AULA 8 FUND MAT

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Relatório - Plano de Aula
	
		10/01/2015 14:30
	
	
	
	
	
	
	
	
		
	
	
	
	
	
	
	
	
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		Disciplina: GST1073 - FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
	Semana Aula: 8
	TEMA
	Função de Primeiro Grau: Estudo do Sinal, Equações e Inequações.
	OBJETIVOS
	Ao final desta aula, o aluno deverá ser capaz de: 
Resolver equações e inequações envolvendo funções afins.
	ESTRUTURA DO CONTEÚDO
	UNIDADE IV - FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU
4.9. Estudo do sinal de uma função afim
1. CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO
Função Afim Crescente. 
A função do 1o grau f (x) = ax + b é crescente se, e somente se, a > 0.
Exemplo: A função f (x) = 2x – 8 é crescente, pois o coeficiente de x (2) é positivo.
Função Afim Decrescente. 
A função do 1o grau f (x) = ax + b é crescente se, e somente se, a < 0.
Exemplo: A função f (x) = – 2x + 4 é decrescente, pois o coeficiente de x (-2) é negativo.
2. ESTUDO DA VARIAÇÃO DE SINAL DA FUNÇÃO DO 1O GRAU ATRAVÉS DE SEU GRÁFICO
Estudar o sinal da função do 1o grau y = ax + b é determinar os valores reais de x para os quais se tenha y < 0, y = 0 ou y > 0. Sabemos que y = 0 se x = . Para conhecermos os valores de x de modo que se tenha y < 0 ou y > 0, devemos considerar o sinal do coeficiente a.
1o caso: a > 0
 Se a > 0, a função é crescente. Nesse caso temos:
x < y < 0 (função negativa)
x > y > 0 (função positiva)
A forma do gráfico de f é:
2o caso: a < 0
 Se a < 0, a função é decrescente. Nesse caso temos:
x < y > 0 (função positiva)
x > y < 0 (função negativa)
A forma do gráfico de f é:
Exemplo.
Construir o gráfico da função f (x) = – 2x – 6 e discutir a variação de sinal de f com o auxílio do gráfico.
	x
	y
	0
	-6
	-3
	0
Para:
x < -3 y > 0 (a função é positiva)
x > -3 y < 0 (a função é negativa)
3. INEQUAÇÃO PRODUTO
Sendo x R, consideremos os números 2x + 4 e 6 – 3x. Para que valores de x o produto desses números é positivo? Para respondermos a essa pergunta, devemos resolver a inequação (2x + 4)(6 – 3x) > 0.
Chama-se de “inequação produto” toda inequação apresentada em uma das seguintes formas:
f (x) g (x) > 0
f (x) g (x) 0
f (x) g (x) < 0
f (x) g (x) 0
f (x) g (x) 0
em que f e g são funções quaisquer.
Exemplo:
(2x + 4)(6 – 3x) > 0
(5x – 10)(6 – x)(3x – 15) 0
(2x – 3)2(1 – x)3(2 – 8x) < 0
Exemplo.
Resolver em R a inequação (2x + 4)(6 – 3x) > 0.
Estudando a variação de sinal de cada uma das funções f (x) = 2x + 4 e g (x) = 6 – 3x, temos:
f (x) = 2x + 4.
raiz de f : 2x + 4 = 0 x = - 2
variação de sinal da função f : a > 0 f é crescente
g (x) = 6 – 3x:
raiz de g : 6 – 3x = 0 x = 2
variação de sinal da função g : a < 0 g é decrescente
Representando no eixo real a variação de sinal de f, g e f.g, temos:
Obtivemos os sinais na última linha, aplicando a regra de sinais para o produto fg. 
Como nos interessa que esse produto seja positivo, (2x + 4)( 6 – 3x) > 0, temos que o conjunto solução é: 
S = {x R | -2 < x < 2} ou S = ]-2, 2[
4. INEQUAÇÃO QUOCIENTE
Chama-se de “inequação quociente” toda inequação apresentada em uma das seguintes formas:
 > 0, 0, < 0, 0, 0
em que f e g são funções quaisquer, com g não identicamente nula.
Exemplos: 
(a) < 0 
(b) 0 
(c) 0
Exemplo.
Resolver em R a inequação 0.
Condição de existência: x – 1 0 x 1
Estudando a variação de sinal de cada uma das funções f (x) = 2x – 3 e g (x) = x – 1, temos:
f (x) = 2x – 3:
raiz de f : 2x – 3 = 0 x = 
variação de sinal da função f : a > 0 f é crescente
g (x) = x – 1:
raiz de g : x – 1 = 0 x = 1
variação de sinal da função g : a > 0 g é crescente
Representando no eixo real a variação de sinal de f, g e f/g, temos:
Os sinais na última linha foram obtidos através da regra de sinais para o quociente f /g. Como nos interessa que quociente seja não-positivo, 0, temos que o conjunto solução é: 
S = {x R | 1 < x } ou S = ]1, ]
Note que o intervalo deve ser aberto à esquerda, pois, pela condição de existência, x 1.
	PROCEDIMENTOS DE ENSINO
	1. CRESCIMENTO E DECRESCIMENTO
É importante que o aluno perceba a característica do crescimento ou decrescimento, não apenas algebricamente, identificando o coeficiente angular, mas também geometricamente. 
2. ESTUDO DA VARIAÇÃO DE SINAL DA FUNÇÃO DO 1O GRAU ATRAVÉS DE SEU GRÁFICO
Sugerimos deixar claro o que vem a ser estudar o sinal da função, ou seja, determinar os valores reais de x para os quais se tenha y < 0, y = 0 ou y > 0. 
Mostrar, com o auxílio de um gráfico, que o estudo do sinal deve ser feito a partir da determinação da raiz da função. 
3. INEQUAÇÃO PRODUTO E INEQUAÇÃO QUOCIENTE.
Trabalhar a inequação produto e a inequação quociente, sinalizando sempre que o denominador precisa ser diferente de zero. 
	RECURSOS FÍSICOS
	Além dos recursos físicos oferecidos pela sala de aula tradicional, como quadro branco, é proveitoso fazer uso do Laboratório de informática com acesso a jornais, revistas, vídeos e jogos virtuais. 
Recomendamos a leitura do capítulo referente Funções no material didático.
Acesse a Biblioteca Virtual da Estácio e pesquise mais exercícios nos livros disponíveis.
	APLICAÇÃO: ARTICULAÇÃO TEORIA E PRÁTICA
	EXERCÍCIOS SUGERIDOS
1. Construir o gráfico da função f (x) = 2x – 4 e discutir a variação de sinal de f com o auxílio do gráfico.
2. Resolver em R a inequação < 0.
3. Determinar o domínio da função f (x) = .
4. Resolver em R a inequação (2x – 8)(6 – 3x) 0.
	AVALIAÇÃO
	EXERCÍCIOS SUGERIDOS
1. Construir o gráfico da função f (x) = 2x – 4 e discutir a variação de sinal de f com o auxílio do gráfico.
	x
	y
	0
	-4
	2
	0
Para:
x < 2 y < 0 (a função é negativa)
x > 2 y > 0 (a função é positiva)
2. Resolver em R a inequação < 0.
Condição de existência: x – 3 0 x 3.
Como o numerador de é positivo, a fração será negativa se, e somente se, o denominador for negativo, ou seja: x – 3 < 0 x < 3.
Representando no eixo real a variação de sinal de f (x) = x – 3 e 2/ f (x), temos:
Como nos interessa que < 0, temos que o conjunto solução é: 
 S = {x R | x < 3} ou S = ]-, 3[
 
3. Determinar o domínio da função f (x) = .
O domínio de f é o conjunto formado por todos os valores reais x de modo que f (x) R. Para garantirmos a existência de f (x), impomos 0.
Condição de existência da fração: 4 – x 0 x 4.
Estudando a variação de sinal de cada uma das funções g (x) = 2x – 5 e h (x) = 4 – x, temos:
g (x) = 2x – 5:
raiz de g : 2x – 5= 0 x = 
variação de sinal da função g : a > 0 g é crescente
h (x) = 4 – x:
raiz de h : 4 – x = 0 x = 4
variação de sinal da função h : a < 0 h é decrescente
Representando no eixo real a variação de sinal de g, h e g /h, temos:
Logo, o conjunto solução, ou seja, o domínio da função f (x) = é:
4. Resolver em R a inequação (2x – 8)(6 – 3x) 0.
Para que o produto de dois fatores seja diferente de zero, é necessário e suficiente que cada fator seja diferente de zero. Assim, temos que:
(2x – 8)(6 – 3x) 0 
Logo, o conjunto solução da inequação é: S = { x R | x 2 e x 4}
	CONSIDERAÇÃO ADICIONAL
	Bibliografias Básica e Complementar propostas no Plano de Ensino do curso, indubitavelmente, deverão sempre ser objeto de constantes consultas para os estudos e desenvolvimento do Plano de Aula. 
Bibliografia
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar, volume 1: Conjuntos e Funções. Rio de Janeiro: Atual. 2004.