produto interno normaortogo

Prévia do material em texto

Anotac¸o˜es sobre produto interno, norma e
ortogonalidade.
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Produto interno, norma e ortogonalidade 4
1.0.1 Produto interno usual do Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.0.2 Integrac¸a˜o e produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.0.3 Derivada e integral do produto interno . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.0.4 Forma sesquilinear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.1 Vetores ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.1 Desigualdade de Schwarz por meio de Projec¸a˜o . . . . . . . . . . 24
1.3 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1 ||x+ y||2 = ||x||2 + 2Re(x, y) + ||y||2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3.2 Desigualdade de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.3 Desigualdade triangular-Desigualdade de Minkowski . . . . . . . 31
1.3.4 Identidade do paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.3.5 Aˆngulo entre dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4 Normas me´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.5 Processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schimdt . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.6 Complemento ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.7 Representac¸a˜o do produto interno em espac¸os duais . . . . . . . . . . . 50
1.7.1 Produto interno de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.7.2 Isometria e equivaleˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
1.8 Complexificac¸a˜o de espac¸os reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.8.1 Complexificac¸a˜o de transformac¸o˜es lineares . . . . . . . . . . . . 71
1.8.2 Complexificac¸a˜o de produtos internos . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.9 Transformac¸o˜es lineares na˜o negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2
SUMA´RIO 3
1.9.1 Caracterizac¸a˜o de projec¸o˜es ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . 77
1.10 Teorema espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.11 Produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Capı´tulo 1
Produto interno, norma e
ortogonalidade
m Definic¸a˜o 1 (Produto interno em R). Seja V um espac¸o vetorial real, um
produto interno sobre V e´ uma func¸a˜o <,>: V ×V → R que associa a cada par de
vetores v,w de V um nu´mero real < v,w >, satisfazendo as propriedades
1. Positividade . 〈v, v〉 ≥ 0 e 〈v, v〉 = 0 ⇔ v = 0.
2. Linearidade . 〈av+ bw,u〉 = a〈v, u〉+ b〈w,u〉.
3. Simetria . 〈v,w〉 = 〈w, v〉.
∀ v,w, u vetores de V e a, b nu´meros reais. Dizemos tambe´m que o produto
interno e´ uma forma bilinear sime´trica positiva. O produto interno tambe´m pode
ser chamado de produto escalar.
Normalmente se colocam as propriedades
2a) 〈av,w〉 = a〈v,w〉
2b) 〈v+w,u〉 = 〈v, u〉+ 〈w,u〉
no lugar da propriedade (2), pore´m essas propriedades sa˜o equivalentes, pois tomando
na propriedade (2) b = 0 implica (2a) e tomando a = b = 1 implica (2b). Agora (2a)
4
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 5
e (2b) implicam (2) pois, como av e bw sa˜o vetores, aplicamos (2b)
〈av+ bw,u〉 = 〈av, u〉+ 〈bw,u〉
e aplicamos (2a)
〈av+ bw,u〉 = 〈av, u〉+ 〈bw,u〉 = a〈v, u〉+ b〈w,u〉.
Um produto interno num espac¸o vetorial real e´ um funcional bilinear sime´trico e
positivo em V .
b Propriedade 1. Se u, u ′ ∈ V fixos e < u, v >=< u ′, v > ∀ v ∈ V enta˜o
u = u ′.
ê Demonstrac¸a˜o. < u, v >=< u ′, v > implica que < u − u ′, v >= ∀ v ∈ V daı´
tomando v = u− u ′ devemos ter que u− u ′ = 0⇒ u = u ′.
b Propriedade 2. Seja X um conjunto de geradores do espac¸o vetorial V , se
existem u, v ∈ V tais que
< u,w >=< v,w > ∀ w ∈ X
enta˜o u = v.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que < u − v,wk >= 0 onde (wk)n1 e´ base de X,
u− v =
n∑
k=1
wkck daı´ temos
< u− v,
n∑
k=1
wkck >=
n∑
k=1
< u− v,wk >︸ ︷︷ ︸
=0
= 0
portanto < u− v, u− v >= 0 o que implica u = v.
m Definic¸a˜o 2 (Produto interno em C). Seja V um espac¸o vetorial sobre C,
um produto interno sobre V e´ uma func¸a˜o que associa a cada par ordenado de
vetores α e β um escalar < α,β >∈ C, tal que
• Conjugado < α,β >= < β,α >, o conjugado tambe´m podendo ser denotado
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 6
por < β,α > =< β,α >∗ . Tal propriedade implica que < u,u > ∈ R, pois
< u,u >= < u,u >,
se um nu´mero pe igual ao seu conjugado, enta˜o ele e´ real.
• Linearidade no primeiro argumento,
< α+ β, γ >=< α, γ > + < β, γ >
e < cα,β >= c < α,β > .
• Positividade < α,α >︸ ︷︷ ︸
∈R
> 0 ∀ α︸︷︷︸
∈C
6= 0.
Um produto escalar < , >, tambe´m pode ser denotado por ( , ).
Se tive´ssemos a propriedade de simetria < u, v >=< v, u > em V sobre C na˜o
terı´amos positividade, pois dado u 6= 0 ∈ R
< iu, iu >= i < u, iu >= i < iu, u >= i2 < u,u >= − < u,u > < 0
o que contraria linearidade. Pore´m com a propriedade de conjugac¸a˜o
< iu, iu >= i < u, iu >= i< iu, u > =
sabemos que < iu, u >= i < u, u >, como < u,u > e´ real, o conjugado de tal nu´mero
e´ −i < u, u >, enta˜o
= −i.i < u, u >=< u,u >> 0⇒< iu, iu > > 0.
m Definic¸a˜o 3 (Espac¸os Euclidianos e Hermitianos). • Se V e´ real, um pro-
duto interno <,> em V e´ dito euclidiano e V e´ dito espac¸o euclidiano .
• Se V e´ complexo, um produto interno <,> em V e´ dito hermitiano e V e´
dito espac¸o hermitiano .
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 7
b Propriedade 3. No espac¸o vetorial das func¸o˜es contı´nuas em [a, b] com
imagem em C
< f, g >=
∫b
a
f(x)g(x)dx
define um produto interno.
ê Demonstrac¸a˜o.
• Linearidade
< cf+ h, g >=
∫b
a
(cf(x) + h(x))g(x)dx = c
∫b
a
f(x)g(x)dx+
∫b
a
h(x)g(x)dx =
= c < f, g > + < h, g > .
• Conjugac¸a˜o
< g, f > =
∫b
a
g(x)f(x)dx =
∫b
a
f(x)g(x)dx =< f, g > .
• Positividade. Se f e´ na˜o nula enta˜o
< f, g >=
∫b
a
f(x)f(x)dx =
∫b
a
|f(x)|2dx > 0
por propriedade de continuidade e func¸a˜o real.
b Propriedade 4. Sejam W,V espac¸os vetoriais , W com produto interno,
T : V → W linear injetora. Dados v1, v2 ∈ V definindo [v1, v2] =< T(v1), T(v2) >
enta˜o [, ] define um produto interno em V .
ê Demonstrac¸a˜o.
• Positividade. Seja v 6= 0 enta˜o T(v) 6= 0 por injetividade enta˜o < T(v), T(v) >=
[v, v] > 0
• Linearidade
[cv1+v2, v] =< T(cv1+v2), T(v) >= c < T(v1), T(v) > + < T(v2), T(v) >= c[v1, v]+[v2, v].
• Conjugac¸a˜o
[u, v] =< T(u), T(v) >= < T(v), T(u) > = [v, u].
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 8
b Propriedade 5. Em espac¸os euclidianos ou hermitianos temos que
〈
b∑
k=a
ckvk, u〉 =
b∑
k=a
ck〈vk, u〉
ê Demonstrac¸a˜o. Se b < a o somato´rio e´ vazio e temos
〈
b∑
k=a
ckvk, u〉 = 〈0, u〉 = 0 =
b∑
k=a
ck〈vk, u〉 = 0.
(escrever sobre somatorio em espac¸o vetorial). Seja agora b ≥ a, temos que b = a+p
com p natural, vamos provar por induc¸a˜o sobre p, para p = 0 temos
〈
a∑
k=a
ckvk, u〉 = 〈cava, u〉 = ca〈va, u〉 =
a∑
k=a
ck〈vk, u〉.
Considerando a identidade va´lida para p, vamos provar para p+ 1
〈
b∑
k=a
ckvk, u〉 =
b∑
k=a
ck〈vk, u〉
provar
〈
b+1∑
k=a
ckvk, u〉 =
b+1∑
k=a
ck〈vk, u〉
temos que
〈
b+1∑
k=a
ckvk, u〉 = 〈
b∑
k=a
ckvk+cb+1vb+1, u〉 = 〈
b∑
k=a
ckvk, u〉+〈cb+1vb+1, u〉 =
b∑
k=a
ck〈vk, u〉+cb+1〈vb+1, u〉 =
=
b+1∑
k=a
ck〈vk, u〉 .
$ Corola´rio 1. Em um espac¸o euclidiano temos
〈u,
b∑
k=a
ckvk〉 =
b∑
k=a
ck〈u, vk〉
pois
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 9
〈u,
b∑
k=a
ckvk〉 = 〈
b∑
k=a
ckvk, u〉.
$ Corola´rio 2. EmV euclidiano
〈
d∑
t=e
ftut,
b∑
k=a
ckvk〉 =
d∑
t=e
b∑
k=a
ftck〈ut, vk〉
pois
〈
d∑
t=e
ftut,
b∑
k=a
ckvk〉 =
d∑
t=e
ft〈ut,
b∑
k=a
ckvk〉
e
〈ut,
b∑
k=a
ckvk〉 =
b∑
k=a
ck〈ut, vk〉
logo vale
〈
d∑
t=e
ftut,
b∑
k=a
ckvk〉 =
d∑
t=e
b∑
k=a
ftck〈ut, vk〉.
b Propriedade 6. Se V e´ hermitiano, temos que
1.
< u,
n∑
k=1
vk >=
n∑
k=1
< u, vk > .
2.
< u, λv >= λ < u, v > .
ê Demonstrac¸a˜o.
1.
< u,
n∑
k=1
vk >= <
n∑
k=1
vk, u > =
n∑
k=1
< vk, u > =
n∑
k=1
< vk, u > =
=
n∑
k=1
< u, vk > .
2.
< u, λv >= < λv, u > = λ< v, u > = λ < u, v > .
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 10
$ Corola´rio 3. Em especial em V hermitiano, temos a propriedade de antiline-
aridade.
< u, λv+w >=< u,w > +λ < u, v > .
b Propriedade 7. Para qualquer vetor u em V temos
〈0v, u〉 = 0.
ê Demonstrac¸a˜o.
〈0v, u〉 = 〈0.0v, u〉 = 0〈0v, u〉 = 0.
b Propriedade 8. V euclidiano vale a identidade
〈u+ v, u+ v〉 = 〈u, u〉+ 2〈u, v〉+ 〈v, v〉
ê Demonstrac¸a˜o.
〈u+ v, u+ v〉 = 〈u, u+ v〉+ 〈v, u+ v〉 = 〈u, u〉+ 〈u, v〉+ 〈v, v〉+ 〈v, u〉 =
= 〈u, u〉+ 2〈u, v〉+ 〈v, v〉.
b Propriedade 9. Dado V = Cn, u = (uk)n1 , v = (vk)n1 , z = (zk)n1 enta˜o
< u, v >=
n∑
k=1
ukvk
define um produto hermitiano .
ê Demonstrac¸a˜o.
•
< u, v >=
n∑
k=1
ukvk =
n∑
k=1
ukvk =
n∑
k=1
vkuk = < v, u >.
• Linearidade no primeiro argumento , c ∈ C
< cz+ u, v >=
n∑
k=1
(czk + uk)vk = c
n∑
k=1
zkvk +
n∑
k=1
ukvk = c < z, v > + < u, v > .
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 11
• Positividade , se u 6= 0
< u,u >=
n∑
k=1
ukuk =
n∑
k=1
|uk|
2 > 0.
b Propriedade 10. Se V e´ um espac¸o vetorial complexo, enta˜o considerando
V como real (logo com escalares reais) temos [u, v] = Re < u, v > e vale
< u, v >= [u, v] + i[u, iv]
< u, v >= Re < u, v > +iRe < u, iv >
um produto interno e´ determinado por sua parte real.
ê Demonstrac¸a˜o. Primeiro para [u, v], temos
• Positividade, dado u 6= 0 , [u, u] = Re < u, u >=< u,u > > 0
• Linearidade,
[cv+ u,w] = Re < cv+ u,w >= Re[c < v,w > + < u,w >] =
= cRe < v,w > +Re < u,w >= c[v,w] + [u,w]
onde c ∈ R.
• Simetria, < u, v >= a+ bi daı´ < v, u > = a+ bi⇒< v, u >= a− bi
[u, v] = Re < u, v >= a
[v, u] = Re < v, u >= a.
Logo sa˜o iguais e temos a simetria.
Perceba tambe´m que i < u, vi >= ii < u, v >=< u, v > enta˜o poderı´amos definir o
produto interno com [u, v] = Re i < u, iv > .
Temos que < u, v >= a+ bi e Re < u, v >= a, < u, iv >= i < u, v >= ai+ b cuja
parte real e´ b logo
< u, v >= Re < u, v > +iRe < u, iv > .
Re < u, iv > na˜o define produto interno pois Re < u, iu >= Rei < u, u >= 0.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 12
b Propriedade 11. Se V e´ um espac¸o real ou complexo de dimensa˜o finita e´
sempre possı´vel definir um produto interno em V .
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam (wk)n1 = B base de V , u =
n∑
k=1
αkwk , v =
n∑
k=1
bkwk ,
logo definimos <,>: V → C com
< u, v >=
n∑
k=1
αkbk.
Todo espac¸o vetorial pode ser munido de um produto interno, quando nos refe-
rirmos a um espac¸o munido de um produto interno, estaremos dizendo apenas que
entre os produtos internos possı´veis um foi escolhido e fixado.
m Definic¸a˜o 4 (Produto interno canoˆnico). Sendo (wk)n1 = B base de V , u =
n∑
k=1
αkwk , v =
n∑
k=1
bkwk , <,>: V → C com
< u, v >=
n∑
k=1
αkbk
e´ chamado de produto interno canoˆnico em relac¸a˜o a base B.
b Propriedade 12. Se sa˜o dados (<,>k)n1 produtos internos em V , enta˜o sua
soma
[, ] =
n∑
k=1
<,>k
e´ um produto interno.
ê Demonstrac¸a˜o.
• Positividade
[u, u] =
n∑
k=1
< u,u >k> 0
se u e´ na˜o nulo.
• Conjugac¸a˜o
[u, v] =
n∑
k=1
< u, v >k=
n∑
k=1
< v, u >k =
n∑
k=1
< v, u >k = [v, u].
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 13
• Linearidade na primeira coordenada
[cw+u, v] =
n∑
k=1
< cw+u, v >k= c
n∑
k=1
< w, v >k +
n∑
k=1
< u, v >k= c[w, v]+[u, v].
b Propriedade 13. Se c > 0 enta˜o [w, v] =< cw, v > e´ um produto interno.
ê Demonstrac¸a˜o.
• Positividade
[w,w] = c < w,w > > 0
se w e´ na˜o nulo.
• Conjugac¸a˜o
[w, v] = c < w, v >= c < v,w > = [v,w].
• Linearidade na primeira coordenada
[tw+ l, v] = c < tw+ u, v >= tc < w, v > +c < l, v >= t[w, v] + [l, v].
Z Exemplo 1. A diferenc¸a de dois produtos internos nem sempre e´ um produto
interno, pois
< u, v > − < u, v >= 0
logo na˜o vale a positividade.
1.0.1 Produto interno usual do Rn.
Z Exemplo 2 (Produto interno usual do Rn). Sejam u = (xk)n1 , v = (yk)n1 e
z = (zk)
n
1 vetores quaisquer do Rn enta˜o
< u, v >=
n∑
k=1
xkyk
e´ um produto interno no Rn.
Vamos demonstrar que essa func¸a˜o realmente teˆm as propriedades de produto
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 14
interno.
1. Simetria
< u, v >=< v, u > .
Temos que
< u, v >=
n∑
k=1
xkyk =
n∑
k=1
ykxk =< v, u > .
2. Positividade
< u,u > ≥ 0.
Tem-se
< u,u >=
n∑
k=1
xkxk =
n∑
k=1
x2k
e´ uma soma de nu´meros na˜o negativos e so´ pode ser zero se xk = 0, ∀ k.
3. Linearidade
< au+ bv,w >= a < u,w > +b < v,w > .
au+ bv = (axk + byk)
n
1
tomando o produto interno segue
< au+bv,w >=
n∑
k=1
(axk+byk)zk =
n∑
k=1
axkzk+bykzk = a
n∑
k=1
xkzk+b
n∑
k=1
ykzk =
= a < u,w > +b < v,w > .
Z Exemplo 3. Sejam u = (xk)n1 , v = (yk)n1 e z = (zk)n1 vetores quaisquer do Rn
enta˜o
< u, v >=
n∑
k=1
f(k)xkyk
e´ um produto interno no Rn, onde f(k) > 0 ∀ k.
Vamos demonstrar que essa func¸a˜o realmente teˆm as propriedades de produto
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 15
interno.
1. Simetria
< u, v >=< v, u > .
Temos que
< u, v >=
n∑
k=1
f(k)xkyk =
n∑
k=1
f(k)ykxk =< v, u > .
2. Positividade
< u,u > ≥ 0.
Tem-se
< u,u >=
n∑
k=1
f(k)xkxk =
n∑
k=1
f(k)x2k
e´ uma soma de nu´meros na˜o negativos e so´ pode ser zero se xk = 0, ∀ k.
3. Linearidade
< au+ bv,w >= a < u,w > +b < v,w > .
au+ bv = (axk + byk)
n
1
tomando o produto interno segue
< au+ bv,w >=
n∑
k=1
f(k)(axk + byk)zk =
n∑
k=1
f(k)axkzk + f(k)bykzk =
= a
n∑
k=1
f(k)xkzk + b
n∑
k=1
f(k)ykzk =
= a < u,w > +b < v,w > .
1.0.2 Integrac¸a˜o e produto interno
b Propriedade 14. Seja f : [a, b]→ R integra´vel com f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b]. Se
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 16
f e´ contı´nua em c ∈ [a, b] com f(c) > 0 enta˜o∫b
a
f(x)dx > 0.
ê Demonstrac¸a˜o.[1] Existe δ > 0 tal que x ∈ [c − δ, c + δ] ⇒ f(x) > 0, pela
continuidade de f, portanto∫b
a
f(x)dx =
∫ c−δ
a
f(x)dx︸ ︷︷ ︸
≥0
+
∫ c+δ
c−δ
f(x)dx︸ ︷︷ ︸
>0
+
∫b
c+δ
f(x)dx︸ ︷︷ ︸
≥0
> 0
ê Demonstrac¸a˜o.[2] Seja m = f(c)
2
, existe δ > 0 tal que f(x) > m para todo
x ∈ [c − δ, c + δ] por continuidade no ponto c, tomamos partic¸o˜es que contenham os
pontos c− δ e c+ δ, logo existe s tal que ts−1 = c− δ, ts = c+ δ,
ms = inf
f∈[c−δ,c+δ]
f ≥ m > 0
pois o ı´nfimo e´ a maior das cotas inferiores, logo
s(f, P) =
s−1∑
k=1
mk︸︷︷︸
≥0
∆tk−1︸ ︷︷ ︸
>0
+ ms︸︷︷︸
≥m
∆ts−1︸ ︷︷ ︸
≥2δ
+
n∑
k=s+1
mk︸︷︷︸
≥0
∆tk−1︸ ︷︷ ︸
>0
≥ m(c+ δ− c+ δ) = 2mδ,
como f e´ integra´vel temos∫b
a
f(x)dx = sup
p
s(f, p) ≥ s(f, p) ≥ 2mδ > 0
logo a integral e´ positiva.
b Propriedade 15. Seja f : [a, b] → R contı´nua e na˜o identicamente nula,
enta˜o ∫b
a
|f(x)|dx > 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Existe c tal que f(c) 6= 0, daı´ |f(c)| > 0, portanto existe um
intervalo fechado [p, t] onde a func¸a˜o assume apenas valores positivos, como |f| e´
contı´nua em um compacto [p, t] elaassume um mı´nimo nesse intervalo, digamos
|f(u)| > 0 enta˜o
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 17
∫b
a
|f(x)|dx =
∫p
a
|f(x)|dx︸ ︷︷ ︸
≥0
+
∫ t
p
|f(x)|dx+
∫b
t
|f(x)|dx︸ ︷︷ ︸
≥0
≥
≥
∫ t
p
|f(x)|dx ≥
∫ t
p
|f(u)|dx = |f(u)|(t− p) > 0.
b Propriedade 16. No espac¸o vetorial das func¸o˜es contı´nuas em [a, b]
< f, g >=
∫b
a
f(x)g(x)dx
define um produto interno.
ê Demonstrac¸a˜o. As propriedades de linearidade e simetria sa˜o decorrentes
da linearidade da integral e o produto ser comutativo, falta mostrar a positividade,
tal propriedade segue de: se f for na˜o nula em ponto em [a, b] enta˜o
∫b
a
f(x)2dx > 0
por propriedade de func¸o˜es contı´nuas , enta˜o para que o produto interno seja nulo e´
necessa´rio que f seja identicamente nula.
1.0.3 Derivada e integral do produto interno
b Propriedade 17 (Derivada do produto interno). Sejam u : I→ Rn e v : I→ Rn,
I intervalo aberto, u e v func¸o˜es deriva´veis em um ponto t ∈ I, enta˜o
f(t) =< u(t), v(t) > define uma func¸a˜o f : I→ R que e´ deriva´vel em t e vale
[< u(t), v(t) >] ′ =< u ′(t), v(t) > + < u(t), v ′(t) > .
A propriedade tambe´m vale para outros produtor internos usando fo´rmula de
derivada de func¸a˜o bilinear, mas vamos demonstrar o caso do produto interno
canoˆnico .
ê Demonstrac¸a˜o. u e v sa˜o deriva´veis em suas coordenadas1 , u(t) = (uk(t))n1
, v(t) = (vk(t))n1
1Ver derivada de func¸o˜es de Rn
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 18
< u(t), v(t) >=
n∑
k=1
uk(t).vk(t) = f(t)
derivando, aplicando a regra de derivada do produto, temos
f ′(t) =
n∑
k=1
u ′k(t).vk(t) +
n∑
k=1
uk(t).v
′
k(t) =< u
′(t), v(t) > + < u(t), v ′(t) > .
$ Corola´rio 4. Nas condic¸o˜es da propriedade anterior com c uma constante em
Rn enta˜o
[< α(t), c >] ′ =< α ′(t), c >
pois
[< α(t), c >] ′ =< α ′(t), c > + < α(t), c ′︸︷︷︸
0
>=< α ′(t), c > .
$ Corola´rio 5. Integral de uma curva parametrizada, supondo α(t) = (αk(t))n1
onde cada αk : I→ R e´ integra´vel, definindo a integral como a integral componente
a componente
∫ x
a
α(t)dt = (
∫ x
a
αk(t)dt)
n
1 enta˜o vale que
∫ x
a
< α(t), c > dt =<
∫ x
a
α(t)dt, c >
pois∫ x
a
< α(t), c > dt =
∫ x
a
n∑
k=1
ckαk(t)dt =
n∑
k=1
ck(
∫ x
a
ckαk(t)dt) =<
∫ x
a
α(t)dt, c > .
b Propriedade 18. Sejam α : I→ Rn e B : I→ Rn deriva´veis ( portanto tambe´m
integra´veis), enta˜o vale
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 19
∫ x
a
< α ′(t), B(t) > dt =< α(t), B(t) >
]x
a
−
∫ x
a
< α(t), B ′(t) >
enta˜o o produto interno funciona como o produto de nu´mero para a integral .
1.0.4 Forma sesquilinear
m Definic¸a˜o 5 (Forma Sesquilinear). Uma func¸a˜o f : V × V → C, onde V e´
espac¸o vetorial e´ dita sesquilinear se satisfaz:
f(x+ y, z+w) = f(x, z) + f(x,w) + f(y, z) + f(y,w)
f(ax, by) = abf(x, y).
∀ x, y, z,w ∈ V e a, b ∈ C.
ê Demonstrac¸a˜o. Vale a regra da derivada do produto, logo vale a fo´rmula de
integrac¸a˜o por partes.
1.1 Vetores ortogonais
m Definic¸a˜o 6 (Vetores ortogonais). Seja V um espac¸o vetorial munido de
produto interno. Dizemos que dois vetores u e v sa˜o ortogonais em relac¸a˜o ao
produto interno 〈, 〉 ⇔
〈u, v〉 = 0.
Caso u e v sejam ortogonais escrevemos u⊥v. Vetores ortogonais tambe´m podem
ser chamados de perpendiculares.
$ Corola´rio 6. 0⊥v para todo v ∈ V , pois temos 〈0, u〉 = 0.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 20
b Propriedade 19. Em espac¸os hermitianos ou euclidianos, v⊥w implica w⊥v.
ê Demonstrac¸a˜o. v⊥w implica 〈v,w〉 = 0 pore´m temos 〈v,w〉 = 〈w, v〉 = 0 logo
〈w, v〉 = 0 e daı´ w⊥v.
b Propriedade 20. Seja V hermitiano ou euclidiano. Se v⊥w para todo w ∈ V
enta˜o v = 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Em especial v⊥v, logo 〈v, v〉 = 0 o que implica v = 0.
b Propriedade 21. Seja V hermitiano ou euclidiano. Se u⊥v e w⊥v enta˜o
(au+ bw)⊥v.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos u⊥v implica 〈u, v〉 = 0 e w⊥v implica 〈w, v〉 = 0 tomando
〈au+ bw, v〉 = a〈u, v〉+ b〈w, v〉 = 0
logo (au+ bw)⊥v .
m Definic¸a˜o 7 (Conjunto ortogonal). Um conjunto X ⊂ V e´ dito ser ortogonal
se ∀ u, v ∈ X distintos temos
< u, v >= 0
m Definic¸a˜o 8 (Conjunto ortonormal). X ⊂ V e´ ortonormal se e´ ortogonal e
∀ v ∈ X temos
||v|| = 1
.
F Teorema 1. Seja {vk |k ∈ In} um conjunto de vetores na˜o nulos, com propri-
edade 〈vk, vt〉 = δ(k,t)〈vk, vt〉, isto e´, e´ um conjunto ortogonal, enta˜o {vk |k ∈ In} e´
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 21
linearmente independente.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja
n∑
k=1
ckvk = 0
tomando o produto interno por vs com s em In temos
n∑
k=1
ck〈vs, vk〉 =
n∑
k=1
ckδ(k,s)〈vs, vk〉 = cs〈vs, vs〉 = 〈vs,0〉 = 0
como vs 6= 0 temos cs = 0 para todo s em In logo {vk |k ∈ In} e´ linearmente
independente.
m Definic¸a˜o 9. Uma base {vk |k ∈ In} e´ dita ortogonal ⇔ 〈vk, vt〉 = δ(k,t)〈vk, vt〉.
$ Corola´rio 7. Se temos um conjunto de n vetores dois a dois ortogonais num
espac¸o de dimensa˜o n enta˜o este conjunto sera´ uma base ortogonal, pois sa˜o
linearmente independentes.
$ Corola´rio 8. Na˜o podemos ter mais de n vetores na˜o nulos ortogonais em um
espac¸o de dimensa˜o n.
Z Exemplo 4. A base canoˆnica (ek)n1 de Rn e´ ortonormal, cada um dos seus
elementos possui norma 1 e ale´m disso o conjunto e´ ortogonal pois
< ek, ej >=
n∑
s=1
xsys
onde xs = δ(s,k), ys = δ(s,j), usando o delta de kronecker, temos
n∑
s=1
xsys = δ(k,j)δ(k,k) =
1 se k = j, 0 caso contra´rio .
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 22
Z Exemplo 5. Os vetores |u|v + |v|u = v1 e |u|v − |v|u = v2 sa˜o ortogonais em
V real.
< v1, v2 >=< |u|v+ |v|u, |u|v− |v|u >=
= |u|2 < v, v > −|v||u| < v, u > +|v||u| < u, v > −|v|2 < u,u >=
= |u|2|v|2 − |v||u| < u, v > +|v||u| < u, v > −|v|2|u|2 = 0.
b Propriedade 22. Sendo v =
n∑
k=1
ckak, combinac¸a˜o de vetores ortogonais na˜o
nulos enta˜o
v =
n∑
k=1
< v, ak >
||ak||2
ak.
ê Demonstrac¸a˜o. Se
v =
n∑
k=1
ckak
enta˜o aplicando <,aj > temos
< v, aj >=
n∑
k=1
ck < ak, aj > cj < aj, aj >⇒
< v, aj >
< aj, aj >
= cj =
< v, aj >
||aj||2
.
Daı´
v =
n∑
k=1
< v, ak >
||ak||2
ak.
b Propriedade 23 (Identidade de Parseval). Se (uk)n1 e´ uma base ortonormal,
v,w ∈ V (V real ou complexo) arbitra´rios, tem-se que
< v,w >=
n∑
k=1
< v, uk >< uk, w > .
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 23
ê Demonstrac¸a˜o.
<
n∑
k=1
ckuk︸ ︷︷ ︸
v
,
n∑
j=1
ajuj︸ ︷︷ ︸
w
>=
n∑
k=1
n∑
j=1
ajck < uk, uj >=
n∑
k=1
akck
ale´m disso temos que < v, uk >= ck, < w,uk >= ak ⇒< uk, w >= ak, logo a
demonstrac¸a˜o fica completa.
1.2 Coeficientes de Fourier
Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita com produto interno 〈, 〉 , β =
{vk |k ∈ In} uma base ortogonal de V e u um vetor qualquer de V , sabemos que
u =
n∑
k=1
xkvk
se aplicarmos o produto interno com vs temos
〈vs, u〉 =
n∑
k=1
xk〈vs, vk〉 =
n∑
k=1
xkδs,k〈vs, vk〉 = xs〈vs, vs〉
como 〈vs, vs〉 6= 0 temos
xs =
〈vs, u〉
〈vs, vs〉
esta coordenada chamamos de coeficiente de Fourier.
m Definic¸a˜o 10 (Projec¸a˜o ortogonal). A projec¸a˜o de v ortogonal a u 6= 0
simbolizada por Pru(v) e´
< u, v >
< u,u >
u.
b Propriedade 24. Valem as propriedades
1. Pru(v) e´ colinear a u.
2. v− Pru(v) e´ ortogonal a u, isto e´, < v− Pru(v), u >= 0.
ê Demonstrac¸a˜o.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 24
1. Pru(v) e´ colinear a u pois e´ da forma λu com λ =
< u, v >
< u,u >
.
2. v− Pru(v) e´ ortogonal a u, pois,
< v− Pru(v), u >=< v, u > −
< u, v >
< u,u >
< u,u >= 0.
$ Corola´rio 9. Vale que
||Pru(v)|| = |
< v, u >
< u,u >
| ||u||
com norma proveniente do produtointerno podemos escrever, com < u,u >= ||u||2
Pru(v) =
< u, v >
< u,u >
u =
< u, v >
||u||2
u
daı´ temos tambe´m
||Pru(v)|| =
| < u, v > |
||u||
.
1.2.1 Desigualdade de Schwarz por meio de Projec¸a˜o
$ Corola´rio 10 (Desigualdade de Schwarz). Vale que < v − Pu(v), Pu(v) >= 0
pois Pu(v) = λu . Logo podemos aplicar o teorema de Pita´goras, resultando em
||v− Pru(v)||
2 + ||Pru(v)||
2 = ||v− Pru(v) + Pru(v)||
2 = ||v||2
logo
||Pru(v)|| =
| < u, v > |
||u||
≤ ||v||⇒ | < v, u > | ≤ ||v|| ||u||
que e´ a desigualdade de Schwarz.
Vale a igualdade⇔ v−Pru(v) = 0⇔ v e u sa˜o colineares pois v = Pru(v) = λu.
A demonstrac¸a˜o que foi feita serve tanto para espac¸os reais ou complexos.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 25
Z Exemplo 6. Vejamos alguns exemplos de aplicac¸o˜es da desigualdade de
Schwarz para alguns produtos internos ja´ conhecidos.
1. V = Rn, (xk)n1 , (yk)n1 ∈ Rn, a desigualdade de Schwarz toma a forma de
|
n∑
k=1
xkyk|
2 ≤
n∑
k=1
x2k
n∑
k=1
y2k
2. V = Cn, (xk)n1 , (yk)n1 ∈ Cn, a desigualdade de Schwarz toma a forma de
|
n∑
k=1
xkyk|
2 ≤
n∑
k=1
|xk|
2
n∑
k=1
|yk|
2
3.
|tr(AB∗)| ≤ tr(AA∗) 12 tr(BB∗) 12 .
1.3 Norma
m Definic¸a˜o 11 (Espac¸o vetorial normado). Um espac¸o vetorial V (sobre um
corpo K, real ou complexo) e´ dito ser normado se para cada elemento v de V e´
associado um nu´mero real ‖v‖ na˜o negativo tal que valem as propriedades
1.
Positividade ‖v‖ = 0⇔ v = 0.
2.
Produto por constante ‖av‖ = |a|‖v‖.
3.
Desigualdade triangular ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖.
sendo u ∈ V e a um escalar. Nesse caso dizemos que (V, ‖ ‖) e´ um espac¸o
vetorial normado. A norma de um vetor pode ser pensada como o comprimento
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 26
ou magnitude de um vetor.
m Definic¸a˜o 12 (Seminorma). Seminorma num espac¸o vetorial V e´ uma
func¸a˜o que satisfaz as propriedades de norma, na˜o necessariamente satisfazendo
a condic¸a˜o de que ||v|| = 0 implica v = 0, isto e´, podemos ter elementos na˜o nulos
com seminorma nula.
b Propriedade 25. Toda norma em R e´ da forma ||x|| = a|x| onde a > 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Em R, dado x ∈ R na˜o nulo, podemos escrever
||x|| = ||x.1|| = |x| ||1||︸︷︷︸
a
= a|x|
onde a > 0. As outras propriedades tambe´m sa˜o satisfeitas pois
||x|| = 0⇔ a|x| = 0⇔ x = 0.
Vale a desigualdade triangular
||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y||
pois por desigualdade triangular para mo´dulo temos
|x+ y| ≤ |x|+ |y|
multiplicando por a > 0 a desigualdade na˜o se altera, tem-se
a|x+ y|︸ ︷︷ ︸
||x+y||
≤ a|x|︸︷︷︸
||x||
+ a|y|︸︷︷︸
||y||
que e´ exatamente a desigualdade triangular para norma. Agora a u´ltima propriedade
||cx|| = |cx|a = |c||x|a = |c|||x|.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 27
b Propriedade 26. Toda norma em R proveˆm de um produto interno.
ê Demonstrac¸a˜o. Definimos o seguinte produto interno em R. < x, y >= a2xy.
Com a 6= 0. Temos realmente um produto interno pois
< x, x >= a2x2 ≥ 0
sendo nulo ⇔ x = 0. Vale tambe´m a simetria < x, y >= a2x.y = a2yx =< y, x >.
Agora a linearidade
< cv+ bw,u >= a2(cv+ bw)u = ca2(vu) + ba2(wu) = c < v, u > +b < w,u > .
Uma norma em R e´ do tipo ||x|| = a|x|, que proveˆm do produto interno
√
< x, x > =
a|x|.
b Propriedade 27. Todo produto interno no espac¸o vetorial R = V e´ da forma
< x, y >= a2xy, a 6= 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Ja´ sabemos que < x, y >= a2xy, a 6= 0 define um produto
interno pelo que ja´ vimos em propriedade anterior. Agora suponha um produto
interno dado, temos que
< x, y >=< x.1, y.1 >= x.y< 1, 1 >︸ ︷︷ ︸
a2>0
= x.ya2.
b Propriedade 28. Todo produto interno no espac¸o vetorial C = V e´ da forma
< x, y >= a2xy, a 6= 0, a ∈ R .
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que
< x, y >=< x.1, y.1 >= x.y< 1, 1 >︸ ︷︷ ︸
a2 6=0
.
Agora provamos que essa expressa˜o fornece um produto interno.
• Vale a positividade. < x, x > > 0 para x 6= 0 pois
< x, y >= xxa2 = ||x||a2 > 0.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 28
• Conjugac¸a˜o
< y, x >= y
√
xa2 = yxa2 = < x.y >.
• Linearidade na primeira coordenada
< x+ cw, y >= (x+ cw)ya2 = (xya2) + c(ya2) =< x, y > +c < w, y > .
b Propriedade 29. Vale ‖− v‖ = ‖v‖ para todo v ∈ V.
ê Demonstrac¸a˜o.
‖− v‖ = |− 1|‖v‖ = ‖v‖.
b Propriedade 30. Vale ‖x‖ ≥ 0 para todo x ∈ V .
ê Demonstrac¸a˜o. Pela desigualdade triangular
‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖
tomando u = x e v = −x segue
‖x− x‖ = 0 ≤ ‖x‖+ ‖− x‖ = 2‖x‖
daı´ ‖x‖ ≥ 0.
m Definic¸a˜o 13. Seja V um espac¸o hermitiano ou euclidiano com produto
interno 〈, 〉, definimos a norma (ou comprimento) de um vetor v em relac¸a˜o a esse
produto interno por
‖v‖ :=
√
〈v, v〉.
m Definic¸a˜o 14 (Vetor unita´rio). Se ‖v‖ = 1 v e´ chamado vetor unita´rio e
dizemos que v esta´ normalizado.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 29
b Propriedade 31. Todo vetor V se escreve como v = |v|v ′ onde v ′ e´ unita´rio.
ê Demonstrac¸a˜o. Caso v = 0 temos |v| = 0 e daı´ tomamos v ′ unita´rio qualquer,
caso v 6= 0, tomamos v ′ = v
|v|
, temos
v = |v|
v
|v|
= v.
A seguir propriedades va´lidas para quaisquer v,w em um espac¸o vetorial V com
produto interno e a ∈ R.
b Propriedade 32. Seja V um espac¸o hermitiano ou euclidiano ‖v‖ ≥ 0 e
‖v‖ = 0 ⇔ v = 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos
‖v‖ =
√
〈v, v〉
e como 〈v, v〉 ≥ 0 segue
√
〈v, v〉 ≥ 0 e 〈v, v〉 = 0 ⇔ v = 0, segue √〈v, v〉 = 0 ⇔ v = 0.
b Propriedade 33. Seja V um espac¸o hermitiano ou euclidiano enta˜o
‖av‖ = |a| ‖v‖.
ê Demonstrac¸a˜o.
‖av‖ =
√
〈av, av〉 =
√
aa〈v, v〉 = |a|
√
〈v, v〉 = |a| ‖v‖.
1.3.1 ||x+ y||2 = ||x||2 + 2Re(x, y) + ||y||2.
b Propriedade 34. Para um produto interno complexo, temos que
||x+ y||2 = ||x||2 + 2Re(x, y) + ||y||2.
ê Demonstrac¸a˜o.
||x+ y||2 = (x+ y, x+ y) = (x, x) + (x, y) + (y, x) + (y, y) = ||x||2 + (x, y) + (x, y)︸ ︷︷ ︸
2Re(x,y)
+||y||2.
De onde segue o resultado.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 30
1.3.2 Desigualdade de Cauchy-Schwarz
b Propriedade 35 (Desigualdade de Schwarz).
‖w‖ ‖v‖ ≥ |〈v,w〉|.
Valendo para espac¸os produtos internos com valores em R ou C. Ja´ provamos
essa desigualdade por meio de projec¸o˜es, vamos provar agora de outras maneiras.
ê Demonstrac¸a˜o.[Caso real] Para v = 0 vale a igualdade, pois ‖v‖ = 0 e
〈0, w〉 = 0. Seja v 6= 0, para qualquer t real vale
〈tv+w, tv+w〉 ≥ 0
logo
t2〈v, v〉+ 2t〈v,w〉+ 〈w,w〉 ≥ 0
como 〈v, v〉 e´ sempre positivo, temos que ter o discriminante negativo, logo
4〈v,w〉2 − 4〈v, v〉 〈w,w〉 ≤ 0
de onde segue
‖w‖ ‖v‖ ≥ |〈v,w〉|.
Se 〈v,w〉 ≥ 0 temos
‖w‖ ‖v‖ ≥ 〈v,w〉,
se 〈v,w〉 < 0 ainda temos
‖w‖ ‖v‖ ≥ 〈v,w〉,
pois a norma e´ um nu´mero na˜o negativo.
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam x, y ∈ H, λ ∈ R, x 6= 0. Por
||λx+ y||2 = λ2||x||2 + 2λRe(x, y) + ||y||2 = P(λ) ≥ 0.
Logo temos que o ∆ da equac¸a˜o deve satisfazer
∆ = 4[re(x, y)]2 − 4||x||2||y||2 ≤ 0.
Temos ∆ ≤ 0, pois temos soluc¸a˜o dupla ou a equac¸a˜o na˜o possui soluc¸a˜o. Da
desigualdade anterior segue que
|Re(x, y)| ≤ ||x|| ||y||. (1.1)
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 31
Se (x, y) 6= 0, (x, y) = |(x, y)|eiθ. Definindo
x˜ = e−iθ.x,
temos
(x˜, y) = e−iθ(x, y) = |(x, y)|.
Aplicando (1.1), com x˜ e y, temos que
|(x, y)| = |Re(x˜, y)| ≤ ||x˜||.||y|| = |e−iθ|︸ ︷︷ ︸
1
||x|| ||y||,
pois (x˜, y) = |(x, y)| logo Re(x˜, y) = |(x, y)|.
Enta˜o conluı´mos que
|(x, y)| ≤ ||x|| ||y||,
no caso do produto interno complexo, o que prova o resultado.
b Propriedade 36. Vale a seguinte identidade em espac¸os reais
‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2〈u, v〉.
ê Demonstrac¸a˜o.
‖u+ v‖2 =
√
〈u+ v, u+ v〉2 = 〈u+ v, u+ v〉 = 〈u, u〉+ 2〈u, v〉+ 〈v, v〉 =
= ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2〈u, v〉.
1.3.3 Desigualdade triangular-Desigualdade de Minkowski
b Propriedade 37 (Desigualdadetriangular).
‖u‖+ ‖v‖ ≥ ‖u+ v‖.
Vale para norma definida por produto interno complex ou real.
ê Demonstrac¸a˜o.[Caso real]
Da identidade
‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2〈u, v〉,
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 32
e da desigualdade
‖u‖ ‖v‖ ≥ 〈u, v〉,
segue que
‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2〈u, v〉 ≤ ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2‖u‖ ‖v‖ = (‖u‖+ ‖v‖)2
logo
(‖u‖+ ‖v‖)2 ≥ ‖u+ v‖2
de onde temos
‖u‖+ ‖v‖ ≥ ‖u+ v‖.
ê Demonstrac¸a˜o.[Caso complexo] Ja´ provamos que
||x+ y||2 = ||x||2 + 2Re(x, y)︸ ︷︷ ︸
≤||x||.||y||
+||y||2 ≤ ||x||2 + 2||x|| ||y||+ ||y||2 = (||x||+ ||y||)2
o que implica finalmente
||x+ y|| ≤ ||x||+ ||y||.
b Propriedade 38 (Teorema de Pita´goras). Seja V um espac¸o euclidiano. x ⊥ y
⇔ |x+ y|2 = |x|2 + |y|2.
ê Demonstrac¸a˜o.⇒). Essa implicac¸a˜o tambe´m vale para espac¸os hermitianos. Suponha < u, v >=
0.
Segue da identidade
‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2Re 〈u, v〉︸ ︷︷ ︸
0
= ‖u‖2 + ‖v‖2.
⇐) Agora usamos V real.
||u+ v||2 = ||u||2 + ||v||2 = ||u||2 + ||v||2 + 2 < u, v >
logo < u, v >= 0.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 33
b Propriedade 39 (Teorema de Pita´goras para espac¸os complexos). Seja V um
espac¸o complexo, temos que
< u, v >= 0⇔ ||au+ bv||2 = ||au||2 + ||bv||2 ∀ a, b ∈ C.
ê Demonstrac¸a˜o. ⇒). Ja´ provamos com a = b = 1.⇐). (refazer) Com a = b = 1 chegamos a conclusa˜o que Re < u, v >= 0, agora
tomando a = 1 e b = i, tomando < u, v >= yi temos apo´s contas que
ab < u, v > +ba< u, v > = 0
−iiy+ i(−iy) = 0⇒ y = 0.
m Definic¸a˜o 15 (Norma do ma´ximo). Dado um espac¸o vetorial normado Vn,
definimos a norma do ma´ximo como
|x|M = max{|xk|, k ∈ In}, x ∈ V
onde cada |xk| e´ a aplicac¸a˜o da norma de V , x = (xk)n1 .
b Propriedade 40. A norma do ma´ximo define uma norma em Vn.
ê Demonstrac¸a˜o.
• Vale a positividade pois max{|xk|, k ∈ In} = 0⇔ |xk| = 0 ∀ k e caso um |xk| > 0
tem-se max{|xk|, k ∈ In} > 0.
• |ax|M = max{|a||xk|, k ∈ In} = |a| max{|xk|, k ∈ In} = |a||x|M.
• Vale que |x|M + |y|M ≥ |x+ y|M, isto e´,
max{|xk|, k ∈ In}+max{|yk|, k ∈ In} ≥ max{|xk + yk|, k ∈ In}
o ma´ximo do primeiro termo acontece para algum ı´ndice s, max{|xk|, k ∈ In} =
xs, o do segundo termo para algum t e do outro lado da desigualdade para
algum m, mas
|xs|+ |yt| ≥ |xm|+ |ym| ≥ |xm + ym| .
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 34
m Definic¸a˜o 16 (Norma da soma). Dado um espac¸o vetorial normado Vn,
definimos a norma da soma como
|x|S =
n∑
k=1
|xk|
onde cada |xk| e´ a aplicac¸a˜o da norma de V , x = (xk)n1 .
b Propriedade 41. A norma da soma define uma norma em Vn.
ê Demonstrac¸a˜o.
• Vale a positividade pois
n∑
k=1
|xk| ≥ 0 e so´ e´ nula se cada xk for um vetor nulo .
• |ax|S =
n∑
k=1
|axk| = |a|
n∑
k=1
|xk| = |a||x|S.
• Vale que |x|S + |y|S ≥ |x + y|S, tal propriedade segue da generalizac¸a˜o da desi-
gualdade triangular
n∑
k=1
|xk|+
n∑
k=1
|yk| ≥
n∑
k=1
|xk + yk|.
b Propriedade 42. Em Rn vale
|x+ y|2 + |x− y|2 = 2|x|+ 2|y|
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam x = (xk)n1 e y = (yk)n1 , enta˜o
|x+ y|2 + |x− y|2 =
n∑
k=1
(xk + yk)
2 +
n∑
k=1
(xk − yk)
2 =
=
n∑
k=1
(x2k + 2xkyk + y2k) +
n∑
k=1
(x2k − 2xkyk + y2k) =
= 2
n∑
k=1
x2k + 2
n∑
k=1
y2k = 2|x|+ 2|y|.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 35
b Propriedade 43. Em V espac¸o vetorial normado vale que
||x− y|| ≥ | ||y||− ||x|| |.
ê Demonstrac¸a˜o. Por desigualdade triangular sabemos que
||x− y|| ≥ ||y||− ||x|| pois ||x− y||+ ||x|| ≥ ||y||
da mesma maneira
||x− y|| ≥ ||x||− ||y|| pois ||x− y||+ ||y|| ≥ ||x||
portanto
||x− y|| ≥ | ||y||− ||x|| |.
b Propriedade 44. A func¸a˜o norma fN : V → R com fN(v) = ||v||, V espac¸o
vetorial normado, e´ contı´nua.
ê Demonstrac¸a˜o. A func¸a˜o norma e´ Lipschitz , logo uniformemente contı´nua
e contı´nua, pois
| ||x||− ||y|| | ≤ ||x− y||.
m Definic¸a˜o 17 (Distaˆncia entre dois vetores em espac¸os normados). Definimos
a distaˆncia entre dois vetores v e w num espac¸o normado como d(v,w) = |v−w|.
1.3.4 Identidade do paralelogramo
b Propriedade 45 (Identidade do paralelogramo). Seja V espac¸o vetorial nor-
mado proveniente de produto interno, enta˜o vale
||u+ v||2 + ||u− v||2 = 2(||u||2 + ||v||2).
Essa identidade pode ser interpretada geometricamente com a afirmac¸a˜o de
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 36
que a soma do quadrado do comprimento das diagonais de um paralelogramo e´
igual a` soma do quadrado dos lados .
ê Demonstrac¸a˜o.[Caso real]
< u+ v, u+ v > + < u− v, u− v >=
=< u,u > + < u, v > + < v, u > + < v, v > + < u,u > +
+ < u,−v > + < −v, u > + < −v,−v >= 2||u||+ 2||v||.
ê Demonstrac¸a˜o.[Caso complexo] Temos que
||x+ y||2 = ||x||2 + 2Re(x, y) + ||y||2,
||x+ y||2 = ||x||2 − 2Re(x, y) + ||y||2.
Somando os termos, segue que
||x+ y||2 + ||x− y||2 = 2(||x||2 + ||y||2)
b Propriedade 46. Ja´ mostramos que um espac¸o com norma proveniente do
produto interno enta˜o vale a propriedade do paralelogramo, agora vamos mostrar
o contra´rio, se vale a identidade do paralelogramo enta˜o podemos definir uma
produto interno por meio da norma, considerando V real.
ê Demonstrac¸a˜o. Definimos
< x, y >=
||x+ y||2 − ||x− y||2
4
.
Tal definic¸a˜o e´ um produto interno pois
• Positividade . Sendo x 6= 0
< x, x >=
4||x||2
4
= ||x||2
que se anula ⇔ x = 0 por propriedade de norma.
• Simetria
< y, x >=
||x+ y||2 − ||y− x||2
4
=
||y+ x||2 − ||(−1)(x− y)||2
4
=
=
||y+ x||2 − |(−1)| ||(x− y)||2
4
=
||y+ x||2 − ||(x− y)||2
4
=< x, y > .
•
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 37
b Propriedade 47 (Identidade de polarizac¸a˜o caso real.). Se V e´ um espac¸o
vetorial real munido de produto interno vale que
4 < u, v >= ||u+ v||2 − ||u− v||2.
ê Demonstrac¸a˜o.
||u+ v||2 + ||u− v||2 =< u+ v, u+ v > − < u− v, u− v >=
=< u,u > +2 < v, u > + < v, v > − < u,u > +2 < u, v > − < v, v >= 4 < u, v > .
b Propriedade 48. Se V e´ um espac¸o vetorial complexo munido de produto
interno vale que
4Re < u, iv >= ||u+ iv||2 − ||u− iv||2.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que
< u+ iv, u+ iv >=< u,u > + < u, iv > +< u, iv >+ < v, v >
< u− iv, u− iv >=< u,u > − < u, iv > −< u, iv >+ < v, v >
logo a diferenc¸a fornece
2(< u, iv > +< u, iv >) = 2(2Re < u, iv >) = 4Re < u, iv > .
b Propriedade 49 (Identidade de polarizac¸a˜o caso complexo). Em espac¸os
complexos vale
4 < u, v >= ||u+ v||2 + ||u− v||2 + i||u+ iv||2 − ||u− iv||2.
ê Demonstrac¸a˜o.
Usamos que
< u, v >= Re < u, v > +iRe < u, iv >
4 < u, v >= 4Re < u, v > +4iRe < u, iv >
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 38
e daı´ usando identidades ja´ provadas para cada uma das parcelas
4 < u, v >= ||u+ v||2 + ||u− v||2 + i||u+ iv||2 − ||u− iv||2.
Tal identidade tambe´m pode ser escrita como
4 < u, v >=
4∑
k=1
ik||u+ ikv||2.
m Definic¸a˜o 18 (Forma quadra´tica definida por produto interno). A forma
quadra´tica definida por um produto interno <,> em V e´ a func¸a˜o que associa
v ∈ V ao escalar ||v||2 =< v, v > .
1.3.5 Aˆngulo entre dois vetores
m Definic¸a˜o 19 (Aˆngulo entre dois vetores).
A desigualdade de Schwarz nos possibilita definir aˆngulo entre vetores na˜o nulo em
um espac¸o vetorial V munido de um produto interno, da desigualdade de Schwarz
temos
|〈v,w〉|
‖v‖ ‖w‖ ≤ 1
de onde temos se 〈v,w〉 < 0
−〈v,w〉
‖v‖ ‖w‖ ≤ 1
〈v,w〉
‖v‖ ‖w‖ ≥ −1
e se 〈v,w〉 > 0
〈v,w〉
‖v‖ ‖w‖ ≤ 1
logo
−1 ≤ 〈v,w〉‖v‖ ‖w‖ ≤ 1
portanto existe nu´mero real α em [0, pi] tal que
cos(α) =
〈v,w〉
‖v‖ ‖w‖ .
Tal nu´mero α sera´ chamado aˆngulo entre dois vetores u e v .
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 39
b Propriedade 50. Se v⊥w, temos 〈v,w〉 = 0 logo cosα = 0 em [0, pi] enta˜o
α = pi/2, isto e´ , se os vetoressa˜o ortogonais enta˜o aˆngulo entre eles e´ de pi/2.
m Definic¸a˜o 20 (Base ortonormal). Seja V um espac¸o vetorial com produto
interno. Dizemos que uma base β = {vk |k ∈ In} de V e´ ortonormal se vale
〈vk, vs〉 = δ(k,s)
∀ k, s ∈ In.
$ Corola´rio 11. Os coeficientes de fourier de w um vetor de v na base β =
{vk |k ∈ In} sa˜o dados por
xs =
〈w, vs〉
〈vs, vs〉 = 〈w, vs〉.
1.4 Normas me´trica
b Propriedade 51. Todo espac¸o vetorial normado (V, ‖ ‖) e´ um espac¸o me´trico
com a me´trica d(x, y) = ‖x− y‖ com x, y ∈ V.
ê Demonstrac¸a˜o. Vale a positividade pois d(x, y) = ‖x− y‖ = 0 ⇔ x− y = O,
x = y e vale tambe´m d(x, y) = ‖x− y‖ ≥ 0.
Vale a simetria pois d(x, y) = ‖x−y‖ e d(y, x) = ‖y− x‖ = |− 1|‖x−y‖ = d(x, y).
Vale a desigualdade triangular
d(x, y) + d(x, z) = ‖x− y‖+ ‖− x+ z‖ ≥ ‖z− y‖ = d(z, y).
$ Corola´rio 12. Com um produto interno podemos definir uma norma e do
espac¸o vetorial normado podemos definir um espac¸o me´trico.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 40
$ Corola´rio 13. O produto interno usual do Rn e´ definido como
< u,u >=
n∑
k=1
x2k
e a norma proveniente desse produto interno e´
‖u‖ = √< u,u > =
√√√√ n∑
k=1
x2k
a me´trica fica
d(u, v) = ‖u− v‖ =
√√√√ n∑
k=1
(xk − yk)2
vale a desigualdade triangular
‖x− y‖+ ‖x− z‖ ≥ ‖z− y‖
logo
d(x, y) + d(x, z) =
√√√√ n∑
k=1
(xk − yk)2 +
√√√√ n∑
k=1
(xk − zk)2 ≥
√√√√ n∑
k=1
(zk − yk)2 = d(z, y)
m Definic¸a˜o 21 (Me´trica proveniente da norma). A me´trica d(x, y) = ‖x − y‖
no espac¸o vetorial normado (V, ‖ ‖) e´ chamada de me´trica proveniente da norma.
b Propriedade 52. Seja o conjunto Rn = {(xk)nk=1, xk ∈ R} , dados os pontos
x = (xk)
n
k=1 e y = (yk)nk=1 enta˜o
d(x, y) =
√√√√ n∑
k=1
(xk − yk)2
e´ uma me´trica em Rn.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 41
ê Demonstrac¸a˜o. Vale d1 pois
d(x, y) =
√√√√ n∑
k=1
(xk − yk)
2︸ ︷︷ ︸
≥0
como soma de nu´meros positivos e´ um nu´mero positivo e para que a soma da direita
seja zero e´ necessa´rio que todas parcelas sejam zero pois caso contra´rio, se existir
uma parcela positiva a soma tambe´m sera´ positiva, daı´ concluı´mos que (xk = yk)n1
implicando que x = y. Vale a propriedade de simetria pois
d(x, y) =
√√√√ n∑
k=1
(xk − yk)2 =
√√√√ n∑
k=1
(−1)2(yk − xk)2 =
√√√√ n∑
k=1
(yk − xk)2 = d(y, x).
A desigualdade triangular provamos pela propriedade da norma e produto interno.
$ Corola´rio 14. (Rn, d) e´ um espac¸o me´trico.
m Definic¸a˜o 22 (Espac¸o Euclidiano). O conjunto Rn com a me´trica
d(x, y) =
√√√√ n∑
k=1
(xk − yk)2
e´ chamado de espac¸o Euclidiano.
m Definic¸a˜o 23 (Normas equivalentes). Duas normas ||; ‖|1 e ||; ‖|2 sa˜o equiva-
lentes se existem constantes c1 e c2 tais que vale
c1||x‖|1 ≤ ||; ‖|2 ≤ c2||x‖|2
b Propriedade 53 (Desigualdade de me´tricas em Rn.). Para quaisquer elemen-
tos x, y ∈ Rn vale
d1(x, y) ≤ d(x, y) ≤ d2(x, y) ≤ nd1(x, y)
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 42
onde
d1(x, y) = max{|xk − yk|, k ∈ In|}
d2(x, y) =
n∑
k=1
|xk − yk|
e
d(x, y) =
√√√√ n∑
k=1
(xk − yk)2.
ê Demonstrac¸a˜o. Primeiro vamos mostrar que d1(x, y) ≤ d(x, y). Como o
conjunto {|xk−yk|, k ∈ In|} e´ finito, existe s ∈ In tal que d1(x, y) = |xs−ys| e na outra
me´trica
d(x, y) =
√√√√ s−1∑
k=1
(xk − yk)2 + (xs − ys)2 +
n∑
k=s+1
(xk − yk)2
daı´ segue a desigualdade.
A u´ltima desigualdade, temos que |xk − yk| ≤ |xs − ys| para todo k ∈ In, tomando
a soma
n∑
k=1
segue
n∑
k=1
|xk − yk| ≤
n∑
k=1
|xs − ys| = n|xs − ys|.
A desigualdade do meio√√√√ n∑
k=1
(xk − yk)2 ≤
n∑
k=1
|xk − yk|
temos
(
n∑
k=1
|xk−yk|)
2 =
n∑
k=1
|xk−yk|
n∑
k=1
|xk−yk| =
n∑
k=1
|xk−yk|
n∑
l=1
|xl−yl| =
n∑
k=1
n∑
l=1
|xl−yl||xk−yk|
=
∑
(k,l)∈In×In
|xk − yk||xl − yl| =
n∑
k=1
(xk − yk)
2 +
∑
(k,l)∈In×In,k 6=l
|xk − yk||xl − yl|
logo
n∑
k=1
(xk − yk)
2 < (
n∑
k=1
|xk − yk|)
2.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 43
1.5 Processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schimdt
F Teorema 2 (de Gram-Schmidt). Seja V espac¸o vetorial de dimensa˜o finita,
munido de um produto interno < , >. Dada uma base (vk)n1 de V , definindo
Vk = S(vs)
k
1 ∀ k ∈ In enta˜o existe um conjunto ortonormal (wk)n1 de V tal que
Vk = S(ws)
k
1 , ∀ k ∈ In. Em particular (wk)n1 e´ uma base ortonormal de V .
A partir de uma base qualquer de um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita e´ possı´vel
achar uma base ortonormal usando o processo de diagonalizac¸a˜o de Gram-Schimdt.
A partir de uma base (vk)n1 podemos achar uma base ortogonal (uk)n1 , os elementos
da base ortogonal sa˜o dadas por
us = vs −
s−1∑
k=1
〈vs, uk〉
〈uk, uk〉uk = vs −
s−1∑
k=1
Pruk(vs)
e os elementos dessa base podem ser normalizados, chegamos enta˜o numa base
ortonormal.
ê Demonstrac¸a˜o. Vamos criar um conjunto ortogonal que satisfaz o teorema,
daı´ para obter um conjunto ortonormal como pedido basta dividir cada vetor por sua
norma. Seja (vk)n1 base de V , tomamos u1 = v1, definimos enta˜o V1 = S(u1) = S(v1).
Tomamos u2 = v2−Pru1(v2) = v2−
< v2, u1 >
< u1, u1 >
u1 que e´ ortogonal a u1 pelo que ja´ vimos,
portanto (u1, u2) e´ ortogonal, temos que S(u1, u2) = S(v1, v2) pois v1, v2 ∈ S(u1, u2).
Iteramos o procedimento de construc¸a˜o, tomando
us+1 = vs+1 −
s∑
k=1
Prus(vs+1),
aplicando <,uj > na soma acima concluı´mos que < us+1, uj >=< vs+1, uj > −
< vs+1, uj >
< uj, uj >
<
uj, uj >= 0 pois
Pruk(vs+1) =
< vs+1, uk >
< uk, uk >
uk
e < Pruk(vs+1), uj >= 0 se j 6= k por construc¸a˜o, logo as outras projec¸o˜es se anulam
quando aplicamos <,uj > na soma.
Agora Vs+1 = S(vk)s+11 , S = S(uk)s+11 , como vs+1 ∈ S(uk)s+11 ⇒ Vs+1 ⊂ S(uk)s+11 , mas
dimVs+1 = s+ 1 ≥ dimS(uk)s+11 ⇒ Vs+1 = S(uk)s+11 e terminamos.
Enta˜o podemos construir uma base ortogonal com o processo recursivo
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 44
um+1 = vm+1 −
m∑
k=1
〈vm+1, uk〉
〈uk, uk〉 uk.
Z Exemplo 7. Tome W ⊂ C[x] o subespac¸o dos polinoˆmios de grau ate´ 2
com o produto interno dado pela integral < f, g >=
∫ 1
0
f(t)g(t)dt. Determine o
complemento ortogonal em W dos polinoˆmios constantes e aplique o processo de
ortogonalizac¸a˜o a` base v1 = 1, v2 = x, v3 = x2 de W.
Para o complemento ortogonal
< c, f >= 0 =
∫ 1
0
c(a2x
2 + a1x+ a0)dx = c(
a2
3
+
a1
2
+ a0)
logo (a2
3
+
a1
2
+ a0) = 0 e´ o complemento ortogonal e´
{a2x
2 + a1x+ a0 |
a2
3
+
a1
2
+ a0 = 0}.
Vamos agora encontrar uma base ortogonal {u1, u2, u2}, tomamos u1 = 1 daı´
u2 = v2 −
< v2, u1 >
< u1, u1 >
u1
< u1, u1 >=
∫ 1
0
1dx = 1, < v2, u1 >=
∫ 1
0
xdx =
1
2
logo u2 = x −
1
2
, agora calculamos
u3
u2 = v3 −
< v3, u1 >
< u1, u1 >
u1 −
< v3, u2 >
< u2, u2 >
u2
< u2, u2 >=
∫ 1
0
(x −
1
2
)2dx =
1
12
, < v3, u1 >=
∫ 1
0
x2dx =
1
3
, < v3, u2 >=
∫ 1
0
x2(x −
1
2
)dx =
1
12
, usando esses resultado chegamos em
u3 = x
2 − x+
1
6
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 45
faltando normalizar, temos ||u3|| =
√
< u3, u3 > =
√∫ 1
0
(x2 − x+
1
6
)2dx =
1
6
√
5
,
logo a base ortonormal e´
{1, (x− 1
2
)2
√
3, (x2 − x+ 1
6
)6
√
5}
m Definic¸a˜o 24 (Dimensa˜o alge´brica e dimensa˜o geome´trica). A dimensa˜o
alge´brica DA(V) de um espac¸o vetorial V de dimensa˜o finita e´ o nu´mero de ele-
mentos de sua base. A dimensa˜o geome´trica DG(V) e´ o nu´mero ma´ximo de
elementos na˜o nulos ortogonais. Sabemos que temos esse ma´ximo pois tal con-
junto e´ sempre linearmente independente enta˜o a dimensa˜o geome´trica e´ menor ou
igual a dimensa˜o alge´brica. DG(V) da´ o nu´mero ma´ximode direc¸o˜es mutuamente
ortogonais em V .
$ Corola´rio 15. O processo de ortogonalizac¸a˜o garante que DA(V) = DG(V) em
V de dimensa˜o finita.
$ Corola´rio 16. Para uma base ortogonal a matriz de Gram e´ diagonal e para
uma base ortonormal a matriz de Gram e´ a matriz identidade.
$ Corola´rio 17. o processo de ortogonalizac¸a˜o de Gram=Schmidt pode ser usado
para testar independeˆncia linear.
m Definic¸a˜o 25. Sejam U < V subespac¸o vetorial e (uk)r1 uma base ortonormal
de U. Dado v ∈ V definimos
PrU(v) =
r∑
k=1
< v, uk > uk
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 46
chamada de projec¸a˜o ortogonal de v sobre U.
b Propriedade 54. Vale que
< v− PrU(v), uj >= 0
nas condic¸o˜es da definic¸a˜o anterior .
ê Demonstrac¸a˜o.
< v−
r∑
k=1
< v, uk > uk, uk >=< v− < v, uj > uj, uj >=< v, uj > − < v, uj > < uj, uj >︸ ︷︷ ︸
1
= 0.
em particular v− PrU(v) e´ ortogonal a todo vetor de U.
b Propriedade 55. A definic¸a˜o de PrU(v) independe da escolha da base orto-
normal.
ê Demonstrac¸a˜o.
b Propriedade 56. PrU : V → U , PrU e´ uma projec¸a˜o, isto e´, Pr2U = PrU.
ê Demonstrac¸a˜o. Sabemos que PrU(v) =
r∑
k=1
< v, uk > uk
PrU(v)
2 =
r∑
t=1
< PrU(v), ut > ut =
=
r∑
t=1
<
r∑
k=1
< v, uk > uk, ut > ut =
r∑
t=1
r∑
k=1
< v, uk >< uk, ut > ut =
r∑
t=1
< v, ut > ut = PrU(v)
como querı´amos mostrar.
m Definic¸a˜o 26 (Melhor aproximac¸a˜o). Uma melhor aproximac¸a˜o de u por
vetores de um conjunto W e´ um vetor v ∈W tal que
||u− v|| ≤ ||u−w||
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 47
∀ w ∈W.
1.6 Complemento ortogonal
m Definic¸a˜o 27 (Complemento ortogonal). Sejam V um espac¸o vetorial munido
de um produto interno 〈, 〉 e um subconjunto na˜o vazio S de V , seja o subconjunto
de V
S⊥ = {v ∈ V | v⊥w ∀w ∈ S},
isto e´, o conjunto de vetores de V que sa˜o ortogonais a todos vetores de S.
b Propriedade 57. Seja X ⊂ V enta˜o
• 0 ∈ X⊥.
• Reverte inclusa˜o. Se X ⊂ Y enta˜o Y⊥ ⊂ X⊥.
• X ∩ X⊥ = {0}, sendo 0 ∈ X.
• X⊥ = S(X)⊥, X subespac¸o deV .
ê Demonstrac¸a˜o.
• 0 ∈ X⊥ pois < 0, x >= 0 ∀ x ∈ X.
• Seja y ′ ∈ Y⊥ e x ∈ X
< y ′, x︸︷︷︸
∈y
>= 0
logo y ′ ∈ X⊥.
• Sabemos que 0 ∈ X ∩ X⊥, sendo outro v na intersec¸a˜o temos v ∈ X e v ∈ X⊥
logo < v, v >= 0 o que implica v = 0.
• X ⊂ S(X) logo S(X)⊥ ⊂ X⊥. Falta a outra inclusa˜o, seja x ∈ X⊥
< x,
n∑
k=1
akxk >=
n∑
k=1
ak < x, xk >= 0
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 48
logo x ∈ S(X)⊥ o que prova a igualdade.
b Propriedade 58. S⊥ e´ subespac¸o de V .
ê Demonstrac¸a˜o. θ esta´ contido em S⊥ pois 0⊥w para qualquer w de S.
Temos tambe´m que se u e w ∈ S⊥ temos u⊥w, v⊥w para todo w em S, isso implica
au+ bw⊥w pela propriedade ja´ demonstrada de ortogonalidade, segue enta˜o que S⊥
e´ subespac¸o vetorial de V .
b Propriedade 59. Se S e´ subespac¸o de V dimensa˜o finita enta˜o V = U⊕U⊥.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja (uk)r1 base ortonormal de U. Complete esta base a uma
base (uk)r1, (wk)s1 de V . Aplicando Gram-Schimidt a esta base, obtemos uma base
ortonormal (vk)n1 de V tal que S(vk)r1 = U. Definimos W = S(vk)nr+1 por propriedade
de bases ortonormais temos que
W ⊂ U⊥ ⇒ V = U+W ⊂ U+U⊥
de outro lado, se u ∈ U∩U⊥, logo ∀ v ∈ V temos v = u1+u2 com u1 ∈ U, u2 ∈ U⊥
< u, v >=< u,u1 + u2 >=< u,u1 > + < u,u2 >= 0⇒ u ∈ V⊥ = {0}
logo a soma e´ direta e temos o desejado.
b Propriedade 60. Se V tem dimensa˜o finita e U < V enta˜o (U⊥)⊥ = U.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja X ⊂ V conjunto, X⊥ = {v ∈ V, < v, x >= 0, ∀ x ∈ X}.
∀ x ∈ X temos < x, v >= 0 ∀ v ∈ X⊥ logo X ⊂ (X⊥)⊥.
Se X = U < V enta˜o U ⊂ (U⊥)⊥ e
dim(U⊥)⊥ = dimV − dim(U⊥) = dimV − (dimV − dimU) = dimU
portanto (U⊥)⊥ = U por causa da dimensa˜o.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 49
b Propriedade 61. Seja u ∈ V . < u,u >= 0∀ v ∈ V ⇔ u = 0 . O que pode ser
colocado como V⊥ = {0}.
ê Demonstrac¸a˜o.⇐). Se u = 0 a propriedade vale.⇒).
< u, v >= 0 ∀ v ∈ V. Tomando v = u temos < u,u >= 0 logo devemos ter u = 0
por definic¸a˜o de produto interno .
b Propriedade 62. Para todo conjunto na˜o vazio X ⊂ V (na˜o precisa ser
subespac¸o) num espac¸o vetorial munido de produto interno, vale que X⊥⊥ = S(X).
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que X⊥ = S(X)⊥ , S(X) e S(X)⊥ sa˜o subespac¸os de V
enta˜o vale S(X)⊥⊥ = S(X) portanto de X⊥ = S(X)⊥ segue
X⊥ = S(X)⊥⊥ = S(X).
b Propriedade 63. Sejam F1, F2 subespac¸os de V munido de produto interno,
enta˜o
• (F1 + F2)⊥ = F⊥1 ∩ F⊥2
• (F1 ∩ F2)⊥ = F⊥1 + F⊥2 .
ê Demonstrac¸a˜o.
• Vamos provar duas incluso˜es de conjuntos . (F1 + F2)⊥ ⊂ F⊥1 ∩ F⊥2 . Seja v ∈
(F1+F2)
⊥, V e´ ortogonal aos vetores de F1+F2 e daı´ e´ ortogonal a todos vetores
de F1 e F2 isso implica que v ∈ F⊥1 ∩ F⊥2 .
A segunda inclusa˜o . Seja v ∈ F⊥1 ∩ F⊥2 , v e´ ortogonal a todos os vetores de F1 e
de F2 daı´ a todos de F1 + F2, por propriedade de soa logo v ∈ (F1 + F2)⊥ e fica
provada a igualdade.
• Tomando F1 = G⊥1 e F2 = G⊥2 enta˜o (G⊥1 +G⊥2 )⊥ = G1 ∩G2 como sa˜o subespac¸os
podemos tomar o ortogonal
(G1 ∩G2)⊥ = G⊥1 +G⊥2 .
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 50
1.7 Representac¸a˜o do produto interno em espac¸os du-
ais
m Definic¸a˜o 28. Sendo V um espac¸o vetorial real ou complexo, V∗ o espac¸o
dual de V , isto e´, espac¸o das transformac¸o˜es lineares de V em K. Podemos definir
fv : V → K, com v fixo em V , fv(w) =< w, v > .
b Propriedade 64. Vale que fv ∈ V∗.
ê Demonstrac¸a˜o.
fv(cw+ u) =< cw+ u, v >= c < w,u > + < u, v >= cfv(w) + fv(u).
m Definic¸a˜o 29. Definimos a func¸a˜o α : V → V∗ com α(v) = fv
b Propriedade 65. Valem as propriedades
1. fv+v ′ = fv + f ′v, isto e´, α(v+ v ′) = α(v) + α(v ′)
2. fcv = cfv, α(cv) = cα(v).
3. fv = 0⇔ v = 0 , α se anula apenas no vetor nulo .
ê Demonstrac¸a˜o.
1. fv+v ′(w) =< w, v+ v ′ >=< w, v > + < w, v ′ >= (fv + f ′v)(w).
2. fcv(w) =< w, cv >= c < w, v >= cfv(w).
3. Se fv e´ nula enta˜o em especial fv(v) = 0 ⇒< v, v >= 0 enta˜o v = 0 . Se v = 0
enta˜o fv(w) =< w, 0︸︷︷︸
v
>= 0 logo fv e´ nula .
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 51
b Propriedade 66. α : V → V∗ e´ injetiva e linear caso V seja espac¸o real.
ê Demonstrac¸a˜o. Ela e´ linear pelas propriedades que ja´ demonstramos, ale´m
disso o nu´cleo so´ possui o vetor nulo, enta˜o e´ injetora. Como V e V∗ possuem a
mesma dimensa˜o enta˜o α e´ um isomorfismo .
b Propriedade 67. Seja V de dimensa˜o finita (real ou complexo) sobre K ou
C, a func¸a˜o α : V → V∗ com α(v) = fv e´ um anti-isomorfismo, ale´m disso, α leva
uma base ortonormal de V na sua base dual.
ê Demonstrac¸a˜o. Tome B = (vk)n1 base ortonormal de V , tomando fk =<, vk >
temos
fk(vj) =< vj, vk >= δj,k
pois B e´ ortonormal . (ver com mais detalhes) .
$ Corola´rio 18. A todo funcional funcional linear f : V → K corresponde um
u´nico vetor v = vf ∈ V tal que < w, v >= f(w), pois a todo funcional linear
associamos um escalar.
m Definic¸a˜o 30 (Adjunta). Dada uma transformac¸a˜o linear T : V →W defini-
mos T ∗ :W → V com T ∗(w) = vw onde
< T(v), w >w=< v, vw >v,
isto e´, < T(v), w >w=< v, T ∗(w) >v . T ∗ e´ dita ser a adjunta de T .
Cada f(v) =< T(v), w >w e´ um funcional linear de W → K logo existe um
u´nico vw ∈ V tal que f(v) =< T(v), w >w=< v, vw >v.
m Definic¸a˜o 31. Uma transformac¸a˜o T : V → W entre dois espac¸os reais ou
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 52
complexos e´ dita ser anti-linear se
T(λw+w ′) = λT(w) + T(w ′).
b Propriedade 68. T ∗ e´ linear .
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que
< v, T ∗(λw+w ′) >v=< T(v), λw+w ′ >w= λ < T(v), w >w + < T(v), w ′ >w=
= λ < v, T ∗(w) >v + < v, T ∗(w ′) >v=< v, λT ∗(w) + T ∗(w ′) >v
isso significa que
< v, T ∗(λw+w ′) >v=< v, λT ∗(w) + T ∗(w ′) >v ∀ v ∈ V
isso implica que T ∗(λw+w ′) = λT ∗(w) + T ∗(w ′).
b Propriedade69. Existe uma u´nica transformac¸a˜o linear T ∗W → V com
< T(v), w >w=< v, T
∗(w) >v ∀ v ∈ V,w ∈W.
ê Demonstrac¸a˜o. A existeˆncia ja´ provamos ( deixar isso mais claro ), agora ire-
mos provar a unicidade. Sejam (vk)m1 base ortonormal de V e (wk)n1 base ortonormal
de W. Seja A = [T ] ∈Mm,n com respeito a essas bases, A = [ai,j]. Seja B = [T ∗], onde
T ∗ e´ tal que T ∗(w) = vw, com respeito a essas bases B ∈Mn,m, dado v =
m∑
k=1
αkvk ∈ V
temos
< v, vk >= αk
analogamente w =
n∑
j=1
Bjvj ∈W temos
< w,wj >= Bj,
existem Bk,j tais que
T ∗(wj) =
m∑
k=1
Bk,jvk ⇒
< T ∗(wj), vt >= Bk,t
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 53
logo
Bk,t =< T
∗(wj), vt >= < vt, T ∗(wj) > = < T(vt), wj >
com T(vt) =
n∑
j=1
aj,twj portanto
= aj,t ⇒ B = AT .
Logo por A, matriz do operador T ser bem determinada.
m Definic¸a˜o 32 (Adjunta). Dada a matriz A, definimos a adjunta de A por
A∗ := AT .
$ Corola´rio 19. Dadas as bases ortonormais de V e W enta˜o se A e´ a matriz
de T : V → W nestas bases, segue que A∗ e´ a matriz de T ∗ nestas bases, pois
mostramos que B = [T ] satisfaz
B = (AT).
b Propriedade 70. Uma transformac¸a˜o linear e sua adjunta possuem o mesmo
posto.
ê Demonstrac¸a˜o.
O posto linha e posto coluna de operadores sa˜o iguais, enta˜o o posto na˜o muda
quando tomamos uma transposic¸a˜o .
Se os vetores coluna de A linearmente independentes sa˜o (vk)n1 ⇔ os vetores
coluna de A , (vk)n1 sa˜o linearmente independentes .⇒). Supondo (vk)n1 LI
n∑
k=1
ckvk = 0⇒ n∑
k=1
ckvk = 0
e daı´ cada ck = 0 e (vk)n1 e´ LI.⇐). Supondo (vk)n1 LI
n∑
k=1
ckvk = 0⇒ n∑
k=1
ckvk = 0
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 54
logo cada ck = 0 e (vk)n1 e´ LI.
o posto na˜o muda quando tomamos conjugac¸a˜o, enta˜o uma matriz e sua adjunta
possuem o mesmo posto.
1.7.1 Produto interno de matrizes
m Definic¸a˜o 33 (Produto interno de matrizes). Seja V = Mn×n(K) espac¸o de
todas as matrizes n × n com entradas em K (complexo ou real). V e´ isomorfo a
Kn
2 , logo dadas duas matrizes A = (ai,j) , B = (bi,j), podemos definir o produto
interno de matrizes como
< A,B >=
n∑
k=1
n∑
j=1
aj,kbj,k.
b Propriedade 71. Sejam A,B ∈Mn,n(K) onde K e´ um corpo qualquer enta˜o
Tr(AB) = Tr(BA).
ê Demonstrac¸a˜o.
Tr(AB) =
n∑
j=1
(AB)j,j =
n∑
j=1
cj,j
lembrando que um termo da matriz produto e´ da forma
ci,j =
n∑
k=1
ai,kbk,j
com i = j temos
cj,j =
n∑
k=1
aj,kbk,j
portanto
Tr(AB) =
n∑
j=1
(AB)j,j =
n∑
j=1
n∑
k=1
aj,kbk,j.
Tr(BA) =
n∑
k=1
(BA)k,k =
n∑
k=1
dk,k
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 55
onde
dk,k =
n∑
j=1
bk,jaj,k
daı´
Tr(BA) =
n∑
k=1
(BA)k,k =
n∑
k=1
n∑
j=1
bk,jaj,k
que e´ igual a Tr(AB), basta trocar a ordem das somas e dos produtos.
b Propriedade 72. Sendo A e B matrizes em V =Mn×n(K) vale que
< A,B >= tr(AB∗) = tr(B∗A).
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que
tr(AB∗) =
n∑
j=1
(AB∗)j,j
onde (AB∗)j,j esta´ sendo usado para simbolizar o elemento cj,j de entrada (j, j) da
matriz AB∗
cj,j =
n∑
k=1
aj,kbj,k
logo
tr(AB∗) =
n∑
j=1
n∑
k=1
aj,kbj,k =< A,B > .
o mesmo para tr(B∗A) .
Lembrando a definic¸a˜o de produto de matrizes
cs,j =
n∑
k=1
as,kbk,j
e´ o elemento na entra (s, j) da matriz AB.
$ Corola´rio 20. Sejam V =Mn×n(K), (Ei,j)i,j∈In a base canoˆnica de V , onde Ei,j
possui todos seus elementos nulos exceto aquele na linha i e coluna j enta˜o essa
base e´ ortogonal ao produto interno de matrizes pois temos associac¸a˜o direta a
base canoˆnica de Kn2 que e´ ortonormal.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 56
$ Corola´rio 21. Se A e´ uma matriz complexa enta˜o Tr(A∗A) = 0⇔ A = 0 pois
< A,A = Tr(A∗A) = Tr(AA∗)
segue de propriedade de produto interno .
b Propriedade 73. Se V e´ o conjunto das matrizes n × n complexas munido
de produto interno < A,B >= Tr(B∗A) enta˜o o complemento ortogonal em V das
matrizes diagonais A = (ai,j) e´ o conjunto das matrizes B = (bi,j), que possuem
elementos na diagonal tais que
n∑
k=1
ak,kbk,k = 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Basta pensar o produto interno em Cn2 , os elementos fora
da diagonal da primeira matriz sa˜o nulos o que da´ a forma citada.
Z Exemplo 8. Sendo Fn×1 espac¸o das matrizes coluna n × 1 sobre F e seja Q
uma matriz inversı´vel n× n sobre F, para X, Y em Fn×1 definimos
< X, Y >= Y∗Q∗QX
e´ um produto interno, pois e´ como Q e´ inversı´vel e´ injetivo e pelo que ja´ vimos
< Q(Y), Q(X) >= Tr((QY)∗QX) = tr(Y∗Q∗QX) = Y∗Q∗QX
e´ um produto interno e vale tr(Y∗Q∗QX) = Y∗Q∗QX pois Y∗Q∗QX e´ produto de
matrizes 1×n, n×n, n×n com n× 1 que da´ uma matriz 1× 1 que e´ um elemento
no corpo, enta˜o podemos suprimir o trac¸o .
Z Exemplo 9. No espac¸o vetorial das func¸o˜es contı´nuas sobre I = [0, 1] o
operador T com T(f)(t) = tf(t) e´ injetor pois se
tf(t) = 0
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 57
para t > 0 enta˜o f(t) = 0 e por continuidade f(0) = 0, logo
< Tf, Tg >=
∫ 1
0
Tf(t)Tg(t)dt =
∫ 1
0
f(t)g(t)t2dt
e´ um produto interno.
b Propriedade 74. Se A,B matrizes de Mm,n(K), logo
1. (A+ B)∗ = A∗ + B∗.
2. (λA)∗ = λA∗.
3. (A∗)∗ = A.
4. Se m = n enta˜o
I∗ = I, (AB)∗ = B∗A∗.
ê Demonstrac¸a˜o.
1. (A+ B)∗ = (A+ B)T = AT + BT = A∗ + B∗.
2. (λA)∗ = (λAT) = λAT = λA∗.
3. (A∗)∗ = (A∗)T = AT
T
= (A
T
)T = (A) = A.
4. I∗ = (IT) = I = I. (AB)∗ = (AB)T = BTAT = BT AT = B∗A∗. (provar que
AB = A B.
b Propriedade 75. Se A,B : E→ E comutam enta˜o A∗ e B∗ comutam.
ê Demonstrac¸a˜o. Vale que AB = BA tomando a adjunta tem-se
B∗A∗ = A∗B∗
logo comutam.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 58
b Propriedade 76. Sejam A,B : E → E operadores lineares, dimE = n, se
B∗A = 0 enta˜o ∀ v ∈ E, A(v) e B(v) sa˜o perpendiculares, se A∗A = 0 enta˜o A = 0.
ê Demonstrac¸a˜o. Dado v ∈ E qualquer temos que
< B∗A(v), v >= 0 =< A(v), B(v) >
logo A(v) e B(v) sa˜o perpendiculares. Caso A∗A = 0 enta˜o
< A∗A(v), v >= 0 =< A(v), A(v) >⇒ A(v) = 0
enta˜o A e´ o operador nulo em E.
b Propriedade 77. Se A e´ injetiva enta˜o A∗ e´ sobrejetiva, se A e´ sobrejetiva
enta˜o A∗ e´ injetiva . A adjunta de um isomorfismo e´ um isomorfismo.
ê Demonstrac¸a˜o. Se A : E → F e´ injetiva enta˜o existe B : F → E tal que
BA = IE tomando a adjunta tem-se A∗B∗ = IE logo A∗ possui inversa a direita e por
isso e´ sobrejetiva. Se A e´ sobrejetiva enta˜o possui uma inversa a direita B tal que
AB = IE tomando a adjunta temos B∗A∗ = IE, A∗ possui inversa a` esquerda enta˜o
e´ injetiva. Se A e´ isomorfismo enta˜o e´ injetiva e sobrejetiva e daı´ A∗ e´ sobrejetiva
e injetiva e daı´ isomorfismo. Por propriedade de conjugac¸a˜o e transposta temos que
(A∗)−1 = (A−1)∗.
b Propriedade 78. Sejam V,W espac¸os vetoriais de dimensa˜o finita e T : V →
W linear logo
N(T) = (Im(T ∗))⊥.
(Aqui usamos definic¸a˜o de complemento ortogonal)
ê Demonstrac¸a˜o. Dados v ∈ N(T) e u ∈ Im(T ∗) devemos provar que < v, u >=
0 de fato
< v, u >=< v, T ∗w >=< Tv,w >=< 0, w >= 0
logo N(T) ⊂ Im(T ∗)⊥, por outro lado v ∈ (Im(T ∗))⊥ ⇒
0 =< v, T ∗w > ∀ w ∈W ⇒ 0 =< Tv,w > ∀ w ∈W ⇒ Tv ∈W⊥ ⇒ T(v) = 0
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 59
v ∈ N(T) ⇒ [Im(T ∗)]⊥ ⊂ N(T) logo segue a igualdade dos conjuntos pois temos as
duas incluso˜es.
$ Corola´rio 22. N(T ∗) = (Im[(T ∗)∗])⊥ = [Im(T)]⊥. Logo
N(T ∗) = [Im(T)]⊥.
Faremos analogia entre os complexos C e L(V) .
C L(V)
z T
z1 + z2 T1 + T2
z T ∗
z1z2 < T1, T2 >
Temos as propriedades
• z = z, (T ∗)∗ = T. Em C os reais sa˜o caracterizados como os complexos z ∈ C
tais que z = z.
m Definic¸a˜o 34 (Operador auto-adjunto). Um T ∈ L(v) e´ dito auto-adjunto se
T ∗ = T . Se V e´ complexo dizemos que T e´ hermitiano, se Ve´ real dizemos que T
e´ sime´trico.
Em C os imagina´rios puros ( elementos da forma bi com b ∈ R) sa˜o caracterizados
como os complexos z ∈ C tais que z = −z.
m Definic¸a˜o 35 (Operador anti-auto-adjunto). T ∈ L(v) e´ dito anti-auto-adjunto
se T ∗ = −T . Em especial se V e´ complexo dizemos que T e´ anti-hermitiano, se V
e´ real que T e´ anti-sime´trico.
b Propriedade 79. Se T e´ anti-hermitiano enta˜o se possui autovalor seu
autovalor e´ da forma λ = bi onde b ∈ R.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 60
ê Demonstrac¸a˜o. Seja λ um autovalor enta˜o
λ < v, v >=< λv, v >=< T(v), v >=< v, T ∗(v) >=< v,−T(v) >= −λ < v, v >
logo (λ+λ) < v, v >= 0 com v na˜o nulo temos que ter λ+λ = 0, λ = a+bi, λ = a−bi
logo a soma e´ 2a = 0, a = 0 e o autovalor e´ da forma λ = bi, b ∈ R.
Z Exemplo 10. Seja A ∈ M2×2(R) sime´trica , enta˜o A e´ diagonaliza´vel. Por
ser sime´trica ela assume a forma
A =
 a −c
−c b

logo seu polinoˆmio caracterı´stico e´
PT(x) = det
 x− a −c
−c x− b
 = x2 − (b+ a)x+ ab− c2
que possui discriminante ∆ = (b−a)2+4c2 (depois de simplificado), que e´ sempre
na˜o negativo, sendo nulo apenas quando a = b = c = 0 o que implicaria a matriz
ser nula logo trivialmente diagonaliza´vel, caso contra´rio temos dois autovalores
distintos e por isso o operador e´ diagonaliza´vel como operador de R2 → R2 pois
possui dimensa˜o 2, enta˜o a matriz e´ diagonaliza´vel.
Z Exemplo 11. Seja A ∈M2×2(C) tal que A2 = 0 enta˜o A = 0 ou e´ semelhante
a matriz  0 1
0 0
 .
Vamos pensar A como operador , temos que A sendo operador sobre os com-
plexos, sempre possui autovalor como A2 = 0 tem-se para v = v1 autovetor
A2(v) = A(λv) = λA(v) = λ2v⇒ λ = 0
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 61
pois v 6= 0, temos que dimW0 = 1 ou 2, se for 2 vale A = 0 se for 1 existe v2 tal
que A(v2) 6= 0, v1, v2 sa˜o LI pois
c1v1 + c2v2 = 0⇒ c2A(v2) = 0⇒ c2 = 0
onde aplicamos A, isso implica c1v1 = 0 ⇒ c1 = 0 daı´ v1, v2 sa˜o LI em espac¸o de
dimensa˜o 2 formam base.
Vale que
A(v2) = t1v1 + t2v2 ⇒ A2(v2) = t2A(v2) = 0⇒ t2 = 0
por isso A(v2) = t1v1 com t1 6= 0, por isso podemos tomar a base v1, v2
t1
em que A
e´ representada por  0 1
0 0
 .
b Propriedade 80. S e´ auto-adjunto e anti-auto-adjunto ⇔ S = 0 .
ê Demonstrac¸a˜o.⇒). Temos que −S = S∗ = S⇒ 2S = 0 em caracterı´stica diferente de 2 segue que
S = 0.⇐). O operador nulo e´ auto-adjunto e anti-auto-adjunto pois
O∗ = 0T = 0 = −0.
b Propriedade 81. Se A e B sa˜o auto-adjuntas, c ∈ R enta˜o cA + B e´ auto-
adjunta , o mesmo para anti-auto-adjunta.
ê Demonstrac¸a˜o.
(cA+ B)∗ = cA∗ + B∗ = cA+ B
e no caso de anti-auto-adjuntas
((cA+ B)∗ = cA∗ + B∗ = −cA− B = −(cA+ B).
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 62
Em C todo z ∈ C pode ser escrito de maneira u´nica como z = a + bi, a, b ∈ R,
a =
z+ z
2
, b =
z− z
2
.
b Propriedade 82. Em um espac¸o vetorial de dimensa˜o finita, todo operador
linear pode ser escrito de maneira u´nica como soma de um operador auto-adjunto
e um anti-auto-adjunto.
ê Demonstrac¸a˜o. Podemos escrever
T =
T + T ∗
2
+
T − T ∗
2
a primeira parcela e´ auto-adjunta pois
(
T + T ∗
2
)∗ =
T ∗ + T
2
a outra parcela e´ anti-auto-adjunta pois
(
T − T ∗
2
)∗ =
T ∗ − T
2
= −
T − T ∗
2
.
Suponha que T = R1 + S1 = R2 + S2, Rk auto-adjunta e Sk anti-auto-adjunta, temos
que
R1 − R2 = S2 − S1 ⇒ R1 − R2 = S2 − S1 = 0
pois R1 − R2 e´ auto-adjunta e S2 − S1 e´ anti-auto-adjunta.
m Definic¸a˜o 36 (Matriz de Gram). Seja V com base B = (ak)n1 munido de
produto interno <,> a matriz de gram ( ou gramiana) de <,> em relac¸a˜o a` base
ordenada B e´ a matriz G = (Gk,j) , n× n dada por
Gk,j =< aj, ak >
a matriz sera´ denotada por G.
Tomamos tal definic¸a˜o tambe´m quando (ak)n1 sa˜o vetores quaisquer, na˜o apenas
formando uma base do espac¸o em questa˜o.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 63
m Definic¸a˜o 37 (Gramiano). O gramiano dos vetores (vk)r1 em V e´ definido por
g(vk)
r
1 = det(G).
I
b Propriedade 83. Seja um produto interno <,> em V com base B = (ak)n1 ,
G a matriz de Gram enta˜o
< u, v >= Y∗GX
onde Y e´ a matriz de coordenadas de v e X e´ a matriz de coordenadas de u, ambos
como vetores coluna n× 1.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja u =
n∑
k=1
xkak, v =
n∑
j=1
yjaj enta˜o
< u, v >=<
n∑
k=1
xkak,
n∑
j=1
yjaj >=
n∑
j=1
n∑
k=1
xkyj < ak, aj >= Y
∗GX
vamos mostrar com mais detalhes a u´ltima passagem, primeiro calculando Y∗G,
temos o produto de matrizes
Y =

y1
...
yn

logo Y∗ = YT , transposta conjugada
Y∗ =
(
y1 · · · yn
)
G =

< a1, a1 > < a2, a1 > · · · < an, a1 >
< a1, a2 > < a2, a2 > · · · < an, a2 >
... < a1, an > < a2, an > · · · < an, an >

o produto de 1× n por n× n da´ uma matriz 1× n, que no caso sera´ (multiplicando
a linha da primeira pelas colunas da segunda)
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 64
Y∗G =

n∑
j=1
yj < a1, aj >
...
n∑
j=1
yj < an, aj >

agora multiplicamos por X que e´ uma matriz n× 1 e resulta em um escalar
Y∗GX =

n∑
j=1
yj < a1, aj >
...
n∑
j=1
yj < an, aj >


x1
...
xn
 = n∑
j=1
xk
n∑
j=1
yj < ak, aj > .
$ Corola´rio 23. G e´ hermitiana pois temos que
G = (Gk,j) = (< aj, ak >) = (< ak, aj >)
como
G∗ = (Gj,k) = (< ak, aj >)
enta˜o segue a igualdade.
$ Corola´rio 24. Como < u,u > > 0 para u na˜o nulo enta˜o
< u,u >= X∗GX > 0
para todo X na˜o nulo , logo G deve ser inversı´vel, em especial temos que para
qualquer (xk)n1 na˜o nulos tem-se que
n∑
j=1
xk
n∑
j=1
yj < ak, aj > > 0.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 65
$ Corola´rio 25. Todo elemento da diagonal de G e´ positivo, pois e´ da forma
< ak, ak >, com ak 6= 0.
b Propriedade 84. Vale que g(vk)r1 > 0⇔ (vk)r1 sa˜o linearmente independentes.
ê Demonstrac¸a˜o.
b Propriedade 85. T ∈ L(V) e´ o operador nulo ⇔ < T(w), v >= 0, ∀ v ∈
V, ∀ w ∈ V.
ê Demonstrac¸a˜o.
Podemos tomar v = T(w) daı´
< T(w), T(w) >= 0⇒ T(w) = 0
com w arbitra´rio segue que T e´ nula.
b Propriedade 86. Seja T um operador auto-adjunto. T e´ nulo ⇔ < T(v), v >=
0 ∀ v ∈ V. (V complexo ou real.)
ê Demonstrac¸a˜o.⇒). Se T e´ nulo vale .⇐). Dados w, v ∈ V temos
0 =< T(w+v), w+v >= < T(w), w >︸ ︷︷ ︸
0
+ < T(w), v > + < T(v), w > + < T(v), w > +< T(v), v >︸ ︷︷ ︸
0
⇒
< T(v), w > + < T(v), w >= 0⇒< T(v), w > + < v, T ∗(w) >=< T(v), w > + < v, T(w) >=
=< T(v), w > +< T(w), v > = 0
isso implica que 2Re(< T(w), v >) = 0. Se V e´ real temos < T(w), v >= 0 ∀ v,w que
implica T = 0. Se V e´ complexo
0 =< T(w+iv), w+iv >=< T(w), w > + < T(w), iv > + < T(iv), w > + < T(iv), iv >⇒
0 =< T(w), iv > + < T(iv), w >= −i < T(w), v > +i < T(v), w >=
= −i < T(w), v > +i < v, T ∗(w) >= −i < T(w), v > +i < v, T(w) >=
= −i < T(w), v > +i< T(w), v > = 2Im(< Tw, v >)
logo < T(w), v >= 0 pois a parte real e imagina´ria sa˜o nulas enta˜o T = 0 .
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 66
b Propriedade 87. Sejam A,B : E → E operadores auto-adjuntos tais que
< A(v), v >=< B(v), v > ∀ v ∈ E enta˜o A = B.
ê Demonstrac¸a˜o. A− B e´ auto-adjunto e < [A− B](v), v >= ∀ v daı´ A = B.
b Propriedade 88. Seja B invertı´vel e BAB∗ auto=adjunto, enta˜o A e´ auto-
adjunto.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que
(BAB∗)∗ = BAB∗ = BA∗B∗
como B e´ invertı´vel enta˜o B∗ tambe´m e´ invertı´vel e daı´ cancelando termos temos
A = A∗.
b Propriedade 89. Seja T um operador anti-auto-adjunto. T e´ nulo ⇔ <
T(v), v >= 0 ∀ v ∈ V. V complexo , sendo falsa para V real.
ê Demonstrac¸a˜o. Se V e´ real e T antisime´trica T pode ser na˜o nulo e satisfazer
< T(v), v >= 0 ∀ v ∈ V porexemplo T : R2 → R2 onde T e´ a rotac¸a˜o de pi
2
.
$ Corola´rio 26. Como todo T e´ soma de um operador auto-adjunto e de um
operador anti-auto-adjunto, temos que se V e´ complexo, T ∈ L(V) e´ nulo ⇔
< T(v), v >= 0 ∀ v ∈ V , pois T e´ soma de um anti-auto-adjunto e auto-adjunto,
daı´ aplicamos os resultados ja´ demonstrados.
b Propriedade 90. Sejam A e B V → V operadores auto-adjuntos . AB e´
auto-adjunto ⇔ AB = BA.
ê Demonstrac¸a˜o.⇒).
(AB)∗ = B∗A∗ = BA = AB.⇐).
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 67
(AB)∗ = B∗A∗ = BA = AB.
m Definic¸a˜o 38 (Operador unita´rio). Um operador T : V → V e´ dito unita´rio
se TT ∗ = T ∗T = I, se V e´ real T e´ chamado de ortogonal .
m Definic¸a˜o 39 (Matriz unita´ria). Uma matriz A ∈Mn,n(K), onde K e´ C ou R
e´ dita unita´ria se AA∗ = A∗A = I, A e´ dita ortogonal se K = R .
b Propriedade 91. Sejam V,W espac¸os vetoriais de dimensa˜o finita, munidos
de produto interno, T : V →W linear. Sa˜o equivalentes
1. TT ∗ = I.
2. < T(u), T(v) >=< u, v >, ∀ u, v ∈ V (preserva produto interno ).
3. ||T(u)|| = ||u||, ∀ u ∈ V (preserva norma).
4. ||T(u) − T(v)|| = ||u− v|| ( preserva distaˆncia) .
5. A imagem de uma base ortonormal e´ um conjunto ortonormal.
1.7.2 Isometria e equivaleˆncias
m Definic¸a˜o 40 (Isometria). Uma transformac¸a˜o linear que satisfaz uma das
propriedades anteriores e´ dita ser uma isometria.
ê Demonstrac¸a˜o.
• 1) ⇒ 2). < T(u), T(v) >=< u, T ∗T(v) >=< u, v > por definic¸a˜o de adjunta e
hipo´tese.
• 2)⇒ 3). ||T(u)|| =√< T(u), T(u) > = √< u,u > = ||u||.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 68
• 2)⇒ 5) Seja B = (vk)n1 base ortonormal de V enta˜o < T(vj), T(vk) >=< vj, vk >=
∂j,k enta˜o (T(vk))n1 e´ ortonormal .
• 3)⇒ 4). ||T(u) − T(v)|| = ||T(u− v)|| = ||u− v||
• 4) ⇒ 3) tomando v = 0 . 3) ⇒ 1) em V complexo ou real . < T(u), T(u) >=<
u,u >=< u, T ∗T(u) > logo < u, T ∗T(u) − u >= 0 ∀ u, tomando S = T ∗T − I e´
um operador linear auto-adjunto pois (T ∗T − I)∗ = T ∗T − I, enta˜o deve ser nulo,
daı´ T ∗T = I.
•
• 5)⇒ 1). Seja B = (vk)n1 base ortonormal com (T(vk))n1 ortonormal, daı´ temos
< T(vj), T(vk) >=< vj, vk >= ∂j,k ⇒
< vj, T
∗T(vk) >=< vj, vk > ∀ k, j
logo < vj, T ∗T(vk) − vk >= 0 T ∗T(vk) − vk e´ ortogonal a todo vetor de B o que
implica T ∗T(vk) − vk = 0
b Propriedade 92. O conjunto das isometrias T : V → V formam um grupo,
denotado por (Isom(V), ◦).
ê Demonstrac¸a˜o.
1.8 Complexificac¸a˜o de espac¸os reais
b Propriedade 93. Se V e´ um espac¸o vetorial complexo, enta˜o ele e´ um espac¸o
vetorial real.
ê Demonstrac¸a˜o. Se (vk)n1 e´ uma C-Base de V enta˜o (vk)n1 , (ivk)n1 e´ uma R base
de V , pois se (ak)n1 , (bk)n1︸ ︷︷ ︸
B
reais tais que
n∑
k=1
akvk +
n∑
k=1
bkivk = 0 =
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 69
=
n∑
k=1
(ak + ibk)vk = 0
pelos vetores (vk)n1 formarem C-base de V enta˜o ak + ibk = 0 o que implica ak =
bk = 0, ∀ k logo os vetores tomados sa˜o LI sobre R. Agora vamos mostrar que geram
como R-espac¸o. Dado v ∈ V , temos
v =
n∑
k=1
λkvk
onde λk = ak + ibk por ser C espac¸o, enta˜o temos
v =
n∑
k=1
akvk +
n∑
k=1
ibkvk
portanto B e´ R base de V .
Z Exemplo 12. Uma C-base de C e´ (1), uma R-base e´ (1, i).
$ Corola´rio 27. Se dimCV = n enta˜o dimRV = 2n.
b Propriedade 94. Seja T : V → V , transformac¸a˜o linear de V sobre C, enta˜o
T e´ linear sobre R.
ê Demonstrac¸a˜o.
b Propriedade 95. Seja B = (vk)n1 , C-Base de V . M = [T ]B ∈ Mn,n(C),
M ′ = [T ]B ′ ∈M2n,2n(R). Sendo B ′ = (vk)n1 , (ivk)n1 R-base de V . Se T(vj) =
n∑
k=1
λk,jvk,
onde λk,j = ak,j + ibk,j, tomando A = (ak,j) ∈ Mn,n(R), B = (bk,j) ∈ Mn,n(R) enta˜o
temos
M ′ =
 A −B
B A
 .
ê Demonstrac¸a˜o. Tal propriedade vale pois temos
T(vj) =
n∑
k=1
λk,jvk =
n∑
k=1
ak,jvk +
n∑
k=1
bk,jvk
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 70
T(ivj) = i
n∑
k=1
λk,jvk =
n∑
k=1
iak,jvk −
n∑
k=1
bk,jvk.
Z Exemplo 13. Seja T : C → C com T(z) = λz, λ = a + bi, sua representac¸a˜o
matricial sobre C e´ [λ], uma R base e´ (1, i), temos T(1) = λ = a + ib, T(i) = iλ =
ai− b enta˜o a matriz nessa base e´
M ′ =
 a −b
b a
 .
m Definic¸a˜o 41 (Complexificac¸a˜o). Seja V real, definimos VC = V × V munido
de uma estrutura de espac¸o vetorial complexo com as operac¸o˜es de adic¸a˜o de
vetores
(u1, v1) + (u2, v2) := (u1 + u2, v1 + v2)
onde a adic¸a˜o nas coordenadas (u1 + u2, v1 + v2) e´ a operac¸a˜o de adic¸a˜o em V .
Produto por escalar complexo
(a+ ib)(u, v) = (au− bv, bu+ av).
VC e´ o espac¸o complexificado de V .
b Propriedade 96. VC e´ um espac¸o vetorial complexo .
ê Demonstrac¸a˜o. As propriedades da adic¸a˜o decorrem da definic¸a˜o, do fato de
V ser espac¸o vetorial, da mesma maneira que se prova que Vn e´ espac¸o vetorial. (
Continuar depois ).
$ Corola´rio 28. T : V → VC com T(u) = (u,0) e´ injetora pore´m T(V) na˜o e´
subespac¸o complexo de VC pois i(u,0) = (0, u), pore´m a imagem e´ um subespac¸o
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 71
real. Se associamos V = {(u,0), u ∈ V} ⊂ VC e iV = {(0, u), u ∈ V} ⊂ VC enta˜o
VC = V ⊕ iV.
Z Exemplo 14. Se V = R enta˜o VC = C.
b Propriedade 97. Seja (vk)n1 = B uma R base de V logo B e´ uma C base de
VC, em particular dimR = V = dimCVC.
ê Demonstrac¸a˜o. Os vetores (vk)n1 sa˜o LI . Seja
n∑
k=1
ckvk = 0
com ck = ak + ibk
n∑
k=1
akvk︸ ︷︷ ︸
∈V
+i
n∑
k=1
bkvk︸ ︷︷ ︸
∈V
= 0
como VC = V ⊕ iV temos que
n∑
k=1
akvk =
n∑
k=1
bkvk = 0 por unicidade de representac¸a˜o
em V temos ak = bk ∀ k logo (vk)n1 e´ LI sobre C. Ale´m disso temos que (vk)n1 gera
VC pois w ∈ Vc e´ da forma w = u+ iv com u, v ∈ V
u =
n∑
k=1
akvk, v =
n∑
k=1
bkvk, ak, bk ∈ R⇒
w =
n∑
k=1
(ak + ibk)vk
(vk)
n
1 gera VC logo temos B como base, pois o conjunto tambe´m e´ LI.
1.8.1 Complexificac¸a˜o de transformac¸o˜es lineares
m Definic¸a˜o 42 (Complexificac¸a˜o de transformac¸o˜es lineares). Sejam T : V →
W linear , W e V espac¸os reais, extendemos a transformac¸a˜o para TC : VC → Wc
por linearidade, da forma
TC(u+ iv) = T(u) + iT(v), u, v ∈ V.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 72
TC e´ dita ser complexificac¸a˜o de T .
b Propriedade 98. TC : VC →Wc e´ realmente uma transformac¸a˜o linear.
ê Demonstrac¸a˜o.
b Propriedade 99. Valem que
1. (T + S)C = TC + SC.
2. (S ◦ T)C = SC ◦ TC.
ê Demonstrac¸a˜o.
b Propriedade 100. Se (vk)n1 = α e´ uma R-base de V logo tambe´m e´ uma
C-base de VC , se B = (wk)m1 e´ uma R-base de W tambe´m e´ C-base de WC. Nessas
condic¸o˜es temos que
[T ]α,B = [TC]α,B,
isto e´, o operador e seu complexificado possuem mesma representac¸a˜o matricial.
ê Demonstrac¸a˜o. Segue do fato que TC(vk) = T(vk).
1.8.2 Complexificac¸a˜o de produtos internos
m Definic¸a˜o 43 (Complexificac¸a˜o de produto interno). Se V e´ um espac¸o veto-
rial real munido de produto interno, enta˜o definimos o seguinte produto interno
sobre VC, dados u1, u2, v1, v2 ∈ V
< u1 + iv1, u2 + iv2 >C=< u1, u2 > + < v1, v2 > +i(< v1, u2 > − < u1, v2 >).
b Propriedade 101. O complexificado de um produto interno e´ um produto
interno.
CAPI´TULO 1. PRODUTO INTERNO, NORMA E ORTOGONALIDADE 73
ê Demonstrac¸a˜o.
1. Positividade. < u + iv, u + iv >=< u,u > + < v, v > +i(< v, u > − < u, v >︸ ︷︷ ︸
0
) =
||u||2 + ||v||2 ≥ 0 o termo marcado e´ nulo pois V e´ real e nele vale a simetria.
Com isso < u+ iv, u+ iv >= 0⇔ ||u||2 + ||v||2 = 0⇔ u = v = 0⇔ u+ iv = 0.
2.
3.
b Propriedade 102. Vale que
<,>C |V =<,> .
ê Demonstrac¸a˜o.
b Propriedade 103. Se X ⊂ V e´ um conjunto ortonormal com respeito a <,>,
enta˜o X e´ um conjunto ortonormal em VC com respeito a` <,>C. Em particular
uma base ortonormal de V com respeito