Apostila Tecnologia em Transportes

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3.5Aplicações da teoriadas filas na análise dos f~~~os~~nte!r__u_p_to_s~~~~~~~~~~~~~~~~~~_1_0_9
oIJlodelo MIM/1
Nem sempre a suposição de que os hcadways entre partidas dos veículos são
uniformes pode ser aplicada. Imagine-se, por exemplo, a clIbine de pcdágio do
Exemplo 3.10: é rqzoáveladmitir que alguns motoristaspagamli tarifa entregando
a quantia exatae são processadosrapidamcnteenquantoquc outros são forçados
a esperarpelo troco. Os headwaysde partidaseriamentãolIleatários, distribuídos
em torno de um valor médio. Neste tipo de situação,é comum que a distribuição
exponencialpossaserusadapararepresentaradistribuiçãodosheadwaysdepartida
e o modelo MIM/l pode ser usado paraestuc!llrli fiIa.
Numa fiIa M/Mil, seja À ataxamédiadechegadase 11, a taxamédiade pattidas.
Se a taxa de congestionamentop =Àltl < I, pode-seprovar que afila médiaé:
7
- p-Q--'
~ I -p'
a esperamédialiafila é:
À
111 =~---
II(/I-À)'
o tempototalmédio110 sistemaé:
_ It=-_·
11 - )..'
e a probabilidadedeteresperado1/111 tempoilljáior 011 igl/ala t liafila é
P(w ~ 1) = 1 - f) e (I-I'l/I'
(3.26)
(3.27)
(3.28)
(3.29)
O Exemplo 3.11 ilustra a utilização do modelo MfMfI c o cálculo das medidas
de desempenhoda fila.
Exemplo 3.11 Determine as medidas de desell/lJenl1Opara a praça de pedá&io do Exem-
plo 3./ OsllprJlldo que os tell/posde (/f('ndill/cllto sejall/ distrihllídos exponellcialmentecom
média /5seRundos. Dctermine tamlJéll/ a pmhahilidade de 11//1 l'dclIlo tcr quc esperar até
/5.1'pam ser atcndido.
Solução: Como visto no Exemplol.1 O, À = l veic/min,Ii =4 vcicfmine p =
0,75. Sanendo-seque 15s =,0,25min,pode-seusarasEquaçõesl.26 a l.29 para
110 Capítulo 3. Fluxos de veículos e seu controle
calcularasmcdidasdedesempenhodo sistema:
0,4159.
0,75min,
2,25veic.
1 min e
0,752
I - 0.75
3
4 (4 - 3)
1
4-3
1- 0,75.e-(1-0,75)4.0.25
Q
111
P(w::: 0.25)
A solução do Exemplo 3.11 mostrauma característicaimportantedas filas: a
aleatoriedadedos temposde atendimentofaz com que o desempenhodo sistema
seja pior que no caso em que os temposde atendimentosão uniformes.
3.6 Análise de pontos de estrangulamento em vias
A Teoria das Filas pode tambémser usadapara analisar os fluxos de tráfego nos
congestionamentosgeradospor estrangulamcntosnasvias, UIl1problema frequen-
tementeencontradospor engenheirosde transportes.
Um estranRul(//J/entoé um ponto onde a capacidadeda via é ihferior à capa-
cidade da seção imcdiatamcnlc à ll1ontante. A capacidadede um trecho de via
podeser reduzidapor um grandenúmerode fatores,entreos quais os maiscomuns
estão: a diminuição do número e da largura das faixas de tráfego, a redução da
largura dos acostamentose a presençade interseções.Um estrangulamentopode
ser incidental ou recorrenle. Os estrangulamentosrecorrentessão causados por
limitações de capacidade impostas pela própria via, tais como um trecho onde o
númerode faixas de rolamcntoé mcnor,ondecxistc uma obra,ele. Estes locais se
tornam pontos de estrangulamentorecorrentesquando os fluxos de tráfego típica
e periodicamenteexcedema capacidadeda via nesselocal.
Os estrangulamentosincidentais são causadospor incidentes de tráfego, que
podemsercausadospor umasériedefatores,entreosquaisum acidentedetrânsito,
um veículo paradona faixa de tráfego, etc., que restringemo fluxo de tráfego na
via por um período relativamcntecurto. A difercnça básicaentre os dois tipos de
estrangulamentosé que, enquantose pode preveros congestionamentoscausados
por gargalos recorrentes,é impossível prever onde os gargalos incidentais vão
ocorrer. Além do mais, a capacidadeda via ao longo dc uma restrição ineidcntal
costumavariarCOI11.Otcmpo. Porexcl11plo,umacidentepodeinicialmentebloquear
todasas faixasde umavia; conforme os veículos envolvidos vão sel1doremovidos,
3.6Análise de pontos de estrangulamentoemvias 111
as faixasde tnífego vão sendo liberadaspaulatinamente,restaurandoa capacidade
da via ao seu nível pré-incidente.
3.6.1 Análise de incidentes pela teoria das filas
Os modelos detenninísticos de filas podemserusadosparaestudarsituaçõescm o
cOllgestionarnentoéproduzido por um aumentona taxade chegadas(a demanda)
que, duranteum ccrto períodtl, fka maior que a taxade partidas(a capacidadedo
sistema),corno mostradono Exemplo 3.9. Nos congestionamentoscausadospor
incidentes, a taxade chegadas(demanda)Inantém-seconstantee há uma redução
temporária da taxa de partidas (a capacidade da via); dmante csse período de
tempoem que a taxade chegadasé maior que a taxade partidas,forma-sc uma fila
que começa a ser dissipada quando a taxade partidasvoltar ao seu valor normal,
maior que a taxa de chegadas. Um modelo D/I)/! pode ser utilizado para analisar
o comportamento do tráfego Ilum incidente de forma simples e intuitiva, C0l110
mostra-se fiO Exemplo 3.12.
Exemplo 3.12 Supollha-se rI/lia I'iaCOIII dUIIs/iri.\lfs dI' I/(í/égo 110IlIeSIllO S(,lIlido, lia qual
a capacidadc é4.000I'eic/h. Nllm delermillodo lli'/Íodo do dill, o I'olllllle de luí/égo é de
2.9001·eic/h. NIIIII certo illS/(fllle (I =m. I}("OITCUIII acidcllle I{ue ohslmi cOIII{JIC/(fIllClltc
a I'ia por 12 lIIilllllOS 011;I{UI' 1111/11dll,l{iri\lf1 I' lif>l'flldll 1'11/11o luí(('go, ('(11I1 CII{JI{('id(/({e
reduz.ido o 2.000 I'di/h.;\ I'a{lol'idllde dll I'ill1'01/0110,1('fI l'lilor illicial 1'11II = 31 lIIill,
qllalldo os I'dculos StlO U'IIIOI'ido,l' do 1t}("a1.(Isalldo 11111IIlodl'1o j)//)/I, delerlllille a d,,-
mç-clo do cOII,!?,eslil'IIIIIIfi'1I10 c(/II,I'mlo pelo illCidclf1l', o almso lIu;dio ,III/i'ido 111'10.1'I'eíclllos
que passallll'elo Irecho cOllgestiollado. o IIlímem lIIédio de I'dculos 110cOllgesliollalllelllo.
o IIrílllero de I'eíclllos 1{lIeesltlo 110COllgcsliolllllllClIlO 1{llIllIdo 1'.1'11'IIlillge .leu miÍximo I' o
011"1/.1'0llliÍxi 1110so/i'ido pl'1os I'eíc li 10.1.
Solução: À taxadechegadas(Ã,), nocaso,<3definidapelovolullledetrMego,que
é cOllstanteao longode todoo pcríodo: ),.c= 2900j(JO:=: 4X,:n veic/min.À taxa
de atendilllt'nlo(11) é detl'\ll1inad:,IlL'Jae;lpaeid;ldeda via, quevariaao longodo
telllj1n:
para() <I < 121l1in
para12<1<:31 1l1in
paraI :> .,1 Inin. se () '> o.
1\ t:l)([Ide p,nlidasCOITCSpolldl'nll';1 c:lpaeidadl'da rodovia,{I -'C (,(,,(,7veil'!lllin
s6l(atingidadurante°telllpoelll quea viaesl:í('ongl'stionad,l.lima VeI,quea fila
des:lp;lI'l'ça,a taxade partidastornase igunl ;1 la'(;Idechcgadas(11 := À), pois os
vefeulosn:l0podclllpartir:mlesdetel'l'lllchegndo.
112 Capítulo3. Fluxos de veículos e seu controle---------_._-------------------_._- .._._-----------_.~ _._._----_._.-.._---_._~...._--_._-_.---------------
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Número máximo de velculos
no congestionamento
2010
Duração do congestionamento
Atraso máximo no
congestionamento
"-
o 30 40 50
Tempo (min)
Fig. :,l10:Modelo DIDIl para análise de um incidente
li)
.2 4000
::l
U
.~
"* 3000 .
Ój
ê 2000
::l
U
l\l
~ 1000
E
:i
Assim sendo. função que descreve o nlÍmero acumulado de chegadas é C (t)
4H,:n" e a curva de partidas acumuladas l(:
IOD(I) = :n.:n(t- 12) veic6ll.3 +(16.fJ7(t 31) veic
para O < I ::::12 min
para 12 <'::: llmin
para I > 31 min, se Q > O.
Embora a solução analítica deste problema seja simples, solução gráfica é obtida
facilmentee temavantagemdepermitir avisual iwção do comportamcnto do tnífego
durante°incidente, como mostra o gr;í[ico da Figura 3.10.
Para obtençãoda solu,'iio gr:ífica. constníi-se a curva de cheg,Hlasacumuladas C (I).
que tem infcio na origem e que passa pcl() ponto (fJO min. 2.l)OOveic). A seguir
eonstníi-se D(I), a clll'va de partidas acumuladas, composta por quatro segmentos
de rcta:
• Um segmentoentrc as coordcnadas (O,O) c (12 min, O), que cOlTcspondeaos
12 minutos durante os quais a passagcmpela via está impedida;
• Um segmcnlo cntrc as coordenadas (12 min, O) c n1 min, 633,3 veic). que
rcprescntao 11líml'r()acunnil;ld() dc partidas ao longo dos 1<)minutos em quc
apenaslima I'aixacst,í livrc c durante os quais /11 =2.()()Oveie/h;
• Um scgnll'nt() quc se inicia no ponlo (.1I min, (i:n,l veic) c têm coeficiente
nngular /12 '-' '1.000veie/h e continua atl(encontrar n curva C(t); c
• lIma sl'mi rela qUl' inici;lsc 1111 ponto cm quc o tl'l'cciro scgmcnt() intcrcepta
n curva C(I) l' l( coincidenll' com ('(I).
() ponto em q\1l'as clll'vas ('(I) e 1>(1) l'ncontr;lIn·sc definc o instantc em qUl' o
incidenll' termina, qne cOITl'SIHlIllk exalanll'ntc a I --" 7H. I (1minutos. Estc valor
3.7Fluxos de tráfego interrompidos
podeserdeterminadoanaliticamentefazendo-seC(t) = lJ(f) masa precisãoda
soluçãográficaé suficiente,namaioriadasvezes.
O gráficopermitetambémdeterminarqual o tamanhomáximodo congestiona-
mentoe o instanteem queele ocorre: em t "'= :\ 1 min, 8ó5 veículosformamo
congestionamento.fi. áreahachuradamostraa esperatotalgeradapelo conges-
tionamento.fi. formamaissimplesdesedeterminarumaáreagráflcamente(seas
curvasestiveremdesenhadasempapelmilimetrado)éacontagemdequadradinhós.
Nesteexemplo,a formamaissimplesécalcularaáreahachurada,quecorresponde
a Wt,,,al =:\7.604,2 veic.min.
Essaesperatotalcorrespondeaumúnicoveículosendodetidopor26,11diasnum
congestionamento,com seu lIlotor funcionandocontinuamente.Daí é possível
perceberosimpactoseconômicoseamhientaiscausadosporUIIlcongestionamento
decurtaduraçãoe imaginara magnitudedoscustostotaisdoscongestionamentos
diáriosdeumametnípolecomoSãoPaulo.
3.7 Fluxos de tráfego interrompidos
Os fluxos deveículos quesofrem interrupçõesperiódicas, como ascausadaspor um
semáforo, têmum comportamentodiferentedo apresentadopelos fluxos contínuos
e os modelos desenvolvidos para o estudo dos fluxos contínuos não servem para
explicar o comportamentodas correntesdescontínuasde tráfego.
3.7.1 Fluxo de veículos em interseções semaforizadas
Considere-se, por exemplo, uma fila de veículos criada por um sinal vermelho,
como mostra-senaFigura 3.11. Quando o sinal ahre,a fila começaasemovimentar.
Se os headways entreos veículos que deixam a fiIa forem registrados,observa-se
um fenômeno interessante. Supondo-se que o primeiro headway,que é definido
como o tempo que passa entre o sinal ficar verde e o p,íra-choque dianteiro do
primeiro veículo da fila passarpela faixa deretenção,equeos headwayssucessivos
são o tempo até o pára-choque dianteiro do veículo seguinte cruzar a faixa de
retenção,pode-se perceberque o primeiro headway é maior que o segundo, que
é maior que o terceiro, etc. e que o valor dos hcadways tende para um valor
constante,a partir de algum ponto entreo quarto e o sexto veículos.
O headway do primeiro veículo é comparativamentc mais longo porque o
primeiro motorista, ao ver a indicação scmaf6rica passar para verde, leva um
certo tempo para reagir, engatandoa primeira e acelerandoscu carro. O tempo
perdido pelo primciro motorista cstá indicado no gráfico da Figura 3.11 como
113
114 Capítulo 3. Fluxos de veículos e seu controle.._--.._. _.~-_._---._---------
11. O headway do seguudocarro é menor, porque°tempo de reação do segundo
motorista superpõe-seao tempo de reação do primeiro motorista. Isso também
acontecepara os motoristasseguintes,fazendo com que o tempo perdido li fique
cadavezmenor,àmedidaemqueos veÍCulosqueentramnocnJzamentojá cheguem
à faixa de retençãona sua velocidade normal.
Esse headway constanteque é alcançado uma vez que a fila atinge um esta-
do estável de movimentaçãoatravésdo cruzamento é chamado de heCldwayde
saluração. Se cada veículo entra na interseçãoh segundosapós o veículo que o
antecede,então o número de veículos que pode passar pela interseção por urna
faixa de tráfego pode ser determinadopela expressão:
3.600
S=--
h
em que s: fluxo elesaturação[veic/(hora de verde.faixa)] e
h: headwayde saturação[s/vcic].
(3.30)
J faixa de retenção
·l
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ••.
Veículo na fila
O fi liXO de S(1/lImçIío. s, representao número de veículos
que podem passarpelo cruzamentopor urna única faixa de trá-
fego se o sinal estiver sempre verde e se a fila de veículos no
semíÍforo nuncaterminar. Esse éum valor teórico queéútil para
quantificar o fluxo numa interseçãosemaforizadaem relação às
característicasde cada uma das suas aproximações e determi-
na o volume máximo que pode ser acomodado pela via, o que
corresponde;\ capacidadenuma via de fluxo contínuo.
As correntesde tráfegoque passampor interseçõessemafo-
rizadas, no entanto,sofrem interrupções periódicas. Quando o
fluxo reinicia-se, os veÍCulos no início da fila gastamum tempo
maior que h s/veic. Es,<;etempo adicional é chamado de lell1-
po perdido no início do tempode verdee estãorepresentadosno
gnífico da Figura 3.11 por I;, quc é o tempoperdido pelo i-ésimo
veículo na 111a.Àssim sendo,
Fig. 3.11:Headwaysnuma interrupção ele nuxo "
PI =LI;
1 I
(3.31)
em que PI: tcmpo perdido no iuício do ciclo [s1e
li: tempo perdido pelo i-ésimo veículo na fila [s).
3.7Fluxos de tráfego interrompidos
Quando o sinal mudaeleverdeparavermelho.existeum outro tempoperdido que
é o intervalo entre a passagemdo último veículo elafila e o início do verde para
a outra aproximação da interseção. Esse tempo échamado de tempoperdido no
final do verdee costumaser representadopor P2. O Exemplo 3.13 ilustra o efeito
dos temposperdidos na capacidadeda aproximação.
Exemplo 3.13 Considereumaaproximaçr7ode umcl"llzamentoquepossuiapenasuma
faixa de trc!fego.NessaalJroximaçiioexisteumsemáforodá 27 segundosde verde,3 se-
gundosdeamareloe30segundosde\'crmel"o.Supondoqueo "e([(!II'a)'desaturaçüoseja
2 segundosequcostempospenfidosno início enofinal do verdesejam.respectivamente,
fJ I =2.1 e P2 =IJ s. determinea capacidadeda aproximaçc7o,
Solução: Como o tempo de ciclo é c = 27 +3 +30 = 60 s, a cada 60 segundos,
os veículos dessaaproxima<,:ãopodem entrar na interse<,:iÍodurante 30 segundos (a
soma dos tempos de verde C amarelo). Assim sendo, durante uma hora, o tempo
disponível para essa aproxima<,:ãoé 3.600. nO/60) = I.ROOsegundos.
Como existe um total de fi I +1)2 =2 + I =3 segundos de tempo perdido a cada
60 segundos, o tempo perdido total por hora na aproxima<,:ãoé 3600.0/60) =
1RO segundos. Por conseguinte, o tempo tolal disponível para ser usado pelos
veículos quechegamao cnl/,amento por essaaproxima<,:iÍoé I ROO- I RO= 1620s/h,
Como o headway de saturaçãoé 2 s/veic, a capacidadeda aproxima<,:ãoé 1620/2 =
R10 veic/h.
O Exemplo 3.13 mostraquea ('a/Hlcidadedeumaaproximaçãonumcruzamen-
to semaforizado dependedo número de faixas de tráfego, do fluxo de saturação,
dos tempos perdidos e da duração dos temposde verde, amarelo e vermelho. O
flllxo desatllnIçiio variabastantede interseçãoparainterseçãoedependede fatores
tais como: composição do tráfego,geometriae localização do cruzamento,etc.
3.7.2Medidas de desempenho para fluxos interrompidos
Numa corrente de tráfego sujeita a interrupções periódicas. causadaspor sinais
luminosos, variáveis tais como velocidade e densidade não são suficientes para
descreveradequadamentea qualidade do serviço oferecido aos usuários da via,
Nessassituações,o númeroeaduraçãodetais illtelTup~'õessãoúteisparadescrever
o desempenhoda correntede tráfego.
O (empo de espera1\ também chamado de retardall/ento ou atraso, é urna
vari:ível frequC'ntementeusada para avaliar a perfol'll1ancede vias com tráfego
interrompido. Existem dois tipos de atraso: o atrasoparadoe o atrasono percurso.
1.1Em inglês, 'dclay',
115
116 Capítulo3. Fluxos de veículos e seu controle
o atrasoparado14 é o tempototal gastopor um veículo em paradasem semá-
foros e sinais PARE ao longo de um segmentode via. O atraso110percurso15é
a diferença etltreum tempode viagem preestabelecidoparao trecho que é consi-
derado ótimo e o tempo real de viagem. Esse atraso inclui as paradase o tempo
adicional gastoparacnJzar o segmentode via causadopor uma velocidadeinferior
à ideal.
Como o atrasono percursoenvolve a definição de uma velocidade ideal, ele é
usadomenosfrequentementequeo atrasoparado,queésimples de ~eridentificado
e cuja medição não envolve grandescomplicações.
3.8 Controle de fluxos de veículos
o controle dos fluxos de tráfego visa assegurarque o movimento dos veículos
nas vias se dê de forma organizadae previsível, para que seja possível reduzir a
probabilidadedaocorrênciadeacidentesa níveis suficientementebaixos. Uma das
formas mais simples de reduzir a prohahilidade de ocorrência de acidentesentre
veículos é aumentaro headwayentreeles. No entanto,um aumentodo headway
médio causauma reduçãono volume de tráfego,reduzindo a eficiência do sistema
de trnnsportes.Os sistemasde controle de tnífego são estahelecidosde tal forma
que sejapossível reduzir ao máximo os headwaysentreos veículos semque o risco
de acidentesaumente.
As técnicasparacontrole de tráfegoforamdesenvolvidasespecificamentepara
cada tecnologia de transportes: o sistema usado para controle do fluxo de trens
metropolitanos é diferente do utilizado para controle de aeronavesou do usado
para controle de veículo,,;rodoviários. No entanto, pode-se notar que existcm
algumas similaridades entreos métodosusadosparacontrole de fluxos de tráfego
de modalidadesdiferentes,como se discute a scguir.
3.8.1 Canalizações, limites de velocidade e tabelas de horários
Três sistemasde controle de fluxos utilizados em váriasmodalidadesde transportc
são a canalização de fluxos, a limitação da velocidade e as tabelas dc horário.
A canalizare/oé, provavelmente,a forma mais comum de controlar o fluxo de
veículos. J\ idéia héísicaé segregaro fluxo de veículos em corrcntes definidas,
14EIll inglf's. 'sloppedlillll' dclay",
151',111inglf's. '1raVl'I~1i111l'dela)",