 24% 
b) decresceu 23% 
c) aumentou 22%
d) aumentou 21,97%
e) decresceu 21,97%
Resolução. 
Suponha o preço do produto 100.
Desconto de 15%: 100-15=85.
Desconto de 15% sobre 85.
Acréscimo de 8% sobre 72,25:
O decréscimo foi de 100-78,03= 21,97
Estratégias de Aprendizagem
Indicação de Leitura Específica
Aplicação: articulação teoria e prática
SUGESTÃO DE EXERCÍCIOS
 
1. Levo duas horas e meia para percorrer 15km. Se eu tiver quer percorrer 54km, quanto 
tempo eu levarei?
 
2. Um produtor rural tem uma produção anual de frangos de cerca de 18 toneladas. Em 
um bimestre este produtor irá produzir quantas toneladas de frango?
 
3. A 60km/h faço o percurso entre duas cidades em duas horas. Trafegando a 80km qual 
o tempo estimado para percorrer este trajeto?
 
4. Uma torneira enche um tanque em 6 horas. Se forem utilizadas 3 torneiras, qual o 
tempo necessário para enche-lo?
 
5. Para esvaziar um compartimento com 700m3 de capacidade, 3 ralos levaram 7 horas 
para fazê-lo. Se o compartimento tivesse 500m3 de capacidade, ao utilizarmos 5 ralos 
quantas horas seriam necessárias para esvaziá-lo?
 
6. Duas costureiras trabalhando 3 dias, 8 horas por dia, produzem 10 vestidos. Se 3 
costureiras trabalharem por 5 dias, quantas horas ela precisarão trabalhar por dia para 
produzirem 25 vestidos?
 
7. Um produto sofreu um aumento de 20% em uma semana e 30% na semana seguinte. 
Ao final das duas semanas, qual foi a taxa de aumento total deste produto?
 
8. Sobre um salário base de R$ 1.200,00, foram aplicados: a) adicional de 20% pela 
chefia; b) adicional de 5% pela produtividade; c) desconto de 6% de previdência. Calcule 
o salário resultante e a taxa de variação.
 
9. (Vunesp-SP) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por 
x reais (preço de custo) e passou a revendê-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de 
promoções, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preço de 
venda deste produto. Pode-se afirmar que, no dia de promoções, o dono do supermercado 
teve, sobre o preço de custo:
a) prejuízo de 10%.
b) prejuízo de 5%.
c) lucro de 20%.
d) lucro de 25%.
e) lucro de 30%
 
10. (Fuvest-SP) Barnabé tinha um salário de x reais em janeiro. Recebeu aumento de 
80% em maio e 80% em novembro. Seu salário atual é:
a) 2,56 x b) 1,6x c) x + 160 d) 2,6x e) 3,24x
 
11. (PUC) Um carro foi vendido por R$ 10.000,00, com prejuízo de 20% sobre o preço 
da compra. O carro havia sido comprado , em reais, por:
a)10.200,00 b)11.500,00 c)12.000,00 d)12.500,00 e)13.000,00
Considerações Adicionais
Bibliografias Básica e Complementar propostas no Plano de Ensino do curso, 
indubitavelmente, deverão sempre ser objeto de constantes consultas para os estudos e 
desenvolvimento do Plano de Aula. 
Bibliografia
LEITE, Álvaro Emílio, CASTANHEIRA, Nelson Pereira. Equações e Regra de 
Três. Coleção Desmistificando a Matemática. São Paulo: Editora Intersaberes, 2024.