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Certo Vestibulares Caderno Testes Federais – Matemática
Sistema MSA de Ensino
281
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA ELEMENTAR
1. (UFRGS) A massa (m) e o volume (V) de um metal relacio-
nam-se linearmente. Se para m = 5 temos V = 40, então:
a) V = 5m
b) V = 8m
c) V = 10m
d) V = 35m
e) V = 40m
2. (UFRGS) A tabela abaixo apresenta a variação percentual
das vendas industriais de aparelhos domésticos, comparando o perío-
do julho – agosto de 1995 com o período julho – agosto de 1994.
Vendas industriais de aparelhos domésticos
Variação percentual %
Linha Branca jul-ago-set/95
Linha Branca jul-ago-set/94
Refrigeradores 15,06
“Freezer” verticais - 4,97
Congel./Conserv. horiz. 42,61
Lavadoras automáticas -18,18
Fogões - 0,17
Condicionadores de ar 83,45
Supondo que naquele período de 1994 tenham sido vendidas 200.000
lavadoras automáticas, o número de unidades vendidas no mesmo
período em 1995 foi, aproximadamente
a) 36.360
b) 114.770
c) 163.640
d) 236.360
e) 285.220
3. (UFRGS 00) As rodas traseiras de um veículo têm 4,25
metros de circunferência cada uma. Enquanto as rodas dianteiras dão
15 voltas, as traseiras dão somente 12 voltas. A circunferência de
cada roda dianteira mede:
a) 2,125 metros.
b) 2,25 metros.
c) 3,4 metros.
d) 3,75 metros.
e) 5 metros.
4. (UFRGS 00) Considerando que um dia equivale a 24 horas,
1,8 dias equivalem a
a) 1 dia e 8 horas
b) 1 dia e 18 horas
c) 1 dia e 19 horas
d) 1 dia, 19h e 2 min
e) 1 dia, 19h e 12 min
5. (UFRGS) A média aritmética das idades dos estudantes de
uma turma é 18 anos. Quando separados por sexo, essa média é 19
anos para o grupo de rapazes e 16 anos para o grupo de moças. A
razão entre o número de rapazes e de moças é
a)
2
1
b)
3
2
c) 2
d)
2
3
e) 3
6. (UFRGS) João corre em uma pista circular, dando uma volta
completa a cada 36s. Pedro corre em sentido oposto, e encontra João
a cada 12s. O tempo que Pedro leva para dar uma volta completa é:
a) 72s
b) 36s
c) 18s
d) 12s
e) 6s
7. (UFRGS) Qual dos números abaixo é sempre maior que o real n?
a) n² + 1
b) 2n
c) nn +2
d) (n + 1) ³
e) n¹º
8. (UFRGS) As faces do cubo da figura são identificadas com
números inteiros e consecutivos sendo 8, 11 e 12 os valores em três
destas faces. Sabendo que a soma dos dois números em cada um
dos pares de faces opostas é constante, a soma de todos os números
é
a) 57 12
b) 63
c) 66
d) 69 8
e) 78
11
9. (UFRGS) Se a é um número real não nulo e diferente de 1,
então o produto : a-103 .a-101 .a-99 ...a99 .a101 . Vale
a) a-103
b) a102
c) 102.a-²
d) -103 .a-²
e) -102 .a-²
10. (UFRGS) Os dois números reais, tais que a sua soma vale 1
e a soma de seus quadrados é mínima, são
a)
2
1 e
2
1
b)
4
1 e
4
3
c)
3
1 e
3
2
d) 1 e 0
e) inexistentes
11. (UFRGS) O produto de dois números é 32 e sua soma é 12.
A razão entre o maior e o menor deles é
a)
8
3
b) 3
c)
2
3
d) 2
e)
3
8
Caderno Testes Federais – Matemática Certo Vestibulares
Sistema MSA de Ensino
282
12. (UFRGS) O ônibus X parte da cidade A com velocidade
constante de 80 Km/h, à zero hora de certo dia. Às 2 horas da ma-
drugada, o ônibus Y parte da mesma cidade, na mesma direção e
sentido do ônibus X, com velocidade constante de 100 Km/h. O
ônibus Y vai cruzar com o ônibus X, pela manhã, às
a) 6 horas
b) 8 horas
c) 10 horas
d) 11 horas
e) 12 horas
13. (UFRGS) Uma pessoa gasta 1/4 do dinheiro que tem e, em
seguida, 2/3 do que lhe resta, ficando com R$ 350,00. Quanto tinha
inicialmente?
a) R$ 400,00
b) R$ 700,00
c) R$ 1400,00
d) R$ 2100,00
e) R$ 2800,00
14. (UFRGS 00) Se n = 107 – 10, então n não é múltiplo de
a) 9
b) 10
c) 12
d) 15
e) 18
15. (UFRGS) O valor de n na igualdade ( )
n=
+−
0
22
3
33 é:
a) 0
b) 1
c) 4
d) 12
e) 18
16. (UFRGS) A expressão
3
5
5
3
+
é igual a:
a)
15
8
b)
5
3
c) 1
d)
15
34
e)
15
158
17. (UFRGS) Se P é o produto de todos os números primos
menores que 1000, o dígito que ocupa a casa das unidades de P é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 5
e) 9
18. (UFRGS) O algarismo das unidades de ( )1610 + é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 6
e) 7
19. (UFRGS) Para a 3−≠a e 3≠a , a expressão
3
9
3
96 22
−
−
÷
++
a
aaa é equivalente a:
a)
3
3+a
b) 2+a
c) 3+a
d) 3−a
e)
3
3−a
20. (UFRGS) Considere as desigualdades abaixo.
I. 84 84 <<<<
II.
50
2
2
50
,
,
<<<<
III.
2-3 < 3-2
Pode-se afirmar que:
a) é verdadeira apenas a desigualdade I.
b) é verdadeira apenas a desigualdade II.
c) é verdadeira apenas a desigualdade III.
d) são verdadeiras apenas as desigualdades I e II.
e) são verdadeiras apenas as desigualdades II e III.
21. (UFRGS) Se x.y = 2 e
,311 22 =+ yx
então ( )2yx + é
igual a:
a) 10
b) 16
c) 20
d) 25
e) 36
22. (UFRGS 00) Se a = 23,5, então
a) 6 < a ≤ 8,5
b) 8,5 < a ≤ 10
c) 10 < a ≤ 11,5
d) 11,5 < a ≤ 13
e) 13 < a ≤ 14,5
23. (UFRGS) A soma de dois números reais A e B é 75, e seu
produto é 15. O valor da soma 1/A + 1/B é
a) 1/5
b) 1/3
c) 1/2
d) 3
e) 5
24. (UFRGS) Uma estrada de 315 Km foi asfaltada por 3 equi-
pes, A, B e C, cada uma delas atuando, respectivamente, em um
trecho proporcional a 2, 3 e 4. O trecho da estrada que coube à
equipe C foi de
a) 70 Km
b) 96 Km
c) 105 Km
d) 126 Km
e) 140 Km
25. (UFRGS) Com A cruzeiros compram-se uma dúzia de laran-
jas e meia dúzia de limões. Com B cruzeiros, compram-se meia dúzia
de laranjas e uma dúzia de limões. A quantia, em cruzeiros, para se
comprar meia dúzia de laranjas e meia dúzia de limões é:
a) 3(A + B)
b) 2(A + B)
c) A + B
d)
2
BA +
e)
3
BA +
Certo Vestibulares Caderno Testes Federais – Matemática
Sistema MSA de Ensino
283
26. (UFRGS) O denominador de uma fração excede o numera-
dor em 3 unidades. Adicionando-se 11 unidades ao denominador, a
fração torna-se equivalente a
4
3
. A fração original é
a)
57
54
b)
33
30
c)
36
33
d)
45
42
e)
21
18
27. (UFRGS) Um ciclista, pedalando a uma velocidade constan-
te v, percorreu 6 Km em 30 min. Se sua velocidade fosse 3/5 de V,
percorreria essa mesma distância em:
a) 20 min
b) 25 min
c) 35 min
d) 40 min
e) 50 min
28. (UFRGS) Um grupo de estudantes dedicado à confecção de
produtos de artesanato gasta R$ 15,00 em material, por unidade
produzida, e, além disso, tem um gasto fixo de R$ 600,00. Cada
unidade será vendida por R$ 85,00. Quantas unidades terão de ven-
der para obterem um lucro de R$ 800,00?
a) 7
b) 10
c) 12
d) 15
e) 20
PORCENTAGEM E JUROS
29. (UFRGS) O gráfico abaixo apresenta o resultado de uma prova
objetiva, sendo y o percentual de candidatos que tirou a nota x.
O número total de candidatos inscritos foi de 113.900 e o nú-
mero de ausentes foi de 6300.
Considere as seguintes afirmativas a respeito do gráfico:
I) 538 candidatos tiraram nota 60.
II) 30 foi a nota que apareceu com maior freqüência.
III) 0,5% dos candidatos apresentaram notas maiores ouiguais a
60.
Estão corretas as afirmativas:
a) Apenas I
b) Apenas I e II
c) Apenas II e III
d) Apenas I e III
e) I, II e III
30. (UFRGS) Uma pessoa comprou dois carros, pagando um
total de 30 mil reais. Pouco tempo depois, vendeu-os por 28 mil
reais, ganhou 10% na venda de um deles e perdeu 10% na venda
do outro. Quantos reais custou cada carro?
a) 15.500 e 14.500
b) 10.000 e 20.000
c) 7.500 e 22.500
d) 6.500 e 23.500
e) 5.000 e 25.000
31. (UFRGS) Uma loja avisa que, sobre o valor original de
uma prestação que não for paga no dia do vencimento, incidirão
multa de 10% mais 1% a cada dia de atraso.
Uma pessoa que deveria pagar y reais de prestação e o fez com x
dias de atraso, pagou a mais:
a) [0,1 y + x] reais
b) [x + 10] reais
c) [10 y + x] reais
d) [0,1 y + 0,01 x] reais
e) [0,1 y + 0,01 x y] reais
32. (UFRGS) Um total de R$ 6.000,00 será investido, parte a
3,5% e parte a 6%. Se o rendimento total esperado é, no mínimo,
de R$ 300,00, o valor máximo que pode ser investido a 3,5% é
a) R$ 210,00
b) R$ 360,00
c) R$ 570,00
d) R$ 2.400,00
e) R$ 3.600,00
33. (UFRGS) Um capital, aplicado a juros simples, triplicará
em 5 anos se a taxa anual for de:
a) 30%
b) 40%
c) 50%
d) 75%
e) 100%
34. (UFRGS) Um revendedor aumenta o preço inicial de um
produto em 35% e, em seguida, resolve fazer uma promoção,
dando um desconto de 35% sobre o novo preço. O preço final do
produto é
a) Impossível de ser relacionado com o preço inicial.
b) Superior ao preço inicial.
c) Superior ao preço inicial, apenas se este for maior do que CR$
3.500,00.
d) Igual ao preço inicial.
e) Inferior ao preço inicial.
35. (UFRGS) Num país com inflação, em geral, existe uma
diferença entre o salário que uma pessoa deveria ganhar e o que
ela realmente está ganhando. Define-se perda salarial como a
relação percentual entre essa diferença salarial e o salário que a
pessoa deveria ganhar. Um empregado que recebe 100 reais por
mês, quando o salário que deveria ganhar é de 120 reais, tem uma
perda salarial de, aproximadamente:
a) 10%
b) 17%
c) 20%
d) 27%
e) 30%
Caderno Testes Federais – Matemática Certo Vestibulares
Sistema MSA de Ensino
284
36. (UFRGS) Considerando uma taxa mensal constante de
10% de inflação, o aumento de preço em 2 meses será de:
a) 2%
b) 4%
c) 20%
d) 21%
e) 121%
37. (UFRGS) O preço de venda de um bem de consumo é R$
100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de
custo deste bem. O valor do preço de custo é
a) R$ 25,00
b) R$ 70,50
c) R$ 75,00
d) R$ 80,00
e) R$ 125,00
38. (UFRGS) A quantidade de água que deve ser evaporada
de 300 g de uma solução salina (água e sal) a 2% (sal) para se
obter uma solução salina a 3% (sal) é
a) 90 g
b) 94 g
c) 97 g
d) 98 g
e) 100 g
39. (UFRGS) Num semestre a inflação foi de 32%, e, ao final
dele, um trabalhador teve reposição salarial de 20%. Para que o
poder de compra desse trabalhador fosse mantido no mesmo pa-
tamar do início do semestre, o salário já reajustado em 20% deve-
ria, ainda, sofrer um reajuste de
a) 10%
b) 12%
c) 16%
d) 20%
e) 32%
40. (UFRGS) Uma mercadoria que custa R reais sofre um
desconto de 60%. Um aumento de 60% sobre o novo preço fará
com que a mercadoria fique custando, em reais,
a) 0,36 R
b) 0,40 R
c) 0,60 R
d) 0,64 R
e) R
41. (UFRGS 00) Considere os dados da tabela abaixo referen-
tes à População Economicamente Ativa (PEA) de uma determinada
região.
Distribuição da PEA por Anos de Estudo, segundo Sexo:
PEA Masculina
PEA
Feminina
Até 4 anos de estudo 60% 50%
5 ou mais anos de estudo 40% 50%
100% 100%
Se os homens são 60% da PEA dessa região, homens e mulheres
com 5 anos ou mais de estudo representam
a) 36% da PEA da região.
b) 40% da PEA da região.
c) 44% da PEA da região.
d) 45% da PEA da região.
e) 54% da PEA da região.
EQUAÇÕES - FUNÇÕES – EXPONENCIAIS - LOGARITMICAS
42. (UFRGS) A soma das soluções da equação
2x4x
22
====−−−−−−−− é
a) –2
b) –1
c) 0
d) 1
e) 3
43. (UFRGS) Para todo n > 1, tem-se que logn (n + 1) é
a) 1
b) n
c) maior do que 1
d) menor do que 1
e) maior do que n
44. (UFRGS) O cobalto-60 é uma substância radioativa cuja
meia-vida é de aproximadamente 5 anos, isto é, a cada 5 anos a
quantidade em gramas da substância se reduz à metade do que se
tinha anteriormente.
O tempo necessário para que uma certa quantidade de cobalto-60 se
reduza a 25% da quantidade inicial é
a) 20 anos.
b) 10 anos.
c) 7,5 anos.
d) 5,0 anos.
e) 2,5 anos.
45. (UFRGS) Uma população de bactérias triplica a cada hora.
Em quanto tempo a população se torna 100 vezes maior?
(A) Entre 0 e 5 horas.
(B) Entre 5 e 10 horas.
(C) Entre 10 e 20 horas.
(D) Entre 20 e 30 horas.
(E) Entre 30 e 40 horas.
46. (UFRGS) Encontre o par de gráficos que melhor representa
a função y = log0,1 x e sua função inversa, nessa ordem.
Certo Vestibulares Caderno Testes Federais – Matemática
Sistema MSA de Ensino
285
(A) I e III
(B) II e IV
(C) II e V
(D) I e II
(E) IV e III
47. (UFRGS) Se log a = 1,7, log b = 2,2 e log c = 2,7, então a,
b, c, nesta ordem, formam uma
(A) progressão geométrica de razão 10
(B) progressão geométrica de razão 10
(C) progressão geométrica de razão 0,5
(D) progressão aritmética de razão 0,5
(E) progressão aritmética de razão 10
48. (UFRGS) Identifique os gráficos que correspondem a
y = log x e y = | log x | nesta ordem.
a) I e II
b) I e III
c) I e IV
d) II e III
e) V e IV
49. (UFRGS) A taxa de crescimento natural de uma população é
igual à diferença entre as taxas de natalidade e mortalidade, cujas
evoluções estão representadas no gráfico abaixo.
Evolução das taxas de natalidade e mortalidade (por mil)
Brasil, 1881-1993
Dentre as opções abaixo, a maior taxa de crescimento natural da
população ocorreu no ano de
a) 1881
b) 1900
c) 1930
d) 1955
e) 1993
50. (UFRGS) O desenho abaixo representa o gráfico de
y = f(x).
O gráfico que representa a função y = | f(x) | é:
a) b)
c) d)
e)
51. (UFRGS) A função representada no gráfico é definida por
f(x) = a . bx. Então,
y
x
a) a < 0 e b > 1
b) a < 0 e 0 < b < 1
c) a < 0 e b = 1
d) a > 0 e b > 1
e) a > 0 e 0 < b < 1
52. (UFRGS) As soluções reais da desigualdade x² + 1 > 2x
são os números x, tais que
a) x ≠ 0
b) x ≥ 1
c) x > 1
d) x ≠ 1
e) x < 1
Caderno Testes Federais – Matemática Certo Vestibulares
Sistema MSA de Ensino
286
53. (UFRGS) Seja a função f : ℜ (0,+∞) representada
pelo gráfico
y
x
Dentre os gráficos abaixo, o que melhor representa a inversa da
função f é
A
54. (UFRGS) Considere as funções numeradas de 1 até 5 e os
gráficos de A até E.
(1) y = log (x)
(2) y = 10 x
(3) y = (1/10)x
(4) y = 10 log (x)
(5) y = log (10)x
Associando-se as funções a seus gráficos, obtêm-se os pares
a) (1,A), (2,B), (3,C), (4,D) e (5,E)
b) (1,A), (2,B), (3,C), (4,E) e (5,D)
c) (1,A), (2,C), (3,B), (4,D) e (5, E)
d) (1,B), (2,A), (3,C), (4,D) e (5,E)
e) (1,B), (2,C), (3,A), (4,E) e (5,D)
55. (UFRGS) O consumo de energia elétrica de um eletrodo-
méstico é diretamenteproporcional ao tempo que ele fica ligado.
Sabendo-se que um televisor consome 150 watts de energia por hora
de uso, o gráfico que melhor expressa o consumo de energia y em
watts em função do tempo x, em horas, em que a TV permanece
ligada é
56. (UFRGS) A equação 2mx² + mx + ½ = 0 possui 2 raízes
reais distintas.
Então,
a) m = 0
b) m > 0
c) m < 4
d) m < 0 ou m > 4
e) 0 < m < 4
57. (UFRGS) As substâncias radioativas têm a tendência natural
a se desintegrarem. Considerando um caso em que a massa inicial da
substância seja 54 g, e t dias depois sua massa seja, aproximada-
mente, 54 x 0,835t g, pergunta-se: em um dia, que porcentagem da
massa desta substância se desintegra?
a) 83,5%
b) 67,5%
c) 16,5%
d) 8,35%
e) 6,75%
58. (UFRGS) Uma substância decompõe-se segundo o gráfico
exponencial abaixo, onde t é o tempo (em segundos) e y é a quanti-
dade de substância (em gramas) no instante t. A expressão de y =
y(t) é
a) y = 100 x 2 – (t/100)
b) Y = 100 x 2 – (t/50)
c) Y = 100 x 2 – (t/10)
d) Y = 50 x 2 – (t/10)
e) Y = 50 x 2 – (t/100)
59. (UFRGS) Dentre os conjuntos de pontos do plano cartesia-
no, apresentados abaixo,
Quais os que NÃO podem representar gráficos de uma função?
Certo Vestibulares Caderno Testes Federais – Matemática
Sistema MSA de Ensino
287
a) Apenas I e III
b) Apenas II e IV
c) Apenas III e IV
d) Apenas I, III e IV
e) Apenas II, III e IV
60. (UFRGS) Considere a função f: ℜ → ℜ definida por:
1 se x é racional
f(x) =
0 se x é irracional
Então f(2)+f( 2 )–f(2+ 2 ) é igual a
a) -1
b) 0
c) 1
d) 2
e) 3
61. (UFRGS) Se a função f :ℜ * → ℜ é tal que
f(x) =
x
x 22 +
, então f (2x) é
a) 2
b) 2x
c)
x
x 12 +
d)
x
x
2
14 +
e)
x
x 22 +
62. (UFRGS) O gráfico representa a função y = f (x).
O conjunto {X ∈ R / f(x) < 0} é igual a
a) ]1,3[
b) ]–∞ ,-1[U]1,3[
c) ]–∞ ,-1[U]3,-∞ [
d) ]–∞ ,0[
e) ]–2,0[
63. (UFRGS) O gráfico abaixo representa a função y=f(x).
A solução da inequação f(x) ≥ 1 é o conjunto dos valores de
x ∈ [a, b] tais que
a) x ≤ 0
b) x ≥ 0
c) x ≤ 1
d) x ≥ 1
e) x ∈R
64. (UFRGS) Os gráficos seguintes representam, respectiva-
mente, as funções y=f(x) e y=g(x). Essas funções se anulam somen-
te nos pontos indicados nas figuras.
A solução da inequação f(x)g(x) > 0 é
a) (-∞, 0)
b) (0, +∞ )
c) (-3, 2)
d) (-∞ , -3) U (2, +∞ )
e) (-3,0) U (0,2)
65. A função do tipo baxxf +=)( passa pelos pontos (1,-1)
e (4,5), então podemos afirmar que 22 ba − vale:
a) 2
b) –3
c) 3
d) –1
e) -5
66. (UFRGS) Se o gráfico abaixo tem expressão y=ax²+bx+c,
os valores de a, b e c são, respectivamente,
a) –3/2, -1 e 3
b) 1, -3/2 e 3
c) 1, -1 e 3/2
d) 1, 8 e 3
e) 4, 8 e 3
67. (EEAR-2003/1) A função do 2º grau que descreve o gráfico
abaixo é:
y
a) 6)( 2 +−= xxxf
b) 65)( 2 −+= xxxf 6
c) 65)( 2 +−−= xxxf
d) 65)( 2 +−= xxxf
e) 66)( 2 +−= xxxf 2 3 x
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288
68. (Mackenzie) Na figura temos os gráficos das funções f e g.
Se 22)( xxf = , então g(3) vale:
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
e) 14
69. (UFRGS) O valor de x que verifica a equação
xx 927 1 =− é
a) 0,4
b) 0,8333
c) 1,2
d) 2,5
e) inexistente
70. (FESP-RJ) Se 182 += yx e 939 −= xy , então o valor de
x+y é:
a) 18
b) 21
c) 24
d) 27
e) 30
71. (ET-UFRGS/2001-1) Qual é a solução da equação
( ) ( ) 124 1625,0 +− = xx ?
a) –2
b) –1
c) 1/4
d) 1
e) 2
72. (ET-UFRGS/2001-1) Na equação 44224 3212 =++ ++ xxx
o valor de x é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 6
73. Se 1833 12 =+ +xx , então o valor de x2 é:
a) 2
b) 1
c) 3
d) 8
e) 0
74. (FUVEST)Seja 122)( += xxf . Se a e b são tais que
f(a)=4f(b), pode-se afirmar que:
a) a + b = 2
b) a + b = 1
c) a - b = 3
d) a - b = 2
e) a - b = 1
75. (UFRGS) O conjunto solução da inequação 1
2
1
2
>
x
é
a) Ø
b) (-1, 1)
c) (0, +∞)
d) (-∞, 0)
e) R
76. (UFRGS) O valor para x que verifica a equação 63 =x é
a) 1,5
b) 2
c) o logaritmo de 3 na base 10
d) o logaritmo de 6 na base 3
e) o logaritmo de 3 na base 6
77. (FGV) Assinale o gráfico correspondente à função
x
ay −= (a >1)
a) b) 1
1
c) 1 d)
1
e)
1
78. (UFSM) A figura mostra um esboço da função
bay x += , com a,b ∈ ℜ, a > 0, a ≠ 1 e b ≠ 0. Então, o valor de
22 ba − é:
y
5
2
0 2 x
a) –3 b) –1
c) 3 d) 1
e) 0
79. (UFRGS) Dada a expressão S=log0,001+log100, o valor de
S é:
a) –3
b) –2
c) –1
d) 0
e) 1
80. (UFRGS) O valor de log(217,2)-log(21,72) é
a) -1
b) 0
c) 1
d) log(217,2–21,72)
e) log(217,2)/log(21,72)
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289
81. (UFRGS) O valor de 1010log32log 4/1 + é:
a) –3/2
b) –1
c) 0
d) 2
e) 13/2
82. (UFRGS) Dados 3,02log = e 4,03log = , o valor de
75log é:
a) 1,3
b) 1,5
c) 1,6
d) 1,8
e) 1,9
83. (UFRGS) O número ( )
2
4
001,0
1000log é:
a) 27/4
b) 21/4
c) inteiro
d) negativo
e) nulo
84. Sendo log(a)= 11, log(b)= 0,5, log(c)= 6 e x
c
ba
=
⋅
3
2
log ,
então o valor de x é:
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
85. A função representada abaixo é:
1
a) xy 2log=
b) y = 2/x
c) xy 2/1log=
d) ( )xy 2/1=
e) ( )xy 2=
86. (UFSM) O gráfico mostra o comportamento da função
logarítmica na base a. Então o valor de a é:
y
1 4 x
-2
a) 10
b) 2
c) 1
d) 1/2
e) -2
87. (UFF) A figura representa o gráfico da função f definida por
xxf 2log)( = .
y
Q
P
0 2 4 x
A medida do segmento PQ é igual a:
a) 6
b) 5
c) 5log2
d) 2
e) log 2
TRIGONOMETRIA
88. (UFRGS) Um barco parte de A para atravessar o rio. A
direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120º com a
margem do rio.
B
60m
120º
A
Sendo a largura do rio 60m, a distância, em metros, percorrida
pelo barco foi de
(A) 40 2
(B) 40 3
(C) 45 3
(D) 50 3
(E) 60 2
89. (UFRGS) Se f(x) = a + bsen x tem como gráfico
então:
a) a = -2 e b = 1
b) a = -1 e b = 2
c) a = 1 e b = -1
d) a = 1 e b = -2
e) a = 2 e b = -1
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290
90. (UFRGS) Na figuraabaixo, o valor numérico do diâmetro
AB é 5, e C é um ponto do círculo. Uma solução possível para os
valores numéricos de AC
e BC é
a) 1 e 2 6
b) 2 e 3
c) 1 e 4
d) 1,5 e 3,5
e) 6 e 2
91. (UFRGS) Se o ponteiro menor de um relógio percorre um
arco de
12
pi rad, o ponteiro maior percorre um arco de
a) pi rad
6
b) pi rad
4
c) pi rad
3
d) pi rad
2
e) pi rad
92. (UFRGS 00) Considere as afirmações abaixo.
I. tan 92º = - tan 88º
II. tan 178º = tan 88º
III. tan 268º = tan 88º
IV. tan 272º = - tan 88º
Quais estão corretas?
a) Apenas I e III
b) Apenas III e IV
c) Apenas I, II e IV
d) Apenas I, III e IV
e) Apenas II, III e IV
93. (UFRGS) Para sen(α ) = 1/2 e α no 2o quadrante,
considere as afirmações:
I) cos (α ) =
2
3
II) sen (2α ) ≤ 0
III) csc (3α ) = 1
Quais são verdadeiras?
a) Apenas I
b) Apenas II
c) Apenas I e III
d) Apenas II e III
e) I, II e III
94. (UFRGS) Considere as funções numeradas de 1 a 4 e os
gráficos de A até D.
(1) y = sen (x), 0 ≤ x ≤ 2t
(2) y = sen (2x), 0 ≤ x ≤ 2t
(3) y = 2sen (x), 0 ≤ x ≤ 2t
(4) y = sen (x). cos (x), 0 ≤ x ≤ 2t
Associando-se as funções a seus gráficos, obtêm-se os pares
a) (1,A), (2,B), (3,C) e (4,D)
b) (1,A), (2,C), (3,B) e (4,D)
c) (1,A), (2,B), (3,D) e (4,C)
d) (1,C), (2,D), (3,A) e (4,B)
e) (1,C), (2,A), (3,D) e (4,B)
95. (UFRGS) A identidade sen 2x = 2sen x é verificada se e
somente se
a) x é número real
b) x = 0
c) x = npi , sendo n qualquer inteiro
d) x = npi /2, sendo n qualquer inteiro
e) x = 2npi , sendo n qualquer inteiro
96. (UFRGS) Considere as seguintes afirmações para arcos
medidos em radianos:
I) sen 1 < sen 3
II) cos 1 < cos 3
III) cos 1 < sen 1
Quais são verdadeiras?
a) Apenas I é verdadeira
b) Apenas II é verdadeira
c) Apenas III é verdadeira
d) São verdadeiras apenas I e II
e) São verdadeiras I, II e III
97. (UFRGS) Dada a figura
Qual o valor de x?
a) 2,15
b) 2,35
c) 2,75
d) 3,15
e) 3,35
98. (UFRGS) No triângulo retângulo da figura, BC=10 e
cos(α )=0,8. O valor de AB é:
a) 8
b) 6
c) 5
d) 4
e) 2
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291
99. (UFRGS) Uma escada de 5m de comprimento é apoiada em
uma parede vertical, da qual seu pé dista 3m. A altura do solo até o
ponto em que a escada toca a parede é
a) 3 m
b) 3 3 m
c) 4 m
d) 4 2 m
e) 5 m
100. (UFRGS) Para estimar a profundidade de um poço com
1,10m de largura, uma pessoa cujos olhos estão a 1,60m do chão
posiciona-se a 0,50m de sua borda. Desta forma, a borda do poço
esconde exatamente seu fundo, como mostra a figura.
Com os dados acima, a pessoa conclui que a profundidade do poço
é
a) 2,82 m
b) 3,00 m
c) 3,30 m
d) 3,52 m
e) 3,85 m
101. (FUVEST) Dois pontos A e B estão situados na margem de
um rio e distantes 40m um do outro. Um ponto C, na outra margem
do rio, está situado de tal modo que o ângulo CÂB mede 75o e o
ângulo ACB mede75o. Determine a largura do rio
a) 40m
b) 20m
c) m320
d) 30m
e) 25m
102. (UFRGS 00) Na figura, o círculo é unitário e BC é tangente
ao círculo no ponto P.
Se o arco
∩∩∩∩
AP mede α, BC vale:
a) tan α + cot α
b) sen α + cos α
c) sec α + csc α
d) tan α + sen α
e) cot α + cos
103. (UNI-RIO) Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosse-
no do maior ângulo interno desse triângulo vale:
(A) 11/24
(B) - 11/24
(C) 3/8
(D) -3/8
(E) -3/10
104. Qual o período e qual o conjunto imagem da função
y=cos(4x)sen(6x)+sen(4x)cos(6x) ?
a) pi2 e [-1,1]
b) pi2 e [0,1]
c) pi /5 e [-1,1]
d) pi e [-10,10]
e) pi2 e [-1,1]
105. (U.E.Londrina-PR) O gráfico abaixo corresponde à função:
a) y = 2senx
b) y = sen(2x)
c) y = senx+2
d) y = senx
e) y = sen(4x)
Progressões Geométricas e Aritméticas
106. (UFRGS) A progressão aritmética
(a1, a2, a3,...) tem razão r. A razão da progressão definida por
hn = a5n é
a) r
b) r + 5
c) 5 r
d) 5 – r
e) r / 5
107. (UFRGS) Para p e q inteiros positivos, a soma dos cem
primeiros múltiplos de p é A e a soma dos cem primeiros múltiplos de
q é B. O valor de A + B é
a) 200p . q
b) 200(p + q)
c) 500 (p + q)
d) 5050(p + q)
e) 5050p . q
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292
108. (UFRGS) Um engenheiro deseja colocar cinco colunas
igualmente espaçadas entre duas já existentes, de modo a suportar a
viga AB, conforme a figura. As alturas das colunas formarão uma
progressão
B
A
5
3
a) geométrica de razão 1/3
b) aritmética de razão 1/3
c) geométrica de razão 1/5
d) aritmética de razão 1/5
e) aritmética de razão 2/3
109. (UFRGS) A figura mostra uma seqüência de quadrados cujo
primeiro elemento tem lado de medida 1 metro.
Cada quadrado da seqüência é construído com os vértices nos pontos
médios dos lados do quadrado imediatamente anterior.
O limite da soma das áreas dos quadrados dessa seqüência é
a) 1 m²
b) 2 m²
c) 3 m²
d) 2 2 m²
e) 2 m²
110. (UFRGS) Na seqüência de figuras, cada quadrado tem 1cm²
de área. Supondo que as figuras continuem evoluindo no mesmo
padrão aqui encontrado, a área da figura 20 terá valor
a) entre 0 e 1000
b) entre 1000 e 10.000
c) entre 10.000 e 50.000
d) entre 50.000 e 100.000
e) maior que 100.000
111. (UFRGS) Em uma progressão aritmética limitada em que o
1º termo é 3 e o último 31, a soma de seus termos é 136. O número
de termos dessa progressão é:
a) 8
b) 10
c) 16
d) 26
e) 52
112. (UFRGS) As medidas dos lados de um triângulo são expres-
sas por x+1, 2x, x² – 5 estão em PA, nesta ordem. O perímetro do
triângulo mede:
a) 8
b) 12
c) 15
d) 24
e) 33
113. (UFRGS) Com o objetivo de realizar uma excursão, cada
aluno de uma turma de 30 alunos, concordou em economizar
R$ 10,00 na primeira semana e, em cada semana seguinte, R$ 2,00 a
mais que na semana anterior. No final de 15 semanas, a turma eco-
nomizou:
a) R$ 11.100,00
b) R$ 10.800,00
c) R$ 7.500,00
d) R$ 6.300,00
e) R$ 4.500,00
114. (UFRGS) O primeiro termo de uma PA é –10 e a soma dos
oito primeiros termos, 60. A razão é:
a) –5/7
b) 15/7
c) 5
d) 28
e) 35
115. (UFRGS) Cada um dos quadrados da figura abaixo tem 1
cm de lado.
Se a curva poligonal em destaque na figura continuar evoluindo no
mesmo padão, a partir da origem O, qual será seu comprimento
quando tiver 20 lados?
a) 20 cm
b) 100 cm
c) 200 cm
d) 210 cm
e) 420 cm
116. (UFRGS 00) Os números inteiros de 1 a 600 são escritos na
disposição abaixo.
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
... ... ... ... ... ...
A escrita se repete, na mesma disposição, a cada vez que se
atinge o valor de 600. O número escrito na 5a coluna da 143a linha é:
(A) 243
(B) 245
(C) 248
(D) 257
(E) 258
117. (UFRGS) Em uma progressão geométricade razão positiva,
o segundo termo é 8 e o oitavo é 1/8. A soma dos dois primeiros
termos é
a) 24
b) 16
c) 12
d) 8
e) 4
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293
118. (UFRGS) O primeiro termo de uma progressão geométrica
em que a3=1 e a5=9 é:a) 1/27
b) 1/9
c) 1/3
d) 1
e) 0
119. (UFRGS) Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 500,00
e saldou-o pagando, ao final de cada mês, R$ 100,00 mais 6% de
juros sobre a dívida restante. A sucessão dada pelas parcelas de
pagamento da dívida é uma
a) progressaõ geométrica de razão –0,06
b) progressaõ geométrica de razão –6
c) progressaõ geométrica de razão –100
d) progressaõ aritmética de razão –6
e) progressão aritmética de razão –100
120. (UFRGS) A solução da equação 15
93
=+++ K
xx
x , é
a) 1
b) 3
c) 8
d) 10
e) 1/8
Análise Combinatória e Probabilidade
121. (UFRGS) O número de segmentos de reta determinados
por 10 pontos, dois a dois distintos, é
a) 45
b) 28
c) 21
d) 15
e) 10
122. (UFRGS) A figura abaixo representa uma parede
quadrada na qual estão pintados discos de raio r. Se uma bola é
lançada totalmente ao acaso contra a parede, a probabilidade de
ela tocar fora dos discos está entre
a) 14% e 16%
b) 17% e 19%
c) 20% e 22%
d) 23% e 25%
e) 26% e 28%
123. (UFRGS) O número máximo de quadriláteros com
vértices em 8 pontos distintos marcados em um círculo é:
a) 24
b) 70
c) 350
d) 840
e) 1680
124. (UFRGS) Quantos números inteiros positivos, com 3
algarismos significativos distintos, são múltiplos de 5?
a) 128
b) 136
c) 144
d) 162
e) 648
125. (UFRGS) O número de múltiplos de três, com quatro
algorismos ditintos, escolhidos entre 3, 4, 6, 8 e 9 é
a) 24
b) 36
c) 48
d) 72
e) 96
126. (UFRGS) Uma parteira prevê, com 50% de chance de
acerto, o sexo de cada criança que vai nascer. Num conjunto de
três crianças, a probabilidade de ela acertar pelo menos duas
previsões é de
a) 12,5%
b) 25%
c) 37,5%
d) 50%
e) 66,6%
127. (Unifor-CE) Uma sorveteria tem em seu cardápio: 16
sabores de sorvete, 3 tipos de farofa e 6 tipos de cobertura. Zilda
pretende tomar apenas uma bola de sorvete, com uma única cober-
tura e um único tipo de farofa. Quantas são suas opções de esco-
lha?
a) 144
b) 288
c) 324
d) 576
e) 648
128. (UFRGS) No sistema de emplacamento de veículos que
começa a ser implantado, as placas têm 3 letras como prefixo,
podendo haver letras repetidas. Usando apenas vogais, o número
máximo de prefixos é
a) 15
b) 35
c) 60
d) 90
e) 125
129. (UFRGS) Os números dos telefones de uma cidade são
constituídos por 6 dígitos. Sabendo que o primeiro dígito nunca
pode ser zero e que os números dos telefones passarão a ser de 7
dígitos, o aumento possível na quantidade dos telefones será:
a) 81.103
b) 90.103
c) 81.104
d) 81.105
e) 90.105
130. No cardápio de um restaurante há 10 tipos de carnes, 8
tipos de acompanhamentos (fritas, arroz, etc.) e 5 tipos de sobre-
mesas. O número de refeições diferentes que podem ser oferecidas
usando 1 tipo de carne, 2 tipos de acompanhamentos de 1 tipo de
sobremesa é
a) 800
b) 1400
c) 2800
d) 3200
e) 8855
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Sistema MSA de Ensino
294
131. (UFRGS) O número máximo de triângulos que se pode
obter quando se escolhem, para seus vértices, 10 pontos distintos
sobre uma elipse, é:
a) 40
b) 60
c) 120
d) 300
e) 720
132. (UFRGS) Um trem de passageiros é constituído de uma
locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante.
Sabendo-se que a locomotiva deve ir à frente, e que o vagão
restaurante não pode ser colocado imediatamente após a
locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição
é
a) 120
b) 320
c) 500
d) 600
e) 720
133. Um estudante precisa selecionar, entre as disciplinas A,
B, C, D, E e F, quatro disciplinas para cursar no próximo semestre
letivo, sendo que uma necessariamente precisa ser a disciplina E. O
número que indica de quantas maneiras o estudante pode escolher
as quatro disciplinas é:
a) 6
b) 10
c) 15
d) 20
e) 24
134. (Fatec-SP) Em uma Olimpíada, a delegação de um país A
se apresentou com 10 atletas e a de um país B, com 6 atletas. Os
alojamentos da Vila Olímpica eram para quatro pessoas, e um deles
foi ocupado por 2 atletas de A e 2 atletas de B. O número de ma-
neiras distintas de formar esse grupo de 4 atletas era:
a) 675
b) 450
c) 270
d) 60
e) 16
135. (UFMS) Na seleção brasileira de futebol, existem 8 joga-
dores de ataque, 6 de meio-campo, 6 defensores e 3 goleiros.
Quantos times diferentes podem ser formados utilizando 1 goleiro,
4 defensores, 3 meio-campistas e 3 atacantes? A resposta correta
é:
a) 94
b) 50400
c) 445525
d) 45525
e) 504
Geometria Plana
136. (UFRGS) O círculo da figura tem raio 6, e α mede 100º. A
área do setor hachurado é
a) 6
b) 10
c) 6pi
d) 10pi
e) 60
137. (UFRGS) Na figura abaixo, o comprimento da circunferência
é 36 e ∝ = 25º. O comprimento do arco llll é:
a) 1
b) 1,5
c) 2,5
d) 3
e) 3,5
138. (UFRGS) Os triângulos eqüiláteros concêntricos da figura
têm, cada um, área a. A área do polígono regular hachurado é
a) 3 a
4
b) 2 a
3
c) a
d) 3 a
2
e) a
3
5
139. (UFRGS) A área do quadrado ABCD é 1/3 da área do
quadrado EBFG. Qual é a razão entre as medidas do lado do
quadrado maior e do lado do quadrado menor?
a) 9
b) 3
c) 1
d) 3
e)
3
3
140. (UFRGS) Se o raio de um círculo cresce 20%, sua área
crece.
a) 14%
b) 14,4%
c) 40%
d) 44%
e) 144%
141. (UFRGS) Dois dos lados opostos de um quadrado têm um
aumento de 40% e os outros dois lados opostos têm um
decréscimento de 40%. A área deste quadrado
a) aumenta 20%
b) aumenta 16%
c) permanece inalterada
d) diminui 16%
e) diminui 20%
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295
142. (UFRGS) Um retângulo ABCD é dividido, conforme mostra a
figura, em 4 retângulos menores, AEIH, EBFI, IFCG e HIGD, de área
40, m, 18 e 48, repectivamente. O valor de m é
a) 45
b) 16
c) 15
d) 14
e) 9
143. (UFRGS) As medidas dos três lados de um triângulo
retângulo são números em progressão aritmética. Qual o valor da
área do triângulo, sabendo-se que o menor lado mede 6?
a) 12 2
b) 18
c) 20 2
d) 24
e) 30
144. (UFRGS) A altura de um triângulo equilátero inscrito numa
circunferência é 2 3 cm. A razão entre a área desse triângulo e a
área de um quadrado inscrito nessa mesma circunferência é
a) 3
4
b)
4
33
c)
8
3
d)
8
3
e)
8
33
145. (UFRGS) Três discos estão soldados como na figura
abaixo. Considerando que as medidas de A, B e C, em centímetros,
são, respectivamente, 12, 16 e 18, os diâmetros dos discos P, Q e R,
nesta ordem, medem em centímetros
a) 5, 7 e 11
b) 12, 6 e 4
c) 11, 7 e 5
d) 4, 6 e 12
e) 9, 8 e 6
146. (UFRGS) O número de diagonais de um polígono é o dobro
de seu número n de lados. O valor de n é
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
147. (UERJ) Se um polígono tem todos os lados iguais, então
todos os seus ângulos internos são iguais. Para mostrar que esta
proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada:
a) losango
b) trapézio
c) retângulo
d) quadrado
e) hexágono
148. (Unicap-PE) A área da região hachurada, ao lado, é de 54
m2. Determine, em metro, o comprimento do segmento de reta EC.a) 3cm
b) 6 cm
c) 9 cm
d) 12 cm
e) 15 cm
149. (F.I. Vitória-ES) O ponteiro grande do relógio da Catedral
mede um metro de comprimento. Então, a área setorial varrida pelo
ponteiro em 20 minutos é:
a) pi/3
b) 6
c) 60
d) 2pi/3
e) 3pi/2
150. Na figura abaixo podemos afirmar que o ângulo a mede:
a) x
4
5
a 2x
b) x
3
2
c)
2
x
d) x
5
4
e) x
2
3
5/2x x
151. (FEI-SP) Para ladrilhar uma parede de 27m² de área quer
se utilizar peças quadradas de 15cm de lado, então o número de
peças necessárias para ladrilhar esta parede é de:
a) 12
b) 120
c) 1200
d) 1500
e) nda
152. (U.E.BA) Seja o hexágono regular inscrito na circunferência
de raio 6cm, conforme a figura abaixo. A área da região sombreada,
em 2cm , é:
a) 39
b) 312
c) 315
d) 318
e) 320
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296
153. (UFRGS) Um quadrado e um triângulo eqüilátero têm o
mesmo perímetro. A razão entre a área do triângulo e a área do
quadrado é
a)
3
34
b)
9
34
c) 3/4
d) 4/9
e)
4
3
154. A área sombreada da figura é limitada por arcos de circun-
ferências centrados nos vértices do quadrado de lado 2ℓ. Esta área
sombreada vale:
a)
2
2lpi
b) ( ) 2
22 l−pi
c) ( ) 2
3/4 l−pi
d) ( ) 2
4 lpi−
e) nda
155. (UFRGS) A razão entre os lados de 2 triângulos eqüiláteros
é 2. A razão entre suas áreas é:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) nda
156. (UERGS 02) A área de um triângulo retângulo é de 12
unidades quadradas. Sabendo-se que a medida de um dos catetos é
2/3 da medida do outro e que a hipotenusa mede n2 unidades, o
valor de n é:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 13
157. (Mackenzie) Os lados do retângulo da figura, de área 48,
foram divididos em partes iguais pelos pontos assinalados. A área do
quadrilátero destacado é:
a) 24
b) 32
c) 20
d) 16
e) 22
158. (UFRGS) Considere as seguintes afirmações sobre um
quadrilátero convexo:
I) Se as diagonais se interceptam em seus respectivos pontos médios,
então o quadrilátero é um retângulo.
II) Se as diagonais se interceptam perpendicularmente em seus
respectivos pontos médios, então o quadrilátero é um losango.
III) Se as diagonais se interceptam perpendicularmente e são
congruentes, então o quadrilátero é um quadrado.
Quais estão corretas?
a) Apenas II.
b) Apenas III.
c) Apenas I e II.
d) Apenas I e III.
e) I, II e III.
159. (UFRGS) Em um losango, a soma dos ângulos obtusos é o
dobro da soma dos ângulos agudos. Sabendo que a medida da
diagonal menor é 4, a diagonal maior mede
a) 6
b) 4
c) 2 2
d) 2 3
e) 4 3
160. Se a função f(x) da figura representa o gráfico de
f(x)= log(x)
y
f(x)
1 2 3 4 x
O valor da área hachurada em unidades de área é:
a) log2
b) log3
c) log4
d) log5
e) log6
161. (UFRGS) Na figura ao lado, OP = 2, AB = 8, O é o centro
dos círculos e AB é tangente em P ao círculo menor. A área do disco
maior é:
a) pi20
b) 10pi
c) 20pi
d) 64pi
e) 68pi
Geometria Espacial
162. (UFRGS) Deseja-se elevar em 20 cm o nível de água da
piscina de um clube. A piscina é retangular, com 20 m de
comprimento e 10 m de largura. A quantidade de litros de água a ser
acrescentada é
a) 4.000.
b) 8.000.
c) 20.000.
d) 40.000.
e) 80.000.
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297
163. (UFRGS) Certa qualidade de queijo é vendida em
embalagens esféricas com 2 tamanhos. A embalagem menor tem
capacidade para 250 g de queijo, e seu raio é metade do raio da
maior. A quantidade total de queijo que a embalagem maior pode
conter é
a) 500 g
b) 1 Kg
c) 1,250 Kg
d) 1,500 Kg
e) 2 Kg
164. (UFRGS) Uma esfera de volume 36pi está inscrita em um
cilindro de volume igual a
a) 9pi
b) 18pi
c) 24pi
d) 54pi
e) 60pi
165. (UFRGS) Uma ampulheta pode ser considerada como
formada por 2 cones retos idênticos, unidos pelo vértice, inscritos em
um cilindro reto. A razão entre o volume de um dos cones e o volume
do cilindro é
a) 1
2
b) 1
3
c) 1
4
d) 1
6
e) 1
8
166. (UFRGS) Numa pirâmede regular, a base é um quadrado de
lado a. Suas faces laterais são triângulos equiláteros. O volume desta
pirâmide é
a) 2 a³
12
b) 2 a³
6
c) 2 a³
3
d) 3 a³
12
e) 3 a³
6
167. (UFRGS 00) Na figura, O é o centro do cubo.
Se o volume do cubo é 1, o volume da pirâmede de base ABCD e
vértice O é
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/6
e) 1/8
168. (UFRGS 00) A figura abaixo representa a planificação de
um sólido.
O volume desse sólido, de acordo com as medidas indicadas, é
a) 180
b) 360
c) 480
d) 720
e) 1440
169. (UFRGS) A área da base de uma caixa em que todas as
faces são retangulares é 320 cm², a área de uma face lateral é 160
cm² e de outra face lateral é 128 cm². O volume desta caixa, em
cm³, é
a) 2560
b) 1280
c) 640
d) 608
e) 320
170. (UFRGS) O volume de um tetraedro regular de aresta 1
vale
a) 1
b) 2
4
c) 6
8
d)
9
6
e) 2
12
171. (UFRGS) O valor numérico de cada aresta de um cubo é 2,
e os pontos P, Q e R são pontos médios de três arestas, como no
desenho abaixo. Um plano passando pelos pontos P, Q e R secciona o
cubo em dios sólidos. A razão entre o volume do sólido menor e o
volume do cubo é
a) 1/48
b) 1/32
c) 1/24
d) 1/16
e) 1/12
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298
172. (UFRGS) O volume do prisma da figura abaixo é 20 cm³. Se
fizermos um corte paralelo ao retângulo BCFE passando pelo ponto
médio de AC , obteremos dois novos sólidos.
O volume do menor sólido obtido será
a) 2,5 cm³
b) 5 cm³
c) 7,5 cm³
d) 10 cm³
e) 12,5 cm³
173. (UFRGS) Os canos cilíndricos A e B são feitos do mesmo
material e têm a mesma espessura. O cano A tem raio r e
comprimento l . O cano B tem raio 2r e comprimento
4
l
. A razão
entre os pesos dos canos A e B é:
a) 1
b) 2
c) 2pi
d) 4
e) 4pi
174. (UFRGS) A figura ao lado representa um recipiente cônico
com 1 metro de altura.
O volume de água será a metade da capacidade desse recipiente
quando o medidor de nível marcar, com erro inferior a 1 cm,
a) 80 cm
b) 70 cm
c) 60 cm
d) 50 cm
e) 40 cm
175. (UFRGS 00) A figura abaixo representa um cubo de centro O.
Considere as afirmações abaixo.
I. O ponto O pertence ao plano BDE.
II. O ponto O pertence ao plano ACG.
III. Qualquer plano contendo os pontos O e E também contém C.
Quais estão corretas?
a) Apenas I
b) Apenas II
c) Apenas I e II
d) Apenas I e III
e) Apenas II e III
176. (UFRGS) Um poliedro de onze faces tem seis faces triangu-
lares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e de vérti-
ces deste poliedro é, respectivamente:
a) 34 e 10
b) 19 e 10
c) 34 e 20
d) 12 e 10
e) 19 e 12
177. (UFRGS) O volume do cubo cuja diagonal mede 3 é:
a) 27
b) 9
c) 6
d) 33
e) 3
178. (U.Católica Dom Bosco-MS) Um cilindro eqüilátero de volu-
me V m3 encontra-se cheio de água, quando uma esfera, cujo raio
coincide com o raio da base do cilindro, é mergulhadacompletamente
no cilindro fazendo transbordar certa quantidade de água. Nessas
condições, o volume, em m³, de água restante no cilindro é igual a:
a) 0
b) V/4
c) V/3
d) V/2
e) 3V/4
179. (UFRGS) Seja um cilindro de revolução de volume V. Se
quadruplicarmos a medida do raio da base e reduzirmos sua altura à
metade, seu volume passa a ser:
a) 2V
b) 4V
c) 6V
d) 8V
e) 16V
180. (UFRGS) Se o volume de uma esfera é pi /6, então seu
diâmetro é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 6
e) 6
181. (UFRGS 00) O volume de uma esfera A é 1/8 do volume de
uma esfera B. Se o raio da esfera B mede 10, então o raio da esfera
A mede
a) 5
b) 4
c) 2,5
d) 2
e) 1,25
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299
182. (UFRGS) Uma esfera de raio 2 cm é mergulhada num copo
cilíndrico de 4 cm de raio, até encostar no fundo, de modo que a
água do copo recubra exatamente a esfera.
Antes da esfera ser colocada no copo, a altura de água era
a) 27/8 cm
b) 19/6 cm
c) 18/5 cm
d) 10/3 cm
e) 7/2 cm
183. (UFRGS) A figura abaixo representa a planificação de um
sódio. O volume deste sódio é
a) 20 3
b) 75
c) 50 3
d) 100
e) 100 3
184. (UFRGS) A área total de um tetraedro regular é 12 . A
sua aresta vale
a) 1
b)
2
3
c) 2
d) 2
e) 4
185. (UNISC) Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as
arestas iguais a x. A área total dessa pirâmide é:
(A) 32 2x
(B) 322 xx +
(C) 2
33x
(D) 22 34 xx +
(E) 6x
Geometria Analítica
186. (UFRGS) O perímetro do quadrado da figura é 8. A
equação da reta r é
a) x – y – 2 = 0.
b) x + y – 2 = 0.
c) 2x + y – 2 = 0.
d) 2x - y - 2 = 0.
e) 2x + y + 2 = 0.
187. (UFRGS) A distância entre os pontos A (-2, y) e B (6, 7) é
10. O valor de y é:
a) –1
b) 0
c) 1 ou 13
d) –1 ou 10
e) 2 ou 12
188. (UFRGS) Os pontos A (-3, 2) e B (3, 2) são extremidades
de um diâmetro da circunferência de equação
a) x² - (y – 2)² = 9
b) X² - (y – 2)² = 3
c) (x – 3)² - (y – 2)² = 9
d) (x – 3)² - (y – 2)² = 3
e) X² - (y - 2) = 3
189. (UFRGS) A equação x² + y² + 4x – 6y + m = 0 representa
um círculo se e somente se
a) m > 0
b) m < 0
c) m > 13
d) m > -13
e) m < 13.
190. (UFRGS) Um círculo com centro C = (2, -5) tangencia a
reta de equação x – 2y –7 = 0. O valor numérico da área da região
limitada pelo círculo é
a) 4pi
b) 5pi
c) 6pi
d) 7pi
e) 8pi
191. (UFRGS) O centro O = (x, y) de uma circunferência que
passa pelos pontos (-1, 1) e (1, 5), tem as coordenadas na relação:
a) 2y + x = 6
b) 5y + 2x = 15
c) 5y + 3x = 15
d) 8y + 3x = 25
e) 9y + 4x = 36
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300
192. (UFRGS) No paralelogramo ABCD da figura abaixo,
AB = 3 e BC = 2.
Se A = (-1, 0), então C é igual a
a) (2, 2)
b) (3,2 3 )
c) (3, 3 )
d) (2, 3 )
e) (3, 2)
193. (UFRGS) Observe a figura abaixo.
Os lados do triângulo retângulo hachurado são segmentos das retas
dadas pelas equações:
a) y = 2, y = -1 x + 2 e y = 2x + 2
2
b) x = 1, y = -x + 2 e y = x + 2
c) x = 1, y = -2x + 2 e y = 1 x + 2
2
d) y = 2, y = x + 2 e y = -x + 2
e) x = 1, y = -x +1 e y = x + 2
194. (UFRGS) As retas x + y – c = 0 e x +by + 3c = 0, com b, c
∈ ℜℜℜℜ , interceptam-se no ponto (-1, 2). O valor de b + c é
a) –1
b) 0
c) 1
d) 2
e) 3
195. (UFRGS) Um paralelogramo tem vértices A, B, C e
D (-1, 4), sendo A e B consecutivos. Se A e B pertencem à reta
2x – 3y + 7 = 0, então a reta que contém C e D tem equação
a) 2x – 3y + 14 = 0
b) 2x – 3y – 14 = 0
c) 2x + 3y + 14 = 0
d) 3x – 2y – 14 = 0
e) 3x + 2y + 14 = 0
196. (UFRGS) A reta de equação
x – y – 1 = 0 tangencia a circunferência de equação
(x – 2)² + (y – 1)² = m no ponto T(1, 2). O valor de m é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 2
197. (UFRGS) Considere a circunferência inscrita no triângulo
equilátero, conforme mostra a figura abaixo.
A equação da circunferência é
a) ( ) 11 22 =−+ yx
b)
4
3
2
3
2
2
=
−+ yx
c)
3
4
3
32
2
2
=
−+ yx
d)
16
3
4
3
2
2
=
−+ yx
e)
3
1
3
3
2
2
=
−+ yx
198. (UFRGS) Considere a reta r passando em P (0, 3). Duas
retas p e q, paralelas ao eixo das ordenadas e distantes entre si 2
unidades, são interceptadas no 1º quadrante pela reta r em 2 pontos,
cuja distância é 2 5 unidades. A equação de r é
a) y = 3x – 2
b) y = 2x + 3
c) 3x + y – 3 = 0
d) y = -2x – 3
e) 3x – y + 3 = 0
199. (UFRGS 00) No sistema de coordenadas cartesianas
retangulares, a reta de equação y = x + b intercepta a curva de
equação x² + y² = 8. Então
a) l b l ≤ 2
b) l b l ≤ 2 2
c) 2 2 ≤ b ≤ 4
d) 2 ≤ b ≤ 2 2
e) l b l ≤ 4
200. A distância da origem do sistema cartesiano ao ponto
médio do segmento de extremos (-2,-7) e (-4,1) é:
a) 5
b) 2 2
c) 2 3
d) 3 3
e) 3 2
201. (UFRGS) A medida do lado AC do triângulo cujos vértices
são os pontos A(-a,0), B(a,0) e C(0,a) é
a)
2
2a
b) a
c) 2a
d) 2a
e) a22
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301
202. (UFRGS) As retas 11 += xy e x
m
my
2
1
2
+−
=
são per-
pendiculares. O valor de m é
a) 2
b) 1
c) 0
d) -1
e) -2
203. (UFRGS) A equação reduzida da reta que contém os pontos
A (2,-5) e B (-1,1) é
a) y=-2x–1
b) Y=-2x+1
c) Y=2x
d) Y=-x+2
e) Y=x+2
204. (UFRGS) Um quadrado tem um de seus vértices na origem
do sistema de coordenadas cartesianas e outro vértice, oposto ao
primeiro, no ponto (-6,-2). Se usarmos o metro como unidade de
comprimento, a área deste quadrado medirá, em metros quadrados:
a) 102
b) 40
c) 20
d) 10
e) N.d.a.
205. A reta de equação 062 =−+ yx intersecciona os eixos do
sistema de coordenadas cartesianas formando com eles um triângulo.
A área deste triângulo é:
a) 6
b) 12
c) 8
d) 10
e) 9
206. (UFRGS) O triângulo AOB representado no gráfico abaixo, é
isósceles. Se a área deste triângulo é
2
9
u.a., então a equação da
reta suporte do lado AB é:
a) x + y - 3 = 0 A
b) x - y - 3 = 0
c) x - y + 3 = 0
d) 9x - 2y + 3 = 0
e) 2x - 9y + 3 = 0 B
207. (Mack) O segmento de extremidades P(2,8) e Q(4,0) é o
diâmetro de uma circunferência cuja equação é:
a) ( ) 28913 22 =++ yx
b) ( ) ( ) 8525 22 =−++ yx
c) ( ) ( ) 3431 22 =−++ yx
d) ( ) ( ) 1743 22 =−+− yx
e) ( ) ( ) 3457 22 =−+− yx
Matrizes e Determinantes
208. (UFRGS) x 0 0
A matriz A = 0 2 0
0 0 2
é tal que det (A4) = 2 / x. O valor de x é
a) 1
32
b) 1
2
c) 1
5
d) 5
e) 32
209. (UFRGS) Se A, B e C são matrizes de ordens
respectivamente iguais a 2 x 3, 3 x 4 e 4 x 2, então
(A . (B . C))² tem ordem
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 6
(E) 12
210. (UFRGS)
a b 3 a + 1 3b + 1
Se =2, então vale
2 2 1 1
(A) 3
(B) 4
(C) 6
(D) 8
(E) 12
211. (UFRGS) A matriz C fornece, emreais, o custo das porções
de arroz, carne e salada usandos num restaurante:
1 arroz
C = 3 carne
2 salada
A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada
usados na composição dos pratos tipo P1, P2, P3 desse restaurante:
arroz carne salada
2 1 1 prato P1
P 1 2 1 prato P2
2 2 0 prato P3
A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1,
P2, P3 é:
a)
8
9
7
b)
4
4
4
c)
4
11
9
d)
8
6
2
e)
4
2
2
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302
212. (UFRGS 00)
1 1
Se A= , então A² é a matriz
-1 -1
(A) 1 1
-1 -1
(B) 0 0
0 0
C) 1 1
1 1
(D) -1 -1
1 1
(E) 2 2
-2 -2
213. (UFRGS) O conjunto dos números reais x, que tornam a
matriz
sen(x) - cos(x)
inversível, é
cos(x) sen(x)
(A) ø
(B) {0}
(C) {1}
(D) {0, 2pi }
(E) R
214. (UFRGS) O diagrama abaixo representa um mapa
rodoviário, mostrando as estradas que ligam as cidades 1, 2, 3 e 4.
A matriz A = [aij]4x4 associada a este mapa é definida da seguinte
forma:
1 se i está ligada diretamente a j
aij =
0 se i = j ou i não tem ligação direta com j
Sabendo que i, j referem-se às cidades do mapa e variam no
conjunto {1, 2, 3, 4}, assinale a alternativa incorreta
(A) aij = aji
(B) a21 = a23 = a24
(C) aii = 0
(D) aij + aji = 1
(E) aij ≥ 0
215. (UFRGS) Na equação seguinte
0 cosx senx
0 senx cosx = 1
cos² + sen²x 0 0
um possível valor para x é
(A) 0
(B) pi
6
(C) pi
4
(D) pi
3
(E) pi
2
216. O determinante da matriz
1 2 3
a 2a 3a é nulo
b + 1 b + 2 b + 3
(A) para quaisquer valores de a e b
(B) apenas se a = 0
(C) Apenas se b = 0
(D) somente se a = b
(E) somente quando 1 + 2a + (b + 3) = 0
217. (UFRGS) Uma matriz quadrada de ordem 20 tem a seguinte
configuração:
A soma dos elementos da vigésima linha é
(A) 4010
(B) 3820
(C) 2710
(D) 1350
(E) 580
218. (UFSM) Analise as afirmações a seguir.
I. A matriz
( )
( )
−
−
224
0
122
cc
xb
aa
é inversível se x = 2b.
II. Se det(AB) = m, pode-se garantir que existe detA e detB.
III. Se detA=m≠0 e detB=1/m, então det(AB)=1.
Está(ão) correta(s):
a) Apenas I.
b) Apenas II.
c) Apenas III.
d) Apenas II e III.
e) I, II e III.
219. (UFRGS) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e
det(A)=5, então o valor do det(2A) é:
a) 5
b) 10
c) 20
d) 25
e) 40
220. (UFRGS) Se
121296
321
−=
zyx
, então
321
432
zyx
vale:
a) –4
b) –4/3
c) 4/3
d) 4
e) 12
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303
221. (UFPR) Sendo 211
012
101
−
=a
e 4/11
2/12
−
=b
, quanto vale o
número 3(a+b)?
a) 1/3
b) 9
c) 3
d) 1/9
e) 1
222. (UFRGS) Uma matriz A=(aij), quadrada de ordem n, é tal
que aij=0 sempre que ixj>i+j. Caso contrário, aij=1. A soma de todos
os elementos da matriz é:
a) 2n
b) 2n–1
c) 2n+1
d) n+1
e) n
223. (UFRGS) A soma de todos os elementos da matriz A=(aij)
onde aij= 2 se i=j ou aij=0 se i≠j é:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10
224. (UCS) A matriz At, quadrada de ordem 2 tal que A=(aij)
onde aij=3j-4i é:
a)
−−
−
25
21
b)
−
−−
22
51
c)
−
25
21
d)
− 22
51
e)
−
−−
22
31
225. (UFRGS) A matriz transposta da matriz quadrada A=(aij) de
ordem 2 com aij=i
j+2, 1 ≤ i ≤ 2 e 1 ≤ j ≤ 2, é:
a)
64
42
b)
64
33
c)
63
43
d)
46
33
e)
64
32
226. (UFSM) A é uma matriz m x n e B é uma matriz m x p. A
afirmação falsa é:
a) A + B existe se, e somente se, n = p
b) A = At implica m = n
c) AB existe se, e somente se, n = p
d) ABt existe se, e somente se, n = p
e) AtB existe sempre
227. (UCPEL) Sejam A=(aij)2x2 e B=(bij)2x2, onde aij=i-j e bij=j-i,
então o produto AB será igual a:
a) -A
b) At
c) -B
d) Bt
e) I2
228. (UCMG) O traço da matriz resultante do produto das matri-
zes
−−−
−
×
231
310
102
042
413
231
é:
a) -1
b) 3
c) 13
d) 20
e) 23
229. (UFSM) Das as matrizes
−
=
52
3x
A e
=
1
35
y
B , os
valores de x e y, para que
=×
10
01
BA
, são respectivamente:
a) 2 e –1
b) 1 e 2
c) -1 e –2
d) -1 e 2
e) -2 e 1
230. (UFSM) Sejam
−
=
a
a
x
2
1 e
−
=
28
42
y , onde a ∈ ℜ. Se
x2=y, então a é:
a) -2
b) -1
c) -1/2
d) 1
e) 1/2
Sistemas Lineares
231. (UFRGS) Suponha que o sistema linear
ax + by = c
dx + ey = f
onde x e y são variáveis e a, b, c, d, e, f são números reais fixos,
admita diferentes soluções. Considere as afirmações.
a b
I. = 0
d e
a c
II. = 0
d f
c b
III. ≠ 0
f e
Quais estão corretas?
(A) Apenas I.
(B) Apenas I e II.
(C) Apenas I e III.
(D) Apenas II e III.
(E) I, II e III.
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304
232. (UFRGS 00) O sistema de equações
x + y – z = 3
x – y + z = 1
x + 3y – 3z = a
tem solução se e só se o valor de a é:
(A) 6.
(B) 5.
(C) 4.
(D) 2.
(E) Zero.
233. (UFRGS) As ternas ordenadas (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) são
soluções distintas do sistema
x + ay + bz = 0
ax + y + bz = 0
-x + y + z = 0
Então, o valor absoluto de a é
(A) ab
(B) a
(C) b
(D) 1
(E) 0
234. (UFRGS) O sistema ax + 5y + az = 0
x + ay = 0
y + az = 0
tem coeficientes reais e mais de uma solução. O conjunto de todos os
valores que o coeficiente a pode assumir é
(A) {-2}
(B) {0}
(C) {2}
(D) {-2, 2}
(E) {-2, 0, 2}
235. (UFRGS) O Sistema
x + y + z = 0
ax + z – t = 0
- y – z + 2at = 0
y – at = 0
com incógnitas x, y, z, t tem mais de uma solução. Os possíveis
valores que a pode assumir são:
(A) ímpares
(B) inteiros
(C) negativos
(D) irracionais
(E) Imaginários.236. (UFRGS) As soluções do sistema de equações
4x – 3y + z = 0
2x – 3z = 0
-8x + 6y – 2z = 0
estão representadas pela terna
(A) ( x, 14x/9,2x/3).
(B) (x, 14x, -2x/3).
(C) (x,- 14x/9,2x/3).
(D) (x, 14x,2x/3).
(E) (x, 14x/9, -2x/3).
237. (UFRGS-97) O sistema linear
=+
=−
24
1
myx
yx possível e
determinado se e somente se:
a) m = 2.
b) m = 4.
c) m ≠ - 4.
d) m ≠ 1.
e) 4m = 1.
238. (FUVEST) Se
=+
−=−
−=+
1
83
74
zy
yx
zx
, então o valor de x + y +z é:
a) -2
b) -1
c) 0
d) 1
e) 2
239. (UFRGS) A terna ordenada (x,y,z)=(1,2,3) é solução do
sistema linear abaixo.
=−++
=+++
01
01
zbyax
bzayx Os valores de a e b são, respecrivamente:
a) 2 e –2.
b) 1 e 2.
c) 2 e 3.
d) –1 e 2.
e) 1 e –3.
240. (PUC) Considere o seguinte sistema de equações de incóg-
nitas x e y:
=+
=+
=+
5y2kx
6y5x3
4y2x6
Esse sistema tem uma única solução para certo núme-
ro real k que é um:
a) Quadrado perfeito.
b) Número primo.
c) Número racional não-inteiro.
d) Número negativo.
e) Múltiplo de 5.
Polinômios
241. (UFRGS) A equação algébrica de raízes –2, 0, 1 é:
(A) x² - x = 0.
(B) x² - 2x = 0.
(C) x³ + x² - 2x = 0.
(D) x³ - x² - 2x = 0.
(E) x³ + 2 = 0.
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305
242. (UFRGS) A função polinomial que melhor se identifica com
a figura é definida por:
y
2
1 2 x
(A) p(x) = x² - 3x + 2.
(B) p(x) = -x² + 3x –2.
(C) p(x) = 2(x –1) (x – 2).
(D) p(x) = x³ - 4x² + 5x + 2.
(E) p(x) = - x³ + 4x² - 5x + 2.
243. (UFRGS) O conjunto { (x, y) ∈ R x R y = p(x) } está
representado pela curva da figura. A expressão que pode representar
o polimômio p(x) é:
a) x(x – 1)4 y
b) x(x – 1)³.
c) x(x –1).
d) x²(x – 1).
e) x³(x – 1). 1 x
244. (UFRGS) Ográfico representa a função y = p(x).
Sabendo-se que p(x) é um polinômio com raízes reais, todas elas
apresentadas no gráfico, assinale a afirmação incorreta.
(A) O polinômio tem uma raiz múltipla.
(B) O polinômio tem 3 raízes distintas.
(C) O grau do polinômio é par.
(D) O termo independente do polinômio é zero.
(E) O número total de raízes do polinômio é 3.
245. (UFRGS) Um polinômio p(x) de grau 3 tem as seguintes
propriedades:
1. É divisível por ( x + 2).
2. O resto da divisão por ( x – 1) é 3.
3. Zero é uma raiz de multiplicidade 2.
O polinômio p(x) tem equação:
(A) p(x) = x³ + 2x.
(B) p(x) = 2x³ + x².
(C) p(x) = x³ + x² + 1.
(D) p(x) = x³ + 2x².
(E) p(x) = 3x³.
246. (UFRGS) Se p(x) = x³ + 2x² - 4x – 3 e p(a) = 5, então a é:
(A) imaginário.
(B) irracional.
(C) positivo.
(D) negativo.
(E) inteiro.
247. (UFRGS) Se p(x) e q(x) são polinômios de graus
respectivamente iguais a n e a m, então o grau de
2(x – 1)³ p(x) q4(x) é:
(A) 12 n m.
(B) 12 n m 4.
(C) 3 n m 4.
(D) 3 + n + 4m.
(E) 3 + n +m 4.
248. (UFRGS) O resto da divisão de p(x) = x³ - 2x² + x – 1 por
q(x) = x² - x + 1 é o polinômio r(x). O valor de r(1) é:
(A) 2.
(B) 1.
(C) 0.
(D) –1.
(E) –2.
249. (96) Considere as afirmações sobre o polinômio
p(x) = (x + 1) (x –1)² (x – 3)³.
I. p(x) ≥ 0 em (-∞, - 1].
II. p(x) ≥ 0 em [ 3, + ∞).
III. p(x) troca de sinal em [ -1, 3].
Quais estão corretas?
(A) Apenas I.
(B) Apenas III.
(C) Apenas I e II.
(D) Apenas I e III.
(E) I, II e III.
250. (UFRGS) Os polinômios p(x) = x4 – 5x³ e q(x) = x4 – 5:
(A) têm exatamente as mesmas raízes.
(B) têm três raízes em comum.
(C) têm duas raízes em comum.
(D) têm uma raiz em comum.
(E) não têm raízes em comum.
251. (UFRGS) Se P(x)=3x2+12x–7, então P(-1) vale:
a) -16
b) -7
c) 0
d) 3
e) 24
252. (UFRGS) A divisão de P(x) por x2+1 tem quociente x – 2 e
resto 1. O polinômio P(x) é:
a) x2 + x - 1
b) x2 + x – 1
c) x2 + x
d) x3 -2x2 + x – 2
e) x3 -2x2 + x -1
253. (UFRGS) Se p(x) = 3x3-cx²+4x+2c é divisível por x+1,
então:
a) c = -1/3.
b) c = 1/3.
c) c = 7.
d) c = 39.
e) c = -7.
254. (UFRGS 00) O polinômio p(x)=ax4+3x³-4x²+dx–2, com
a≠0, admite 1 e –1 como raízes. Então:
a) a = 6 e d = -3.
b) a = 3 e d = -3.
c) a = -3 e d = 3.
d) a = 9 e d = -3.
e) a = -3 e d = 6.
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306
255. (UFRGS) Considere as afirmações:
I. Se p(x) e q(x) são polinômios de grau n, então p(x)+g(x) é um
polinômio de grau 2n.
II. O resto na divisão de p(x)=mx³+x²-x por q(x)=x–1 é igual a m.
III. O produto de um polinômio de grau n por (x-a) é um polinômio
de grau n+1.
Quais estão corretas?
a) Apenas I.
b) Apenas I e II.
c) Apenas III.
d) Apenas II eIII.
e) I, II e III.
256. (UFRGS) Se o polinômio p(x) tem exatamente três raízes
distintas a, b, c, o produto p(x).p(x) terá como raízes:
a) a², b², c².
b) a, -a, b, -b, c, -c.
c) a, b, c.
d) 2a, 2b, 2c.
e) ab, ac, bc.
257. (UFRGS) O polinômio p(x)=x³+10:
a) não tem raízes reais.
b) tem uma raiz positiva e duas imaginárias.
c) tem uma raiz tripla.
d) tem uma raiz negativa e duas imaginárias.
e) tem três raízes reais distintas.
258. (Fuvest-SP) O polinômio x4+x²–2x+6 admite 1+i como raiz,
onde i²=–1. O número de raízes reais deste polinômio é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
259. O polinômio P(x) representado no gráfico é tal que P(3) é:
(A) –6
(B) -10 2
(C) 6
(D) 9
(E) nda
1 2
Números Complexos
260. (UFRGS) A forma a + bi de z = (1 + 2i) / (1 – i) é:
(a) 1/2 + 3/2 i.
(b) –1/2 + 3/2 i.
(c) –1/2 + 2/3 i.
(d) –1/2 – 2/3 i.
(e) 1/2 - 3/2 i.
261. (UFRGS) O número Z = (m –3) + (m² - 9) i será um
número real não nulo para:
(a) m = -3.
(b) m < -3 ou m > 3.
(c) –3 < m < 3.
(d) m = 3.
(e) m > 0.
262. (UFRGS) Na figura o número complexo Z é:
(a) 2 + 2 . i
2 2
(b) - 2 - 2 . i
2 2
(c) 2 + 2 . i
(d) - 2 - 2 .i.
(e) 2 - 2 .i
263. (UFRGS) A soma das raizes não reais de x³ - 3x² - 4 = 0 é:
(a) –2
(b) –1
(c) 0
(d) 1
(e) 2
264. ( UFRGS) Considere z1 = -3 + 2i e z2 = 4 + i. A
representação trigonométrica 21 ZZ + é:
(a) cos
4
pi
+ sen
4
pi
(b) 2 cos
4
pi
+ sen
4
pi
(c) cos
4
3pi
+ sen
4
3pi
(d) 2 cos
4
7pi
+ i sen
4
7pi
(e) cos
4
7pi
+ sen
4
7pi
265. (UFSM) A parte real e o coeficiente da parte imaginária do
número
i−2
1 são, respectivamente:
a) 1/5 e 2/5
b) 2/5 e -1/5
c) 2/5 e 1/5
d) 1/2 e -1
e) n.d.a.
266. (UFRGS) A raiz x da equação
a²x – b = 0, para a = 1 + i e b = 2 – i, é:
a) –0,5–i
b) –0,5+i
c) 0,5–i
d) 0,5+i
e) -1–2i
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307
267. (UFRGS) Dados os números complexos
Z1 = 7 - 2 i.
Z2 = 1-2 2 i.
Z3 = 3i.
A alternativa correta é:
a) Z1 e Z2 têm mesmo conjugado.
b) a parte real de Z1 é menor que a parte real de Z2.
c) a soma de Z1 com Z3 é um número real.
d) a parte imaginaria de Z3 é zero.e) Z1 , Z2 e Z3 têm módulos iguais.
268. (UFRGS) Se Z= 3 +i e z¹=3+ 3 i, então z.z¹ tem módulo e
argumento, respectivamente, igual a:
a) 2 3 e 30º.
b) 3 2 e 30º.
c) 3 2 e 60º.
d) 4 3 e 30º.
e) 4 3 e 60º.
269. (UFRGS) Os vértices do retângulo hachurado da figura
abaixo representa os números complexos p, q, r, s.
Im(z)
Re(z)
0
Pode-se afirmar que p + q + r + s é o número complexo:
a) – i
b) i
c) 1
d) 0
e) 1 + i
270. (UFRGS) Sendo
i
iZ −−= 1 , a forma trigonométrica de Z é:
a) 2 (cos 135º + i sen 135º).
b) 2 (cos 45º + i sen 45º).
c) cos 120º + i sen120º.
d) 2 (cos 315º + i sen 315º).
e) √2 (cos 225º + i sen 225º).
271. (UFRGS) O valor de ( 3 + i)6 é:
a) 64 – 64i
b) 64i
c) -64i
d) - 64
e) 64
272. (UFRGS) Considera o ponto )5,35(P representado no
gráfico abaixo. A forma trigonométrica do número complexo Z, repre-
sentado pelo ponto P, é:
a) 10 (cos 300 + i sen 300)
b) 5 (cos 300 + i sen 300)
c) 10 (cos 450 + i sen 450)
d) 5 (cos 450 + i sen 450)
e) 5 (cos 600 + i sen 600)
273. (UCMG) A forma trigonométrica do número complexo
Z=4 i43 + é:
a) 8(cos30º+isen 30º)
b) 8(cos45º+isen 45º)
c) 8(cos60º+isen 60º)
d) 8(cos120º+isen120º)
e) 8(cos150º+isen150º)
Sessão Exercícios Complementares
Matemática Elementar
Cálculo Algébrico
1) Calcule:
Exemplo: (3x²+2x-1) + (-2x²+4x+2) = 3x²+2x-1-2x²+4x+2 =
x²+6x+1
a) (3a-2b+c) + (-6a-b-2c) + (2a+3b-c)
b) (3x²-1/3) - (6x²-4/5)
c) (2a-3ab+5b) - (-a-ab+2b)
2) Efetue e simplifique:
Exemplo: (2x+3).(4x+1) = 8x²+2x+12x+3 = 8x²+14x+3
a) (2a+3b).(5a-b)
b) (x-y).(x²-xy+y²)
c) (3x-y).(3x+y).(2x-y)
3) Simplifique:
Exemplo: 10x³y²/5x²y = 2xy
a) 8a³b²/2ab²
b) 4a³-2a²+8a / 2a
c) 18x³y²/6x²y³
4) (Fuvest) O valor da expressão a³-3a²x²y², para a=10, x=3 e
y=1 é:
(a) 100 (b) 50 (c) 250 (d) -150 (e) -200
5) (Fuvest) Se A=(x-y)/xy, x=2/5 e y=1/2, então A é igual a:
(a) -0,1
(b) 0,2
(c) -0,3
(d) 0,4
(e) -0,5
Produtos Notáveis
1) Calcule os produtos notáveis:
a) (a+2)(a-2)
b) (xy+3z)(xy-3z)
c) (x²-4y)(x²+4y)
d)
e) (x+3)²
f) (2a-5)²
g) (2xy+4)²
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308
h)
i) (x+4)³
j) (2a+b)³
l) (a-1)³
Equações – 10 e 20 Graus
Represente graficamente a função definida por:
a) f(x) = 2x-1
b) f(x) = -1/2x+3
c) f(x) = 4x
d) f(x) = 1/3x+2
e) f(x) = -3x+6
Determine a raiz ou zero de cada uma das seguintes equações:
a) f(x) = 2x+5
b) f(x) = -x+2
c) f(x) = 1/3x+3
d) f(x) = 1-5x
e) f(x) = 4x
Complete o quadro conforme o exemplo:
Equação
Coeficientes
a b c
6x²-3x+1=0 6 -3 1
-3x²=5/2+4x
y²=5y
6x²=0
Determine as raízes das seguintes equações:
a) x²-3x+2=0
b) 2y²-14y+12=0
c) -x²+7x-10=0
d) 5x²-x+7=0
e) y²-25=0
f) x²-1/4=0
g) 5x²-10x=0
h) 5+x²=9
i) 7x²-3x=4x+x²
j) z²-8z+12 = 0
Determine o valor de k nas equações, de modo que:
a) x² - 12x + k = 0 , tenha duas raízes reais e iguais
b) 2x² - 6x +3k = 0, não tenha raízes reais
c) x² + kx + 4 = 0, tenha raízes reais e iguais
d) kx² - 2(k+1)x + (k+5) = 0, tenha duas raízes reais e diferentes
Complete o quadro:
Lembre-se: Soma das raízes de uma equação do 2º grau = -
b/a
Produto das raízes de uma equação do 2º grau = c/a
Equação Soma das raízes Produto das raízes
x² - 6x + 9 = 0 6 9
x² - 2x + 3 = 0
2x² + 5x - 8 = 0
x² + 5x -24=0 -5 24
5 -6
-6 -3
4) Dê o conjunto solução das seguintes equações fracionárias:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Dê o conjunto solução das seguintes equações literais:
a) x² - (a+1) + x = 0
b) x² - (a+m) + am = 0
c) y² - by - 2b³ = 0
d) ax² - (a²+1) + a = 0
e) x² - 3rx + 2r² = 0
Dê o conjunto solução das seguintes equações biquadradas:
a)
b)
c)
d)
e)
Raízes e Radicais
1) Dê o valor de cada radical no campo dos número reais. Caso não
exista, escreva: não existe.
a)
h)
b)
i)
c)
j)
d)
l)
e)
m)
f)
n)
g)
o)
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309
Aplicação de propriedades:
Exemplo 1:
a)
b)
c)
d) [Nota]: 25 = 5²
e)
Exemplo 2:
f)
g) [Nota]:
h)
i)
j)
Exemplo 3:
l)
m)
n)
Exemplos 4: ;
o)
p)
q)
r)
Exemplo 5:
s)
t)
Exemplo 6:
u)
v)
x)
z)
Exemplo 7:
a`)
b`)
c`)
d`)
Exemplos 8:
e`)
f`)
g`)
h`)
i`)
Sistemas de Equações
1) Resolva os seguintes sistemas:
a)
b)
c)
d)
2) Problemas com sistemas já montados:
a) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e
82 pes. Quantas são as galinhas e os coelhos?
x+y=23
2x+4y=82
b) A soma das idades de duas pessoas é 25 anos e a diferença
entre essas idades é de 13 anos. Qual a idade de cada uma?
x+y=25
x-y=13
c) A soma de dois números é 50 e o maior deles é igual ao dobro
do menor, menos 1. Quais são os números?
x+y=50
x=2y-1
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310
d) Duas pessoas ganharam, juntas, 50 reais por um trabalho e uma
delas ganhou 25% do que a outra. Quanto ganhou cada pessoa?
x+y=50
x=1/4y
e) O preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira e
duas canetas juntas custam 30. Qual o preço da caneta e da lapi-
seira?
x=2y
x+y=30
3) (Fuvest) Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos meta-
de da água fora, seu peso cai para 180g. O peso do copo vazio é?
(A) 20g
(B) 25g
(C) 35g
(D) 40g
(E) 45g
4) (F.C.CHAGAS) Somando-se os 2/3 de um número x como os 3/5
do número y, obtém-se 84. Se o número x é metade do número y,
então a diferença y-x é igual a:
(A) 18
(B) 25
(C) 30
(D) 45
(E) 60
Porcentagem
1) Uma pessoa recebe R$ 10.000 por 25 dias de trabalho. Quanto
receberia se tivesse trabalhando 8 dias a mais?
a)R$ 12.300,00
b)R$ 10.400,00
c)R$ 11.300,00
d)R$ 13.100,00
e)R$ 13.200,00
2) No mesmo instante em que um prédio de 4,5m de altura projeta
uma sombra de 13,5 m, qual a sombra projetada por uma torre de
130 m de altura?
a) 290m
b) 390m
c) 490m
d) 590m
e) 690m
3) A razão das idades de duas pessoas é 2/3. Achar estas idades
sabendo que sua soma é 35 anos.
a) 14 e 20 anos
b) 14 e 21 anos
c) 15 e 20 anos
d) 18 e 17 anos
e) 13 e 22 anos
4) (FGV) Em 1º . 03 . 95 , um artigo que custava R$ 250,00 teve
seu preço diminuído em p% do seu valor . Em 1o . 04 . 95 , o novo
preço foi novamente diminuído em p% do seu valor , passando a
custar R$ 211,60 . O preço desse artigo em 31. 03 . 95 era :
a) R$ 225,80
b) R$ 228,00
c) R$ 228,60
d) R$ 230,00
e) R$ 230,80
5) A razão das áreas de duas figuras é 4/7. Achar essas áreas
sabendo que a soma é 66 cm².
a) 22cm² e 44cm²
b) 20cm² 46cm²
c) 21cm² e 45cm²
d) 24cm² e 42 cm²
e) 23cm² e 43cm²
6) A diferença dos volumes de dois sólidos é 9cm³ e a sua razão é
2/3. Achar os volumes.
a) 17cm³ e 28cm³
b) 18cm³ e 27cm³
c) 19cm³ e 28cm³
d) 20cm³ e 27cm³
e) n.d.a
7) Uma pessoa emprega uma quantia a juros simples de 6% duran-
te 5 anos e o montante a juros simples de 12% ao ano durante 2
anos e recebeu R$ 80.600,00 de montante . Qual o capital inicial ?
a) R$ 50.000
b) R$60.000
c) R$ 70.000
d) R$ 80.000
e) R$ 90.000
8) (PUC) Em uma corrida de cavalos , o cavalo vencedor pagou aos
seus apostadores R$ 9 por cada R$ 1 apostado . O rendimento de
alguém que apostou no cavalo vencedor foi de:
a) 800%
b) 90%
c) 80%
d) 900%
e) 9%
9) (FEI) O custo de produção de uma peça é composta por : 30%
para mão de obra , 50% para matéria prima e 20% para energia
elétrica . Admitindo que haja um reajuste de 20% no preço de mão
de obra , 35% no preço de matéria prima e 5% no preço da ener-
gia elétrica, o custo de produção sofrerá um reajuste de:
a) 60%
b) 160%
c) 24,5%
d) 35%
e) 4,5%
10) (UNESP) Entre 10 de fevereiro e 10 de novembro de 1990 o
preço do quilograma de mercadorias num determinado "sacolão"
sofreu um aumento de 275% . Se o preço do quilograma em 10de
novembro era de Cr$ 67,50 , qual era o preço em 10 de fevereiro ?
a) Cr$ 19,00
b) Cr$ 18,00
c) Cr$ 18,50
d) Cr$ 19,50
e) Cr$ 17,00
Combinações e Arranjos
1. Com as vogais: A,E,I,O e U, quantas permutações podem ser
formadas contendo as letras: A,E e I.
2. De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em
uma estante de biblioteca?
Auxílio: P(n)=n!, n=3
Resposta: N=1×2×3=6
3. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um
banco de jardim com 5 lugares?
Auxílio: P(n)=n!, n=5
Resposta: N=1×2×3×4×5=120
4. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar
com as letras da palavra AMOR?
Auxílio: P(n)=n!, n=4
Resposta: N=1×2×3×4=24
5. Quantos números com cinco algarismos podemos construir com
os números ímpares 1,3,5,7,9.
Auxílio:
Resposta: P(5)=120.
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311
6. Quantos números com cinco algarismos podemos construir com
os números ímpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os
algarismos 1 e 3.
Auxílio: Cada conjunto com os algarismos 13 e 31 forma um grupo
que junto com os outros, fornece 4 grupos.
Resposta: N=2×P(4)=2×24=48
7. Consideremos um conjunto com n letras. Quantas permutações
começam por uma determinada letra?
Resposta: N=P(n-1)=(n-1)!
8. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEF-
GHI?
Resposta: P(9)=9!
9. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEF-
GHI, começando por A?
Resposta: P(8)=8!
10. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEF-
GHI, começando por AB?
Resposta: P(7)=7!
11. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEF-
GHI, começando por ABC?
Resposta: P(6)=6!
12. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEF-
GHI, começando por uma das letras A, B ou C?
Auxílio: Começando por uma das letras A,B,C: P(8)=8!
Resposta: N=3×P(8)=3×8!
13. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEF-
GHI, começando pelas três letras do grupo ABC?
Auxílio: Começando pelas letras do grupo ABC: P(3)=3!=6
Resposta: N=P(3)×P(6)=6×120=720
14. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEF-
GHI, começando por uma vogal e terminando por uma consoante?
Auxílio: 3 são as vogais e 6 são as consoantes.
Resposta: N=P(3)×P(6)=6×120=720 (???)
15. Há 10 pessoas em um local, sendo 3 com camisas verdes, 3
com camisas amarelas, 2 com camisas azuis e 2 com camisas
brancas. De quantos modos podemos perfilar todas essas 10 pes-
soas de modo que os grupos com as camisas de mesma cor fiquem
juntos?
Auxílio: Temos 4 grupos de camisas, logo P(4) posições para as
equipes e os grupos podem permutar as suas posições, respectiva-
mente, P(3), P(3), P(2) e P(2).
Resposta: N=P(4)×P(3)×P(3)×P(2)×P(2)=3456
Exercícios de permutações com repetição
16. Quantos são os anagramas possíveis com as letras da palavra:
ARARA?
Auxílio: A letra A aparece 3 vezes e a letra R aparece 2 vezes.
Resposta: Pr(5;3+2)=5!/(3!2!)=10
17. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES?
18. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES
começando por U?
19. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES
terminando por S?
20. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES
começando por U e terminando por S?
21. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar
com as letras da palavra AMA?
Auxílio: p1=n(A)=2, p2=n(M)=1, N=Pr(3;2+1)
Pr(p;p1+p2)=(p1+p2)!/(p1!p2!)
Resposta:N=3!/(2!1!)=3
22. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar
com as letras da palavra AMAR?
Auxílio: N=(p1+p2+p3)!/(p1!p2!p3!),A=2,M=1,R=1
Resposta: N=4!/(2!1!1!)=12
23. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar
com as letras da palavra ARARUNA?
Auxílio: N=(p1+p2+p3+p4)!/(p1!p2!p3!p4!), A=3, R=2, N=1, U=1
Resposta: N=7!/(3!2!1!1!)=420
24. O número Pi com 10 algarismos (sem considerar a vírgula) é
indicado por 3141592653. Quantas são as permutações diferentes
que podemos construir com estes 10 algarismos
Auxílio: n(1)=n(3)=n(5)=2, n(2)=n(4)=n(6)=n(9)=1
Resposta: Pr(10,2+1+2+1+2+1+1)=10!/8=453600
25. Quantos são os anagramas possíveis com as letras da palavra:
MATEMATICA?
Auxílio: A letra A aparece 3 vezes, a letra M aparece 2 vezes, a letra
T aparece 2 vezes, a letras E aparece 1 vez , a letra I aparece 1 vez
e a letra C aparece 1 vez.
Resposta: Pr(10;3+2+2+1+1+1) = 10!/[3!2!2!1!1!1!] =151200
Exercícios de permutações circulares
26. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em
volta de uma mesa circular?
Auxílio: N=P(n-1)=(n-1)!, n=5
Resposta: N=1×2×3×4=24
27. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em
volta de uma mesa retangular?
Auxílio: N=P(n-1)=(n-1)!, n=5
Resposta: N=1×2×3×4=24
Exercícios de combinações simples
28. Um indivíduo possui 25 livros diferentes. De quantas formas
distintas ele poderá empacotar tais livros em grupos de 6 livros?
29. Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8
pessoas?
Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!]; m=8,p=3
Resposta: C=8!/(3!5!)=(8×7×6)/(1×2×3)=56
30. Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000
pessoas?
Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=1000, p=2
Resposta: C=1000!/(2!998!)=1000×999=999000
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312
Geometria Plana
Áreas de Regiões Circulares
1. Qual é o comprimento da circunferência de raio igual a:
a)r=5cm b)r=3,5cm c)r=3kcm d)r=a/2cm
2. Uma roda gigante tem 8 metros de raio. Quanto percorrerá
uma pessoa na roda gigante em 6 voltas?
3. Calcular o raio de uma roda gigante que em 6 voltas percorre
uma distância de 66 metros.
4. Dado um quadrado de perímetro 4L, obter: (a) O raio da
circunferência inscrita neste quadrado. e (b) O raio da circunferên-
cia circunscrita ao quadrado.
5. No R², uma circunferência tem centro no ponto (2,1) e passa
pelo ponto (5,-3). Qual é o comprimento da circunferência?
6. Calcular a área do círculo conhecendo-se o raio r ou o diâme-
tro d.
a) r=3cm b) d=3kR[2]cm c) r=2R[3]cm d) d=9cm
7. Calcular a área da região limitada por duas circunferências
concêntricas, uma com raio 10 cm e a outra com raio 6 cm.
8. Se os perímetros de dois círculos são proporcionais à razão
2:3, qual é a razão entre as áreas desses círculos?
9. Qual é a área do círculo circunscrito em um triângulo equilá-
tero cujo lado mede 18 cm?
10. Se a razão entre as áreas de dois círculos é 3:1, qual é a área
do círculo menor se a área do círculo maior é 27¶ cm²?
11. Um jardim de formato circular com 6 metros de raio tem a
metade de sua área removida para reduzir as despesas. Para isto
foi cortada uma borda de largura uniforme em toda a sua volta.
Qual é a largura desta borda?
12. Um triânguloequilátero de perímetro igual a 18 cm está
inscrito em uma circunferência. Calcular a área da região externa
ao triângulo que está dentro da circunferência.
13. Mostre que no hexágono regular o raio e o lado são congru-
entes, isto é, têm a mesma medida.
14. Considere um hexágono regular cuja área é 48R[3]cm².
Calcular a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito.
15. Dado um hexágono regular com área 48k²R[3]cm². Calcular
a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito.
16. As diagonais de um losango medem 18 cm e 24 cm. Qual é a
área do círculo inscrito neste losango?
17. Na figura ao lado, calcular a área e o perímetro do setor
circular se o raio da circunferência mede 12cm e o arco 60 graus.
18. Dada uma circunferência cujo raio mede 6 cm, calcular: (a) A
área do setor circular cujo arco A subjacente mede 120 graus e (b)
A área do segmento circular cujo arco A mede 120 graus.
19. Seja um triângulo equilátero cujo lado mede 2a. Ao traçar
arcos de circunferências de raio a, centrados nos três vértices do
triângulo, obtemos a região colorida como a da figura ao lado.
Calcular a área desta região.
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313
20. Sobre cada cateto de um triângulo retângulo traçamos uma
semicircunferência de acordo com a figura ao lado. Mostre que a
soma das áreas das lúnulas (pintadas de azul e verde) é igual a
área do triângulo.
21. Semicircunferências são traçados sobre os lados de um qua-
drado cujo lado mede 10 cm. Calcular a área das quatro pétalas
pintadas na figura ao lado.
22. Semicircunferências são traçados sobre dois lados de um
quadrado cujo lado mede 6 cm. Calcular a área da região pintada
na figura ao lado.
23. Dois círculos cujos raios medem 4 cm e 12 cm, estão lado a
lado, como mostra a figura. Qual é a medida da menor correia de
couro que contorna os dois círculos?
24. Duas circunferências de centros O e O' têm raios medindo 3
cm e 2 cm, respectivamente, e a medida m(OO')=13 cm. Se a reta
t é uma tangente comum às duas circunferências nos pontos A e B,
calcular a medida do segmento AB.
25. Calcular a área da região colorida, sabendo-se que cada
semicírculo possui o diâmetro igual ao raio do círculo imediatamen-
te maior.
Áreas de Regiões Poligonais
1. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da
altura respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um
outro paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura
do outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos para-
lelogramos?
2. A razão entre as medidas dos lados de dois quadrados é
1:3. Qual é a razão entre as áreas desses dois quadrados?
3. É possível obter a área de um paralelogramo, se conhe-
cemos apenas as medidas de seus lados?
4. É possível obter a área de um losango cujo lado mede 10
cm?
5. Qual é a área de um losango que possui diagonais me-
dindo 10 cm e 16 cm?
6. Calcular a área de cada quadrilátero indicado abaixo:
a. Quadrado com lado medindo 5/3 cm.
b. Quadrado com perímetro 12cm.
c. Retângulo com comprimento 3cm e perímetro 10cm.
d. Quadrado com perímetro 12R[3]cm.
7. Um dos lados de um retângulo mede 10 cm. Qual deve
ser a medida do outro lado para que a área deste retângulo seja
equivalente à área do retângulo cujos lados medem 9 cm e 12 cm?
8. Se um retângulo possui o comprimento igual ao quíntuplo
da largura e a área é igual a 80 cm², quais são as medidas de seus
lados?
9. Nos ítens abaixo, indicamos uma mudança na medida de
um dos lados. Que mudança deveremos realizar na medida do
outro lado do retângulo para que a área deste permaneça constan-
te?
a. A base é multiplicada por 3;
b. A altura é dividida por 2;
c. A base é aumentada 25%;
d. A base é diminuída 25%.
10. Calcular a área de um retângulo cujo lado mede s e a
diagonal mede d.
11. Um triângulo retângulo tem um ângulo de 30 graus.
Determinar as medidas dos catetos, se a hipotenusa é indicada por
a.
12. Um triângulo retângulo tem um ângulo de 45 graus.
Determinar as medidas dos catetos, se a hipotenusa é indicada por
a.
13. Obter a área de um paralelogramo conhecendo-se o
ângulo Â=30 graus e cada um dos dados abaixo:
a. AD = 4 R[3] cm e AB = 8 cm
b. AX = 3 cm e AB = 4 R[2] cm
c. AB = 10 cm e AD = 6 cm
d. AB = 6 cm e AX= 3 R[3] cm
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314
14. A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com
um triângulo retângulo isósceles em cima. Se um dos catetos do
triângulo mede 7 metros, qual é a área frontal desta casa?
15. A frente de uma casa tem a forma de um quadrado com
um triângulo retângulo isósceles em cima. Se a diagonal do qua-
drado mede 2R[2] m, calcular a área frontal desta casa.
16. O lado de um triângulo equilátero T1 mede 10 cm. Qual
deve ser a medida do lado de um outro triângulo equilátero T2 que
possui o:
a. dobro da área de T1?
b. triplo da área de T1?
c. quádruplo da área de T1?
Sessão Desafio
Prova da Olimpíada Matemática 2006 – Nível 3
1. No fim de 1994, Neto tinha a metade da idade de sua avó. A
soma dos anos de nascimento dos dois é 3844. Quantos anos Neto
completa em 2006?
A) 55 B) 56 C) 60
D) 62 E) 108
2. Quantos resultados diferentes podemos obter somando pares de
números distintos do conjunto {1,2, ,2006}… ?
A) 2006 B) 2007 C) 4009 D) 4011 E) 4012
3. Uma colônia de amebas tem inicialmente uma ameba amarela e
uma ameba vermelha. Todo dia, uma única ameba se divide em
duas amebas idênticas. Cada ameba na colônia tem a mesma
probabilidade de se dividir, não importando sua idade ou cor. Qual
é a probabilidade de que, após 2006 dias, a colônia tenha exata-
mente uma ameba amarela?
A) 2006
1
2
B)
1
2006
C)
1
2007
D)
1
2006 2007⋅
E)
2006
2007
4. Três quadrados são colados pelos seus vértices entre si e a dois
bastões verticais, como mostra a figura.
30°
126°
75° x
Qual a medida do ângulo x?
A) 39º B) 41º C) 43º
D) 44º E) 46º
5. Os dois números reais a e b são não nulos e satisfazem ab = a –
b. Assinale a alternativa que exibe um dos possíveis valores de
a b
ab
b a
+ − .
A) –2 B)
1
2
− C)
1
3
D)
1
2
E) 2
6. De quantas maneiras podemos colocar, em cada espaço abaixo,
um entre os algarismos 4, 5, 6, 7, 8, 9, de modo que todos os seis
algarismos apareçam e formem, em cada membro, números de
dois algarismos que satisfazem a dupla desigualdade?
_ _ > _ _ > _ _
A) 100 B) 120 C) 240
D) 480 E) 720
7. Que expressão não pode representar o número 24 para valores
inteiros positivos convenientes de a, b e c?
A) ab3 B) a2b3 C) acbc
D) ab2c3 E) abbcca
8. Qual dos valores abaixo de x é tal que 22 2 19x x+ + não é
um número primo?
A) 50 B) 37 C) 9
D) 5 E) 1
9. Sejam a, b e c números reais positivos cuja soma é 1. Se a, b e c
são as medidas dos lados de um triângulo, podemos concluir que
A)
10
2
a b< − < e 10
2
b c< − < e 10
2
c a< − <
B)
1
2
a < e
1
2
b < e 1
2
c <
C)
1
2
a b+ < e 1
2
b c+ < e 1
2
c a+ <
D)
1
3
a ≤ e 1
3
b ≤ e 1
3
c ≤
E)
1
3
a ≥ e 1
3
b ≥ e 1
3
c ≥
10. Uma seqüência tem 9 números reais, sendo o primeiro 20 e o
último, 6. Cada termo da seqüência, a partir do terceiro, é a média
aritmética de todos os anteriores. Qual é o segundo termo da
seqüência?
A) –8 B) 0 C) 4
D) 14 E) 2006
11. Quantos ternos de números reais x,y, z satisfazem o sistema
abaixo?
( ) 2005
( ) 2006
( ) 2007
x x y z
y x y z
z x y z
+ + =
+ + =
+ + =
A) Nenhum B) 1 C) 2
D) 3 E) 2006
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315
12. Arnaldo tem vários quadrados azuis 1 1× , vários quadrados
amarelos 2 2× e vários quadrados verdes 3 3× e quer montar
um quadrado maior no qual apareçam as três cores. Qual é a me-
nor quantidade de quadrados que ele poderá utilizar ao todo?
A) 3 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
13. Sejam x e y números racionais. Sabendo que
5 2006
4 2006
x
y
−
−
também é um número racional, quanto vale o produto xy?
A) 20
B) Pode ser igual a 20, mas também pode assumir outros valores.
C) 1
D) 6
E) Não se pode determinar.
14. O professor Piraldo aplicou uma prova para seus cinco alunos
e, após corrigi-las, digitou as notas em uma planilha eletrônica que
calcula automaticamente a média das notas à medida que elas são
digitadas. Piraldo notou que após digitar cada nota a média calcu-
lada pela planilha era um número inteiro. Se as notas dos cinco
estudantes são, em ordem crescente, 71, 76, 80, 82 e 91, qual foi a
última nota que Piraldo digitou?
A) 71 B) 76 C) 80
D) 82 E) 91
15. Na figura a seguir, ABC é um triângulo qualquer e ACD e AEB
são triângulos eqüiláteros. Se F e G são os pontos médios de EA e
AC, respectivamente, a razão
BD
FG
é:
C
A
B
D
E
G
F
A) 1
2
B) 1
C) 3
2
D) 2
E) Depende das medidas dos lados de ABC.
16. O inteiro positivo x é múltiplo de 2006 e x está entre 2005
e 2007. Qual é o número de possíveis valores de x?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
17. Na figura temos dois semicírculos de diâmetros PS, de medida
4, e QR, paralelo a PS. Além disso, o semicírculo menor é tangente
a PS em O. Qual é a área destacada?
P
Q
R
S
(A) 2pi – 2
(B) 3pi
(C) pi
(D) 4
(E) 2pi – 4
18. Iniciando com o par (2048, 1024), podemos aplicar quantas
vezes quisermos a operação que transforma o par (a, b) no par
3 3
,
4 4
a b a b+ +
, então, dentre os seguintes pares:
1) (1664, 1408)
2) (1540, 1532)
3) (1792, 1282)
4) (1537, 1535)
5) (1546, 1526)
A) Todos podem ser obtidos.
B) Apenas o par 4 não pode ser obtido.
C) Apenas o par 3 não pode ser obtido.
D) Existem exatamente dois pares que não podem ser obtidos.
E) Existem mais de dois pares que não podem ser obtidos.
19. Num tabuleiro retangular de 13 linhas e 17 colunas colocamos
números em cada casinha da seguinte maneira: primeiro, numera-
mos as casinhas da primeira linha, da esquerda para a direita, com
os números 1, 2, 3, …, 17, nessa ordem; depois numeramos a
segunda linha, também da esquerda para a direita, com os núme-
ros de 18 a 34, e assim por diante. Após preenchermos todo o
tabuleiro, colocamos em cada casinha um segundo número, nume-
rando as casinhas da primeira coluna, de cima para baixo, com os
números 1, 2, 3, …, 13, nessa ordem, depois numeramos a segun-
da coluna, também de cima da baixo, com os números de 14 a 26,
e assim por diante. Deste modo, cada casinha tem dois números.
Quantas casinhas têm dois números iguais?
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
20. Altino está encostado num muro bem alto, durante a noite. A
rua onde Altino está é iluminada por uma lâmpada no topo de um
poste de 4 metros de altura, a 10 metros de distância do muro.
Altino, um rapaz de 2 metros de altura, anda em direção ao muro.
Seja f(x) a altura, em metros, da sombra de Altino produzida pela
lâmpada no muro quando Altino está a uma distância de x metros
do muro. Qual alternativa representa melhor o gráfico de f(x)?
A)
x
f(x)
B)
x
f(x)
C) x
f(x)
D) x
f(x)
E)
x
f(x)
Caderno Testes Federais – Matemática Certo Vestibulares
Sistema MSA de Ensino
316
21. O piso de um quarto tem forma de um quadrado de lado 4 m.
De quantas maneiras podemos cobrir totalmente o quarto com oito
tapetes iguais de dimensões 1 m e 2 m? Mostramos abaixo três
maneiras de fazê-lo:
A) 27 B) 30 C) 34
D) 36 E) 52
22. Dois pontos A e B de um plano α estão a 8 unidades de
distância. Quantas retas do plano α estão a 2 unidades de A e 3
unidades de B?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
23. Considere os 2161 produtos 0 2160⋅ , 1 2159⋅ , 2 2158⋅ ,
..., 2160 0⋅ . Quantos deles são múltiplos de 2160?
A) 2 B) 3 C) 12
D) 13 E) 2161
24. Qual é o menor valor que a expressão
2 2 2 21 ( ) 4 ( ) 1 (10 ) 9x y x z y z+ + − + + − + + − +
pode assumir, sendo x, y e z reais?
A) 7 B) 13 C) 4 109+
D) 3 2 90+ + E) 149
25. Um cubo de aresta 1 é cortado em quatro regiões por dois
planos: um deles contém as arestas AB e CD e o outro contém as
arestas AE e DF. Qual é o volume da(s) maior(es) das quatro regi-
ões?
A
B
C
D
F
E
A)
1
4
B)
1
3
C)
2
4
D)
3
8
E)
1
2
Prova da Olimpíada Matemática 2005 – Nível 3
1. Quantos números entre 10 e 13000, quando lidos da
esquerda para a direita, são formados por dígitos consecutivos e
em ordem crescente? Exemplificando, 456 é um desses números,
mas 7890 não é:
A) 10 B) 13 C) 18
D) 22 E) 25
2. Os pontos L, M e N são pontos médios de arestas do cubo,
como mostra a figura. Quanto mede o ângulo LMN?
L
M
N
A) 90o B) 105o C) 120o D) 135o E) 150o
3. As letras O, B e M representam números inteiros.
Se O × B × M = 240, O × B + M = 46 e O + B × M = 64, quanto
vale O + B + M?
A) 19 B) 20 C) 21
D) 24 E) 36
4. Esmeralda digitou corretamente um múltiplo de 7 muito
grande, com 4010 algarismos. Da esquerda para a direita, os seus
algarismos são 2004 algarismos 1, um algarismo n e 2005 algaris-
mos 2. Qual é o valor de n?
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
5. Os inteiros positivos x e y satisfazem a equação
1 1
2 2 1x y x y+ − − = .
Qual das alternativas apresenta um possível valor de y?
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 9
6. Um bloco de dimensões 1 × 2 × 3 é colocado sobre
um tabuleiro 8 × 8, como mostra a figura, com a face X, de
dimensões 1 × 2, virada para baixo. Giramos o bloco em torno de
uma de suas arestas de modo que a face Y fique virada para baixo.
Em seguida, giramos novamente o bloco, mas desta vez de modo
que a face Z fique virada para baixo. Giramos o bloco mais três
vezes, fazendo com que as faces X, Y e Z fiquem viradas para
baixo, nessa ordem. Quantos quadradinhos diferentes do tabuleiro
estiveram em contato com o bloco?
Y
Z
A)18 B) 19 C) 20 D) 21
E) 22
7. Uma loja de sabonetes realiza uma promoção com o
anúncio "Compre um e leve outro pela metade do preço”. Outra
promoção que a loja poderia fazer oferecendo o mesmo desconto
percentual é:
A)"Leve dois e pague um"
B)"Leve três e pague um"
C)"Leve três e pague dois"
D)"Leve quatro e pague três"
E)"Leve cinco e pague quatro"
Certo Vestibulares Caderno Testes Federais – Matemática
Sistema MSA de Ensino
317
8. Platina é um metal muito raro, mais raro até do que ouro.
Sua densidade é 21,45 g/cm3. Suponha que a produção mundial de
platina foi de cerca de 110 toneladas em cada um dos últimos 50
anos e desprezível antes disso. Assinale a alternativa com o objeto
cujo volume é mais próximo do volume de platina produzido no
mundo em toda a história.
A) uma caixa de sapatos
B) uma piscina
C) um edifício de dez andares
D) o monte Pascoal
E) aLua
9. A figura mostra um cubo de aresta 1 no qual todas
as doze diagonais de face foram desenhadas. Com isso, criou-se
uma rede com 14 vértices (os 8 vértices do cubo e os 6 centros de
faces) e 36 arestas (as 12 arestas do cubo e mais 4 sobre cada
uma das 6 faces). Qual é o comprimento do menor caminho que é
formado por arestas da rede e que passa por todos os 14 vértices?
A) 1 6 2+ B) 4 2 2+ C) 6
D) 8 6 2+ E) 12 12 2+
10. Uma das faces de um poliedro é um hexágono regular. Qual é
a quantidade mínima de arestas que esse poliedro pode ter?
A) 7 B) 9 C) 12
D) 15 E) 18
11. Em um ano, no máximo quantos meses têm cinco domin-
gos?
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
12. O ponto D pertence ao lado BC do triângulo ABC. Saben-
do que AB = AD = 2, BD = 1 e os ângulos BAD e CAD são
congruentes, então a medida do segmento CD é:
A)
3
2
B)
4
3
C)
5
4
D)
6
5
E)
7
6
13. Esmeralda adora os números triangulares (ou seja, os
números 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28…), tanto que mudou de lugar os
números 1, 2, 3, …, 11 do relógio de parede do seu quarto de
modo que a soma de cada par de números vizinhos é um número
triangular. Ela deixou o 12 no seu lugar original. Que número ocupa
o lugar que era do 6 no relógio original?
A) 1 B) 4 C) 5
D) 10 E) 11
14. Os termos an de uma seqüência de inteiros positivos
satisfazem a relação an+3 = an+2(an+1 + an) para n = 1, 2, 3…
Se a5 = 35, quanto é a4?
A) 1 B) 3 C) 5
D) 7 E) 9
15. Sendo a, b e c números reais, pela propriedade
distributiva da multiplicação em relação à adição, é verdade que
a × (b + c) = (a × b) + (a × c). A distributiva da adição em relação
à multiplicação a + (b × c) = (a + b) × (a + c) não é sempre ver-
dadeira, mas ocorre se, e somente se,
A) a = b = c = 1
3
ou a = 0
B) a = b = c
C) A igualdade nunca ocorre
D) a + b + c = 1 ou a = 0
E) a = b = c = 0
16. Na figura, todas as circunferências menores têm o
mesmo raio r e os centros das circunferências que tocam a
circunferência maior são vértices de um quadrado. Sejam a e b as
áreas cinzas indicadas na figura. Então a razão
a
b
é igual a:
a
b
A)
1
2
B)
2
3
C) 1
D)
3
2
E) 2
17. Entre treze números reais não nulos há mais números
positivos do que negativos. Dentre os
13 12 78
2
×
= produ-
tos de dois dos treze números, 22 são negativos. Quantos números
dentre os treze números dados são negativos?
A) 2 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
18. Traçando as quatro retas perpendiculares aos lados
de um paralelogramo não retângulo pelos seus pontos médios,
obtém-se uma região do plano limitada por essas quatro retas.
Podemos afirmar que a área dessa região é igual à área do parale-
logramo se um dos ângulos do paralelogramo for igual a:
A) 30o B) 45o C) 60o
D) 75o E) 90o
19. O número 3 4 3 4(2 2) (3 2) (2 2) (3 2)+ − + − + é:
A) inteiro ímpar
B) inteiro par
C) racional não inteiro
D) irracional positivo
E) irracional negativo
20. Sejam
2
10(log 2005)10A = , 32005B = e 20052C = .
Então:
A) A < B < C
B) A < C < B
C) B < A < C
D) B < C < A
E) C < A < B
21. Dois números inteiros são chamados de primanos
quando pertencem a uma progressão aritmética de números
primos com pelo menos três termos. Por exemplo, os números 41 e
59 são primanos pois pertencem à progressão aritmética (41; 47;
53; 59) que contém somente números primos.
Assinale a alternativa com dois números que não são primanos.
A) 7 e 11 B) 13 e 53 C) 41 e 131
D) 31 e 43 E) 23 e 41
22. Um professor de inglês dá aula particular para uma classe
de 9 alunos, dos quais pelo menos um é brasileiro. Se o professor
escolher 4 alunos para fazer uma apresentação, terá no grupo pelo
menos dois alunos de mesma nacionalidade; se escolher 5 alunos,
terá no máximo três alunos de mesma nacionalidade. Quantos
brasileiros existem na classe?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Caderno Testes Federais – Matemática Certo Vestibulares
Sistema MSA de Ensino
318
Prova da Olimpíada Matemática 2004 – Nível 3
1. A função f é dada pela tabela a seguir.
x 1 2 3 4 5
f(x) 4 1 3 5 2
Por exemplo, f(2) = 1. Quanto vale 2004 vezes
( (...( ( (4))...))f f f f
1442443
?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
2. Seja AB um segmento de comprimento 26, e sejam C e D
pontos sobre o segmento AB tais que AC = 1 e AD = 8. Sejam E e
F pontos sobre uma semi-circunferência de diâmetro AB, sendo EC
e FD perpendiculares a AB. Quanto mede o segmento EF?
A) 5 B) 25 C) 7
D) 27 E) 12
3. As alturas de um triângulo medem 12, 15 e 20. O maior
ângulo interno do triângulo mede
A) 72o B) 75o C) 90o
D) 108o E) 120o
4. Esmeralda, a digitadora, tentou digitar um número de
seis algarismos, mas os dois algarismos 1 não apareceram (a tecla
devia estar com defeito). O que apareceu foi 2004. Quantos são os
números de seis algarismos que ela pode ter tentado digitar?
A) 4 B) 8 C) 10
D) 15 E) 20
5. O produto dos números que aparecem nas alternativas
incorretas dessa questão é um cubo perfeito.
Assinale a alternativa correta.
A) 4 B) 8 C) 18
D) 54 E) 192
6. Qual é o menor inteiro positivo n para o qual qualquer
subconjunto de n elementos de {1,2,3,…,20} contém dois números
cuja diferença é 8?
A) 2 B) 8 C) 12
D) 13 E) 15
7. Sejam
2001
1001
5
3
3
2
1
1 2222
++++= La
e
2003
1001
7
3
5
2
3
1 2222
++++= Lb
.
Qual é o inteiro mais próximo de a – b?
A) 500 B) 501 C) 999
D) 1000 E) 1001
8. Uma ampulheta é formada por dois cones idênticos. Inicial-
mente, o cone superior está cheio de areia e o cone inferior
está vazio. A areia flui do cone superior para o inferior com
vazão constante. O cone superior se esvazia em exatamente
uma hora e meia. Quanto tempo demora até que a altura da
areia no cone inferior seja metade da altura da areia no cone
superior?
A) 30min
B) 10h
C) 1h03min20s
D) 1h10min12s
E) 1h14min30s
9. A função real f, definida nos inteiros, satisfaz
f(n) – (n + 1)f(2 – n) = (n + 3)2, para todo n inteiro. Quanto vale
f(0)?
A) –17 B) 0 C) 1
D) 2 E) 9
10. Com três algarismos distintos a, b e c, é possível formar 6
números de dois algarismos distintos. Quantos conjuntos
{a, b, c} são tais que a soma dos 6 números formados é 484?
A) Um B) Dois C) Três
D) Quatro E) Mais que quatro
11. Dois cubos têm faces pintadas de ocre ou magenta. O primeiro
cubo tem cinco faces ocres e uma face magenta. Quando os
dois cubos são lançados, a probabilidade de as faces viradas
para cima dos dois cubos serem da mesma cor (sim, ocre e
magenta são cores!) é 1/2. Quantas faces ocres tem o segun-
do cubo?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
12. Para quantos inteiros positivos m o número 2
2004
2
−m
é um inteiro positivo?
A) um B) dois C) três
D) quatro E) mais que quatro
13. Dois espelhos formam um ângulo de 30o no ponto V. Um raio
de luz, vindo de uma fonte S, é emitido paralelamente a um
dos espelhos e é refletido pelo outro espelho no ponto A, co-
mo mostra a figura. Depois de uma certa quantidade de refle-
xões, o raio retorna a S. Se AS e AV têm 1 metro de compri-
mento, a distância percorrida pelo raio de luz, em metros, é
30°
A S
V
A) 2 B) 2 3+ C) 1 2 3+ +
D) ( )2 1 3+ E) 5 3
14. Para n inteiro positivo, definimos n! (lê-se “nfatorial”) o pro-
duto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n.
Por exemplo, 6! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6.
Se n! = 215 ⋅ 36 ⋅ 53 ⋅ 72 ⋅ 11 ⋅ 13, então n é igual a
A) 13 B) 14 C) 15
D) 16 E) 17
15. Constrói-se o quadrado ABXY sobre o lado AB do heptágono
regular ABCDEFG, exteriormente ao heptágono. Determine a
medida do ângulo
ˆBXC , em radianos.
A) 7
pi
B)
3
7
pi
C) 14
pi
D)
3
14
pi
E)
3
28
pi
Certo Vestibulares Caderno Testes Federais – Matemática
Sistema MSA de Ensino
319
16. O conjunto das raízes reais da equação
2 1 2 1 2x x x x+ − + − − = é
A) {1} B) {1, 2} C) [1, 2]
D) ]1, 2[ E) {2}
17. No desenho ao lado, os segmentos e AB CD são perpendi-
culares ao segmento BC . Sabendo que o ponto M pertence ao
segmento AD e que o triângulo BMC é retângulo não isós-
celes, qual é a área do triângulo ABM ?
M
A
B
2
6 C
4
D
A) 1 B)
6
5 C)
7
5 D)
8
5 E)
9
5
18. Entre 1986 e 1989, a moeda do país era o cruzado (Cz$). Com
a imensa inflação que tivemos, a moeda foi mudada algumas
vezes: tivemos o cruzado novo, o cruzeiro, o cruzeiro real e,
finalmente, o real. A conversão entre o cruzado e o real é:
1 real = 2.750.000.000 cruzados
Imagine que a moeda não tivesse mudado e que João, que
ganha hoje 640 reais por mês, tivesse que receber seu salário
em notas novas de 1 cruzado. Se uma pilha de 100 notas no-
vas tem 1,5 cm de altura, o salário em cruzados de João faria
uma pilha de altura:
A) 26,4 km B) 264 km C) 2640 km
D) 26400 km E) 264000 km
19. dono de uma loja empilhou vários blocos medindo 0,8m x
0,8m x 0,8m no canto da loja e encostados numa parede de
vidro que dá para a rua, conforme mostra a figura abaixo.
Quantos blocos no máximo, uma pessoa de 1,80m de altura
que está do lado de fora da loja pode enxergar?
Obs. Consideramos que uma pessoa pode enxergar uma caixa
se consegue ver uma pequena região de área positiva de sua
superfície.
A) 13 B) 14 C) 15
D) 16 E) 17
20. O arranjo a seguir, composto por 32 hexágonos, foi montado
com varetas, todas com comprimento igual ao lado do hexá-
gono. Quantas varetas, no mínimo, são necessárias para mon-
tar o arranjo?
…
…
…
A) 113 B) 123 C) 122
D) 132 E) 152
21. Numa prova para uma sala com 30 alunos, a média aritmética
das 10 piores notas é 3 e a média aritmética das 10 melhores
notas é 9. O menor valor possível e o maior valor possível para
a média da sala são, respectivamente:
A) 6 e 7 B) 5 e 7 C) 4 e 6
D) 3 e 9 E) 4 e 8
22. Sobre uma mesa estão três caixas e três objetos, cada um em
uma caixa diferente: uma moeda, um grampo e uma borra-
cha. Sabe-se que
• A caixa verde está à esquerda da caixa azul;
• A moeda está à esquerda da borracha;
• A caixa vermelha está à direita do grampo;
• A borracha está à direita da caixa vermelha.
Em que caixa está a moeda?
A) Na caixa vermelha .
B) Na caixa verde.
C) Na caixa azul.
D) As informações fornecidas são insuficientes para se dar uma
resposta.
E) As informações fornecidas são contraditórias.
23. Esmeralda, a digitadora, queria digitar um número N de dois
algarismos que é quadrado perfeito, mas se enganou, trocan-
do cada algarismo pelo seu sucessor (afinal, as teclas são vizi-
nhas!). Por uma grande coincidência, o número digitado tam-
bém é quadrado perfeito! Qual é a soma dos algarismos de N?
A) 4 B) 5 C) 6
D) 7 E) 8
24. Esmeralda escreveu (corretamente!) todos os números de 1 a
999, um atrás do outro:
12345678910111213… 997998999.
Quantas vezes aparece o agrupamento “21”, nesta ordem?
A) 11 B) 21 C) 31
D) 41 E) 51
25. Um feirante vende batatas e, para pesar, utiliza uma balança
de dois pratos, um peso de 1 kg, um peso de 3 kg e um peso
de 10 kg. Considere a seguinte afirmação: “Este feirante con-
segue pesar (com uma pesagem) n quilogramas de batatas”.
Quantos valores positivos de n tornam essa afirmação verda-
deira, supondo que ele pode colocar pesos nos dois pratos?
A) 7 B) 10 C) 12
D)13 E)14
Caderno Testes Federais – Matemática Certo Vestibulares
Sistema MSA de Ensino
320
Gabarito Testes de Matemática
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0 B C C E C C A B A
1 A D C C C E E A E A
2 B B C E E E D E E B
3 E E D B E B D D E A
4 D C C C B A B B C D
5 A A D A C C D C C A
6 C C D A D E E D A C
7 D B A A E A D A C C
8 C B D A B A D B B D
9 A E D D C C C C B C
10 D B A B C A C D B E
11 E A D B C D D A B D
12 D A C B B D D B E -
13 - C D - - - D C B D
14 D D C B E C C A D A
15 E C D B D B E E A E
16 E C D E D D B D C A
17 E A B B A E B D C D
18 B A D B A - B C A E
19 B A C C B A E E B E
20 - - E A - - - - B A
21 E A B E D A A A D E
22 D E A C B C C E - D
23 A B B D E E A C E A
24 A C E E E A E D D C
25 E A - C A D C D - -
26 B A D E B - A E E D
27 A D E -
GABARITO - Sessão Desafio
2006 - NÍVEL 3
1) C 6) B 11) C 16) D 21) D
2) C 7) B 12) D 17) A 22) D
3) C 8) B 13) A 18) D 23) D
4) A 9) B 14) C 19) D 24) E
5) E 10) A 15) D 20) A 25) B
2005 - NÍVEL 3
1) D 5) C 10) C 15) D 20) C
2) C 6) B 11) C 16) C
7) D 12) B 17) A 21) B
3) B 8) B 13) C 18) B
4) B 9) A 14) D 19) B 22) C
2004 - NÍVEL 3
1) D 6) D 11) C 16) C 21) B
2) D 7) B 12) B 17) B 22) A
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