Exercícios de matemática

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Certo Vestibulares Caderno Testes Federais – Matemática 
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281 
MATEMÁTICA 
MATEMÁTICA ELEMENTAR 
 
1. (UFRGS) A massa (m) e o volume (V) de um metal relacio-
nam-se linearmente. Se para m = 5 temos V = 40, então: 
 
a) V = 5m 
b) V = 8m 
c) V = 10m 
d) V = 35m 
e) V = 40m 
 
2. (UFRGS) A tabela abaixo apresenta a variação percentual 
das vendas industriais de aparelhos domésticos, comparando o perío-
do julho – agosto de 1995 com o período julho – agosto de 1994. 
 
Vendas industriais de aparelhos domésticos 
 Variação percentual % 
 
Linha Branca jul-ago-set/95 
Linha Branca jul-ago-set/94 
Refrigeradores 15,06 
“Freezer” verticais - 4,97 
Congel./Conserv. horiz. 42,61 
Lavadoras automáticas -18,18 
Fogões - 0,17 
Condicionadores de ar 83,45 
 
Supondo que naquele período de 1994 tenham sido vendidas 200.000 
lavadoras automáticas, o número de unidades vendidas no mesmo 
período em 1995 foi, aproximadamente 
 
a) 36.360 
b) 114.770 
c) 163.640 
d) 236.360 
e) 285.220 
 
3. (UFRGS 00) As rodas traseiras de um veículo têm 4,25 
metros de circunferência cada uma. Enquanto as rodas dianteiras dão 
15 voltas, as traseiras dão somente 12 voltas. A circunferência de 
cada roda dianteira mede: 
a) 2,125 metros. 
b) 2,25 metros. 
c) 3,4 metros. 
d) 3,75 metros. 
e) 5 metros. 
 
4. (UFRGS 00) Considerando que um dia equivale a 24 horas, 
1,8 dias equivalem a 
 
a) 1 dia e 8 horas 
b) 1 dia e 18 horas 
c) 1 dia e 19 horas 
d) 1 dia, 19h e 2 min 
e) 1 dia, 19h e 12 min 
 
5. (UFRGS) A média aritmética das idades dos estudantes de 
uma turma é 18 anos. Quando separados por sexo, essa média é 19 
anos para o grupo de rapazes e 16 anos para o grupo de moças. A 
razão entre o número de rapazes e de moças é 
a) 
2
1
 
b) 
3
2
 
c) 2 
d) 
2
3
 
e) 3 
 
6. (UFRGS) João corre em uma pista circular, dando uma volta 
completa a cada 36s. Pedro corre em sentido oposto, e encontra João 
a cada 12s. O tempo que Pedro leva para dar uma volta completa é: 
 
a) 72s 
b) 36s 
c) 18s 
d) 12s 
e) 6s 
 
7. (UFRGS) Qual dos números abaixo é sempre maior que o real n? 
 
a) n² + 1 
b) 2n 
c) nn +2 
d) (n + 1) ³ 
e) n¹º 
 
8. (UFRGS) As faces do cubo da figura são identificadas com 
números inteiros e consecutivos sendo 8, 11 e 12 os valores em três 
destas faces. Sabendo que a soma dos dois números em cada um 
dos pares de faces opostas é constante, a soma de todos os números 
é 
 
a) 57 12 
b) 63 
c) 66 
d) 69 8 
e) 78 
 
 11 
 
9. (UFRGS) Se a é um número real não nulo e diferente de 1, 
então o produto : a-103 .a-101 .a-99 ...a99 .a101 . Vale 
a) a-103 
b) a102 
c) 102.a-² 
d) -103 .a-² 
e) -102 .a-² 
 
10. (UFRGS) Os dois números reais, tais que a sua soma vale 1 
e a soma de seus quadrados é mínima, são 
 
a) 
2
1 e 
2
1 
b) 
4
1 e 
4
3 
c) 
3
1 e 
3
2 
d) 1 e 0 
e) inexistentes 
 
11. (UFRGS) O produto de dois números é 32 e sua soma é 12. 
A razão entre o maior e o menor deles é 
a) 
8
3 
b) 3 
c) 
2
3 
d) 2 
e) 
3
8 
 
 
 
 
 
 
 
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12. (UFRGS) O ônibus X parte da cidade A com velocidade 
constante de 80 Km/h, à zero hora de certo dia. Às 2 horas da ma-
drugada, o ônibus Y parte da mesma cidade, na mesma direção e 
sentido do ônibus X, com velocidade constante de 100 Km/h. O 
ônibus Y vai cruzar com o ônibus X, pela manhã, às 
 
a) 6 horas 
b) 8 horas 
c) 10 horas 
d) 11 horas 
e) 12 horas 
 
13. (UFRGS) Uma pessoa gasta 1/4 do dinheiro que tem e, em 
seguida, 2/3 do que lhe resta, ficando com R$ 350,00. Quanto tinha 
inicialmente? 
 
a) R$ 400,00 
b) R$ 700,00 
c) R$ 1400,00 
d) R$ 2100,00 
e) R$ 2800,00 
 
14. (UFRGS 00) Se n = 107 – 10, então n não é múltiplo de 
a) 9 
b) 10 
c) 12 
d) 15 
e) 18 
 
 
15. (UFRGS) O valor de n na igualdade ( )
n=
+−
0
22
3
33 é: 
a) 0 
b) 1 
c) 4 
d) 12 
e) 18 
 
16. (UFRGS) A expressão 
3
5
5
3
+
 é igual a: 
a) 
15
8 
b) 
5
3
 
c) 1 
d) 
15
34 
e) 
15
158 
 
17. (UFRGS) Se P é o produto de todos os números primos 
menores que 1000, o dígito que ocupa a casa das unidades de P é: 
 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 5 
e) 9 
 
18. (UFRGS) O algarismo das unidades de ( )1610 + é 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 6 
e) 7 
 
19. (UFRGS) Para a 3−≠a e 3≠a , a expressão 
3
9
3
96 22
−
−
÷
++
a
aaa é equivalente a: 
 
a) 
3
3+a
 
b) 2+a 
c) 3+a 
d) 3−a 
e) 
3
3−a
 
20. (UFRGS) Considere as desigualdades abaixo. 
 
I. 84 84 <<<< 
II. 
50
2
2
50
,
,
<<<< 
III.
 2-3 < 3-2 
 
Pode-se afirmar que: 
a) é verdadeira apenas a desigualdade I. 
b) é verdadeira apenas a desigualdade II. 
c) é verdadeira apenas a desigualdade III. 
d) são verdadeiras apenas as desigualdades I e II. 
e) são verdadeiras apenas as desigualdades II e III. 
 
21. (UFRGS) Se x.y = 2 e 
,311 22 =+ yx
 então ( )2yx + é 
igual a: 
 
a) 10 
b) 16 
c) 20 
d) 25 
e) 36 
 
22. (UFRGS 00) Se a = 23,5, então 
 
a) 6 < a ≤ 8,5 
b) 8,5 < a ≤ 10 
c) 10 < a ≤ 11,5 
d) 11,5 < a ≤ 13 
e) 13 < a ≤ 14,5 
 
23. (UFRGS) A soma de dois números reais A e B é 75, e seu 
produto é 15. O valor da soma 1/A + 1/B é 
 
a) 1/5 
b) 1/3 
c) 1/2 
d) 3 
e) 5 
 
24. (UFRGS) Uma estrada de 315 Km foi asfaltada por 3 equi-
pes, A, B e C, cada uma delas atuando, respectivamente, em um 
trecho proporcional a 2, 3 e 4. O trecho da estrada que coube à 
equipe C foi de 
 
a) 70 Km 
b) 96 Km 
c) 105 Km 
d) 126 Km 
e) 140 Km 
 
25. (UFRGS) Com A cruzeiros compram-se uma dúzia de laran-
jas e meia dúzia de limões. Com B cruzeiros, compram-se meia dúzia 
de laranjas e uma dúzia de limões. A quantia, em cruzeiros, para se 
comprar meia dúzia de laranjas e meia dúzia de limões é: 
 
a) 3(A + B) 
b) 2(A + B) 
c) A + B 
d) 
2
BA + 
e) 
3
BA + 
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26. (UFRGS) O denominador de uma fração excede o numera-
dor em 3 unidades. Adicionando-se 11 unidades ao denominador, a 
fração torna-se equivalente a
4
3
. A fração original é 
 
a) 
57
54 
b) 
33
30 
c) 
36
33 
d) 
45
42 
e) 
21
18 
 
27. (UFRGS) Um ciclista, pedalando a uma velocidade constan-
te v, percorreu 6 Km em 30 min. Se sua velocidade fosse 3/5 de V, 
percorreria essa mesma distância em: 
 
a) 20 min 
b) 25 min 
c) 35 min 
d) 40 min 
e) 50 min 
 
28. (UFRGS) Um grupo de estudantes dedicado à confecção de 
produtos de artesanato gasta R$ 15,00 em material, por unidade 
produzida, e, além disso, tem um gasto fixo de R$ 600,00. Cada 
unidade será vendida por R$ 85,00. Quantas unidades terão de ven-
der para obterem um lucro de R$ 800,00? 
 
a) 7 
b) 10 
c) 12 
d) 15 
e) 20 
 
PORCENTAGEM E JUROS 
 
29. (UFRGS) O gráfico abaixo apresenta o resultado de uma prova 
objetiva, sendo y o percentual de candidatos que tirou a nota x. 
 
O número total de candidatos inscritos foi de 113.900 e o nú-
mero de ausentes foi de 6300. 
 
 
 
Considere as seguintes afirmativas a respeito do gráfico: 
 
I) 538 candidatos tiraram nota 60. 
II) 30 foi a nota que apareceu com maior freqüência. 
III) 0,5% dos candidatos apresentaram notas maiores ouiguais a 
60. 
 
Estão corretas as afirmativas: 
 
a) Apenas I 
b) Apenas I e II 
c) Apenas II e III 
d) Apenas I e III 
e) I, II e III 
 
30. (UFRGS) Uma pessoa comprou dois carros, pagando um 
total de 30 mil reais. Pouco tempo depois, vendeu-os por 28 mil 
reais, ganhou 10% na venda de um deles e perdeu 10% na venda 
do outro. Quantos reais custou cada carro? 
 
a) 15.500 e 14.500 
b) 10.000 e 20.000 
c) 7.500 e 22.500 
d) 6.500 e 23.500 
e) 5.000 e 25.000 
 
31. (UFRGS) Uma loja avisa que, sobre o valor original de 
uma prestação que não for paga no dia do vencimento, incidirão 
multa de 10% mais 1% a cada dia de atraso. 
Uma pessoa que deveria pagar y reais de prestação e o fez com x 
dias de atraso, pagou a mais: 
a) [0,1 y + x] reais 
b) [x + 10] reais 
c) [10 y + x] reais 
d) [0,1 y + 0,01 x] reais 
e) [0,1 y + 0,01 x y] reais 
 
32. (UFRGS) Um total de R$ 6.000,00 será investido, parte a 
3,5% e parte a 6%. Se o rendimento total esperado é, no mínimo, 
de R$ 300,00, o valor máximo que pode ser investido a 3,5% é 
 
a) R$ 210,00 
b) R$ 360,00 
c) R$ 570,00 
d) R$ 2.400,00 
e) R$ 3.600,00 
 
33. (UFRGS) Um capital, aplicado a juros simples, triplicará 
em 5 anos se a taxa anual for de: 
 
a) 30% 
b) 40% 
c) 50% 
d) 75% 
e) 100% 
 
34. (UFRGS) Um revendedor aumenta o preço inicial de um 
produto em 35% e, em seguida, resolve fazer uma promoção, 
dando um desconto de 35% sobre o novo preço. O preço final do 
produto é 
 
a) Impossível de ser relacionado com o preço inicial. 
b) Superior ao preço inicial. 
c) Superior ao preço inicial, apenas se este for maior do que CR$ 
3.500,00. 
d) Igual ao preço inicial. 
e) Inferior ao preço inicial. 
 
35. (UFRGS) Num país com inflação, em geral, existe uma 
diferença entre o salário que uma pessoa deveria ganhar e o que 
ela realmente está ganhando. Define-se perda salarial como a 
relação percentual entre essa diferença salarial e o salário que a 
pessoa deveria ganhar. Um empregado que recebe 100 reais por 
mês, quando o salário que deveria ganhar é de 120 reais, tem uma 
perda salarial de, aproximadamente: 
 
a) 10% 
b) 17% 
c) 20% 
d) 27% 
e) 30% 
 
 
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36. (UFRGS) Considerando uma taxa mensal constante de 
10% de inflação, o aumento de preço em 2 meses será de: 
 
a) 2% 
b) 4% 
c) 20% 
d) 21% 
e) 121% 
 
37. (UFRGS) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 
100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de 
custo deste bem. O valor do preço de custo é 
 
a) R$ 25,00 
b) R$ 70,50 
c) R$ 75,00 
d) R$ 80,00 
e) R$ 125,00 
 
38. (UFRGS) A quantidade de água que deve ser evaporada 
de 300 g de uma solução salina (água e sal) a 2% (sal) para se 
obter uma solução salina a 3% (sal) é 
 
a) 90 g 
b) 94 g 
c) 97 g 
d) 98 g 
e) 100 g 
 
39. (UFRGS) Num semestre a inflação foi de 32%, e, ao final 
dele, um trabalhador teve reposição salarial de 20%. Para que o 
poder de compra desse trabalhador fosse mantido no mesmo pa-
tamar do início do semestre, o salário já reajustado em 20% deve-
ria, ainda, sofrer um reajuste de 
 
 
 
a) 10% 
b) 12% 
c) 16% 
d) 20% 
e) 32% 
 
40. (UFRGS) Uma mercadoria que custa R reais sofre um 
desconto de 60%. Um aumento de 60% sobre o novo preço fará 
com que a mercadoria fique custando, em reais, 
 
a) 0,36 R 
b) 0,40 R 
c) 0,60 R 
d) 0,64 R 
e) R 
 
41. (UFRGS 00) Considere os dados da tabela abaixo referen-
tes à População Economicamente Ativa (PEA) de uma determinada 
região. 
 
Distribuição da PEA por Anos de Estudo, segundo Sexo: 
 
PEA Masculina 
PEA 
Feminina 
Até 4 anos de estudo 60% 50% 
5 ou mais anos de estudo 40% 50% 
 100% 100% 
 
Se os homens são 60% da PEA dessa região, homens e mulheres 
com 5 anos ou mais de estudo representam 
 
a) 36% da PEA da região. 
b) 40% da PEA da região. 
c) 44% da PEA da região. 
d) 45% da PEA da região. 
e) 54% da PEA da região. 
 
 
 
EQUAÇÕES - FUNÇÕES – EXPONENCIAIS - LOGARITMICAS 
 
42. (UFRGS) A soma das soluções da equação 
2x4x
22
====−−−−−−−− é 
a) –2 
b) –1 
c) 0 
d) 1 
e) 3 
 
43. (UFRGS) Para todo n > 1, tem-se que logn (n + 1) é 
 
a) 1 
b) n 
c) maior do que 1 
d) menor do que 1 
e) maior do que n 
 
44. (UFRGS) O cobalto-60 é uma substância radioativa cuja 
meia-vida é de aproximadamente 5 anos, isto é, a cada 5 anos a 
quantidade em gramas da substância se reduz à metade do que se 
tinha anteriormente. 
O tempo necessário para que uma certa quantidade de cobalto-60 se 
reduza a 25% da quantidade inicial é 
 
a) 20 anos. 
b) 10 anos. 
c) 7,5 anos. 
d) 5,0 anos. 
e) 2,5 anos. 
 
45. (UFRGS) Uma população de bactérias triplica a cada hora. 
Em quanto tempo a população se torna 100 vezes maior? 
 
(A) Entre 0 e 5 horas. 
(B) Entre 5 e 10 horas. 
(C) Entre 10 e 20 horas. 
(D) Entre 20 e 30 horas. 
(E) Entre 30 e 40 horas. 
 
46. (UFRGS) Encontre o par de gráficos que melhor representa 
a função y = log0,1 x e sua função inversa, nessa ordem. 
 
 
 
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(A) I e III 
(B) II e IV 
(C) II e V 
(D) I e II 
(E) IV e III 
 
47. (UFRGS) Se log a = 1,7, log b = 2,2 e log c = 2,7, então a, 
b, c, nesta ordem, formam uma 
 
(A) progressão geométrica de razão 10 
(B) progressão geométrica de razão 10 
(C) progressão geométrica de razão 0,5 
(D) progressão aritmética de razão 0,5 
(E) progressão aritmética de razão 10 
 
48. (UFRGS) Identifique os gráficos que correspondem a 
y = log x e y = | log x | nesta ordem. 
 
 
 
a) I e II 
b) I e III 
c) I e IV 
d) II e III 
e) V e IV 
 
49. (UFRGS) A taxa de crescimento natural de uma população é 
igual à diferença entre as taxas de natalidade e mortalidade, cujas 
evoluções estão representadas no gráfico abaixo. 
 
Evolução das taxas de natalidade e mortalidade (por mil) 
Brasil, 1881-1993 
 
 
Dentre as opções abaixo, a maior taxa de crescimento natural da 
população ocorreu no ano de 
 
a) 1881 
b) 1900 
c) 1930 
d) 1955 
e) 1993 
 
 
 
 
 
 
50. (UFRGS) O desenho abaixo representa o gráfico de 
y = f(x). 
 
O gráfico que representa a função y = | f(x) | é: 
 
a) b) 
 
c) d) 
 
e) 
 
 
51. (UFRGS) A função representada no gráfico é definida por 
f(x) = a . bx. Então, 
 
 y 
 
 
 x 
 
 
 
a) a < 0 e b > 1 
b) a < 0 e 0 < b < 1 
c) a < 0 e b = 1 
d) a > 0 e b > 1 
e) a > 0 e 0 < b < 1 
 
52. (UFRGS) As soluções reais da desigualdade x² + 1 > 2x 
são os números x, tais que 
 
a) x ≠ 0 
b) x ≥ 1 
c) x > 1 
d) x ≠ 1 
e) x < 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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53. (UFRGS) Seja a função f : ℜ (0,+∞) representada 
pelo gráfico 
 y 
 
 
 
 
 x 
 
 
Dentre os gráficos abaixo, o que melhor representa a inversa da 
função f é 
A 
 
 
54. (UFRGS) Considere as funções numeradas de 1 até 5 e os 
gráficos de A até E. 
 
 
(1) y = log (x) 
(2) y = 10 x 
(3) y = (1/10)x 
(4) y = 10 log (x) 
(5) y = log (10)x 
 
Associando-se as funções a seus gráficos, obtêm-se os pares 
a) (1,A), (2,B), (3,C), (4,D) e (5,E) 
b) (1,A), (2,B), (3,C), (4,E) e (5,D) 
c) (1,A), (2,C), (3,B), (4,D) e (5, E) 
d) (1,B), (2,A), (3,C), (4,D) e (5,E) 
e) (1,B), (2,C), (3,A), (4,E) e (5,D) 
 
55. (UFRGS) O consumo de energia elétrica de um eletrodo-
méstico é diretamenteproporcional ao tempo que ele fica ligado. 
Sabendo-se que um televisor consome 150 watts de energia por hora 
de uso, o gráfico que melhor expressa o consumo de energia y em 
watts em função do tempo x, em horas, em que a TV permanece 
ligada é 
 
 
56. (UFRGS) A equação 2mx² + mx + ½ = 0 possui 2 raízes 
reais distintas. 
Então, 
 
a) m = 0 
b) m > 0 
c) m < 4 
d) m < 0 ou m > 4 
e) 0 < m < 4 
 
57. (UFRGS) As substâncias radioativas têm a tendência natural 
a se desintegrarem. Considerando um caso em que a massa inicial da 
substância seja 54 g, e t dias depois sua massa seja, aproximada-
mente, 54 x 0,835t g, pergunta-se: em um dia, que porcentagem da 
massa desta substância se desintegra? 
 
a) 83,5% 
b) 67,5% 
c) 16,5% 
d) 8,35% 
e) 6,75% 
 
58. (UFRGS) Uma substância decompõe-se segundo o gráfico 
exponencial abaixo, onde t é o tempo (em segundos) e y é a quanti-
dade de substância (em gramas) no instante t. A expressão de y = 
y(t) é 
 
a) y = 100 x 2 – (t/100) 
b) Y = 100 x 2 – (t/50) 
c) Y = 100 x 2 – (t/10) 
d) Y = 50 x 2 – (t/10) 
e) Y = 50 x 2 – (t/100) 
 
59. (UFRGS) Dentre os conjuntos de pontos do plano cartesia-
no, apresentados abaixo, 
 
 
Quais os que NÃO podem representar gráficos de uma função? 
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a) Apenas I e III 
b) Apenas II e IV 
c) Apenas III e IV 
d) Apenas I, III e IV 
e) Apenas II, III e IV 
 
 
60. (UFRGS) Considere a função f: ℜ → ℜ definida por: 
 
 1 se x é racional 
 f(x) = 
 0 se x é irracional 
 
Então f(2)+f( 2 )–f(2+ 2 ) é igual a 
 
a) -1 
b) 0 
c) 1 
d) 2 
e) 3 
 
61. (UFRGS) Se a função f :ℜ * → ℜ é tal que 
f(x) = 
x
x 22 +
, então f (2x) é 
a) 2 
b) 2x 
c) 
x
x 12 +
 
d) 
x
x
2
14 +
 
e) 
x
x 22 +
 
 
62. (UFRGS) O gráfico representa a função y = f (x). 
 
 
O conjunto {X ∈ R / f(x) < 0} é igual a 
a) ]1,3[ 
b) ]–∞ ,-1[U]1,3[ 
c) ]–∞ ,-1[U]3,-∞ [ 
d) ]–∞ ,0[ 
e) ]–2,0[ 
 
63. (UFRGS) O gráfico abaixo representa a função y=f(x). 
 
 
 
A solução da inequação f(x) ≥ 1 é o conjunto dos valores de 
x ∈ [a, b] tais que 
 
a) x ≤ 0 
b) x ≥ 0 
c) x ≤ 1 
d) x ≥ 1 
e) x ∈R 
64. (UFRGS) Os gráficos seguintes representam, respectiva-
mente, as funções y=f(x) e y=g(x). Essas funções se anulam somen-
te nos pontos indicados nas figuras. 
 
 
 
 
A solução da inequação f(x)g(x) > 0 é 
 
a) (-∞, 0) 
b) (0, +∞ ) 
c) (-3, 2) 
d) (-∞ , -3) U (2, +∞ ) 
e) (-3,0) U (0,2) 
 
65. A função do tipo baxxf +=)( passa pelos pontos (1,-1) 
e (4,5), então podemos afirmar que 22 ba − vale: 
 
a) 2 
b) –3 
c) 3 
d) –1 
e) -5 
 
66. (UFRGS) Se o gráfico abaixo tem expressão y=ax²+bx+c, 
os valores de a, b e c são, respectivamente, 
 
 
 
 
a) –3/2, -1 e 3 
b) 1, -3/2 e 3 
c) 1, -1 e 3/2 
d) 1, 8 e 3 
e) 4, 8 e 3 
 
67. (EEAR-2003/1) A função do 2º grau que descreve o gráfico 
abaixo é: 
 
 y 
a) 6)( 2 +−= xxxf 
b) 65)( 2 −+= xxxf 6 
c) 65)( 2 +−−= xxxf 
d) 65)( 2 +−= xxxf 
e) 66)( 2 +−= xxxf 2 3 x 
 
 
 
 
 
 
 
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288
68. (Mackenzie) Na figura temos os gráficos das funções f e g. 
Se 22)( xxf = , então g(3) vale: 
 
 
 
 
 
a) 6 
b) 8 
c) 10 
d) 12 
e) 14 
 
 
 
 
 
69. (UFRGS) O valor de x que verifica a equação 
xx 927 1 =− é 
 
a) 0,4 
b) 0,8333 
c) 1,2 
d) 2,5 
e) inexistente 
 
70. (FESP-RJ) Se 182 += yx e 939 −= xy , então o valor de 
x+y é: 
 
a) 18 
b) 21 
c) 24 
d) 27 
e) 30 
 
71. (ET-UFRGS/2001-1) Qual é a solução da equação 
( ) ( ) 124 1625,0 +− = xx ? 
 
a) –2 
b) –1 
c) 1/4 
d) 1 
e) 2 
 
72. (ET-UFRGS/2001-1) Na equação 44224 3212 =++ ++ xxx 
o valor de x é: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 6 
 
73. Se 1833 12 =+ +xx , então o valor de x2 é: 
 
a) 2 
b) 1 
c) 3 
d) 8 
e) 0 
 
74. (FUVEST)Seja 122)( += xxf . Se a e b são tais que 
f(a)=4f(b), pode-se afirmar que: 
 
a) a + b = 2 
b) a + b = 1 
c) a - b = 3 
d) a - b = 2 
e) a - b = 1 
 
 
 
75. (UFRGS) O conjunto solução da inequação 1
2
1
2
>





x
é 
a) Ø 
b) (-1, 1) 
c) (0, +∞) 
d) (-∞, 0) 
e) R 
 
76. (UFRGS) O valor para x que verifica a equação 63 =x é 
 
a) 1,5 
b) 2 
c) o logaritmo de 3 na base 10 
d) o logaritmo de 6 na base 3 
e) o logaritmo de 3 na base 6 
 
77. (FGV) Assinale o gráfico correspondente à função 
x
ay −= (a >1) 
 
 
 
a) b) 1 
 1 
 
 
 
 
c) 1 d) 
 
 1 
 
e) 
 
 1 
 
 
 
 
78. (UFSM) A figura mostra um esboço da função 
bay x += , com a,b ∈ ℜ, a > 0, a ≠ 1 e b ≠ 0. Então, o valor de 
22 ba − é: 
 y 
 
 
 5 
 
 2 
 
 0 2 x 
 
a) –3 b) –1 
c) 3 d) 1 
e) 0 
 
79. (UFRGS) Dada a expressão S=log0,001+log100, o valor de 
S é: 
 
a) –3 
b) –2 
c) –1 
d) 0 
e) 1 
 
80. (UFRGS) O valor de log(217,2)-log(21,72) é 
 
a) -1 
b) 0 
c) 1 
d) log(217,2–21,72) 
e) log(217,2)/log(21,72) 
 
 
 
 
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289 
81. (UFRGS) O valor de 1010log32log 4/1 + é: 
 
a) –3/2 
b) –1 
c) 0 
d) 2 
e) 13/2 
 
82. (UFRGS) Dados 3,02log = e 4,03log = , o valor de 
75log é: 
 
a) 1,3 
b) 1,5 
c) 1,6 
d) 1,8 
e) 1,9 
 
83. (UFRGS) O número ( ) 





2
4
001,0
1000log é: 
a) 27/4 
b) 21/4 
c) inteiro 
d) negativo 
e) nulo 
84. Sendo log(a)= 11, log(b)= 0,5, log(c)= 6 e x
c
ba
=








⋅
3
2
log , 
então o valor de x é: 
 
a) 5 
b) 10 
c) 15 
d) 20 
e) 25 
 
85. A função representada abaixo é: 
 
 
 
 1 
a) xy 2log= 
b) y = 2/x 
c) xy 2/1log= 
d) ( )xy 2/1= 
e) ( )xy 2= 
 
86. (UFSM) O gráfico mostra o comportamento da função 
logarítmica na base a. Então o valor de a é: 
 
 y 
 
 
 
 
 1 4 x 
 
 -2 
 
a) 10 
b) 2 
c) 1 
d) 1/2 
e) -2 
 
87. (UFF) A figura representa o gráfico da função f definida por 
xxf 2log)( = . 
 
 y 
 
 
 
 
 Q 
 
 
 P 
 
 0 2 4 x 
 
A medida do segmento PQ é igual a: 
a) 6 
b) 5 
c) 5log2 
d) 2 
e) log 2
 
TRIGONOMETRIA 
 
 
88. (UFRGS) Um barco parte de A para atravessar o rio. A 
direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120º com a 
margem do rio. 
 
 B 
 
 
 
 
60m 
 
 120º 
 
 A 
 Sendo a largura do rio 60m, a distância, em metros, percorrida 
pelo barco foi de 
 
(A) 40 2 
(B) 40 3 
(C) 45 3 
(D) 50 3 
(E) 60 2 
 
89. (UFRGS) Se f(x) = a + bsen x tem como gráfico 
 
 
então: 
 
a) a = -2 e b = 1 
b) a = -1 e b = 2 
c) a = 1 e b = -1 
d) a = 1 e b = -2 
e) a = 2 e b = -1 
 
 
 
 
 
 
 
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290
90. (UFRGS) Na figuraabaixo, o valor numérico do diâmetro 
AB é 5, e C é um ponto do círculo. Uma solução possível para os 
valores numéricos de AC 
e BC é 
 
a) 1 e 2 6 
b) 2 e 3 
c) 1 e 4 
d) 1,5 e 3,5 
e) 6 e 2 
 
91. (UFRGS) Se o ponteiro menor de um relógio percorre um 
arco de 
12
pi rad, o ponteiro maior percorre um arco de 
 
a) pi rad 
6 
b) pi rad 
4 
c) pi rad 
3 
d) pi rad 
2 
e) pi rad 
 
92. (UFRGS 00) Considere as afirmações abaixo. 
 
I. tan 92º = - tan 88º 
II. tan 178º = tan 88º 
III. tan 268º = tan 88º 
IV. tan 272º = - tan 88º 
 
Quais estão corretas? 
 
a) Apenas I e III 
b) Apenas III e IV 
c) Apenas I, II e IV 
d) Apenas I, III e IV 
e) Apenas II, III e IV 
 
 
93. (UFRGS) Para sen(α ) = 1/2 e α no 2o quadrante, 
considere as afirmações: 
I) cos (α ) = 
2
3 
II) sen (2α ) ≤ 0 
III) csc (3α ) = 1 
 
Quais são verdadeiras? 
a) Apenas I 
b) Apenas II 
c) Apenas I e III 
d) Apenas II e III 
e) I, II e III 
 
94. (UFRGS) Considere as funções numeradas de 1 a 4 e os 
gráficos de A até D. 
 
 
(1) y = sen (x), 0 ≤ x ≤ 2t 
(2) y = sen (2x), 0 ≤ x ≤ 2t 
(3) y = 2sen (x), 0 ≤ x ≤ 2t 
(4) y = sen (x). cos (x), 0 ≤ x ≤ 2t 
 
Associando-se as funções a seus gráficos, obtêm-se os pares 
 
a) (1,A), (2,B), (3,C) e (4,D) 
b) (1,A), (2,C), (3,B) e (4,D) 
c) (1,A), (2,B), (3,D) e (4,C) 
d) (1,C), (2,D), (3,A) e (4,B) 
e) (1,C), (2,A), (3,D) e (4,B) 
 
95. (UFRGS) A identidade sen 2x = 2sen x é verificada se e 
somente se 
 
a) x é número real 
b) x = 0 
c) x = npi , sendo n qualquer inteiro 
d) x = npi /2, sendo n qualquer inteiro 
e) x = 2npi , sendo n qualquer inteiro 
 
96. (UFRGS) Considere as seguintes afirmações para arcos 
medidos em radianos: 
 
I) sen 1 < sen 3 
II) cos 1 < cos 3 
III) cos 1 < sen 1 
 
Quais são verdadeiras? 
 
a) Apenas I é verdadeira 
b) Apenas II é verdadeira 
c) Apenas III é verdadeira 
d) São verdadeiras apenas I e II 
e) São verdadeiras I, II e III 
 
 
97. (UFRGS) Dada a figura 
 
 
Qual o valor de x? 
 
a) 2,15 
b) 2,35 
c) 2,75 
d) 3,15 
e) 3,35 
 
98. (UFRGS) No triângulo retângulo da figura, BC=10 e 
cos(α )=0,8. O valor de AB é: 
 
a) 8 
b) 6 
c) 5 
d) 4 
e) 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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291 
 
99. (UFRGS) Uma escada de 5m de comprimento é apoiada em 
uma parede vertical, da qual seu pé dista 3m. A altura do solo até o 
ponto em que a escada toca a parede é 
 
a) 3 m 
b) 3 3 m 
c) 4 m 
d) 4 2 m 
e) 5 m 
 
100. (UFRGS) Para estimar a profundidade de um poço com 
1,10m de largura, uma pessoa cujos olhos estão a 1,60m do chão 
posiciona-se a 0,50m de sua borda. Desta forma, a borda do poço 
esconde exatamente seu fundo, como mostra a figura. 
 
 
 
 Com os dados acima, a pessoa conclui que a profundidade do poço 
é 
 
a) 2,82 m 
b) 3,00 m 
c) 3,30 m 
d) 3,52 m 
e) 3,85 m 
 
101. (FUVEST) Dois pontos A e B estão situados na margem de 
um rio e distantes 40m um do outro. Um ponto C, na outra margem 
do rio, está situado de tal modo que o ângulo CÂB mede 75o e o 
ângulo ACB mede75o. Determine a largura do rio 
 
a) 40m 
b) 20m 
c) m320 
d) 30m 
e) 25m 
 
102. (UFRGS 00) Na figura, o círculo é unitário e BC é tangente 
ao círculo no ponto P. 
 
Se o arco 
∩∩∩∩
AP mede α, BC vale: 
 
a) tan α + cot α 
b) sen α + cos α 
c) sec α + csc α 
d) tan α + sen α 
e) cot α + cos 
 
103. (UNI-RIO) Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosse-
no do maior ângulo interno desse triângulo vale: 
 
(A) 11/24 
(B) - 11/24 
(C) 3/8 
(D) -3/8 
(E) -3/10 
 
104. Qual o período e qual o conjunto imagem da função 
y=cos(4x)sen(6x)+sen(4x)cos(6x) ? 
 
a) pi2 e [-1,1] 
b) pi2 e [0,1] 
c) pi /5 e [-1,1] 
d) pi e [-10,10] 
e) pi2 e [-1,1] 
 
105. (U.E.Londrina-PR) O gráfico abaixo corresponde à função: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) y = 2senx 
b) y = sen(2x) 
c) y = senx+2 
d) y = senx 
e) y = sen(4x) 
 
 
Progressões Geométricas e Aritméticas 
 
 
106. (UFRGS) A progressão aritmética 
(a1, a2, a3,...) tem razão r. A razão da progressão definida por 
hn = a5n é 
 
a) r 
b) r + 5 
c) 5 r 
d) 5 – r 
e) r / 5 
 
 
 
 
 
 
 
107. (UFRGS) Para p e q inteiros positivos, a soma dos cem 
primeiros múltiplos de p é A e a soma dos cem primeiros múltiplos de 
q é B. O valor de A + B é 
 
a) 200p . q 
b) 200(p + q) 
c) 500 (p + q) 
d) 5050(p + q) 
e) 5050p . q 
 
 
 
 
 
 
 
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292
108. (UFRGS) Um engenheiro deseja colocar cinco colunas 
igualmente espaçadas entre duas já existentes, de modo a suportar a 
viga AB, conforme a figura. As alturas das colunas formarão uma 
progressão 
 B 
 
 A 
 
 5 
 3 
 
 
a) geométrica de razão 1/3 
b) aritmética de razão 1/3 
c) geométrica de razão 1/5 
d) aritmética de razão 1/5 
e) aritmética de razão 2/3 
 
109. (UFRGS) A figura mostra uma seqüência de quadrados cujo 
primeiro elemento tem lado de medida 1 metro. 
Cada quadrado da seqüência é construído com os vértices nos pontos 
médios dos lados do quadrado imediatamente anterior. 
 
O limite da soma das áreas dos quadrados dessa seqüência é 
 
a) 1 m² 
b) 2 m² 
c) 3 m² 
d) 2 2 m² 
e) 2 m² 
 
110. (UFRGS) Na seqüência de figuras, cada quadrado tem 1cm² 
de área. Supondo que as figuras continuem evoluindo no mesmo 
padrão aqui encontrado, a área da figura 20 terá valor 
 
 
a) entre 0 e 1000 
b) entre 1000 e 10.000 
c) entre 10.000 e 50.000 
d) entre 50.000 e 100.000 
e) maior que 100.000 
 
111. (UFRGS) Em uma progressão aritmética limitada em que o 
1º termo é 3 e o último 31, a soma de seus termos é 136. O número 
de termos dessa progressão é: 
 
a) 8 
b) 10 
c) 16 
d) 26 
e) 52 
 
 
112. (UFRGS) As medidas dos lados de um triângulo são expres-
sas por x+1, 2x, x² – 5 estão em PA, nesta ordem. O perímetro do 
triângulo mede: 
 
 
 
 
 
a) 8 
b) 12 
c) 15 
d) 24 
e) 33 
 
113. (UFRGS) Com o objetivo de realizar uma excursão, cada 
aluno de uma turma de 30 alunos, concordou em economizar 
R$ 10,00 na primeira semana e, em cada semana seguinte, R$ 2,00 a 
mais que na semana anterior. No final de 15 semanas, a turma eco-
nomizou: 
 
a) R$ 11.100,00 
b) R$ 10.800,00 
c) R$ 7.500,00 
d) R$ 6.300,00 
e) R$ 4.500,00 
 
114. (UFRGS) O primeiro termo de uma PA é –10 e a soma dos 
oito primeiros termos, 60. A razão é: 
 
a) –5/7 
b) 15/7 
c) 5 
d) 28 
e) 35 
 
115. (UFRGS) Cada um dos quadrados da figura abaixo tem 1 
cm de lado. 
 
Se a curva poligonal em destaque na figura continuar evoluindo no 
mesmo padão, a partir da origem O, qual será seu comprimento 
quando tiver 20 lados? 
 
a) 20 cm 
b) 100 cm 
c) 200 cm 
d) 210 cm 
e) 420 cm 
 
116. (UFRGS 00) Os números inteiros de 1 a 600 são escritos na 
disposição abaixo. 
 
 1 2 3 4 5 6 
 7 8 9 10 11 12 
 13 14 15 16 17 18 
 ... ... ... ... ... ... 
 
 A escrita se repete, na mesma disposição, a cada vez que se 
atinge o valor de 600. O número escrito na 5a coluna da 143a linha é: 
 
(A) 243 
(B) 245 
(C) 248 
(D) 257 
(E) 258 
 
117. (UFRGS) Em uma progressão geométricade razão positiva, 
o segundo termo é 8 e o oitavo é 1/8. A soma dos dois primeiros 
termos é 
 
a) 24 
b) 16 
c) 12 
d) 8 
e) 4 
 
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118. (UFRGS) O primeiro termo de uma progressão geométrica 
em que a3=1 e a5=9 é:a) 1/27 
b) 1/9 
c) 1/3 
d) 1 
e) 0 
 
119. (UFRGS) Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 500,00 
e saldou-o pagando, ao final de cada mês, R$ 100,00 mais 6% de 
juros sobre a dívida restante. A sucessão dada pelas parcelas de 
pagamento da dívida é uma 
 
 
a) progressaõ geométrica de razão –0,06 
b) progressaõ geométrica de razão –6 
c) progressaõ geométrica de razão –100 
d) progressaõ aritmética de razão –6 
e) progressão aritmética de razão –100 
 
120. (UFRGS) A solução da equação 15
93
=+++ K
xx
x , é 
 
a) 1 
b) 3 
c) 8 
d) 10 
e) 1/8 
 
Análise Combinatória e Probabilidade
121. (UFRGS) O número de segmentos de reta determinados 
por 10 pontos, dois a dois distintos, é 
a) 45 
b) 28 
c) 21 
d) 15 
e) 10 
 
122. (UFRGS) A figura abaixo representa uma parede 
quadrada na qual estão pintados discos de raio r. Se uma bola é 
lançada totalmente ao acaso contra a parede, a probabilidade de 
ela tocar fora dos discos está entre 
 
 
 
 
 
 
 
a) 14% e 16% 
b) 17% e 19% 
c) 20% e 22% 
d) 23% e 25% 
e) 26% e 28% 
 
123. (UFRGS) O número máximo de quadriláteros com 
vértices em 8 pontos distintos marcados em um círculo é: 
a) 24 
b) 70 
c) 350 
d) 840 
e) 1680 
 
124. (UFRGS) Quantos números inteiros positivos, com 3 
algarismos significativos distintos, são múltiplos de 5? 
 
a) 128 
b) 136 
c) 144 
d) 162 
e) 648 
 
125. (UFRGS) O número de múltiplos de três, com quatro 
algorismos ditintos, escolhidos entre 3, 4, 6, 8 e 9 é 
 
a) 24 
b) 36 
c) 48 
d) 72 
e) 96 
 
126. (UFRGS) Uma parteira prevê, com 50% de chance de 
acerto, o sexo de cada criança que vai nascer. Num conjunto de 
três crianças, a probabilidade de ela acertar pelo menos duas 
previsões é de 
 
a) 12,5% 
b) 25% 
c) 37,5% 
d) 50% 
e) 66,6% 
 
 
127. (Unifor-CE) Uma sorveteria tem em seu cardápio: 16 
sabores de sorvete, 3 tipos de farofa e 6 tipos de cobertura. Zilda 
pretende tomar apenas uma bola de sorvete, com uma única cober-
tura e um único tipo de farofa. Quantas são suas opções de esco-
lha? 
 
a) 144 
b) 288 
c) 324 
d) 576 
e) 648 
 
128. (UFRGS) No sistema de emplacamento de veículos que 
começa a ser implantado, as placas têm 3 letras como prefixo, 
podendo haver letras repetidas. Usando apenas vogais, o número 
máximo de prefixos é 
 
a) 15 
b) 35 
c) 60 
d) 90 
e) 125 
 
129. (UFRGS) Os números dos telefones de uma cidade são 
constituídos por 6 dígitos. Sabendo que o primeiro dígito nunca 
pode ser zero e que os números dos telefones passarão a ser de 7 
dígitos, o aumento possível na quantidade dos telefones será: 
 
a) 81.103 
b) 90.103 
c) 81.104 
d) 81.105 
e) 90.105 
 
130. No cardápio de um restaurante há 10 tipos de carnes, 8 
tipos de acompanhamentos (fritas, arroz, etc.) e 5 tipos de sobre-
mesas. O número de refeições diferentes que podem ser oferecidas 
usando 1 tipo de carne, 2 tipos de acompanhamentos de 1 tipo de 
sobremesa é 
 
a) 800 
b) 1400 
c) 2800 
d) 3200 
e) 8855 
 
 
 
 
 
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294
131. (UFRGS) O número máximo de triângulos que se pode 
obter quando se escolhem, para seus vértices, 10 pontos distintos 
sobre uma elipse, é: 
 
a) 40 
b) 60 
c) 120 
d) 300 
e) 720 
 
132. (UFRGS) Um trem de passageiros é constituído de uma 
locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles restaurante. 
Sabendo-se que a locomotiva deve ir à frente, e que o vagão 
restaurante não pode ser colocado imediatamente após a 
locomotiva, o número de modos diferentes de montar a composição 
é 
 
a) 120 
b) 320 
c) 500 
d) 600 
e) 720 
 
133. Um estudante precisa selecionar, entre as disciplinas A, 
B, C, D, E e F, quatro disciplinas para cursar no próximo semestre 
letivo, sendo que uma necessariamente precisa ser a disciplina E. O 
número que indica de quantas maneiras o estudante pode escolher 
as quatro disciplinas é: 
 
a) 6 
b) 10 
c) 15 
d) 20 
e) 24 
 
134. (Fatec-SP) Em uma Olimpíada, a delegação de um país A 
se apresentou com 10 atletas e a de um país B, com 6 atletas. Os 
alojamentos da Vila Olímpica eram para quatro pessoas, e um deles 
foi ocupado por 2 atletas de A e 2 atletas de B. O número de ma-
neiras distintas de formar esse grupo de 4 atletas era: 
 
a) 675 
b) 450 
c) 270 
d) 60 
e) 16 
 
135. (UFMS) Na seleção brasileira de futebol, existem 8 joga-
dores de ataque, 6 de meio-campo, 6 defensores e 3 goleiros. 
Quantos times diferentes podem ser formados utilizando 1 goleiro, 
4 defensores, 3 meio-campistas e 3 atacantes? A resposta correta 
é: 
 
a) 94 
b) 50400 
c) 445525 
d) 45525 
e) 504 
 
 
Geometria Plana 
 
136. (UFRGS) O círculo da figura tem raio 6, e α mede 100º. A 
área do setor hachurado é 
 
 
a) 6 
b) 10 
c) 6pi 
d) 10pi 
e) 60 
 
 
137. (UFRGS) Na figura abaixo, o comprimento da circunferência 
é 36 e ∝ = 25º. O comprimento do arco llll é: 
 
a) 1 
b) 1,5 
c) 2,5 
d) 3 
e) 3,5 
 
138. (UFRGS) Os triângulos eqüiláteros concêntricos da figura 
têm, cada um, área a. A área do polígono regular hachurado é 
 
a) 3 a 
4 
b) 2 a 
3 
c) a 
 
d) 3 a 
 2 
e) a
3
5
 
139. (UFRGS) A área do quadrado ABCD é 1/3 da área do 
quadrado EBFG. Qual é a razão entre as medidas do lado do 
quadrado maior e do lado do quadrado menor? 
 
a) 9 
b) 3 
c) 1 
d) 3 
e) 
3
3
 
 
140. (UFRGS) Se o raio de um círculo cresce 20%, sua área 
crece. 
 
a) 14% 
b) 14,4% 
c) 40% 
d) 44% 
e) 144% 
 
141. (UFRGS) Dois dos lados opostos de um quadrado têm um 
aumento de 40% e os outros dois lados opostos têm um 
decréscimento de 40%. A área deste quadrado 
 
a) aumenta 20% 
b) aumenta 16% 
c) permanece inalterada 
d) diminui 16% 
e) diminui 20% 
 
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295 
142. (UFRGS) Um retângulo ABCD é dividido, conforme mostra a 
figura, em 4 retângulos menores, AEIH, EBFI, IFCG e HIGD, de área 
40, m, 18 e 48, repectivamente. O valor de m é 
 
 
a) 45 
b) 16 
c) 15 
d) 14 
e) 9 
 
143. (UFRGS) As medidas dos três lados de um triângulo 
retângulo são números em progressão aritmética. Qual o valor da 
área do triângulo, sabendo-se que o menor lado mede 6? 
a) 12 2 
b) 18 
c) 20 2 
d) 24 
e) 30 
 
144. (UFRGS) A altura de um triângulo equilátero inscrito numa 
circunferência é 2 3 cm. A razão entre a área desse triângulo e a 
área de um quadrado inscrito nessa mesma circunferência é 
 
a) 3 
 4 
b) 
4
33 
c) 
8
3
 
d) 
8
3
 
e) 
8
33
 
 
145. (UFRGS) Três discos estão soldados como na figura 
abaixo. Considerando que as medidas de A, B e C, em centímetros, 
são, respectivamente, 12, 16 e 18, os diâmetros dos discos P, Q e R, 
nesta ordem, medem em centímetros 
 
 
 
a) 5, 7 e 11 
b) 12, 6 e 4 
c) 11, 7 e 5 
d) 4, 6 e 12 
e) 9, 8 e 6 
 
 
 
 
 
 
 
146. (UFRGS) O número de diagonais de um polígono é o dobro 
de seu número n de lados. O valor de n é 
a) 5 
b) 6 
c) 7 
d) 8 
e) 9 
 
147. (UERJ) Se um polígono tem todos os lados iguais, então 
todos os seus ângulos internos são iguais. Para mostrar que esta 
proposição é falsa, pode-se usar como exemplo a figura denominada: 
a) losango 
b) trapézio 
c) retângulo 
d) quadrado 
e) hexágono 
 
148. (Unicap-PE) A área da região hachurada, ao lado, é de 54 
m2. Determine, em metro, o comprimento do segmento de reta EC.a) 3cm 
b) 6 cm 
c) 9 cm 
d) 12 cm 
e) 15 cm 
 
149. (F.I. Vitória-ES) O ponteiro grande do relógio da Catedral 
mede um metro de comprimento. Então, a área setorial varrida pelo 
ponteiro em 20 minutos é: 
a) pi/3 
b) 6 
c) 60 
d) 2pi/3 
e) 3pi/2 
 
150. Na figura abaixo podemos afirmar que o ângulo a mede: 
 
a) x
4
5
 a 2x 
b) x
3
2
 
c) 
2
x
 
d) x
5
4
 
e) x
2
3
 5/2x x 
 
151. (FEI-SP) Para ladrilhar uma parede de 27m² de área quer 
se utilizar peças quadradas de 15cm de lado, então o número de 
peças necessárias para ladrilhar esta parede é de: 
 
a) 12 
b) 120 
c) 1200 
d) 1500 
e) nda 
 
152. (U.E.BA) Seja o hexágono regular inscrito na circunferência 
de raio 6cm, conforme a figura abaixo. A área da região sombreada, 
em 2cm , é: 
 
a) 39 
b) 312 
c) 315 
d) 318 
e) 320 
 
 
 
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296
 
153. (UFRGS) Um quadrado e um triângulo eqüilátero têm o 
mesmo perímetro. A razão entre a área do triângulo e a área do 
quadrado é 
 
a) 
3
34 
b) 
9
34 
c) 3/4 
d) 4/9 
e) 
4
3 
 
154. A área sombreada da figura é limitada por arcos de circun-
ferências centrados nos vértices do quadrado de lado 2ℓ. Esta área 
sombreada vale: 
 
a) 
2
 
2lpi 
b) ( ) 2
 22 l−pi 
c) ( ) 2
 3/4 l−pi 
d) ( ) 2
 4 lpi− 
e) nda 
 
155. (UFRGS) A razão entre os lados de 2 triângulos eqüiláteros 
é 2. A razão entre suas áreas é: 
 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) nda 
 
156. (UERGS 02) A área de um triângulo retângulo é de 12 
unidades quadradas. Sabendo-se que a medida de um dos catetos é 
2/3 da medida do outro e que a hipotenusa mede n2 unidades, o 
valor de n é: 
 
a) 4 
b) 6 
c) 8 
d) 10 
e) 13 
 
157. (Mackenzie) Os lados do retângulo da figura, de área 48, 
foram divididos em partes iguais pelos pontos assinalados. A área do 
quadrilátero destacado é: 
 
 
 
a) 24 
b) 32 
c) 20 
d) 16 
e) 22 
 
 
158. (UFRGS) Considere as seguintes afirmações sobre um 
quadrilátero convexo: 
 
I) Se as diagonais se interceptam em seus respectivos pontos médios, 
então o quadrilátero é um retângulo. 
 
II) Se as diagonais se interceptam perpendicularmente em seus 
respectivos pontos médios, então o quadrilátero é um losango. 
 
III) Se as diagonais se interceptam perpendicularmente e são 
congruentes, então o quadrilátero é um quadrado. 
 
Quais estão corretas? 
 
a) Apenas II. 
b) Apenas III. 
c) Apenas I e II. 
d) Apenas I e III. 
e) I, II e III. 
 
159. (UFRGS) Em um losango, a soma dos ângulos obtusos é o 
dobro da soma dos ângulos agudos. Sabendo que a medida da 
diagonal menor é 4, a diagonal maior mede 
 
a) 6 
b) 4 
c) 2 2 
d) 2 3 
e) 4 3 
 
160. Se a função f(x) da figura representa o gráfico de 
f(x)= log(x) 
 y 
 
 f(x) 
 
 
 
 
 
 1 2 3 4 x 
 
 
O valor da área hachurada em unidades de área é: 
 
a) log2 
b) log3 
c) log4 
d) log5 
e) log6 
 
161. (UFRGS) Na figura ao lado, OP = 2, AB = 8, O é o centro 
dos círculos e AB é tangente em P ao círculo menor. A área do disco 
maior é: 
 
 
 
a) pi20 
b) 10pi 
c) 20pi 
d) 64pi 
e) 68pi 
 
 
 
 
Geometria Espacial 
 
162. (UFRGS) Deseja-se elevar em 20 cm o nível de água da 
piscina de um clube. A piscina é retangular, com 20 m de 
comprimento e 10 m de largura. A quantidade de litros de água a ser 
acrescentada é 
 
 
a) 4.000. 
b) 8.000. 
c) 20.000. 
d) 40.000. 
e) 80.000. 
 
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297 
 
163. (UFRGS) Certa qualidade de queijo é vendida em 
embalagens esféricas com 2 tamanhos. A embalagem menor tem 
capacidade para 250 g de queijo, e seu raio é metade do raio da 
maior. A quantidade total de queijo que a embalagem maior pode 
conter é 
a) 500 g 
b) 1 Kg 
c) 1,250 Kg 
d) 1,500 Kg 
e) 2 Kg 
 
164. (UFRGS) Uma esfera de volume 36pi está inscrita em um 
cilindro de volume igual a 
 
a) 9pi 
b) 18pi 
c) 24pi 
d) 54pi 
e) 60pi 
 
165. (UFRGS) Uma ampulheta pode ser considerada como 
formada por 2 cones retos idênticos, unidos pelo vértice, inscritos em 
um cilindro reto. A razão entre o volume de um dos cones e o volume 
do cilindro é 
a) 1 
2 
b) 1 
3 
c) 1 
4 
d) 1 
6 
e) 1 
8 
 
166. (UFRGS) Numa pirâmede regular, a base é um quadrado de 
lado a. Suas faces laterais são triângulos equiláteros. O volume desta 
pirâmide é 
a) 2 a³ 
 12 
b) 2 a³ 
 6 
c) 2 a³ 
 3 
d) 3 a³ 
 12 
e) 3 a³ 
6 
 
167. (UFRGS 00) Na figura, O é o centro do cubo. 
 
 
Se o volume do cubo é 1, o volume da pirâmede de base ABCD e 
vértice O é 
 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/4 
d) 1/6 
e) 1/8 
 
 
 
 
168. (UFRGS 00) A figura abaixo representa a planificação de 
um sólido. 
 
 
O volume desse sólido, de acordo com as medidas indicadas, é 
a) 180 
b) 360 
c) 480 
d) 720 
e) 1440 
 
169. (UFRGS) A área da base de uma caixa em que todas as 
faces são retangulares é 320 cm², a área de uma face lateral é 160 
cm² e de outra face lateral é 128 cm². O volume desta caixa, em 
cm³, é 
 
a) 2560 
b) 1280 
c) 640 
d) 608 
e) 320 
 
170. (UFRGS) O volume de um tetraedro regular de aresta 1 
vale 
 
a) 1 
b) 2 
 4 
c) 6 
 8 
d) 
9
6
 
e) 2 
 12 
 
171. (UFRGS) O valor numérico de cada aresta de um cubo é 2, 
e os pontos P, Q e R são pontos médios de três arestas, como no 
desenho abaixo. Um plano passando pelos pontos P, Q e R secciona o 
cubo em dios sólidos. A razão entre o volume do sólido menor e o 
volume do cubo é 
 
 
a) 1/48 
b) 1/32 
c) 1/24 
d) 1/16 
e) 1/12 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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298
172. (UFRGS) O volume do prisma da figura abaixo é 20 cm³. Se 
fizermos um corte paralelo ao retângulo BCFE passando pelo ponto 
médio de AC , obteremos dois novos sólidos. 
 
 
O volume do menor sólido obtido será 
 
a) 2,5 cm³ 
b) 5 cm³ 
c) 7,5 cm³ 
d) 10 cm³ 
e) 12,5 cm³ 
 
173. (UFRGS) Os canos cilíndricos A e B são feitos do mesmo 
material e têm a mesma espessura. O cano A tem raio r e 
comprimento l . O cano B tem raio 2r e comprimento 
4
l
 . A razão 
entre os pesos dos canos A e B é: 
 
a) 1 
b) 2 
c) 2pi 
d) 4 
e) 4pi 
 
 
174. (UFRGS) A figura ao lado representa um recipiente cônico 
com 1 metro de altura. 
 
 
 O volume de água será a metade da capacidade desse recipiente 
quando o medidor de nível marcar, com erro inferior a 1 cm, 
 
a) 80 cm 
b) 70 cm 
c) 60 cm 
d) 50 cm 
e) 40 cm 
 
175. (UFRGS 00) A figura abaixo representa um cubo de centro O. 
 
Considere as afirmações abaixo. 
 
I. O ponto O pertence ao plano BDE. 
II. O ponto O pertence ao plano ACG. 
III. Qualquer plano contendo os pontos O e E também contém C. 
 
Quais estão corretas? 
 
a) Apenas I 
b) Apenas II 
c) Apenas I e II 
d) Apenas I e III 
e) Apenas II e III 
 
176. (UFRGS) Um poliedro de onze faces tem seis faces triangu-
lares e cinco faces quadrangulares. O número de arestas e de vérti-
ces deste poliedro é, respectivamente: 
 
a) 34 e 10 
b) 19 e 10 
c) 34 e 20 
d) 12 e 10 
e) 19 e 12 
 
177. (UFRGS) O volume do cubo cuja diagonal mede 3 é: 
 
a) 27 
b) 9 
c) 6 
d) 33 
e) 3 
 
178. (U.Católica Dom Bosco-MS) Um cilindro eqüilátero de volu-
me V m3 encontra-se cheio de água, quando uma esfera, cujo raio 
coincide com o raio da base do cilindro, é mergulhadacompletamente 
no cilindro fazendo transbordar certa quantidade de água. Nessas 
condições, o volume, em m³, de água restante no cilindro é igual a: 
 
a) 0 
b) V/4 
c) V/3 
d) V/2 
e) 3V/4 
 
179. (UFRGS) Seja um cilindro de revolução de volume V. Se 
quadruplicarmos a medida do raio da base e reduzirmos sua altura à 
metade, seu volume passa a ser: 
a) 2V 
b) 4V 
c) 6V 
d) 8V 
e) 16V 
 
180. (UFRGS) Se o volume de uma esfera é pi /6, então seu 
diâmetro é 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 6 
e) 6 
 
181. (UFRGS 00) O volume de uma esfera A é 1/8 do volume de 
uma esfera B. Se o raio da esfera B mede 10, então o raio da esfera 
A mede 
 
a) 5 
b) 4 
c) 2,5 
d) 2 
e) 1,25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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299 
 
182. (UFRGS) Uma esfera de raio 2 cm é mergulhada num copo 
cilíndrico de 4 cm de raio, até encostar no fundo, de modo que a 
água do copo recubra exatamente a esfera. 
 
Antes da esfera ser colocada no copo, a altura de água era 
 
a) 27/8 cm 
b) 19/6 cm 
c) 18/5 cm 
d) 10/3 cm 
e) 7/2 cm 
 
183. (UFRGS) A figura abaixo representa a planificação de um 
sódio. O volume deste sódio é 
 
 
a) 20 3 
b) 75 
c) 50 3 
d) 100 
e) 100 3 
 
184. (UFRGS) A área total de um tetraedro regular é 12 . A 
sua aresta vale 
 
a) 1 
b) 
2
3 
c) 2 
d) 2 
e) 4 
 
 
185. (UNISC) Uma pirâmide quadrangular regular tem todas as 
arestas iguais a x. A área total dessa pirâmide é: 
 
(A) 32 2x 
(B) 322 xx + 
(C) 2
33x
 
(D) 22 34 xx + 
(E) 6x
 
Geometria Analítica 
 
186. (UFRGS) O perímetro do quadrado da figura é 8. A 
equação da reta r é 
 
a) x – y – 2 = 0. 
b) x + y – 2 = 0. 
c) 2x + y – 2 = 0. 
d) 2x - y - 2 = 0. 
e) 2x + y + 2 = 0. 
 
187. (UFRGS) A distância entre os pontos A (-2, y) e B (6, 7) é 
10. O valor de y é: 
a) –1 
b) 0 
c) 1 ou 13 
d) –1 ou 10 
e) 2 ou 12 
 
188. (UFRGS) Os pontos A (-3, 2) e B (3, 2) são extremidades 
de um diâmetro da circunferência de equação 
a) x² - (y – 2)² = 9 
b) X² - (y – 2)² = 3 
c) (x – 3)² - (y – 2)² = 9 
d) (x – 3)² - (y – 2)² = 3 
e) X² - (y - 2) = 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
189. (UFRGS) A equação x² + y² + 4x – 6y + m = 0 representa 
um círculo se e somente se 
 
a) m > 0 
b) m < 0 
c) m > 13 
d) m > -13 
e) m < 13. 
 
190. (UFRGS) Um círculo com centro C = (2, -5) tangencia a 
reta de equação x – 2y –7 = 0. O valor numérico da área da região 
limitada pelo círculo é 
a) 4pi 
b) 5pi 
c) 6pi 
d) 7pi 
e) 8pi 
 
191. (UFRGS) O centro O = (x, y) de uma circunferência que 
passa pelos pontos (-1, 1) e (1, 5), tem as coordenadas na relação: 
 
a) 2y + x = 6 
b) 5y + 2x = 15 
c) 5y + 3x = 15 
d) 8y + 3x = 25 
e) 9y + 4x = 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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300
 
192. (UFRGS) No paralelogramo ABCD da figura abaixo, 
AB = 3 e BC = 2. 
 
Se A = (-1, 0), então C é igual a 
 
a) (2, 2) 
b) (3,2 3 ) 
c) (3, 3 ) 
d) (2, 3 ) 
e) (3, 2) 
 
193. (UFRGS) Observe a figura abaixo. 
 
Os lados do triângulo retângulo hachurado são segmentos das retas 
dadas pelas equações: 
 
a) y = 2, y = -1 x + 2 e y = 2x + 2 
2 
b) x = 1, y = -x + 2 e y = x + 2 
c) x = 1, y = -2x + 2 e y = 1 x + 2 
 2 
d) y = 2, y = x + 2 e y = -x + 2 
e) x = 1, y = -x +1 e y = x + 2 
 
194. (UFRGS) As retas x + y – c = 0 e x +by + 3c = 0, com b, c 
∈ ℜℜℜℜ , interceptam-se no ponto (-1, 2). O valor de b + c é 
 
a) –1 
b) 0 
c) 1 
d) 2 
e) 3 
 
195. (UFRGS) Um paralelogramo tem vértices A, B, C e 
D (-1, 4), sendo A e B consecutivos. Se A e B pertencem à reta 
2x – 3y + 7 = 0, então a reta que contém C e D tem equação 
 
a) 2x – 3y + 14 = 0 
b) 2x – 3y – 14 = 0 
c) 2x + 3y + 14 = 0 
d) 3x – 2y – 14 = 0 
e) 3x + 2y + 14 = 0 
 
196. (UFRGS) A reta de equação 
x – y – 1 = 0 tangencia a circunferência de equação 
(x – 2)² + (y – 1)² = m no ponto T(1, 2). O valor de m é 
 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 2 
 
 
197. (UFRGS) Considere a circunferência inscrita no triângulo 
equilátero, conforme mostra a figura abaixo. 
 
 
 
A equação da circunferência é 
a) ( ) 11 22 =−+ yx 
b) 
4
3
2
3
2
2
=








−+ yx 
c) 
3
4
3
32
2
2
=








−+ yx 
d) 
16
3
4
3
2
2
=








−+ yx 
e) 
3
1
3
3
2
2
=








−+ yx 
 
198. (UFRGS) Considere a reta r passando em P (0, 3). Duas 
retas p e q, paralelas ao eixo das ordenadas e distantes entre si 2 
unidades, são interceptadas no 1º quadrante pela reta r em 2 pontos, 
cuja distância é 2 5 unidades. A equação de r é 
 
a) y = 3x – 2 
b) y = 2x + 3 
c) 3x + y – 3 = 0 
d) y = -2x – 3 
e) 3x – y + 3 = 0 
 
199. (UFRGS 00) No sistema de coordenadas cartesianas 
retangulares, a reta de equação y = x + b intercepta a curva de 
equação x² + y² = 8. Então 
a) l b l ≤ 2 
b) l b l ≤ 2 2 
c) 2 2 ≤ b ≤ 4 
d) 2 ≤ b ≤ 2 2 
e) l b l ≤ 4 
 
200. A distância da origem do sistema cartesiano ao ponto 
médio do segmento de extremos (-2,-7) e (-4,1) é: 
 
a) 5 
b) 2 2 
c) 2 3 
d) 3 3 
e) 3 2 
 
201. (UFRGS) A medida do lado AC do triângulo cujos vértices 
são os pontos A(-a,0), B(a,0) e C(0,a) é 
a) 
2
2a 
b) a 
c) 2a 
d) 2a 
e) a22 
 
 
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301 
202. (UFRGS) As retas 11 += xy e x
m
my
2
1
2
+−
=
 são per-
pendiculares. O valor de m é 
a) 2 
b) 1 
c) 0 
d) -1 
e) -2 
 
203. (UFRGS) A equação reduzida da reta que contém os pontos 
A (2,-5) e B (-1,1) é 
 
a) y=-2x–1 
b) Y=-2x+1 
c) Y=2x 
d) Y=-x+2 
e) Y=x+2 
 
204. (UFRGS) Um quadrado tem um de seus vértices na origem 
do sistema de coordenadas cartesianas e outro vértice, oposto ao 
primeiro, no ponto (-6,-2). Se usarmos o metro como unidade de 
comprimento, a área deste quadrado medirá, em metros quadrados: 
 
a) 102 
b) 40 
c) 20 
d) 10 
e) N.d.a. 
 
205. A reta de equação 062 =−+ yx intersecciona os eixos do 
sistema de coordenadas cartesianas formando com eles um triângulo. 
A área deste triângulo é: 
 
a) 6 
b) 12 
c) 8 
d) 10 
e) 9 
 
206. (UFRGS) O triângulo AOB representado no gráfico abaixo, é 
isósceles. Se a área deste triângulo é 
2
9
u.a., então a equação da 
reta suporte do lado AB é: 
 
a) x + y - 3 = 0 A 
b) x - y - 3 = 0 
c) x - y + 3 = 0 
d) 9x - 2y + 3 = 0 
e) 2x - 9y + 3 = 0 B 
 
 
207. (Mack) O segmento de extremidades P(2,8) e Q(4,0) é o 
diâmetro de uma circunferência cuja equação é: 
 
a) ( ) 28913 22 =++ yx 
b) ( ) ( ) 8525 22 =−++ yx 
c) ( ) ( ) 3431 22 =−++ yx 
d) ( ) ( ) 1743 22 =−+− yx 
e) ( ) ( ) 3457 22 =−+− yx 
 
 
Matrizes e Determinantes 
 
 
208. (UFRGS) x 0 0 
 A matriz A = 0 2 0 
 0 0 2 
 
é tal que det (A4) = 2 / x. O valor de x é 
 
a) 1 
 32 
b) 1 
2 
c) 1 
5 
d) 5 
e) 32 
 
209. (UFRGS) Se A, B e C são matrizes de ordens 
respectivamente iguais a 2 x 3, 3 x 4 e 4 x 2, então 
(A . (B . C))² tem ordem 
 
(A) 2 
(B) 3 
(C) 4 
(D) 6 
(E) 12 
 
210. (UFRGS) 
 
 a b 3 a + 1 3b + 1 
 Se =2, então vale 
 2 2 1 1 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 6 
(D) 8 
(E) 12 
 
211. (UFRGS) A matriz C fornece, emreais, o custo das porções 
de arroz, carne e salada usandos num restaurante: 
 
 1 arroz 
 C = 3 carne 
 2 salada 
 
A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada 
usados na composição dos pratos tipo P1, P2, P3 desse restaurante: 
 arroz carne salada 
 2 1 1 prato P1 
 P 1 2 1 prato P2 
 2 2 0 prato P3 
 
 A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, 
P2, P3 é: 
 
a) 










8
9
7 
b) 










4
4
4 
c) 










4
11
9 
d) 










8
6
2
 
e) 










4
2
2
 
 
 
 
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212. (UFRGS 00) 
 
 1 1 
 Se A= , então A² é a matriz 
 -1 -1 
 
(A) 1 1 
 -1 -1 
 
(B) 0 0 
 0 0 
 
C) 1 1 
 1 1 
 
(D) -1 -1 
 1 1 
 
(E) 2 2 
 -2 -2 
 
 
213. (UFRGS) O conjunto dos números reais x, que tornam a 
matriz 
 
 sen(x) - cos(x) 
 inversível, é 
 cos(x) sen(x) 
 
(A) ø 
(B) {0} 
(C) {1} 
(D) {0, 2pi } 
(E) R 
 
214. (UFRGS) O diagrama abaixo representa um mapa 
rodoviário, mostrando as estradas que ligam as cidades 1, 2, 3 e 4. 
 
 
 
 A matriz A = [aij]4x4 associada a este mapa é definida da seguinte 
forma: 
 
 1 se i está ligada diretamente a j 
aij = 
0 se i = j ou i não tem ligação direta com j 
 
 Sabendo que i, j referem-se às cidades do mapa e variam no 
conjunto {1, 2, 3, 4}, assinale a alternativa incorreta 
 
(A) aij = aji 
(B) a21 = a23 = a24 
(C) aii = 0 
(D) aij + aji = 1 
(E) aij ≥ 0 
 
215. (UFRGS) Na equação seguinte 
 
0 cosx senx 
 0 senx cosx = 1 
 cos² + sen²x 0 0 
 
 um possível valor para x é 
(A) 0 
(B) pi 
 6 
(C) pi 
 4 
(D) pi 
 3 
(E) pi 
2 
 
216. O determinante da matriz 
 
 1 2 3 
 a 2a 3a é nulo 
 b + 1 b + 2 b + 3 
 
(A) para quaisquer valores de a e b 
(B) apenas se a = 0 
(C) Apenas se b = 0 
(D) somente se a = b 
(E) somente quando 1 + 2a + (b + 3) = 0 
 
 
217. (UFRGS) Uma matriz quadrada de ordem 20 tem a seguinte 
configuração: 
 
 
 A soma dos elementos da vigésima linha é 
 
(A) 4010 
(B) 3820 
(C) 2710 
(D) 1350 
(E) 580 
 
218. (UFSM) Analise as afirmações a seguir. 
I. A matriz 
( )
( )









−
−
224
0
122
cc
xb
aa
 é inversível se x = 2b. 
II. Se det(AB) = m, pode-se garantir que existe detA e detB. 
 
III. Se detA=m≠0 e detB=1/m, então det(AB)=1. 
 
Está(ão) correta(s): 
 
a) Apenas I. 
b) Apenas II. 
c) Apenas III. 
d) Apenas II e III. 
e) I, II e III. 
 
219. (UFRGS) Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e 
det(A)=5, então o valor do det(2A) é: 
 
a) 5 
b) 10 
c) 20 
d) 25 
e) 40 
 
220. (UFRGS) Se 
121296
321
−=
zyx
, então 
321
432
zyx
 vale: 
 
a) –4 
b) –4/3 
c) 4/3 
d) 4 
e) 12 
 
 
 
 
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303
 
 
221. (UFPR) Sendo 211
012
101
−
=a
 e 4/11
2/12
−
=b
, quanto vale o 
número 3(a+b)? 
 
a) 1/3 
b) 9 
c) 3 
d) 1/9 
e) 1 
 
222. (UFRGS) Uma matriz A=(aij), quadrada de ordem n, é tal 
que aij=0 sempre que ixj>i+j. Caso contrário, aij=1. A soma de todos 
os elementos da matriz é: 
 
a) 2n 
b) 2n–1 
c) 2n+1 
d) n+1 
e) n 
 
223. (UFRGS) A soma de todos os elementos da matriz A=(aij) 
onde aij= 2 se i=j ou aij=0 se i≠j é: 
 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 10 
 
224. (UCS) A matriz At, quadrada de ordem 2 tal que A=(aij) 
onde aij=3j-4i é: 
 
a) 






−−
−
25
21 
b) 






−
−−
22
51 
c) 





 −
25
21 
d) 






− 22
51 
e) 






−
−−
22
31 
 
225. (UFRGS) A matriz transposta da matriz quadrada A=(aij) de 
ordem 2 com aij=i
j+2, 1 ≤ i ≤ 2 e 1 ≤ j ≤ 2, é: 
a) 






64
42 
b) 






64
33 
c) 






63
43 
d) 






46
33 
e) 






64
32 
 
226. (UFSM) A é uma matriz m x n e B é uma matriz m x p. A 
afirmação falsa é: 
a) A + B existe se, e somente se, n = p 
b) A = At implica m = n 
c) AB existe se, e somente se, n = p 
d) ABt existe se, e somente se, n = p 
e) AtB existe sempre 
 
227. (UCPEL) Sejam A=(aij)2x2 e B=(bij)2x2, onde aij=i-j e bij=j-i, 
então o produto AB será igual a: 
 
a) -A 
b) At 
c) -B 
d) Bt 
e) I2 
 
228. (UCMG) O traço da matriz resultante do produto das matri-
zes 










−−−
−
×










231
310
102
042
413
231
 é: 
 
a) -1 
b) 3 
c) 13 
d) 20 
e) 23 
 
229. (UFSM) Das as matrizes 






−
=
52
3x
A e 





=
1
35
y
B , os 
 
valores de x e y, para que 






=×
10
01
BA
, são respectivamente: 
a) 2 e –1 
b) 1 e 2 
c) -1 e –2 
d) -1 e 2 
e) -2 e 1 
 
230. (UFSM) Sejam 





 −
=
a
a
x
2
1 e 






−
=
28
42
y , onde a ∈ ℜ. Se 
x2=y, então a é: 
 
a) -2 
b) -1 
c) -1/2 
d) 1 
e) 1/2 
 
 
Sistemas Lineares 
 
231. (UFRGS) Suponha que o sistema linear 
 ax + by = c 
 dx + ey = f 
 
onde x e y são variáveis e a, b, c, d, e, f são números reais fixos, 
admita diferentes soluções. Considere as afirmações. 
 
 a b 
I. = 0 
 d e 
 
 a c 
II. = 0 
 d f 
 
 c b 
III. ≠ 0 
 f e 
 
Quais estão corretas? 
(A) Apenas I. 
(B) Apenas I e II. 
(C) Apenas I e III. 
(D) Apenas II e III. 
(E) I, II e III. 
 
 
 
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232. (UFRGS 00) O sistema de equações 
 
 x + y – z = 3 
 x – y + z = 1 
 x + 3y – 3z = a 
 
tem solução se e só se o valor de a é: 
(A) 6. 
(B) 5. 
(C) 4. 
(D) 2. 
(E) Zero. 
 
233. (UFRGS) As ternas ordenadas (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) são 
soluções distintas do sistema 
 
 x + ay + bz = 0 
 ax + y + bz = 0 
 -x + y + z = 0 
 
Então, o valor absoluto de a é 
 
(A) ab 
(B) a 
(C) b 
(D) 1 
(E) 0 
 
234. (UFRGS) O sistema ax + 5y + az = 0 
 x + ay = 0 
 y + az = 0 
 
tem coeficientes reais e mais de uma solução. O conjunto de todos os 
valores que o coeficiente a pode assumir é 
 
(A) {-2} 
(B) {0} 
(C) {2} 
(D) {-2, 2} 
(E) {-2, 0, 2} 
 
235. (UFRGS) O Sistema 
 x + y + z = 0 
 ax + z – t = 0 
 - y – z + 2at = 0 
 y – at = 0 
 
com incógnitas x, y, z, t tem mais de uma solução. Os possíveis 
valores que a pode assumir são: 
 
(A) ímpares 
(B) inteiros 
(C) negativos 
(D) irracionais 
(E) Imaginários.236. (UFRGS) As soluções do sistema de equações 
 
 4x – 3y + z = 0 
 2x – 3z = 0 
 -8x + 6y – 2z = 0 
 
estão representadas pela terna 
 
(A) ( x, 14x/9,2x/3). 
(B) (x, 14x, -2x/3). 
(C) (x,- 14x/9,2x/3). 
(D) (x, 14x,2x/3). 
(E) (x, 14x/9, -2x/3). 
 
237. (UFRGS-97) O sistema linear 



=+
=−
24
1
myx
yx possível e 
determinado se e somente se: 
a) m = 2. 
b) m = 4. 
c) m ≠ - 4. 
d) m ≠ 1. 
e) 4m = 1. 
 
238. (FUVEST) Se 





=+
−=−
−=+
1
83
74
zy
yx
zx
, então o valor de x + y +z é: 
 
a) -2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
 
239. (UFRGS) A terna ordenada (x,y,z)=(1,2,3) é solução do 
sistema linear abaixo. 



=−++
=+++
01
01
zbyax
bzayx Os valores de a e b são, respecrivamente: 
 
a) 2 e –2. 
b) 1 e 2. 
c) 2 e 3. 
d) –1 e 2. 
e) 1 e –3. 
 
240. (PUC) Considere o seguinte sistema de equações de incóg-
nitas x e y: 





=+
=+
=+
5y2kx
6y5x3
4y2x6
 Esse sistema tem uma única solução para certo núme-
ro real k que é um: 
 
a) Quadrado perfeito. 
b) Número primo. 
c) Número racional não-inteiro. 
d) Número negativo. 
e) Múltiplo de 5. 
 
 
Polinômios 
 
241. (UFRGS) A equação algébrica de raízes –2, 0, 1 é: 
 
(A) x² - x = 0. 
(B) x² - 2x = 0. 
(C) x³ + x² - 2x = 0. 
(D) x³ - x² - 2x = 0. 
(E) x³ + 2 = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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242. (UFRGS) A função polinomial que melhor se identifica com 
a figura é definida por: 
 y 
 
 2 
 
 
 
 1 2 x 
 
(A) p(x) = x² - 3x + 2. 
(B) p(x) = -x² + 3x –2. 
(C) p(x) = 2(x –1) (x – 2). 
(D) p(x) = x³ - 4x² + 5x + 2. 
(E) p(x) = - x³ + 4x² - 5x + 2. 
 
243. (UFRGS) O conjunto { (x, y) ∈ R x R y = p(x) } está 
representado pela curva da figura. A expressão que pode representar 
o polimômio p(x) é: 
 
a) x(x – 1)4 y 
b) x(x – 1)³. 
c) x(x –1). 
d) x²(x – 1). 
e) x³(x – 1). 1 x 
 
244. (UFRGS) Ográfico representa a função y = p(x). 
 
 
 
 
 
Sabendo-se que p(x) é um polinômio com raízes reais, todas elas 
apresentadas no gráfico, assinale a afirmação incorreta. 
 
(A) O polinômio tem uma raiz múltipla. 
(B) O polinômio tem 3 raízes distintas. 
(C) O grau do polinômio é par. 
(D) O termo independente do polinômio é zero. 
(E) O número total de raízes do polinômio é 3. 
 
 
245. (UFRGS) Um polinômio p(x) de grau 3 tem as seguintes 
propriedades: 
1. É divisível por ( x + 2). 
2. O resto da divisão por ( x – 1) é 3. 
3. Zero é uma raiz de multiplicidade 2. 
 
O polinômio p(x) tem equação: 
(A) p(x) = x³ + 2x. 
(B) p(x) = 2x³ + x². 
(C) p(x) = x³ + x² + 1. 
(D) p(x) = x³ + 2x². 
(E) p(x) = 3x³. 
 
246. (UFRGS) Se p(x) = x³ + 2x² - 4x – 3 e p(a) = 5, então a é: 
 
(A) imaginário. 
(B) irracional. 
(C) positivo. 
(D) negativo. 
(E) inteiro. 
 
247. (UFRGS) Se p(x) e q(x) são polinômios de graus 
respectivamente iguais a n e a m, então o grau de 
 2(x – 1)³ p(x) q4(x) é: 
(A) 12 n m. 
(B) 12 n m 4. 
(C) 3 n m 4. 
(D) 3 + n + 4m. 
(E) 3 + n +m 4. 
 
 
 
 
 
248. (UFRGS) O resto da divisão de p(x) = x³ - 2x² + x – 1 por 
q(x) = x² - x + 1 é o polinômio r(x). O valor de r(1) é: 
 
(A) 2. 
(B) 1. 
(C) 0. 
(D) –1. 
(E) –2. 
 
249. (96) Considere as afirmações sobre o polinômio 
 p(x) = (x + 1) (x –1)² (x – 3)³. 
 
I. p(x) ≥ 0 em (-∞, - 1]. 
II. p(x) ≥ 0 em [ 3, + ∞). 
III. p(x) troca de sinal em [ -1, 3]. 
 
Quais estão corretas? 
 
(A) Apenas I. 
(B) Apenas III. 
(C) Apenas I e II. 
(D) Apenas I e III. 
(E) I, II e III. 
 
250. (UFRGS) Os polinômios p(x) = x4 – 5x³ e q(x) = x4 – 5: 
 
(A) têm exatamente as mesmas raízes. 
(B) têm três raízes em comum. 
(C) têm duas raízes em comum. 
(D) têm uma raiz em comum. 
(E) não têm raízes em comum. 
 
251. (UFRGS) Se P(x)=3x2+12x–7, então P(-1) vale: 
 
a) -16 
b) -7 
c) 0 
d) 3 
e) 24 
 
252. (UFRGS) A divisão de P(x) por x2+1 tem quociente x – 2 e 
resto 1. O polinômio P(x) é: 
 
a) x2 + x - 1 
b) x2 + x – 1 
c) x2 + x 
d) x3 -2x2 + x – 2 
e) x3 -2x2 + x -1 
 
253. (UFRGS) Se p(x) = 3x3-cx²+4x+2c é divisível por x+1, 
então: 
 
a) c = -1/3. 
b) c = 1/3. 
c) c = 7. 
d) c = 39. 
e) c = -7. 
 
254. (UFRGS 00) O polinômio p(x)=ax4+3x³-4x²+dx–2, com 
a≠0, admite 1 e –1 como raízes. Então: 
 
a) a = 6 e d = -3. 
b) a = 3 e d = -3. 
c) a = -3 e d = 3. 
d) a = 9 e d = -3. 
e) a = -3 e d = 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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306
255. (UFRGS) Considere as afirmações: 
 
I. Se p(x) e q(x) são polinômios de grau n, então p(x)+g(x) é um 
polinômio de grau 2n. 
 
II. O resto na divisão de p(x)=mx³+x²-x por q(x)=x–1 é igual a m. 
 
III. O produto de um polinômio de grau n por (x-a) é um polinômio 
de grau n+1. 
 
Quais estão corretas? 
 
a) Apenas I. 
b) Apenas I e II. 
c) Apenas III. 
d) Apenas II eIII. 
e) I, II e III. 
 
256. (UFRGS) Se o polinômio p(x) tem exatamente três raízes 
distintas a, b, c, o produto p(x).p(x) terá como raízes: 
 
a) a², b², c². 
b) a, -a, b, -b, c, -c. 
c) a, b, c. 
d) 2a, 2b, 2c. 
e) ab, ac, bc. 
 
257. (UFRGS) O polinômio p(x)=x³+10: 
 
a) não tem raízes reais. 
b) tem uma raiz positiva e duas imaginárias. 
c) tem uma raiz tripla. 
d) tem uma raiz negativa e duas imaginárias. 
e) tem três raízes reais distintas. 
 
258. (Fuvest-SP) O polinômio x4+x²–2x+6 admite 1+i como raiz, 
onde i²=–1. O número de raízes reais deste polinômio é: 
 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
259. O polinômio P(x) representado no gráfico é tal que P(3) é: 
 
(A) –6 
(B) -10 2 
(C) 6 
(D) 9 
(E) nda 
 1 2 
 
 
Números Complexos 
 
 
260. (UFRGS) A forma a + bi de z = (1 + 2i) / (1 – i) é: 
(a) 1/2 + 3/2 i. 
(b) –1/2 + 3/2 i. 
(c) –1/2 + 2/3 i. 
(d) –1/2 – 2/3 i. 
(e) 1/2 - 3/2 i. 
 
261. (UFRGS) O número Z = (m –3) + (m² - 9) i será um 
número real não nulo para: 
(a) m = -3. 
(b) m < -3 ou m > 3. 
(c) –3 < m < 3. 
(d) m = 3. 
(e) m > 0. 
 
262. (UFRGS) Na figura o número complexo Z é: 
 
(a) 2 + 2 . i 
 2 2 
(b) - 2 - 2 . i 
 2 2 
(c) 2 + 2 . i 
(d) - 2 - 2 .i. 
(e) 2 - 2 .i 
 
 
263. (UFRGS) A soma das raizes não reais de x³ - 3x² - 4 = 0 é: 
(a) –2 
(b) –1 
(c) 0 
(d) 1 
(e) 2 
 
264. ( UFRGS) Considere z1 = -3 + 2i e z2 = 4 + i. A 
representação trigonométrica 21 ZZ + é: 
(a) cos 
4
pi
 + sen 
4
pi
 
 
(b) 2 cos 
4
pi
 + sen 
4
pi
 
(c) cos 
4
3pi
 + sen 
4
3pi
 
 
(d) 2 cos 
4
7pi
 + i sen 
4
7pi
 
 
(e) cos 
4
7pi
 + sen 
4
7pi
 
 
 
265. (UFSM) A parte real e o coeficiente da parte imaginária do 
número 
i−2
1 são, respectivamente: 
a) 1/5 e 2/5 
b) 2/5 e -1/5 
c) 2/5 e 1/5 
d) 1/2 e -1 
e) n.d.a. 
 
266. (UFRGS) A raiz x da equação 
a²x – b = 0, para a = 1 + i e b = 2 – i, é: 
 
a) –0,5–i 
b) –0,5+i 
c) 0,5–i 
d) 0,5+i 
e) -1–2i 
 
 
 
 
 
 
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307 
267. (UFRGS) Dados os números complexos 
Z1 = 7 - 2 i. 
Z2 = 1-2 2 i. 
Z3 = 3i. 
 
A alternativa correta é: 
 
a) Z1 e Z2 têm mesmo conjugado. 
b) a parte real de Z1 é menor que a parte real de Z2. 
c) a soma de Z1 com Z3 é um número real. 
d) a parte imaginaria de Z3 é zero.e) Z1 , Z2 e Z3 têm módulos iguais. 
 
268. (UFRGS) Se Z= 3 +i e z¹=3+ 3 i, então z.z¹ tem módulo e 
argumento, respectivamente, igual a: 
 
a) 2 3 e 30º. 
b) 3 2 e 30º. 
c) 3 2 e 60º. 
d) 4 3 e 30º. 
e) 4 3 e 60º. 
 
269. (UFRGS) Os vértices do retângulo hachurado da figura 
abaixo representa os números complexos p, q, r, s. 
 Im(z) 
 
 
 
 Re(z) 
 0 
 
 
 
 
Pode-se afirmar que p + q + r + s é o número complexo: 
 
a) – i 
b) i 
c) 1 
d) 0 
e) 1 + i 
 
270. (UFRGS) Sendo 
i
iZ −−= 1 , a forma trigonométrica de Z é: 
a) 2 (cos 135º + i sen 135º). 
b) 2 (cos 45º + i sen 45º). 
c) cos 120º + i sen120º. 
d) 2 (cos 315º + i sen 315º). 
e) √2 (cos 225º + i sen 225º). 
 
271. (UFRGS) O valor de ( 3 + i)6 é: 
 
a) 64 – 64i 
b) 64i 
c) -64i 
d) - 64 
e) 64 
 
272. (UFRGS) Considera o ponto )5,35(P representado no 
gráfico abaixo. A forma trigonométrica do número complexo Z, repre-
sentado pelo ponto P, é: 
 
a) 10 (cos 300 + i sen 300) 
b) 5 (cos 300 + i sen 300) 
c) 10 (cos 450 + i sen 450) 
d) 5 (cos 450 + i sen 450) 
e) 5 (cos 600 + i sen 600) 
 
273. (UCMG) A forma trigonométrica do número complexo 
Z=4 i43 + é: 
 
a) 8(cos30º+isen 30º) 
b) 8(cos45º+isen 45º) 
c) 8(cos60º+isen 60º) 
d) 8(cos120º+isen120º) 
e) 8(cos150º+isen150º) 
 
 
 
Sessão Exercícios Complementares 
 
Matemática Elementar 
 
Cálculo Algébrico 
1) Calcule: 
Exemplo: (3x²+2x-1) + (-2x²+4x+2) = 3x²+2x-1-2x²+4x+2 = 
x²+6x+1 
 
a) (3a-2b+c) + (-6a-b-2c) + (2a+3b-c) 
b) (3x²-1/3) - (6x²-4/5) 
c) (2a-3ab+5b) - (-a-ab+2b) 
 
2) Efetue e simplifique: 
Exemplo: (2x+3).(4x+1) = 8x²+2x+12x+3 = 8x²+14x+3 
 
a) (2a+3b).(5a-b) 
b) (x-y).(x²-xy+y²) 
c) (3x-y).(3x+y).(2x-y) 
 
3) Simplifique: 
Exemplo: 10x³y²/5x²y = 2xy 
a) 8a³b²/2ab² 
b) 4a³-2a²+8a / 2a 
c) 18x³y²/6x²y³ 
 
4) (Fuvest) O valor da expressão a³-3a²x²y², para a=10, x=3 e 
y=1 é: 
(a) 100 (b) 50 (c) 250 (d) -150 (e) -200 
 
5) (Fuvest) Se A=(x-y)/xy, x=2/5 e y=1/2, então A é igual a: 
(a) -0,1 
(b) 0,2 
(c) -0,3 
(d) 0,4 
(e) -0,5 
 
Produtos Notáveis 
 
1) Calcule os produtos notáveis: 
 
a) (a+2)(a-2) 
b) (xy+3z)(xy-3z) 
c) (x²-4y)(x²+4y) 
 
d) 
 
e) (x+3)² 
f) (2a-5)² 
g) (2xy+4)² 
 
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308
h) 
 
i) (x+4)³ 
j) (2a+b)³ 
l) (a-1)³ 
 
Equações – 10 e 20 Graus 
 
Represente graficamente a função definida por: 
a) f(x) = 2x-1 
b) f(x) = -1/2x+3 
c) f(x) = 4x 
d) f(x) = 1/3x+2 
e) f(x) = -3x+6 
 
Determine a raiz ou zero de cada uma das seguintes equações: 
a) f(x) = 2x+5 
b) f(x) = -x+2 
c) f(x) = 1/3x+3 
d) f(x) = 1-5x 
e) f(x) = 4x 
 
 
Complete o quadro conforme o exemplo: 
Equação 
Coeficientes 
a b c 
6x²-3x+1=0 6 -3 1 
-3x²=5/2+4x 
y²=5y 
6x²=0 
Determine as raízes das seguintes equações: 
 
a) x²-3x+2=0 
b) 2y²-14y+12=0 
c) -x²+7x-10=0 
d) 5x²-x+7=0 
e) y²-25=0 
f) x²-1/4=0 
g) 5x²-10x=0 
h) 5+x²=9 
i) 7x²-3x=4x+x² 
j) z²-8z+12 = 0 
 
Determine o valor de k nas equações, de modo que: 
 
a) x² - 12x + k = 0 , tenha duas raízes reais e iguais 
b) 2x² - 6x +3k = 0, não tenha raízes reais 
c) x² + kx + 4 = 0, tenha raízes reais e iguais 
d) kx² - 2(k+1)x + (k+5) = 0, tenha duas raízes reais e diferentes 
 
Complete o quadro: 
 
Lembre-se: Soma das raízes de uma equação do 2º grau = -
b/a 
Produto das raízes de uma equação do 2º grau = c/a 
 
Equação Soma das raízes Produto das raízes 
x² - 6x + 9 = 0 6 9 
x² - 2x + 3 = 0 
2x² + 5x - 8 = 0 
x² + 5x -24=0 -5 24 
 5 -6 
 -6 -3 
 
4) Dê o conjunto solução das seguintes equações fracionárias: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
f) 
 
Dê o conjunto solução das seguintes equações literais: 
 
a) x² - (a+1) + x = 0 
b) x² - (a+m) + am = 0 
c) y² - by - 2b³ = 0 
d) ax² - (a²+1) + a = 0 
e) x² - 3rx + 2r² = 0 
 
Dê o conjunto solução das seguintes equações biquadradas: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
Raízes e Radicais 
1) Dê o valor de cada radical no campo dos número reais. Caso não 
exista, escreva: não existe. 
a) 
h) 
b) 
i) 
c) 
j) 
d) 
l) 
e) 
m) 
f) 
n) 
g) 
o) 
 
 
 
 
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309 
Aplicação de propriedades: 
Exemplo 1: 
a) 
b) 
c) 
d) [Nota]: 25 = 5² 
e) 
Exemplo 2: 
f) 
g) [Nota]: 
h) 
i) 
j) 
Exemplo 3: 
l) 
m) 
n) 
Exemplos 4: ; 
o) 
p) 
q) 
r) 
Exemplo 5: 
s) 
t) 
Exemplo 6: 
u) 
v) 
x) 
z) 
Exemplo 7: 
a`) 
b`) 
c`) 
d`) 
Exemplos 8: 
 
 
e`) 
f`) 
g`) 
h`) 
i`) 
 
Sistemas de Equações 
1) Resolva os seguintes sistemas: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
2) Problemas com sistemas já montados: 
 
a) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 
82 pes. Quantas são as galinhas e os coelhos? 
x+y=23 
2x+4y=82 
 
b) A soma das idades de duas pessoas é 25 anos e a diferença 
entre essas idades é de 13 anos. Qual a idade de cada uma? 
x+y=25 
x-y=13 
 
c) A soma de dois números é 50 e o maior deles é igual ao dobro 
do menor, menos 1. Quais são os números? 
x+y=50 
x=2y-1 
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310
 
d) Duas pessoas ganharam, juntas, 50 reais por um trabalho e uma 
delas ganhou 25% do que a outra. Quanto ganhou cada pessoa? 
x+y=50 
x=1/4y 
 
e) O preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira e 
duas canetas juntas custam 30. Qual o preço da caneta e da lapi-
seira? 
x=2y 
x+y=30 
 
3) (Fuvest) Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos meta-
de da água fora, seu peso cai para 180g. O peso do copo vazio é? 
 
(A) 20g 
(B) 25g 
(C) 35g 
(D) 40g 
(E) 45g 
 
4) (F.C.CHAGAS) Somando-se os 2/3 de um número x como os 3/5 
do número y, obtém-se 84. Se o número x é metade do número y, 
então a diferença y-x é igual a: 
(A) 18 
(B) 25 
(C) 30 
(D) 45 
(E) 60 
 
Porcentagem 
 
1) Uma pessoa recebe R$ 10.000 por 25 dias de trabalho. Quanto 
receberia se tivesse trabalhando 8 dias a mais? 
a)R$ 12.300,00 
b)R$ 10.400,00 
c)R$ 11.300,00 
d)R$ 13.100,00 
e)R$ 13.200,00 
 
2) No mesmo instante em que um prédio de 4,5m de altura projeta 
uma sombra de 13,5 m, qual a sombra projetada por uma torre de 
130 m de altura? 
a) 290m 
b) 390m 
c) 490m 
d) 590m 
e) 690m 
 
3) A razão das idades de duas pessoas é 2/3. Achar estas idades 
sabendo que sua soma é 35 anos. 
a) 14 e 20 anos 
b) 14 e 21 anos 
c) 15 e 20 anos 
d) 18 e 17 anos 
e) 13 e 22 anos 
 
4) (FGV) Em 1º . 03 . 95 , um artigo que custava R$ 250,00 teve 
seu preço diminuído em p% do seu valor . Em 1o . 04 . 95 , o novo 
preço foi novamente diminuído em p% do seu valor , passando a 
custar R$ 211,60 . O preço desse artigo em 31. 03 . 95 era : 
a) R$ 225,80 
b) R$ 228,00 
c) R$ 228,60 
d) R$ 230,00 
e) R$ 230,80 
 
5) A razão das áreas de duas figuras é 4/7. Achar essas áreas 
sabendo que a soma é 66 cm². 
a) 22cm² e 44cm² 
b) 20cm² 46cm² 
c) 21cm² e 45cm² 
d) 24cm² e 42 cm² 
e) 23cm² e 43cm² 
 
6) A diferença dos volumes de dois sólidos é 9cm³ e a sua razão é 
2/3. Achar os volumes. 
a) 17cm³ e 28cm³ 
b) 18cm³ e 27cm³ 
c) 19cm³ e 28cm³ 
d) 20cm³ e 27cm³ 
e) n.d.a 
 
7) Uma pessoa emprega uma quantia a juros simples de 6% duran-
te 5 anos e o montante a juros simples de 12% ao ano durante 2 
anos e recebeu R$ 80.600,00 de montante . Qual o capital inicial ? 
a) R$ 50.000 
b) R$