Quadripolos - Circuitos Elétricos

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte 
 
Disciplina: ELE0506 ­ ​Circuitos Elétricos 
Discentes:  Ianca Maria Leite da Costa 
      Nagilany Paula Lima Torres 
Prof Marcio Eduardo da Costa Rodrigues, Eng° 
 
 
TÓPICO:  
 
QUADRIPOLOS 
 
 
 
 
maio/2016 
 
 
 
 
TÓPICO:  
 
QUADRIPOLOS 
 
 
 Discutiremos aqui a definição de um  
quadripolo, as considerações a serem feitas, 
assim como demonstrar os parâmetros a ele 
                 associados.  Além disso, abordaremos os cir­ 
cuitos equivalentes de um quadripolo e as as­ 
sociações feitas com esse tipo de dispositivo.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Introdução 
Levando em consideração que uma porta é a composta por dois terminais que 
satisfazem a certas exigências, um quadripolo pode ser definido como um dispositivo 
ou uma rede de duas portas.  
Para ser considerada uma porta, faz­se necessário que a corrente que entre 
pelo primeiro terminal seja igual à que sai do segundo terminal. Além disso, temos 
algumas considerações para que um circuito/dispositivo seja considerado um 
quadripolo, esses são: 
­ Não pode haver nenhuma energia armazenada no circuito;  
­ Não pode haver fontes independentes no circuito, embora fontes dependentes 
sejam permitidas; 
­ A corrente que entra em um dos terminais de uma porta tem que ser igual à 
corrente que deixa o outro terminal da mesma porta e 
­ Todas as ligações externas devem ser feitas à porta de entrada ou à porta de 
saída; não é permitido fazer nenhuma ligação entre as portas, ou seja, entre os 
terminais a e c, a e d, b e c ou b e d. 
A utilização do conceito de quadripolo torna possível o isolamento de um circuito 
inteiro ou parte dele, ao substituí­lo pelos seus parâmetros característicos. Assim, a 
parte isolada do circuito se torna um sistema “caixa­preta”, onde torna a análise do 
mesmo ao mesmo tempo mais simples e menos completa. Portanto, a nível de 
resolução de cálculos de circuitos o uso de quadripolos é favorável, mas na análise da 
estabilidade interna do sistema, por exemplo, não. 
 
 
 
 
 
 
 
2. Parâmetros do Quadripolo 
 
Os parâmetros que são usados para descrever um quadripolo são: 
­ Parâmetros de impedância, ou parâmetros z; 
­ Parâmetros de admitância, ou parâmetros y  
­ Parâmetros de transmissão, e 
­ Parâmetros híbridos, ou parâmetros h. 
Esses parâmetros geralmente são expressos na forma matricial e são gerados a 
partir de relações entre as seguintes variáveis: 
­ V​1​, ou tensão de entrada; 
­ V​2​, ou tensão de saída; 
­ I​1​, ou corrente de entrada e 
­ I​2​, ou corrente de saída. 
 
 
 
 
Figura 1: Variáveis do quadripolo, 
 
 
 
As variáveis de tensão e corrente são mais úteis quando o circuito opera com de 
baixas a moderadas frequências. Em altas frequências, frequências de microondas por 
exemplo, as variáveis potência e energia são mais úteis, e a análise baseada em 
correntes e tensões é substituída por uma abordagem em​ parâmetros de 
espalhamento​. 
 
2.1. Parâmetros z 
 ​Ao escrever as relações de V e I em relação à ​impedância​ do circuito, 
podemos chegar a uma matriz transferência 2x2: 
 
Expandindo a equação, temos que: 
 
Sabendo que quando uma porta está em aberto não há corrente pela mesma, 
podemos definir os parâmetros z como: 
­  como a impedância do ponto de vista da porta 1 com a porta 2 
aberta, onde 
 
­ como a impedância do ponto de vista de 1 com a porta 1 aberta, 
onde 
 
­ como a relação entre a tensão na porta 1 e a corrente na porta 2, 
quando a porta 1 está aberta, onde 
 
­ como a relação entre a tensão na porta 2 e a corrente na porta 1, 
quando a porta 2 está aberta, onde 
 
Podemos observar o quadripolo z­equivalente, tendo como variáveis 
equivalentes I​1​ e I​2​. Apesar de estar em termos de R, o circuito vale também para 
valores de impedância Z. 
 
 
 
2.2. Parâmetros y 
 ​Ao relacionar de V e I levando como parâmetro a ​impedância​ do circuito, 
podemos chegar a uma matriz transferência 2x2: 
 
Da mesma forma que no tópico anterior, podemos traçar os parâmetros y da 
seguinte maneira: 
 
Fazendo um paralelo com os parâmetros z, temos que 
 
Logo podemos perceber que 
 
Portanto,  
 
Temos então o circuito y­equivalente, apresentando as variáveis independentes 
V​1​ e V​2​: 
 
 
2.3. Parâmetros de transmissão ABCD 
 ​Ao relacionar as variáveis V e I de uma porta com as mesmas variáveis da outra 
porta, podemos chegar a uma matriz transferência 2x2: 
 
Assim, se conhecermos os valores de tensão e corrente na porta 2, podemos 
facilmente obter os mesmos para a porta 1. A função de ​V​1​ então, é 
 
De forma que, para a porta dois em aberto, ou seja, I​2​ = 0, temos o ​ganho 
reverso em tensão,​ A, que se apresenta da seguinte forma 
 
Agora, com a porta 2 em curto, ou seja, V​2​ = 0, podemos observar a 
transimpedância com saída em curto​, B, a qual apresenta a seguinte relação: 
 
Da mesma forma que fizemos para V​1​, expandindo a equação para ​I​1​ ​temos: 
 
Novamente considerando a porta 2 em aberto, podemos obter a 
transimpedância com saída em aberto​, que é 
 
Já com a porta 2 em curto, calculamos o ​ganho reverso em corrente​, sendo ele 
 
 
 
2.1. Parâmetros h 
 ​Podemos também expressar a tensão e a corrente em uma das entradas do 
circuito em termos da corrente e tensão da outra entrada, utilizando os parâmetros 
h. Os ​parâmetros híbridos​ são muito usados para analisar circuitos 
transistorizados.  
O nome híbrido se deve ao fato de que esses parâmetros não tem todos as 
mesmas dimensões, como os parâmetros z, que são medidos em ohms.  
Relacionando a tensão de entrada com a corrente de saída, temos 
 
 
 
Os parâmetros h são calculados para as seguintes condições de curto circuito e 
circuito aberto: 
 
 
Temos então o quadripolo h­equivalente, em termos de suas variáveis 
independentes I​1​ e V​2​: 
 
 
3. Circuito equivalente de quadripolos  
 
Os quadripolos representados, posteriormente, são equivalentes se forem 
satisfeitas as condições abaixo: 
 
Dois quadripólos quem tenham as mesmas matrizes são ditos equivalentes, logo 
qualquer conjunto de tensões V​1​ e V​2​ e correntes I​1​ e I​2​ possível num deles também é 
possível no outro. 
 
 ​Em princípio, é possível substituir um quadripolo por outro equivalente, sem 
alteração nas correntes e tensões no circuito externo. Mas, para isso, é necessário                         
que a condição sobre as correntes seja satisfeita para os dois quadripolos, o que                           
acontece, por exemplo: 
∙ Quando os quadripolos tem os acessos fechados independentemente 
∙ Quando a estrutura interna dos quadripolos impõe a condição sobre as 
correntes 
∙ Quando os dois quadripolos tem ligados internamente os terminais 1’ e 2’. 
 
Pode­se dizer, nestes últimos dois casos, que existe equivalência incondicional                   
entre os quadripolos. 
A descrição dos quadripolos por matrizes admitância, impedância e hibridas                   
pode ser traduzida por diversos circuitos equivalentes representados na figura abaixo: 
 
 
Se não existirem as conexões representadas em linhas tracejadas, os circuitos                     
A, C, E e F impõem a condição sobre as correntes; se existirem, esses circuitos                             
(como os demais) impõem tensão nula entre os terminais 1’ e 2’ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.   Associações ou Interconexões de quadripólos 
  
  
Os quadripolos podem ser usados como blocos para se projetar circuitos mais                       
complexo. A representação matricial apresentanesses casos é uma grande                   
vantagem, pois os parâmetros do quadripolo complexo são calculados facilmente                   
manipulando­se  as matrizes dos quadripolos iniciais. 
Ainda,  o  procedimento  inverso  propicia  a  vantagem  de  que  um  quadripolo 
complexo seja decomposto em uma associação de quadripolos mais simples, cujos 
parâmetros são facilmente calculados. 
Existem 3 tipos de associações básicas dos quadripolos são elas: associação em 
série​, ​paralelo ​e ​cascata,​ que veremos melhor a seguir: 
 
4.1. Associação em série 
Nesse modelo, temos 2 quadripólos associados em série, 
formando um novo quadripólo, veja a figura abaixo: 
 
 
Analisando o circuito acima temos: 
 
   
 
Observamos que os parametros z se somam, logo por isso é dito que trata­se de um circuito 
associado em série: 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
4.2. Associação em paralelo 
Nesse modelo temos os dois quadripolos associados em paralelo, 
formando da mesma forma um novo quadripólo: 
 
 
 
 Combinamos esses resultados, concluímos que: 
 
 
Os parametros y da associação em paralelo é a soma dos parametros y de cada subrede, 
assim como em circuitos paralelos de resistores(por exemplo). 
 
 
4.3. Associação em cascata 
 
Nossa última forma de associar um quadripolo é na forma de cascata, na qual a 
saída do quadripolo a é a entrada do quadripolo b: 
 
  
  
  
 Da figura e da definição dos parâmetros de transmissão, temos que : 
 
 
  
  
 Passando os resultados para matriz: 
 
 
Concluímos que a matriz de transmissão da rede completa é o produto das matrizes de 
transmissão das redes a e b. 
  
   
 
5. Conclusão  
 
Percebe­se então que temos vários artifícios para analisar as diferentes 
variáveis de uma rede de duas portas, o que torna as possível diversas aplicações dos 
cáculos, utilizando os parâmetros que forem mais convenientes para a situação em 
questão. 
Além disso, podemos sair de conjunturas complexas e simplificar as conexões 
do circuito, utilizando­se dos conceitos da associação de quadripolos. 
Dessa forma, como nem sempre estamos interessados em saber o que compõe 
uma rede do circuito, a utilização dos conceitos e parâmetros de quadripolos se mostra 
uma boa opção na análise de circuitos complexos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Referências 
 
http://edsonjosen.dominiotemporario.com/doc/Quadripolos.pdf  
https://pt.wikipedia.org/wiki/Quadripolo  
http://www.ece.ufrgs.br/~abretas/eng04031/11­Aula.pdf