Aula-2-DERIVADA-Tec-de-Derivacao

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DERIVADA: TÉCNICAS DE DERIVAÇÃODERIVADA: TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO
Objetivos
O aluno deverá:
• Conhecer as regras de derivação
• Calcular funções derivadas usando as regras de derivação
Regras de Derivação
1. A Derivada de uma constante é nula.
f(x) = c  f ’(x) = 0
Exemplo:
f(x) = 3  f ‘(x) = 0
2. A derivada da função identidade é igual a 1.
f(x) = x  f ’(x) = 1
Exemplo:
f(x) = 3x  f ’(x) = 3
3. Derivada da função potência
f(x) = xn  f ’(x) = n. xn-1
Exemplos:
a) f(x) = x5  f ‘(x) = 5x5-1  f ‘ (x) = 5x4
b) f(x) = 4x2  f ‘(x) = 4. 2x2-1  f ‘(x) = 8x
4. Derivada da função soma
Sejam u = u(x) e v = v(x), duas funções deriváveis no ponto x.
f(x) = u + v  f ‘(x) = u’ + v’
Exemplo:
f(x) = x4 + x  f ‘(x) = 4x3 + 1
5. Derivada de uma função produto
f(x) u.v  f ‘(x) = u’.v + u.v’
Em particular se u = c(constante) f(x) = c.v  f ‘(x) = c.v’
Exemplos:
a) f(x) = x3(x2-1) (Derivada da função produto)
u = x3 v = x2 - 1
u ’ = 3x2 v ’ = 2x
f ’(x) = u’.v + u.v’
f ’(x) = 3x2(x2 – 1) + x3(2x)
f ’(x) = 3x4 – 3x2 + 2x4
f ’(x) = 5x4 – 3x2
b) f(x) = 5x4 (Derivada da função potência)
f ’(x) = 5.4x4-1
f ’(x) = 20x3
6. Derivada da função quociente
2v
'v.uv'.u)x('f
v
u)x(f −=⇒=
Exemplos:
a) 
12 +
=
x
x)x(f (Derivada da função quociente)
u = x v = x2+1
u’ = 1 v’ = 2x
22
2
22
22
22
2
1
1
1
21
1
211
)x(
x)x('f
)x(
xx)x('f
)x(
)x(x)x.()x('f
+
+−
=
+
−+
=
+
−+
=
b) 
13
42
−
+
=
x
x)x(f (Derivada da função quociente)
u = 2x + 4 v = 3x-1
u’ = 2 v’ = 3
2v
'v.uv'.u)x('f −=
213
342132
)x(
)x()x()x('f
−
+−−
=
213
12626
)x(
xx)x('f
−
−−−
=
213
14
)x(
)x('f
−
−
=
Fórmulas de Derivação
1. f(x) = c f’(x) = 0
2. f(x) = cxn f’(x) = ncxn-1
3. f(x) = senx f’(x)=cosx
4. f(x) = cosx f’(x) = -senx
5. f(x) = tg x f’(x) = sec2x
6. f(x) = u + v f´(x) = u’ + v’
7. f(x) = u.v f´(x) = u’.v+u.v’
8. f(x) = c.v f´(x) = c. v’
9. f(x) = 
v
u
2v
u.v'-u'.vf´(x) =
10. f(x) = [f(x)]m f´(x) = m[f(x)]m-1. f´(x)
Exemplos:
Calcular as derivadas:
1. y = 8  y’ = 0
2. y = x15  y’ = 15x15-1  y’ = 15x14
3. y = 3x5  y’ = 5.3x5-1  y’ = 15x4
4. y = 5x6  y’ = 6.5x6-1  y’ = 30x5
5. y = 3
2
x  y’ = 
1
3
2
3
2 −x  y’ = 3
1
3
2 −x 
6. y = -4x3  y’ = -4.3x3-1  y’ = -12x2
7. y = x2 + 3  y’ = 2x + 0  y’ = 2x
8. y = x3 +
x
1
  y = x3 + x-1
Obs.:
Propriedade da Potência(expoente negativo): 
1. 1
1
−
= x
x
2. 22
1
−
= x
x
3. 33 3
3
−
= x
x
 y’ = 3x2 – 1x-2  y’ = 3x2 - 2
1
x
9. y = 5x3 – 4x2 + 5x + 3
y’ = 3.5x3-1 – 2.4x2-1 + 5x1-1+ 0
y’ = 15x2 – 8x + 5
10. y = 2x3 + x2
 y = 3.2x3-1 + 2x2-1
y = 6x2 + 2x
11. y = 3x4 + 2x3 + 5x
 y = 4.3x4-1 + 3.2x3-1 + 5x1-1
y = 12x3 + 6x2 + 5
12. y = 4 x
 Aplicando a propriedade da potência racional:
y = 4
1
x  y’ = 
1
4
1
4
1 −x  y’ = 4
3
4
1 −x
y = 
4
3
4
1
x
13. y = 10 4 3x  y = 4
3
10 x  y’ = 
1
4
3
10
4
3 −x.
 y’ = 4
1
4
30 −x  y’ = 4
1
2
15 −x
Passando para expoente positivo, teremos:
y’ = 
4
1
2
15
x
14. y = (3x + 1)(1 – 2x) (Derivada da função produto)
u = 3x + 1 v = 1 – 2x
u’ = 3 v’ = -2
y’ = 3(1-2x) + (3x+1)(-2)
y’ = 3 – 6x – 6x – 2
y’ = -12x +1 
15.
x
xy 12 += (Derivada da função quociente)
u = 2x + 1 v = x
u’ = 2 v’ = 1
y’ = 2
1122
x
)x()x( +−
y’ = 2
122
x
xx −−
y’ = 2
1
x
−
16. y = (2x2-1)2 (Aplicação da fórmula 10)
y’ = 2(2x2-1).(2x2-1)’
y’ = 2(2x2-1).4x
y’ = 8x(2x2-1)
17. y = (x2+ 3)3 (Aplicação da fórmula 10)
y’ = 3(x2+3)2.(x2+3)’
y’ = 3(x2+3)22x
y’ = 6x(x2+3)
18. y = 5 senx
y’ = 5 cos x
Exercícios 
Calcular as derivadas
1. y = 7x2
2. y = 15x
3. y = 9
4. y = 2
3
x
5. y = 5 x
6. y = 3x2+6x-10
7. y = x2+4x
8. y = 75 3 +x
9. y = 14 - 32
1
x
10. y = (2x + 1)(3x2+6)
11. y = (x3+2)(6x+1)
12. y = 
12
3
+x
x
13. y = 
13
42
−
+
x
x
14. y = 
22
75
−
+
x
x
15. y = (3x2 – 3)2
16. y = (4x – 1)3
17. y = ( ) 2112 +x
18. y = (2 – 3x)2
19. y = 
senx
x−1
20. y = x2senx
Gabarito
1. y’ = 14x
2. y’ = 15
3. y’ = 0
4. y’ = -6x-3
5. y’ =
5
4
5
1
x
6. y’ = 6x + 6
7. y’ = 2x+ 4
8. y’ =
5
2
5
3
x
9. y’ = 42
3
x
10. y’ = 18x2+6x+12
11. y’ =24x3+3x2+12
12. y’ = ( )22
24
1
3
+
+
x
xx
13. y’ = ( ) 213
14
−
−
x
14. y’ = ( ) 222
24
−
−
x
15. y’ = 12x(3x2-3)
16. y’ =12(4x-1)2
17. y’ = ( ) 2112 −+x  y’ = ( ) 2112
1
+x
18. y’ = 6 (2-3x)
19. y’ = 
xsen
xcosxxcossenx
2
+−−
20. y’ =2xsenx + x2cosx
BIBLIOGRAFIA
BOULOS, Paulo, Introdução ao cálculo: cálculo diferencial Brasília, Edgard Blücher, 1999 1.
FLEMMING, Diva; GONÇALVES, Miriam B., Cálculo A: limite, derivação, integração São Paulo, 
Makron Books, 1992
IEZZI, Gelson, Fundamentos da matemática elementar. Limites, Derivadas, Noções de Integral, vol 8. 
São Paulo, Atual, 1993
SWOKOWSKI, Earl W., Cálculo com geometria analítica São Paulo, Makron Books, 1994