forma canonica

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Anotac¸o˜es Forma Canoˆnica de Jordan.
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Forma Canoˆnica de Jordan 3
1.1 Somas diretas e projec¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Subespac¸os invariantes e matrizes de blocos . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Operador aplicado a um polinoˆmio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Forma canoˆnica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1 T -condutor e T -anulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.2 Triangularizac¸a˜o-diagonalizac¸a˜o simultaˆnea . . . . . . . . . . . . 35
1.3.3 Forma canoˆnica racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2
Capı´tulo 1
Forma Canoˆnica de Jordan
1.1 Somas diretas e projec¸a˜o
m Definic¸a˜o 1 (Soma direta de r subespac¸os vetoriais). Dizemos que os
subespac¸os (Uk)r1 de V sa˜o independentes ou definem uma soma direta se para
cada Uk temos
Uk ∩ (
r∑
j=1,j 6=k
Uj) = {0}.
Escrevemos nesse caso
r⊕
k=1
Uk = U1 ⊕U2 ⊕ · · · ⊕Ur
no lugar da soma de espac¸os vetoriais
r∑
k=1
Uk.
b Propriedade 1. Dados (Uk)r1 subespac¸os de V =
r∑
k=1
Uk, sa˜o equivalentes:
1.
V =
r⊕
k=1
Uk.
3
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 4
2. Se
r∑
k=1
uk = 0 com uk ∈ Uk enta˜o cada uk = 0.
3. Dado v ∈ V , ele se escreve de modo u´nico como
v =
r∑
k=1
uk, uk ∈ Uk.
4.
Uk ∩ (
k−1∑
k=1
Uk) = {0}∀ k
ê Demonstrac¸a˜o.
• 1)⇒ 2). Suponha r∑
k=1
uk = 0 logo temos
−uj =
r∑
k=1,k 6=j
uk
logo uj ∈ Uj e ao conjunto
r∑
k=1,k 6=j
Uk, enta˜o uj = 0, como j e´ um ı´ndice arbitra´rio
segue que todos sa˜o nulos.
• 2)⇒ 3). Suponha v = r∑
k=1
uk =
r∑
k=1
u ′k, vamos mostrar que a escrita e´ u´nica
r∑
k=1
(uk − u
′
k) = 0
por 2) temos que uk = u ′k, enta˜o a escrita e´ u´nica.
• 3)⇒ 4) . Seja uk ∈ Uk ∩ ( k−1∑
k=1
Uk) = {0} k arbitra´rio enta˜o
uk =
k−1∑
s=1
us ⇒ k−1∑
s=1
us − uk = 0 =
k∑
s=1
0
como a escrita e´ u´nica segue que (us = 0)ks=1, que mostra o desejado.
• 4)⇒ 5). Basta mostrar que (Uk)r1 sa˜o independentes , isto e´,
Uk ∩ (
r∑
s=1,s6=k
Us) = {0}∀ k.
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 5
comec¸amos com k = r a condic¸a˜o 4) ja´ nos fornece que
Ur ∩ (
r∑
s=1,s 6=r
Us) = {0}.
Se uj ∈ Uj ∩ (
r∑
s=1,s 6=j
Us) enta˜o
uj =
r∑
s=1,s6=j
us ⇒ −ur = −uj + r∑
s=1,s6=j,s 6=r
us
logo ur = 0, agora aplicamos o mesmo raciocı´nio para mostrar que ur−1 = 0 e
assim por diante, no fim chegamos que cada uk = 0 ∀ k, em especial uj = 0.
1.2 Subespac¸os invariantes e matrizes de blocos
Seja V com base B = (uk)n1 com (uk)r1 base de U < V , T : V → V com U invariante
por T , logo temos uma matriz do tipo
[T ]B =
[
Br×r ∗
0 ∗
]
.
Se (uk)n1 base de V tal que a matriz de um operador T nesta base e´ do tipo acima
enta˜o T(uk) ∈ S(uk)r1 = L, portanto L e´ invariante por T . Em geral se V =
r⊕
k=1
Uk, Uk
e´ T invariante, e se Bk e´ base de Uk logo
n⋃
k=1
Bk = B e´ base de v e
[T ]B =

Bd1 0 0
0 · · · 0
0 0 Bdr

onde temos blocos e dk = dimUk.
m Definic¸a˜o 2 (Cisalhamento). A : R2 → R2 com A(x, y) = (x+cy, y) e´ chamado
cisalhamento.
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 6
1.2.1 Operador aplicado a um polinoˆmio
m Definic¸a˜o 3 (Operador aplicado a um polinoˆmio). Dado um polinoˆmio
p(x) =
n∑
k=0
akx
k e o operador T : V → V , enta˜o P(A) indica o operador
P(A) =
n∑
k=0
akA
k
v espac¸o vetorial sobre K.
b Propriedade 2. Se T(v) = λv e f e´ um polinoˆmio arbitra´rio enta˜o
f(T)(v) = f(λ)(v).
ê Demonstrac¸a˜o. Vale que Tk(v) = λkv, por induc¸a˜o, vale para n = 0 T0(v) =
λ0v = v. supondo para n, vamos provar para n+ 1
Tn+1v = T(Tn(v)) = T(λnv) = λn+1v
logo fica provado. Agora sendo f(x) =
n∑
k=0
akx
k temos
f(T)(v) =
n∑
k=0
akT
k(v) =
n∑
k=0
akλ
k(v) = f(λ)(v).
m Definic¸a˜o 4. Dado T : V → V , podemos definir αT : K[x] → L(V) com
αT(f) = f(T), que associa um polinoˆmio em um operador.
b Propriedade 3. αT e´ linear αT(cf+ g) = cαT(f) + αT(g).
ê Demonstrac¸a˜o.
αT(cf+ g) = (cf+ g)(T) = cf(T) + g(T) = cαT(f) + αT(g).
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 7
b Propriedade 4. Seja V espac¸o vetorial sobre K, T : V → V linear, B = {p ∈
K[x] | P(T) = 0} e´ um ideal de K[x].
ê Demonstrac¸a˜o.
• 0 ∈ B pois 0(T)(v) = 0 ∀ v ∈ V.
• Sejam P,Q ∈ B, enta˜o P +Q ∈ B pois
(P +Q)(T)(v) = P(T)(v) +Q(T)(v) = 0 ∀ v ∈ V
• Sendo P ∈ K[x] e Q ∈ B enta˜o PQ ∈ B pois
PQ(T)(v) = P(T)Q(T)(v) = 0 ∀ v ∈ V.
b Propriedade 5. Para todo A : E → E linear, dimE = n sobre R, existe um
polinoˆmio moˆnico irredutı´vel p de grau 1 ou 2 (1 se K = C) e v 6= 0 em E tal que
P(A)(v) = 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que dimL(E) = n2, enta˜o (Ak)n
2
0 que possui n2 + 1
elementos e´ LD, logo existem constantes (ak)n
2
0 na˜o nulas tais que
n2∑
k=0
akA
k = 0.
Sendo am o coeficiente de maior ı´ndice, temos um polinoˆmio moˆnico ao dividir
por am
m∑
k=0
bkx
k = h(x)
como h(A) = 0 existe uma fatorac¸a˜o
h(x) =
s∏
k=1
pk(x)
onde cada pk e´ moˆnico irredutı´vel de grau 1 ou 2, temos
h(A) =
s∏
k=1
pk(A) = 0
um dos operadores Ps(A) na˜o e´ invertı´vel, logo existe um vetor na˜o nulo v ∈ E tal que
Ps(A)(v) = 0. Isso com fatorac¸a˜o em R[x], se fosse em C[x], o grau dos polinoˆmios
seria 1, o que garante um polinoˆmio de grau 1 que se anula num vetor na˜o nulo.
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 8
$ Corola´rio 1. O ideal de polinoˆmios B = {p ∈ K[x] | P(T) = 0} e´ na˜o nulo,
pois possui polinoˆmio na˜o nulo dada pela construc¸a˜o da propriedade anterior.
Como B e´ um ideal na˜o nulo e ideal sobre K[x] e´ principal, enta˜o existe um u´nico
polinoˆmio unita´rio P ∈ K[x] tal que B = P.K[x].
b Propriedade 6. T : V → V , V espac¸o vetorial finito sobre R possui espac¸o
invariante de dimensa˜o 1 ou 2 .
ê Demonstrac¸a˜o.
m Definic¸a˜o 5 (Polinoˆmio mı´nimo ). O polinoˆmio mı´nimo de um operador
T : V → V e´ um polinoˆmio moˆnico de grau mı´nimo que e´ nulo sobre T . Deno-
tamos tal polinoˆmio por PT . O polinoˆmio mı´nimo tambe´m pode ser chamado de
polinoˆmio minimal de T , sendo o u´nico gerador unita´rio do ideal dos polinoˆmios
com coeficientes em K que anulam T .
b Propriedade 7. Sejam T,U : V → V lineares com TU = VT enta˜o N(U) e
Im(T) sa˜o invariantes sobre T .
ê Demonstrac¸a˜o. Se v ∈ N(U) enta˜o
T(U(v)) = T(0) = U(T(v)) = 0
logo T(v) ∈ N(U).
Se v ∈ Im(U) enta˜o v = U(v1)
T(v) = T(U(v1)) = U(T(v1))
enta˜o T(v) ∈ Im(U).
b Propriedade 8. Se f ∈ K[x] e´ nulo sobre T enta˜o PT |f.
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 9
ê Demonstrac¸a˜o.[1] Vamos provar que f = Pt.g com g ∈ K[x], por divisa˜o
euclidiana temos que
f = Ptg+ r
onde r = 0 ou ∂(r) < ∂(PT), avaliando em T temos
f(T) = 0 = Pt(T)g(T) + r(T)⇒ r(T) = 0
se r na˜o fosse um polino´mio nulo, terı´amos um polino´mio de grau menor que o de
PT que se anula em T , o que e´ absurdo pela minimalidade do grau do polinoˆmio
mı´nimo.
ê Demonstrac¸a˜o.[2] Se f ∈ K[x] e´ nulo sobre T enta˜o pertence ao ideal gerado
por PT , portanto e´ seu mu´ltiplo .
$ Corola´rio 2. Dado f ∈ K[x], f(T) = 0⇔ PT |f. A parte ⇒) ja´ foi provada, agora
provamos a volta , nesse caso f = PT .g, aplicando em T , f se anula.
b Propriedade 9. O polinoˆmio mı´nimo e´ u´nico.
ê Demonstrac¸a˜o. Se f e´ de grau mı´nimo tal que f(T) = 0 enta˜o PT |f(T) e daı´
f = PT .g
como ambos possuem mesmo grau, pois sa˜o ambos mı´nimos, g e´ constante, como os
polinoˆmios sa˜o moˆnicos g = 1, portanto f = PT .
b Propriedade 10. Sejam T : V → V linear e U < V subespac¸o T invariante.
Se Q e´ o polinoˆmio mı´nimo de T |U enta˜o Q|PT .
ê Demonstrac¸a˜o. Tomamos uma base α = (uk)s1 de U e completamosα para
uma base B de V . A matriz de T na base B e´
[T ]B =
[
[T |U]α a
0 B
]
logo 0 = PT(T) e´ o operador que na base base B tem matriz
0 = PT(T) =
[
PT([T |U]α) a
′
0 PT(B)
]
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 10
em particular temos que PT([T |U]α) = 0 , logo PT(T |U) = 0 o que implica Q|PT pois
Q e´ polinoˆmio de grau mı´nimo que se anula em T |U como PT se anula em T |U enta˜o
Q|PT .,
b Propriedade 11. Sejam V de dimensa˜o finita e T : V → V linear, enta˜o as
raı´zes do polinoˆmio mı´nimo e do polinoˆmio caracterı´stico coincidem, isto e´, dado
λ ∈ K arbitra´rio temos
PT(λ) = 0⇔ FT(λ) = 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Se T(v) = λv, λ ∈ K, f ∈ K[x] enta˜o
f(T)(v) =
n∑
k=0
akT
k(v) =
n∑
k=0
akλ
k(v) = f(λ).v.
⇐). Seja λ ∈ K tal que FT(λ) = 0, logo λ e´ autovalor de T , existe v na˜o nulo tal
que T(v) = λv, logo
0v = PT(T) ∈ L(V)⇒)0v = PT(T)(v) = PT(λ).v
como v 6= 0 temos PT(λ) = 0.⇒).
Seja PT(λ) = 0, logo PT(x) = (x − λ)Q(x), com ∂q = ∂PT − 1. Logo Q(T) 6= 0, pois
PT e´ o polinoˆmio de menor grau que anula T , portanto existe v ∈ V com Q(T)(v) 6= 0.
0 = PT(T) = (T − λI)Q(T)⇒ 0v = (T − λI)Q(T)(v)
logo Q(T)v e´ autovetor de T , na˜o nulo com autovalor λ⇒ FT(λ) = 0.
b Propriedade 12 (Cayley-Hamilton). Sejam V de dimensa˜o finita, T : V → V
linear. O polinoˆmio caracterı´stico e´ nulo sobre T , isto e´, FT(T) = 0.
Como corola´rio direto desse resultado temos que PT |FT .
ê Demonstrac¸a˜o.
1. Para T diagonaliza´vel, existe uma base B de V tal que
A = [T ]B =

λ1 · · · 0
... · · · ...
0 · · · λn

CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 11
vamos provar que FT(A) = 0. Vale pois FT(x) =
n∏
k=1
(x− λk) logo
FT(A) =
n∏
k=1
(A− λkI) =

0 · · · 0
... · · · ...
0 · · · λn − λ1
 · · ·

λ1 − λn · · · 0
... · · · ...
0 · · · 0
 = 0
FT(T) = 0.
Vejamos outra demonstrac¸a˜o que na˜o depende dessa conta. Sejam (λ ′k)m1 os
autovalores distintos de T enta˜o nesse caso PT(x) =
m∏
k=1
(x − λ ′k) e´ o polinoˆmio
mı´nimo de T , pois se v e´ um autovalor de T , enta˜o algum dos operadores (T−λ ′k)
anula v portanto
PT(T)(v) =
m∏
k=1
(T − λ ′k)(v) = 0
para todo autovetor v, como V possui base formada por autovetores temos que
PT(T) = 0 pois PT(T)(v) = 0 ∀ v ∈ V . Sabemos tambe´m que (λ ′k)m1 sa˜o as
raı´zes do polinoˆmio mı´nimo, logo PT(x) =
m∏
k=1
(x− λ ′k) e´ o polinoˆmio mı´nimo do
operador diagonaliza´vel T . Em especial
FT(x) =
n∏
k=1
(x− λk)
se anula em T , PT |FT . Se T e´ um operador linear diagonaliza´vel o polinoˆmio
mı´nimo de T e´ um produto de fatores lineares distintos.
Para T triangular, existe uma base B de V , tal que
A = [T ]B =

λ1 · · · a
... · · · b
0 · · · λn

vamos provar que FT(A) = 0, sendo FT(x) =
n∏
k=1
(x− λk)
FT(A) =
n∏
k=1
(A− λk).
Seja B = (ek)n1 base. Notamos que
(A− λkI)(A− λjI) = (A
2 −Aλj −Aλk + λkλj) = (A− λjI)(A− λkI)
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 12
logo os operadores comutam. Para mostrar que o operador e´ nulo basta mostrar
que e´ nulo em cada elemento da base
n∏
k=1
(A− λk)e1 = [
n∏
k=2
(A− λk)](A− λ1)e1 = 0
A(e2) = c1e1 + λ2e2 ⇒ (A − λ2)e2 = c1e1, logo FT(e2) e´ nulo, pois (A − λ1) um
fator na˜o usado anula c1e1, continuamos o mesmo processo anulando todos os
outros vetores da base.
2. Passo II. Suponha que K seja algebricamente fechado. Como todo operador
linear sobre um corpo algebricamente fechado e´ triangulariza´vel, o resultado
segue do passo I.
3. Passo III .Todo corpo esta´ contido em um corpo algebricamente fechado ⇒ K ⊂
F, F corpo algebricamente fechado. Seja B base de V A = [T ]B ∈ Mn×n(K).
Podemos ver A como A ∈ Mn×n(F). Como toda matriz com coeficiente em um
corpo algebricamente fechado e´ triangulariza´vel tem-se que existe P ∈Mn×n(F)
invertı´vel tal que PAP−1 e´ triangular superior. Enta˜o FPAP−1(PAP−1) = 0 pois
PAP−1 e´ triangular. Logo
0 = FPAP−1(PAP−1) = FA(PAP−1) = PFA(A)P−1
como P e´ invertı´vel e´ na˜o nula enta˜o FA(A) = 0. E com isso fica terminada a
demonstrac¸a˜o.
$ Corola´rio 3. Se T e´ um operador linear diagonaliza´vel o polinoˆmio mı´nimo de
T e´ um produto de fatores lineares distintos da forma x− λk, onde λk e´ autovalor
de T .
$ Corola´rio 4. Temos que PT |FT e ambos possuem as mesma raı´zes, se FT se
fatora como
FT =
m∏
k=1
(x− λk)
dk
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 13
onde λk 6= λj para k 6= j e dk ≥ 1 enta˜o
PT =
m∏
k=1
(x− λk)
ck
onde 1 ≤ rk ≤ dk, ∀ k pois PT |FT e possuem as mesmas raı´zes.
F Teorema 1 (Teorema da decomposic¸a˜o prima´ria). Sejam V de dimensa˜o finita
sobre K, T ;V → V linear, PT = m∏
k=1
Pckk fatorac¸a˜o do polinoˆmio mı´nimo de T sobre K
em fatores irredutı´veis moˆnicos com Pk 6= Pj para k 6= j. Tomando Vk = N(Pckk (T)),
k ∈ Im, Vk ⊂ V , enta˜o
1. Cada Vk e´ T -invariante.
2. V =
m⊕
k=1
Vk.
3. Se Qk e´ o polinoˆmio mı´nimo de T |Vk enta˜o Qk = P
ck
k .
ê Demonstrac¸a˜o. Se a decomposic¸a˜o V =
m⊕
k=1
Vk vale, como podemos obter
as projec¸o˜es (Ek)m1 associadas a essa decomposic¸a˜o? A projec¸a˜o Ek sera´ o operador
identidade sobre Vk e nulo sobre os outros Vj. Vamos determinar um polinoˆmio hj
tal que hj(T) seja identidade sobre Vj e nulo sobre os outros Vk de modo que
m∑
k=1
hk(T) = I
entre outras propriedades comuns a projec¸a˜o nos subespac¸os invariantes em soma
direta.
Para cada j, seja
fj(x) =
Pt(x)
P
cj
j (x)
=
m∏
k=1,k 6=j
Pckk (x)
os polinoˆmios (fk)m1 sa˜o primos entre si (ver teoria), assim existem polinoˆmios
(gk)
m
1 tais que
m∑
k=1
fk(x)gk(x) = 1.
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 14
Se k 6= j enta˜o P|fkfj pois o produto conte´m cada Pckk como fator, vamos tomar
hk = fkgk e Ek = hk(T) = fk(T)gk(T) como
m∑
k=1
hk(x) = 1
e como P divide fkfj, k 6= j temos
m∑
k=1
Ek = I, EjEk = 0 se k 6= j
assim os Ek sa˜o projec¸o˜es que correspondem a alguma decomposic¸a˜o do espac¸o V em
soma direta, vamos mostrar que a imagem de Ek e´ Vk.
Cada vetor em Ej(V) pertence a` Vj pois se v ∈ Im(Ek) enta˜o v = Ek(v) logo
Pj(T)
cj(v) = Pj(T)
cjEj(v) = Pj(T)
cjfj(T)gj(T)(v) = 0
pois Pj(T)cjfj(T) = PT(T) disso concluı´mos que Ej(V) ⊂ Vj o nu´cleo de Pj(T)cj . Agora
iremos mostrar que Vj = N(Pj(T)cj) ⊂ Ej(V). Suponha que v ∈ N(Pj(T)cj) se j 6= i
enta˜o figi e´ divisı´vel por P
cj
j (pela definic¸a˜o de fi), logo
fi(T)gi(T)(v) = 0,
isto e´, Ei(v) = 0 para i 6= j daı´ aplicamos
m∑
k=1
Ek = I em v, restando apenas Ej(v) = v
portanto completamos a demonstrac¸a˜o de que Ej(V) = Vj.
Cada espac¸o Vk e´ T -invariante, dado vk ∈ Vk enta˜o T(vk) ∈ Vk, pois para isso e´
necessa´rio que Pckk (T)T(vk) = 0 pore´m os operadores comutam por serem polinomiais
em T , enta˜o
Pckk (T)T(vk) = TP
ck
k (T)(vk) = 0
se Ti = T |vi enta˜o Pi(Ti)ci = 0 pois Pi(T)ci se anula em Vi logo o polino˜mio mı´nimo
de Ti divide Pcii . Seja g um polinoˆmio tal que
g(Ti) = 0
enta˜o g(T)fi(T) = 0 por construc¸a˜o de fi, logo PT |gfi e Pcii fi|gfi, P
ci
i |g pois g(Ti) = 0
logo o polinoˆmio mı´nimo de Ti e´ Pcii . Assim terminamos a demonstrac¸a˜o.
ê Demonstrac¸a˜o.(rever demonstrac¸a˜o)
Prova para T diagonaliza´vel.
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 15
T diagonaliza´vel ⇒ Ft e´ produto de fatores lineares ⇒ Pt e´ produto de fatores
lineares,
Pt =
m∏
k=1
(x− λk)
ck
onde λk 6= λj, k 6= j, λk e´ autovalor de T . Ale´m disso temos que
V =
m⊕
k=1
Wλk
onde Wλk = N(T − λkI), Vk = N(T − λkI)ck , logo Wλk ⊂ Vk
V =
m⊕
k=1
Wλk ⊂
m∑
k=1
Vk ⇒ V = m∑
k=1
Vk.
Vamos mostrar que na verdade cada ck = 1, assim vai valer V =
m⊕
k=1
Vk pois teremos
Vk =Wλk . De fato (T − λk)|wk = 0 e´ o operador nulo. Se v ∈ V ,
v =
m∑
k=1
wk, wk ∈Wλk
logo
m∏
k=1(T − λkI)(v) =
m∏
k=1
(T − λkI)(
m∑
k=1
wk) = 0
pois os operadores comutam e (T − λkI) anula wk. Logo o polinoˆmio
m∏
k=1
(x − λkI) e´
nulo sobre T o que implica ser PT , isto e´, ck = 1 ∀ k., Disso temos que Vk = Wλk
sendo T -invariante, T |vk = T |wk = λkI e daı´ Qk = (x− λk) = P
ck
k .
Vamos provar o teorema da decomposic¸a˜o prima´ria por induc¸a˜o sobre m.
m = 1, neste caso, Pt = Pc11 , V1 = N(P
c1
1 (T)) = N(PT(T)) = N(0) = V e com isso as
treˆs condic¸o˜es valem.
Suponha o teorema verdadeiro para m− 1. Para completar o teorema e´ suficiente
mostrar a afirmac¸a˜o : se PT = fg, com f, g ∈ K[x] ∂f ≥ 1 e ∂ ≥ 1 e mdc(f, g) = 1, logo
se U = N(f(T)) e W = N(g(T)), temos que
1. U e W sa˜o T invariantes .
2. V = U⊕W.
3. Se QU e´ o polinoˆmio mı´nimo de T |U e Qw e´ polinoˆmio mı´nimo de T |W enta˜o
QU = f e QW = g.
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 16
(Vamos supor essas afirmac¸o˜es colocadas acima va´lidas e provar o teorema da
decomposic¸a˜o prima´ria com elas, depois provamos que essas propriedades realmente
valem.)
PT =
m∏
k=1
Pckk =
m−1∏
k=1
Pckk︸ ︷︷ ︸
f
Pcmm︸︷︷︸
g
temos que mdc(f, g) = 1 por construc¸a˜o e hipo´tese colocada no enunciado, logo
U = N(f(t)), W = N(g(t)), pela hipo´tese de induc¸a˜o vale que PT |U = f enta˜o, Uk =
N(Pckk (T |U)) < U < V ⇒ U = m−1⊕
k=1
Uk,
V =
m−1⊕
k=1
Uk ⊕W.
Ale´m disso, cada Uk e´ T -invariante por hipo´tese de induc¸a˜o, W tambe´m e´ T -
invariante . Logo (vk)n−11 , w e´ T -invariante.
Se Qk e´ o polinoˆmio mı´nimo de (T |U)|Uk = T |Uk e´ P
ck
k . Mostramos as condic¸o˜es
1) e 3), agora iremos mostrar a 2). Basta mostrar que N(Pckk (T)) = Uk, temos que
Uk ⊂ N(Pckk (T)). De outro lado N(Pckk (T)) ∩ U = N(Pckk (T |U)), se existe um vetor
v ∈ N(Pckk (T)) \Uk enta˜o v = v1 + v2, com v1 ∈ U e v2 ∈W.
Pckk (T)v = 0 = P
ck
k (T)v1︸ ︷︷ ︸
∈U
+Pckk (T)v2︸ ︷︷ ︸
∈W
=
pois U e W sa˜o T -invariantes por V = U ⊕W enta˜o Pckk (T)v1 = 0 e Pckk (T)v2 = 0,
v2 /∈ U e v2 ∈ N(Pckk (T)) ⊂ U o que e´ absurdo.
Agora mostramos a afirmac¸a˜o, sejam Pt = fg, mdc(f, g) = 1, U = N(f(t)) e
W = N(g(t)). Por mdc(f, g) = 1, existem, A,B ∈ K[x] com
Af+ Bg = 1⇒ A(T)f(T) + B(T)g(T) = I.
Seja u ∈ U = N(f(t)) logo
u = A(T)f(T)(u)︸ ︷︷ ︸
0
+B(T)g(T)(u)
portanto
T(u) = TB(T)g(T)(u) = B(T)g(T)T(u)
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 17
por outro lado
f(T)T(u) = f(T)B(T)g(T)T(u) = B(T) f(T)g(T)︸ ︷︷ ︸
PT (T)=0
T(u) = 0⇒ f(T)Tu = 0
e daı´ T(u) ∈ N(f(T)), U e´ T -invariante. De modo similar W e´ T -invariante.
Agora mostramos a soma direta. ∀ v ∈ V temos
g(T)(A(T)f(T))v = A(T)g(T)f(T)v = A(T)P(T)v = 0
logo A(T)f(T)v ∈W = N(g(T)). De modo similar B(T)g(T)v ∈ N(f(T)) = U , logo
temos
v = A(T)f(T)v︸ ︷︷ ︸
W
+B(T)g(T)v︸ ︷︷ ︸
U
⇒ V = U+W.
Falta mostrar que a soma e´ direta, suponha u ∈ U ∩W enta˜o
u = A(T)f(T)u︸ ︷︷ ︸
0
+B(T)g(T)u︸ ︷︷ ︸
0
= 0.
Note que f(T |U) = 0 e g(T |W) = 0. Mas enta˜o QU|f e Qw|g, em particular
QuQw|f.g = PT . Para ter Qu = f e QW = g, basta ter que QuQw = PT , ou seja,
sendo Qu e Qw moˆnicos, que PT |QuQw.
∀ v ∈ V , v = u+w,u ∈ N(f(T)) = U,w ∈W = N(g(T))⇒
QuQw(Tv) = QuQw(T(u) + T(w)) = QwQuT(u) +QwQuT(w) = 0
logo QuTu = QwTw = 0 pois Qs e´ polinoˆmio mı´nimo de Ts (s = U,W) disso segue
que QuQwT = 0⇒ PT |QuQw o que mostra o resultado.
b Propriedade 13. Um operador e´ diagonaliza´vel ⇔ o seu polinoˆmio mı´nimo
e´ produto de fatores lineares distintos.
ê Demonstrac¸a˜o. ⇒). Foi feito na demonstrac¸a˜o do teorema da decomposic¸a˜o
prima´ria.⇐).
Pt =
m∏
k=1
(x− λk). Pelo teorema da decomposic¸a˜o Vk = N(T − λkI) =Wλk
V =
m⊕
k=1
Vk =
m⊕
k=1
Wλk ⇔ T e´ diagonaliza´vel.
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 18
Z Exemplo 1. Seja A : R3 → R3 com
A =

1 0 0
1 1 0
0 0 2

FA(x) = det(xI−A) = det

x− 1 0 0
−1 x− 1 0
0 0 x− 2
 = (x−1)det
 x− 1 0
0 x− 2
 = (x−1)2(x−2)
PA possui mesmas raı´zes de FA e PA|FA por Cayley-Hamilton, enta˜o PA(x) =
(x − 1)a(x − 2), com a = 1 ou 2, testamos o caso a = 1, que fazendo as contas
resulta na matriz 
0 0 0
−1 0 0
0 0 0
 6= 0
enta˜o o polinoˆmio mı´nimo e´ o polino´mio caracterı´stico.
Pc11 = (x− 1)
2, Pc22 = (x− 2),
V1 = N((A− I)
2) = N

0 0 o
1 0 0
0 0 1


0 0 o
1 0 0
0 0 1
 = N

0 0 o
0 0 0
0 0 1

(A− I)2(x, y, z) = (0,0, z) logo
V1 = N((A− I)
2) = {x(1,0,0) + y(0, 1,0), x, y ∈ R}.
V2 = N(P
c2
2 ) = N(A− 2I) = N

−1 0 o
1 −1 0
0 0 0

CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 19

−1 0 o
1 −1 0
0 0 0


x
y
z
 =

0
0
0
⇒
x = y = 0, z livre. Logo V2 = {z(0,0, 1), z ∈ R}. Com esses dados temos V1∩V2 = {0}
e V1 + V2 = R3 logo V1
⊕
V2 = R
3.
V1 e´ A- invariante. Dado v1 ∈ V1 temos
A(v1) =

1 0 o
1 1 0
0 0 2


x
y
z
 =

x
x+ y
0
 ∈ V1.
A(v2) =

1 0 o
1 1 0
0 0 2


0
0
z
 =

0
0
2z
 ∈ V2.
Temos A|V1 : V1 → V1 com A(e1) = e1 + e2, A(e2) = e2 daı´
A|V1 =
 1 0
1 1

A|V2 : V2 → V2 com A(e3) = 2e3 logo
A|v2 = [2].
Disso temos que FA|V1 = (x− 1)2, PA|V1 | FA|V1 como
A− I =
 0 1
1 0
 6= 0
logo PA|V1 = (x− 1)2 e PA|V2 = (x− 2), observe que
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 20
A =
 A|V1 0
0 A|V1
 .
Z Exemplo 2.
b Propriedade 14. Seja T : V → V , dimV = n sobre F. Se Pt = m∏
k=1
(x −
λk)
ck , λk 6= λj, k 6= j enta˜o existe um operador diagonaliza´vel D e um operador
nilpotente N tais que
T = D+N
DN = ND
D e N sa˜o u´nicos e polinoˆmios em T .
ê Demonstrac¸a˜o. Seja Im(Ek) = Vλk onde Vλk = N((T − λkI)ck) colocando
D =
m∑
k=1
λkEk, D e´ diagonaliza´vel, chamado parte diagonal de T . Tomando N = T −D
temos
T =
m∑
k=1
TEk
N =
m∑
k=1
TEk −
m∑
k=1
λkEk =
m∑
k=1
(T − λk)Ek
temos
Ns =
m∑
k=1
(T − λk)
sEk
quando s > ck ∀ k teremos Ns = 0 pois (T − λk)s sera´ nulo sobre Im(Ek). (Falta
unicidade).
Z Exemplo 3. Seja V de dimensa˜o finita. Encontre a forma canoˆnica de
Jordan nilpotente de T : V → V tal que dimV = 12, dimT(v) = 8, dimT 2(v) = 5,
dimT 3(v) = 5, dimT 3(v) = 3, dimT4(v) = 1, dimT 5(v) = 0. Temos k1 = k ≥ k2 ≥
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 21
· · · ≥ km ≥ 1
[T ]B =

Nk1 · · · 0
... · · · 0
0 · · · Nkm
 ,
(possui zero fora dos blocos da diagonal? ) (Refazemos parte da demonstrac¸a˜o da
forma canoˆnica)
Tome T : V → V nilpotente de ı´ndice k, tome F = Im(T) e T |F : F → F., T |F e´
nilpotente de ı´ndice k− 1. Por induc¸a˜o existe uma base w = (wk)s1 de F e inteiros
h1 ≥ h2 ≥ · · · ≥ hn tais que
[T |F]w =

Nh1 · · · 0
... · · · 0
0 · · · Nhn

Sendo (wk)s1 base de ImT e (vk)s1 ∈ V tais que T(vk) = wk e (uk)t1 base de N(T)
enta˜o
(vk)
s
1 , (uk)
t
1e´ base de v.
Note que a base w de F e´ da forma
w1, Tw1, T
2w1, · · · , Th1−1w1
...
wn, Twn, T
hnwn, · · · , Thn−1wn
Tomando o vk tal que T(vk) = wk, temos T 2(vk) = T(wk), Th1(vk) = Th1−1(wk),
logo formamos a base de V da seguinte maneira
v1, Tv1, T
2v1, · · · , Th1−1v1,︸ ︷︷ ︸
parte da base de F
Th1v1︸ ︷︷ ︸
∈N(T)
...
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 22
vn, Tvn, T
2vn, · · · , Th1−1vn,︸ ︷︷ ︸
parte da base de F
Th1vn︸ ︷︷ ︸
∈N(T)
onde temos que eventualmente completar a base de N(T) com os vetores (xk)r1.
Daı´ temos as constantes
k1 = h1 + 1
k2 = h2 + 1
...
kn+1 = 1
m = n+ r.
Voltando ao problema, sabemos que T possui ı´ndice 5 pois dimT 5(v) = 0 logo
T 5(v) = 0∀ v ∈ V e como dimT4(v) = 1 existe v com T4(v) 6= 0, disso segue o
resultadosobre o ı´ndice. Temos que T |T4(v) = 0 pois T(T4(v)) = T 5(v) = 0. Portanto
[T ]T4(v) = [0]
logo h1 = 1. Usando o processo construı´do, o sistema de invariantes de T |T3(v) e´
h ′1 = h1 + 1 = 2, que devemos completar com h ′2 = 1, para somar 3 = dimT 3(v). O
sistema de invariantes para T |T2(v) e´
h ′′1 = 2+ 1 = 3
h ′′2 = 1+ 1 = 2
em que preenchemos a base, pois dimT 2(v) = 5.
Sistema de invariantes de T |T(v) e´
h ′′′1 = 3+ 1 = 4
h ′′′2 = 2+ 1 = 3
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 23
que na˜o completa base de T(v) pois dimT(v) = 8 e a soma resultou em 7, enta˜o
completamos com
h ′′′3 = 1.
O mesmo procedimento para o sistema invariante de T
k1 = 4+ 1 = 5
k2 = 3+ 1 = 4
k3 = 1+ 1 = 2.
Somando 11, por isso devemos completar .
k4 = 1.
Por isso temos que a forma canoˆnica de Jordan e´ da forma
J(T) =

N5 0 0 0
0 N4 0 0
0 0 N2 0
0 0 0 N1

Z Exemplo 4. Calcule a forma canoˆnica de um operador nilpotente N : V → V
de ordem 6 sabendo que as dimenso˜es de N5(V), N4(V), N3(V), N2(V), N(V), V sa˜o
respectivamente 4, 8, 13, 18, 25, 35.
Temos k1 = k ≥ k2 ≥ · · · ≥ km ≥ 1
[T ]B =

Nk1 · · · 0
... · · · 0
0 · · · Nkm
 ,
Temos que N|N5(V) = 0 pois N(N5(v)) = 0 logo temos h1 = 1, completamos a
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 24
base com elementos na˜o nulos e daı´ ficamos com o sistema de invariantes
h1 = 1, h2 = 1, h3 = 1, h4 = 1
continuamos o processo, o sistema de invariantes de N|N4(V)
h ′1 = 2, h ′2 = 2, h ′3 = 2, h ′4 = 2
fornece base de N4(V), na˜o precisamos completar, o sistema de invariantes de
N|N3(V)
h ′′1 = 3, h ′′2 = 3, h ′′3 = 3, h ′′4 = 3
(soma 12) precisamos completar com um elemento do nu´cleo, logo
h ′′1 = 3, h ′′2 = 3, h ′′3 = 3, h ′′4 = 3, h ′′5 = 1
o sistema de invariantes de N|N2(V)
h ′′′1 = 4, h ′′′2 = 4, h ′′′3 = 4, h ′′′4 = 4, h ′′′5 = 2
(soma 17) precisamos completar com um elemento do nu´cleo, logo
h ′′′1 = 4, h ′′′2 = 4, h ′′′3 = 4, h ′′′4 = 4, h ′′′5 = 2, h ′′′6 = 1
o sistema de invariantes de N|N2(V)
h41 = 5, h42 = 5, h43 = 5, h44 = 5, h45 = 3, h46 = 2
(soma 25) na˜o precisamos completar, o sistema de invariantes de N|N(V)
h51 = 6, h52 = 6, h53 = 6, h54 = 6, h55 = 4, h56 = 3
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 25
(soma 31) precisamos completar com 4 elementos do nu´cleo
h51 = 6, h52 = 6, h53 = 6, h54 = 6, h55 = 4, h56 = 3, h67 = 1, h68 = 1, h69 = 1, h610 = 1
por isso teremos os blocos N6, N6N6, N6, N4.N3, N1, N1, N1, N1 formando a forma
de Jordan .
Z Exemplo 5. Seja K algebricamente fechado de caracterı´stica zero. Encontre
as formas canoˆnicas de Jordan e racional de todas as matrizes A ∈Mn×n(K) tais
que Tr(Ak) = 0 ∀ k ∈ In.
b Propriedade 15. A e´ nilpotente ⇔ TrAk = 0∀ k ∈ In, onde A ∈Mn×n(K) .
ê Demonstrac¸a˜o.⇒). (revisar)
A e´ nilpotente ⇒ J(A) na˜o possui zero na diagonal principal ⇒ J(A)k na˜o possui
zero na diagonal principal (porque?) ⇒ TrJ(A)k = 0 = Tr(Ak). (Argumentar com
detalhes)⇐).
Seja A tal que TrAk = 0 ∀ k ∈ In, podemos supor que A e´ triangular superior
(porque?), daı´
FA =
m∏
k=1
(x− λk)
dk ,
A =

λ1 · · · 0
... · · · 0
a · · · λn

segue que
A2 =

λ21 · · · 0
... · · · 0
a2 · · · λ2n

em geral
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 26
TrAk =
n∑
j=1
λkj = 0.
Vamos provar que cada λj e´ nulo. Por induc¸a˜o sobre n. Se n = 1, λ1 = 0. Se n > 1,
basta provar que um dos λj = 0 pois daı´ recaı´mos numa soma com n − 1 elementos
onde usamos a hipo´tese de induc¸a˜o . Sabemos que FA(A) = 0, onde FA e´ o polinoˆmio
caracterı´stico. Se todos λj 6= 0 temos
0 = FA(A), = An +
n−1∑
k=0
akA
k
onde a0 = (−1)nDet(A), por linearidade do trac¸o, aplicando a relac¸a˜o acima temos
0 = Tr(An) +
n−1∑
k=0
akTr(A
k)
− a0︸︷︷︸
Det(A) 6=0
Tr(I)︸ ︷︷ ︸
6=0
= Tr(An) +
n−1∑
k=1
akTr(A
k)
o trac¸o da identidade e´ na˜o nulo pela hipo´tese de estarmos em caracterı´stica zero,
mas essa condic¸a˜o implica que Tr(Ak) 6= 0 para algum k, o que e´ absurdo enta˜o
existe algum λj, tal que λj = 0 e daı´ por hipo´tese de induc¸a˜o temos que λk = 0 ∀ k.
Com isso a forma da matriz e´
A =

0 · · · 0
... · · · 0
a2 · · · 0

e daı´ A e´ nilpotente.
Nessas condic¸o˜es as formas canoˆnicas sa˜o da forma
NK1 · · ·
... · · ·
· · · Nkn

Onde Nk e´ matriz nilpotente elementar.
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 27
1.3 Forma canoˆnica de Jordan
F Teorema 2 (Forma canoˆnica de Jordan). Sejam V espac¸o vetorial sobre um
corpo K algebricamente fechado, T : V → V linear, existe uma base B de V tal que
T tem matriz na base B do tipo
J = [T ]B =

J(λ1) · · · 0
... · · · 0
0 · · · J(λm)

onde (λk)m1 sa˜o autovalores de T e J(λk) e´ um bloco de Jordan relativo a λk do
tipo
J(λk) =

NK(k,1) + λkIck×ck · · · 0
... · · · 0
0 · · · NK(k,nk) + λkIck(K,mk)×ck(K,mk)

onde
Ns =

0 · · · 0
1...
· · · 0...
0 · · · 1 0

s×s
K(k,1) = ck ≥ K(k,2) ≥ · · ·K(k,mk) ≥ 1. J(λk) e´ matriz do operador Nk + λkI sobre
Vk = N(T−λkI)
ck onde Nk = T |Vk−λkI, ck expoente de x−λk no polinoˆmio mı´nimo
PT . Ale´m disso
1. J(λk) e´ uma matriz de tamanho dk onde dk e´ expoente de (x− λk) em FT .
2. Em J(λk) o primeiro bloco e´ uma matriz de tamanho ck, ck expoente de x−λk
em PT .
3. O nu´mero de blocos de Jordan J(λk) e´ m, nu´mero de autovalores.
4. O nu´mero de blocos em J(λk) e´ dimWλk .
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 28
Em termos matriciais toda matriz em Mn×n(K), K corpo algebricamente fechado e´
semelhante a matriz na forma de Jordan
J(λ1) · · · 0
... · · · 0
0 · · · J(λm)

ê Demonstrac¸a˜o.
Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o n sobre um corpo K algebricamente fe-
chado (por exemplo K = C). Tome T : V → V operador linear e sejam (λk)m1 os
autovalores de T ,
FT(x) =
m∏
k=1
(x− λk)
dk e PT(x) =
m∏
k=1
(x− λk)
ck
onde 1 ≤ ck ≤ dk,
m∑
k=1
dk = n. Pelo teorema da decomposic¸a˜o prima´ria, temos
V =
m⊕
k=1
Vk
onde Vk = N((T − λkI)ck), k ∈ In e Vk e´ T -invariante. Note que Wλk ⊂ Vk ∀ k ∈ In.
Temos tambe´m PT |Vk = (x−λk)
ck . Considere Tk = T |Vk , definimos Nk = Tk−λkI ∈ L(Vk).
Pela definic¸a˜o de Vk temos Nckk = 0 por propriedade do nu´cleo, isso implica que Nk e´
nilpotente. Ale´m disso como PT |Vk = (x−λk)
ck isso implica que (Tk−λkI)h 6= 0 ∀ h < ck
por ser polinoˆmio mı´nimo ⇒ Nhk 6= 0 ∀ h < ck ⇒ Nk e´ nilpotente de ı´ndice ck. Enta˜o
Tk = Nk + λkI ∈ L(Vk) com Nk nilpotente de ı´ndice ck e Vk e´ T - invariante.
Logo pelo teorema da decomposic¸a˜o cı´clica para operadores nilpotentes ∃Bk base
de Vk tal que a matriz de Nk na base Bk e´
NK(k,1) · · · 0
... · · · 0
0 · · · NK(k,nk)

K(k,1) = ck ≥ K(k,2) ≥ · · ·K(k,mk) ≥ 1. Onde
Ns =

0 · · · 0
1...
· · · 0...
0 · · · 1 0

s×s
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 29
enta˜o
J(λk) =

NK(k,1) + λkIck×ck · · · 0
... · · · 0
0 · · · NK(k,nk) + λkIck(K,mk)×ck(K,mk)

onde em cada bloco temos 
λk · · · 0
1...
· · · 0...
0 · · · 1 λk

s×s
J(λk) e´ o bloco de Jordan relativo ao autovalor λk. Como V =
m⊕
k=1
Vk, logo B =
m⋃
k=1
Bk,
e´ base de V . Com vk sendo T -invariante a matriz de T na base B e´
[T1]B1 · · · 0
... · · · 0
0 · · · [Tn]Bn
 =

J(λ1) · · · 0
... · · · 0
0 · · · J(λm)

Vejamos algumas propriedades adicionais.
1. Tamanho do bloco J(λk). J(λk) e´ uma matriz de tamanho dimVk = ∂FTk = FT |Vk
como cada Vk e´ invariante temos
FT =
m∏
k=1
FTk ,
agora PTk = (x− λk)ck , FTk = (x− λk)hk , com ck ≤ Hk como
FT =
m∏
k=1
(x− λk)
dk
segue que hk = dk ∀ k, o tamanho de J(λk) e´ dk

J(λ1)d1×d1 · · · 0
...· · · 0
0 · · · J(λm)dm×dm

CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 30
2. Nu´mero de blocos de J(λk) e´ igual a dimN(Nk), pois
Nk = Tk − λkI = T |Vk − λkI⇒ N(Nk) = N(Tk − λkI) =
notamos que N(Tk − λkI) ⊂ N(Tk − λkI)ck = Vk ⇒ N(T − λkI) = N(T |vk − λkI) =
N(Tk−λkI) = N(Nk), por isso dimN(Nk) = dimN(T−λkI) = dimWλk . O nu´mero
de blocos de J(λk) e´ igual a dimensa˜o do autoespac¸o relativo a λk.
b Propriedade 16. A matriz J na forma de Jordan e´ unicamente determinada
a menos de uma permutac¸a˜o dos J(λk), isto e´, J(λk) independe da base.
ê Demonstrac¸a˜o. Ja´ provamos a existeˆncia agora vamos provar a unicidade.
Se B ′ e´ uma base com respeito a qual T tem matriz

(J ′1). . .
· · · 0
... (J ′k)
. . .
. . .
...
0 · · · J ′m

logo se cada J ′k tem tamanho dk enta˜o FT =
m∏
k=1
(x− λk)
dk , portanto o tamanho de
J ′k e´ dk, expoente em FT , independente da base. Agora J ′ (ou J ′K ? rever isso) gera uma
decomposic¸a˜o, V =
m⊕
k=1
Uk, Uk invariante por T . Iremos provar que Uk e´ unicamente
determinado. De fato vamos ver que
Uk = N(T − λkI)
dimV
vale isto pois, (T − λkI)|Uk e´ nilpotente de ı´ndice ≤ dimV e daı´
T − λkI
dimV |Uk = 0
logo Uk ⊂ N(T − λkI)dimV . Temos tambe´m para k 6= j
(T − λkI)|Uj = J
′
j − λkI
pode ter um nu´cleo na˜o nulo?. Na˜o, pois se uj ∈ Uj e uj ∈ N(T − λkI)|Uj) implica
T(uj) = λkuj ⇒ uj ∈ Wλk = N(T − λkI) ⊂ Uk o que e´ absurdo pela soma direta.
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 31
T − λkI)|Uj e´ invertı´vel pois 
(J ′1). . .
· · · 0
... (J ′k)
. . .
. . .
...
0 · · · J ′m
− λkI
o j-e´simo bloco da diferenc¸a e´
λj − λk · · · 0
1...
. . . ...
0 · · · 1 λj − λk

e´ invertı´vel.
logo (T −λkI)|Uj na˜o e´ nilpotente, isto e´, Uj∩N(T −λkI)dimV = {0}, sendo invertı´vel
sobre Uj. Como V =
m⊕
k=1
Uk e Uk e´ invariante por T logo N(T − λkI)dimV = Uk
(porque?). Agora a matriz J ′k e´ a matriz de
(T − λkI)|Uk + λkI|Uk
e (T−λkI)|Uk e´ nilpotente, logo a sua matriz e´ unicamente determinada pela decomposic¸a˜o
cı´clica dos operadores nilpotentes. (rever demonstrac¸a˜o ).
Z Exemplo 6. Seja
A =

2 0 0
a 2 0
0 b 1

com a, b ∈ C. FA = (x− 2)2(x− 1) logo PA = (x− 2)k(x− 1), k ∈ {1, 2}. Analisamos
por casos. Tomando λ2 = 1 e λ1 = 2. Lembrando que J(λk) e´ de tamanho dk
expoente de x−λk em FT , enta˜o J(2) e´ de tamanho 2 e J(1) e´ de tamanho 1. Temos
dois blocos de Jordan pois esse e´ o nu´mero de autovalores. Em J(2) o primeiro
bloco tem tamanho k o expoente de x − 2 em PT . Logo temos as possibilidades,
k = 1, o primeiro bloco de Jordan tem tamanho 1
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 32
J =

2 0 0
0 2 0
0 0 1

se k = 2 o primeiro bloco de Jordan possui tamanho 2
J =

2 0 0
1 2 0
0 0 1

achamos todas as possı´veis forma de Jordan de A, a menos de permutac¸o˜es dos
blocos J(2) e J(1).
Na forma Canoˆnica de Jordan, usamos que K e´ algebricamente fechado para dizer
que FT e´ produto de fatores lineares, em geral a forma canoˆnica funciona quando
T : V → V com V sobre K tem PT com produto de fatores lineares1.
1.3.1 T -condutor e T -anulador
m Definic¸a˜o 6 (Conjunto T -condutor). Sejam T : V → V linear, V espac¸o
vetorial sobre K, W T -invariante, v ∈ V . O T - condutor de v em W e´ o conjunto
ST(v,W) dos polinoˆmios g sobre K tais que g(T)(v) ∈W. Se fixamos T denotamos
apenas S(v,W), podemos imaginar T conduzindo V para o subespac¸o W.
Perceba que nessa definic¸a˜o o elemento v ∈ V na˜o e´ necessariamente um
elemento de W.
Se W = {0} , S(v,W) e´ o conjunto T -anulador.
b Propriedade 17. Vale que s(v,W) < K[x] e´ subespac¸o vetorial do espac¸o dos
polinoˆmios.
ê Demonstrac¸a˜o.
1Repetimos para voceˆ fixar.
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 33
• 0 ∈ S(v,W) pois 0(T)(v) = 0 ∈W.
• Se f, g ∈ S(v,W) , c ∈ K enta˜o cf+ g ∈ S(v,W) pois cf+ g ∈ K[x] ale´m diso
(cf+ g)(T)(v) = cf(T)(v)︸ ︷︷ ︸
∈W
+g(T)(v)︸ ︷︷ ︸
∈W
∈W
b Propriedade 18. Vale que s(v,W) e´ um ideal.
ê Demonstrac¸a˜o. Falta mostrar apenas a propriedade de absorc¸a˜o, que real-
mente vale pois , sendo f ∈ K[x] e g ∈ S(v,W) enta˜o
f(T)g(T)(v)︸ ︷︷ ︸
∈W
∈W
pois W e´ T -invariante.
m Definic¸a˜o 7 (T -condutor). O u´nico gerador moˆnico do ideal S(v,W) e´ cha-
mado de T -condutor de v em W e de T -anulador caso W = {0}.
O T -condutor de v em W e´ o polinoˆmio unita´rio g de menor grau tal que
g(t)(v) ∈W, f ∈ S(v,W)⇔ g|f.
$ Corola´rio 5. s(v,W) conte´m o polinoˆmio minimal de T , o T condutor divide
PT .
m Definic¸a˜o 8. Dado T : V → V linear, para um v ∈ V definimosa
C(T, v) = S(Tk(v))k∈N
aEstamos considerando 0 ∈ N.
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 34
m Definic¸a˜o 9 (Espac¸o T -cı´clico). V e´ dito ser T -cı´clico se existe v ∈ V tal que
v = C(T, v).
m Definic¸a˜o 10 (Polinoˆmio T -anulador). O polinoˆmio T -anulador de v e´ o
polinoˆmio moˆnico de menor grau, denotado por PT,v tal que
PT,v(T)v = 0.
b Propriedade 19. Vale que
PT,v | PT | FT .
De onde temos corola´rio direto ∂PT,v ≤ ∂PT ≤ ∂FT .
ê Demonstrac¸a˜o.
m Definic¸a˜o 11 (T -gerador). Se V e´ T -cı´clico, um T gerador e´ v ∈ V tal que
v = C(T, v).
b Propriedade 20. V e´ T -cı´clico com T gerador sendo v ∈ V ⇔ PT,v = PT = FT .
ê Demonstrac¸a˜o.
♣ Lema 1. Sejam V espac¸o vetorial, dimV = n sobre F corpo, T : V → V linear tal
que
PT(x) =
m∏
k=1
(x− λk)
rk , λk ∈ F,
w < V propriamente, enta˜o existe um vetor v ∈ V tal que
1. v /∈W.
2. (T − λI)(v) ∈W para algum auto-valor x de T .
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 35
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam w /∈ W (que existe por hipo´tese de termos w contido
propriamente em V), g o T -condutor de w em W, enta˜o g|PT o polinoˆmio mı´nimo de
T , como w na˜o esta´ em W, g na˜o e´ constante, portanto
g(x) =
m∏
k=1
(x− λk)
ck
onde pelo um dos ck e´ positivo (na˜o podem ser todos nulos, se na˜o g seria constante),
tomamos j tal que cj > 0, enta˜o (x− λj) divide g(x) e tem-se
g(x) = (x− λj)h(x)
pela definic¸a˜o de g ( polinoˆmio mı´nimo que conduz w a` W), o vetor v = h(T)(w) /∈W
pore´m
(T − λjI)(v) = (T − λjI)h(T)(w) = g(T)(w) ∈W,
enta˜o tomamos nosso λ = λj e temos os itens (1) e (2) como querı´amos demonstrar.
b Propriedade 21. Sejam V um espac¸o vetorial sobre um corpo F, dimV = n
, T : V → V , enta˜o T e´ triangulariza´vel ⇔ PT e´ produto de termos lineares sobre F.
ê Demonstrac¸a˜o. ⇒). Se T e´ triangular superior
[T ]B =

a1,1 a1,2 · · · a1,n
0 a2,2 · · · a2,n
... · · · · · · ...
0 0 · · · an,n

enta˜o o polinoˆmio caracterı´stico e´ da forma
Ft(x) =
n∏
k=1
(x− ak,k)
por propriedade de determinante de matriz triangular, como o polinoˆmio mı´nimo
divide o polinoˆmio caracterı´stico a fatorac¸a˜o de PT tambe´m se da´ em fatores lineares.⇐).
Suponha que PT(x) =
m∏
k=1
(x− λk)
rk , aplicando repetidamente o lema acima, vamos
mostrar que chegamos a uma base ordenada (vk)n1 = B em relac¸a˜o a` qual a matriz
que representa T e´ triangular superior
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 36
[T ]B =

a1,1 a1,2 · · · a1,n
0 a2,2 · · · a2,n
... · · · · · · ...
0 0 · · · an,n

tal relac¸a˜o matricial diz que
T(vj) =
j∑
k=1
ak,jvk,
isto e´, T(vj) esta´ no espac¸o gerado por (vk)j1. Para determinar (vk)
n
1 , comec¸amos
aplicando o lema ao subespac¸o W = {0}, obtemos v1 /∈ W tal que T(v1) = a1,1v1,
tomamos W1 = S(v1) ⊂ V se W1 = V paramos , se na˜o continuamos o processo, logo
obtemos v2 tal que v2 /∈W1 e T(v2) − a1,2v2 ∈W, T(v2) = a1,2v1 + a2,2v2, continuamos
o processo ate´ chegarmos em Wn = V. Neste procedimento temos tambe´m que Wj e´
T -invariante.
b Propriedade 22. Sejam V espac¸o vetorial dimV = n sobre F, T : V → V
linear . T e´ diagonaliza´vel⇔ Pt = m∏
k=1
(x− λk) onde λk 6= λj com k 6= j.
ê Demonstrac¸a˜o.⇒).
Se T e´ diagonaliza´vel possui base (vk)m1 de autovetores, v ∈ V e´ da forma v =
m∑
k=1
ckvk, PT =
m∏
(x − λk) anula v e possui grau mı´nimo, pois PT deve possui todas
as raı´zes de FT que sa˜o autovalores.⇒).
Seja W o subespac¸o gerador por todos os vetores caracterı´sticos de T e suponha
que W 6= V , pelo lema usado no resultado anterior, existe v ∈W e λj autovalor de T
tal que
w = (T − λjI)(v) ∈W
como w ∈W enta˜o
w =
p∑
k=1
wk
onde T(wk) = λkwk pois W e´ gerado por autovetores e temos para um polinoˆmio
qualquer h que
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 37
h(T)(w) =
p∑
k=1
h(λk)wk.
Temos que PT(x) = (x− λj)q(x) para algum polinoˆmio q(x) e
q(x) − q(λj) = (x− λj)h(x)
para algum h polinoˆmio pois q(x) − q(λj) em λj se anula, temos
q(T)(v) − q(λj)(v) = (T − λj)h(T)(v) = h(T)(T − λj)(v) = h(T)(w) ∈W
e como
0 = PT(v) = (T − λjI)q(T)(v)
enta˜o Tq(T)(v) = λjq(T)v enta˜o q(T)(v) ∈W pois e´ nulo ou autovetor como q(T)(v)−
q(λj)(v) ∈W por relac¸a˜o que conseguimos acima e q(T)(v) ∈W, segue que q(λj)(v) ∈
W, com v /∈ W temos que ter o escalar q(λj) = 0 daı´ x − λj divide q(x) e PT(x) =
(x−λj)q(x) possui raiz pelo menos dupla o que contraria a hipo´tese, enta˜o o operador
e´ diagonaliza´vel.
1.3.2 Triangularizac¸a˜o-diagonalizac¸a˜o simultaˆnea
m Definic¸a˜o 12 (Triangularizac¸a˜o-diagonalizac¸a˜o simultaˆnea ). Seja V espac¸o
vetorial, dimV = n, F uma famı´lia de operadores T : V → V lineares, dizemos
que F e´ simultaneamente diagonaliza´vel-triangulariza´vel (SD ou ST) se existe uma
base b tal que [T ]b seja diagonal-triangular onde T ∈ F qualquer.
$ Corola´rio 6. Se F e´ SD enta˜o vale que TV = VT ∀ T,U ∈ F pois matrizes
diagonais comutam, ale´m disso T ∈ F e´ diagonaliza´vel.
m Definic¸a˜o 13 (Subespac¸o invariante por familia de operadores). Um subespac¸o
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 38
W < V e´ dito ser invariante sob uma famı´lia de operadores F se W e´ T -invariante
para cada T ∈ F.
b Propriedade 23. Sejam V espac¸o vetorial sobre K e T : V → V linear, W < V
sendo T -invariante e que W seja T|W-cı´clico, isto e´, existe w ∈W tal que
W = S(w, Tw, T 2w, · · · , )
se k = ∂PT,v enta˜o uma base de W e´ dada por
(T sw)k−10
em particular dimW = k. Ale´m disso vale que PT,w = PT |W .
ê Demonstrac¸a˜o.
A matriz de T |W com respeito a base (T sw)k−10 e´
0 0 · · · 0 −a0
1 0 · · · ... ...
0 1 · · · ... ...
... ... ... ... ...
0 0 · · · 1 −ak−1

k×k
que e´ chamada matriz companheira do polinoˆmio moˆnico xk +
k−1∑
s=0
asx
s.
Sendo PT,w = xk +
k−1∑
s=0
asx
s, as ∈ K temos PT,w(T)w = 0, substituindo tem-se
Tk(w) = −
k−1∑
s=0
asT
sw
o que gera o elemento da u´ltima coluna da matriz.
b Propriedade 24. C(T,w) < V e´ T -invariante.
ê Demonstrac¸a˜o. Tomando v ∈ C(T,w) ele e´ da forma v = Tk(w), aplicando T
temos T(v) = Tk+1(w) ∈ C(T,w).
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 39
Em particular se V e´ T -cı´clico, aplicando o resultado com v sendo um T -gerador,
temos
[T ](Tkv)n−10
=

0 0 · · · 0 −a0
1 0 · · · ... ...
0 1 · · · ... ...
... ... ... ... ...
0 0 · · · 1 −ak−1

k×k
onde PT,v = xn +
n−1∑
s=0
asx
s, as ∈ K. Nesses casos existe uma base de V com respeito
a qual a matriz de T e´ a matriz companheira de FT = PT = PT,v.
1.3.3 Forma canoˆnica racional
F Teorema 3 (Forma canoˆnica racional). Sejam K um corpo arbitra´rio, V com
dimV = n, T : V → V linear, enta˜o existe r ∈ N tal que (wk)r1 em V tais que se
Wk = C(T,wk) = S(wk, Twk, T
2wk, · · · )
wk e´ T invariante, tomando Qj = PT |Wj polinoˆmio mı´nimo de T |Wj logo
1. V =
r⊕
s=1
Ws.
2. Qj+1|Qj ∀ j ∈ Ir−1
3. O inteiro r e cada Qj sa˜o unicamente determinados.
Em versa˜o matricial temos que, dada A ∈ Mn,n(K) enta˜o A e´ semelhante a
uma matriz do tipo

M1 · · · 0
0...
(M2). . .
· · ·0
0 · · · Mr

CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 40
onde Mj e´ a matriz companheira do polinoˆmio moˆnico Qj onde Qj+1|Qj ∀ j ∈
Ir−1
Mj =

0 0 · · · 0 −a0
1 0 · · · ... ...
0 1 · · · ... ...
... ... ... ... ...
0 0 · · · 1 −an−1

Qj = x
n +
n−1∑
s=0
asx
s, as ∈ K.
ê Demonstrac¸a˜o. O primeiro polinoˆmio Q1 e´ o polinoˆmio mı´nimo de T , de fato
Qj(T)|Wj = 0 e como Qj|Q1 ∀ j segue que Q1(T)|Wj = Q ′(T)Qj(T)Qj(T)|Wj = 0 enta˜o
Q1(T) = 0 sobre todos os vetores de V por propriedade de soma direta logo PT |Q1.
Pore´m temos tambe´m que Q1 = PT |W1 |PT como sa˜o ambos moˆnicos e se dividem enta˜o
PT = Q1. M1 e´ o bloco relativo ao polinoˆmio mı´nimo. Como Wj e´ T |Wj-cı´clico temos
Qj = FT |Wj logo
FT =
r∏
s=1
FKs =
r∏
s=1
Qs
logo cada Qj e´ unicamente determinado.
$ Corola´rio 7. Como r e os Qj sa˜o unicamente determinados enta˜o a forma
canoˆnica racional e´ u´nica a menos de permutac¸a˜o dos blocos Mj.
Z Exemplo 7. Sejam dimV = 2, T ∈ L(V), ∂Pt = 1 ou 2. Se ∂PT = 1, temos
PT = x− λ, λ ∈ K, Q1 = PT , como Q2|Q1 temos Q2 = Q1 = PT a matriz fica como
Rt =
 [MQ1 ]1×1 0
0 MQ2
 =
 λ 0
0 λ
 = JA
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 41
Caso ∂PT = 2, PT = x2 + ax+ b, portanto sabemos que Q1 = PT e daı´
RT = [MQ1 ]2×2 =
 0 −a
1 −b

que pode ser diferente de JT .
Z Exemplo 8. Seja um operador T com FT = (x − 1)(x − 2)2. Supondo PT =
(x− 1)(x− 2) = Q1 = x2 − 3x+ 2 temos Q2 = x− 2, daı´ a forma racional e´
RA =
 MQ1 0
0 MQ2
 =

0 −2 0
1 3 0
0 0 2

Caso Q1 = PT = (x− 2)2(x− 1) = x3 − 5x2 + 8x− 4 portanto a forma racional fica
como
RA =

0 0 4
1 0 −8
0 1 5
 = [MQ1 ]
b Propriedade 25. Caso FT seja produto de fatores lineares JA e´ diagonal,
pore´m RA pode na˜o ser diagonal.
ê Demonstrac¸a˜o.
Quais sa˜o os operadores T tais que JT = RT?
b Propriedade 26. Se T e´ nilpotente enta˜o JT = RT .
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha que I(T) = k ≤ dimV = n enta˜o PT = xk pois Tk = 0
e poteˆncias inferiores na˜o , FT = xn , pois qualquer outra raiz seria raiz do polinoˆmio
mı´nimo. Com isso temos
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 42
J(T) =

Nk1 · · · 0
· · · . . . ...
0 · · · Nkr

NKj =

0 · · · 0
1...
· · · 0
0 · · · 1 0

existindo u´nicos inteiros k1 = k ≥ k2 ≥ · · · kr ≥ 1 tal que JT assume a forma
colocada acima. Podemos notar Nkj e´ a matriz companheira de xkj que divide xk = Q1,
temos xkj = Qj e JT = RT pois a forma racional e´ u´nica.
b Propriedade 27. Se T = λI : V → V , dimV = n, enta˜o RT = JT .
ê Demonstrac¸a˜o. Sabemos que FT = det(xI − λI) = (x − λ)n, onde n = dimV .
Ale´m disso T −λI = 0 logo PT(x) = x−λ. JT tera´ apenas um bloco pois possui apenas
um autovetor, enta˜o a matriz na forma canoˆnica de Jordan e´ da forma
J(T) =

Nk1 · · · 0
· · · . . . ...
0 · · · Nkr

NKj = [λ]
NKj e´ a matriz companheira de x− λ = Qj, daı´ JT = RT .
b Propriedade 28. RT = JT ⇔ T e´ nilpotente ou T = λI.
ê Demonstrac¸a˜o. ⇐) Ja´ provamos.⇒) Se Q1 tem grau 1, Q1 = x+ λ, Q1 = · · · = Qm.
RA =
 −λ. . . 0
0 −λ

a matriz e´ mu´ltipla da identidade, neste caso MPA e´ 1× 1. Caso contra´rio temos
RA = JA ⇔
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 43
RA =
 (MPA). . . 0
0 MPM
 =
 (J(λ1)). . . 0
0 J(λm)
 = JA
MPA e´ submatriz de JA
MPA =

0 · · · −a0
1.. .
· · · ...
0 · · · 1 −an−1

temos uma fileira de 1 na diagonal abaixo da diagonal principal, isto implica que
MPA deve estar contida em J(λ1) da passagem dos blocos J(λ1) para J(λ2) temos um
elemento nulo abaixo da diagonal principal
(λ1). . .
· · · 0
· · · 1 λ1 · · ·0
0 · · ·0 λ2

temos que λ1 = 0 por comparac¸a˜o com a diagonal principal de MPA , dissosegue
tambe´m que an−1 = 0 e ainda −a0 = · · · = −an−2 seguindo da igualdade JA = RA,
pois MPA ⊂ J(0) e no bloco de jordan todos elementos acima da diagonal sa˜o nulos .
Disso segue que PA = xn, A e´ nilpotente (n aqui na˜o simboliza a dimensa˜o do espac¸o
.)
b Propriedade 29. Duas matrizes 3×3 nilpotentes sa˜o semelhantes⇔ possuem
o mesmo polinoˆmio mı´nimo. O mesmo na˜o vale para matrizes 4× 4.
ê Demonstrac¸a˜o. Toda matriz nilpotente e´ semelhante a uma matriz com blocos
nilpotentes elementares Nk1 , · · · , Nkm k1 = k ≥ k2 ≥ · · · ≥ km ≥ 1, onde k1 e´ o ı´ndice
de nilpoteˆncia e m = dimN(A).
m∑
s=1
ks = n. Se A e´ nilpotente de ı´ndice K temos que
Ak = 0 e Ah 6= ∀ h < k. Pelo teorema de decomposic¸a˜o cı´clica para operadores
nilpotentes, temos o sistema de invariantes colocado acima. Temos ainda PA|xk e
PA 6= xh ∀ h < k pois Th 6= 0 enta˜o PA = xk.⇒).
Supondo que A e B matrizes 3× 3 sa˜o semelhantes enta˜o
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 44
A ∼ B ∼

Nk1 · · · 0
... . . . ...
0 · · · Nkn

onde k1 = I(A) = I(B) logo possuem mesmo polinoˆmio mı´nimo PA = xk1 = PB.⇐). Por outro lado temos tambe´m PA = PB = xk, temos
A ∼

Nk · · · 0
... . . . ...
0 · · · Nkn

B ∼

Nk · · · 0
... . . . ...
0 · · · Nkn

temos as seguintes possibilidades para k, se K = 3 A ∼ B ∼ [N3]. Se k = 2 enta˜o
A ∼
[
N2 0
0 N1
]
∼ B
para matrizes 4× 4 podemos ter
A =
[
N2 0
0 N2
]
6=

N2 0 0
0 N1 0
0 0 N1
 = B
formas canoˆnicas distintas dai implica A 6∼ B.
Z Exemplo 9. Demonstre que as matrizes reais n×n, A com todos elementos
1 e B com a(1,1) = n e todos elementos nulos sa˜o semelhantes.
Vale que Aej =
n∑
k=1
ek.
Definindo w1 =
n∑
k=1
ek e wk = ek − ek−1, k ∈ [2, n]N. Tais vetores formam base
do Rn pois supondo
n∑
k=1
ckwk = 0
n∑
k=1
c1ek +
n∑
k=1
ck(ak − ak−1) = 0
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 45
o coeficiente de e1 deve ser nulo, que e´ c1 − c2, portanto c1 = c2. Continuando
a comparac¸a˜o chegamos em ck = (k − 1)c2 ainda com cn + c2 = 0 logo nc2 = 0
portanto c2 = 0 e todos outros coeficientes tambe´m. Como temos n vetores LI eles
geram o espac¸o. Ale´m disso
A(w1) =
n∑
k=1
Aek =
n∑
k=1
n∑
s=1
es = n
n∑
s=1
es = nw1
temos tambe´m A(wk) = A(ek) − A(ek−1) =
n∑
k=1
ek −
n∑
k=1
ek = 0 para k > 1, logo a
matriz fica na forma de B.
Z Exemplo 10. Se A e´ matriz invertı´vel, A ∈Mn(C), determine J(A−1). Temos
que P−1AP = JA, P invertı´vel enta˜o
P−1A−1P = J−1A
enta˜o JA−1 e´ a forma de Jordan de J−1A (porque?), isto e´, JA−1 = J−1A
JA =
 J(λ1). . . 0
0 J(λm)

cada λk 6= 0 pois A e´ invertı´vel, temos
J(λk) =
 (λk). . . 0
0 λk
+Nk
J−1A =
 J(λ1)−1. . . 0
0 J(λm)−1

precisamos calcular a inversa dos blocos, podemos observar analisando alguns
casos que
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 46
 λ 0
1 λ
−1 =
 λ−1 0
−λ−2 λ−1


λ 0 0
1 λ 0
0 1 λ

−1
=

λ−1 0 0
−λ−2 λ−1 0
λ−3 −λ−2 λ−1
 =

λ−1 0 0
0 λ−1 0
0 0 λ−1

︸ ︷︷ ︸
λ−1I
+

0 0 0
−λ−2 0 0
λ−3 −λ−2 0

︸ ︷︷ ︸
nilpotente de ı´ndice 3
enta˜o generalizando
J−1A =

λ−11 I+N1 0 0
· · · . . . ...
0 · · · λ−1m I+Nm
 = JA−1 .
Z Exemplo 11. Seja A ∈Mn(R) tal que A2+ 1 = 0. Se n e´ par A e´ semelhante
sobre R a matriz  0 −I
I 0

I um bloco identidade n
2
× n
2
. Temos que PA|x2 + 1 e daı´ PA = x2 + 1. Temos
det(A)2 = 1. Na forma canoˆnica racional PA = Q1 logo
A ∼ RA =
 (MQ1). . . 0
0 MQm

Qm+1| · · · |Q1, a matriz acima sendo formada por bloco das matrizes companheiras
de Q
MQ1 =
 0 −1
1 0

por propriedade do polinoˆmio mı´nimo e tamanho da matriz temos Q1 = Q2 =
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 47
· · · = Qn
2
e os blocos associados sa˜o ideˆnticos
RA =
 (MQ1). . . 0
0 MQn
2

enta˜o para mostrar que e´ semelhante a matriz
 0 −I
I 0
, basta trocar os
elementos da base de posic¸a˜o e multiplicar por −1 se necessa´rio. Por exemplo

0 −1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 −1
0 0 1 0

pode ser colocado da forma 
0 0 −1 0
0 0 0 −1
1 0 0 0
0 1 0 0

trocando a ordem da base para (−e4, e3, e2,−e1).
b Propriedade 30. Se A e B sa˜o matrizes com mesmo polinoˆmio caracterı´stico
P =
r∏
k=1
(x− λk)
dk
com o mesmo polinoˆmio mı´nimo e dk ≤ 3 ∀ k enta˜o A e B sa˜o semelhantes.
ê Demonstrac¸a˜o. Para ambas matrizes pela igualdade dos polinoˆmios carac-
terı´sticos FTA = FTB e PTA = PTB
• JA(λk) e´ de tamanho dk coeficiente de x − λk em FTA como B possui mesmo
polinoˆmio caracterı´stico temos um bloco JB(λk) de mesmo tamanho na forma
de Jordan de B.
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 48
• O primeiro bloco em JA(λk) e´ de tamanho ck expoente de x − λk polinoˆmio
mı´nimo PTA , temos o mesmo para a forma de B .
• Temos o mesmo nu´mero de blocos de Jordan pois temos o mesmo nu´mero de
autovalores r .
Vamos mostrar agora que os blocos JA(λk) e JB(λk) sa˜o os mesmos, na˜o dependem
da matriz.
Suponha que dk = 3, podemos ter ck = 1, 2 ou 3, suponha que seja ck = 1, enta˜o o
sistema de invariantes e´ ck = 1 ≥ 1︸︷︷︸
k2
≥ 1︸︷︷︸
k3
≥ 1 (λ = λk por simplicidade), enta˜o
J(λ) =

λ 0 0
0 λ 0
0 0 λ

se ck = 2 temos o sistema de invariante obrigatoriamente da forma ck = 2 ≥ 1︸︷︷︸
k1
≥ 1
e o bloco fica como
J(λ) =

λ 0 0
1 λ 0
0 0 λ

se ck = 3 temos apenas esse elemento no sistema de invariantes, enta˜o o bloco
fica como
J(λ) =

λ 0 0
1 λ 0
0 1 λ

se dk = 2 temos, usando mesmos argumentos temos possibilidades
J(λ) =
(
λ 0
0 λ
)
ck=1
ou
(
λ 0
1 λ
)
ck=2
se dk = 1 = ck enta˜o J(λ) = [λ]. Isso independe da matriz supondo os dados do
problema, enta˜o A e B possuem mesma forma de Jordan a menos de permutac¸a˜o de
elementos e portanto sa˜o semelhantes.
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 49
Z Exemplo 12. Seja A uma matriz complexa 5 × 5 cujos polinoˆmios carac-
terı´stico e mı´nimo sa˜o respectivamente (x−2)3(x+7)2 e (x−2)2(x+7), determine a
forma de Jordan de A. Temos dois autovalores enta˜o a matriz na forma canoˆnica
e´ do tipo
JA =
 J(2) 0
0 J(7)

J(2) possui tamanho 3 × 3, pois 3 e´ expoente de x − 2 em FT , da mesma forma
J(7) possui tamanho 2× 2, como o coeficiente de x− 2 em PT e´ 2 e de x+ 7 e´ 1 o
tamanho dos blocos e´ fixado e temos
J(2) =

2 0 0
1 2 0
0 0 2

J(7) =
 −7 0
0 −7
 .
Z Exemplo 13. Determine todas as possı´veis formas de Jordan para as matrizes
reais 9× 9 cujo polinoˆmio mı´nimo seja x(x− 1)2(x+ 1)2.
Z Exemplo 14. Mostre que a matriz

0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0

e´ diagonaliza´vel sobre os nu´meros complexos, mas na˜o sobre os nu´meros reais.
Podemos calcular o polinoˆmio caracterı´stico, sendo FT = (x4− 1) = (x2− 1)(x2+
CAPI´TULO 1. FORMA CANOˆNICA DE JORDAN 50
1), que na˜o possui todos autovalores reais, logo os autovetores na˜o pertencem
a espac¸o sobre R. Pore´m e´ diagonaliza´vel sobre C pois todos autovalores sa˜o
distintos 1,−1, i,−i.
	Forma Canônica de Jordan 
	Somas diretas e projeção
	Subespaços invariantes e matrizes de blocos
	Operador aplicado a um polinômio
	Forma canônica de Jordan
	T-condutor e T-anulador
	Triangularização-diagonalização simultânea 
	Forma canônica racional