Lista produto interno ate vetores proprios

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LISTA DE ÁLGEBRA LINEAR
(Produto interno, Transformações lineares, Valores e vetores próprios) 
1. Sejam u =(a, b) e v = (c, d), verifique que 〈u, v〉 = ac – ad – bc + 3bd é um produto interno 
em ℝ2.
2. Sejam os vetores u = (1,5) e v= (3,4) em ℝ2 . Ache: a) 〈u, v〉 em relação ao produto interno
usual em ℝ2, b) 〈u, v〉 em relação ao produto interno em ℝ2 do exercício (1), c) ache o
módulo de u e de v em relação aos itens (a) e (b).
3. Sejam u =(a, b) e v = (c, d) e consideremos o seguinte produto interno no ℝ2: 〈u, v〉=ac +
2ad + 2cb + 5bd. Mostre que, relativamente a esse produto interno, o conjunto A = {(1,0) ,
(2,-1)} é base ortonormal de ℝ2. (base ortonormal: os vetores têm módulos unitários e são
ortogonais dois a dois.)
4. Considerando o produto interno usual em ℙ2, calcule 〈p1, p2〉 e || p1 + p2 || se p1 = x² – 2x +3 ,
p2 = 3x – 4. 
5. Seja o espaço vetorial V de polinômios com produto interno definido por: ∫
0
1
f (t) . g (t)dt
e os polinômios f(t)=t +2 e g(t)=3t – 2. Determine 〈f(t), g(t)〉, ‖f (t )‖ e ‖g(t )‖ .
6. Considerando o produto interno usual para funções contínuas no intervalo [a, b], ache 〈f(t), g(t)〉 se f(t) = t² – 2t e g(t) = t + 3.
7. Determine o vetor (a, b, c) se o conjunto B = {(1, -3, 2) , (2, 2, 2) , (a, b, c)} é uma base 
ortogonal em ℝ³ com o produto interno usual. Construir a partir de B uma base ortonormal. 
8. Ache o subespaço S gerado por B = {(1, 2, -3) , (2, -4, 2)}e determine uma base ortonormal 
para S. 
9. Dada T: ℝ2→ℝ3 definida por T(x, y)=(2x, 0, x + y). Verifique se T é linear
10. Considere T: ℝ3→ℝ3 linear, definida por T(x, y, z) = (z, x – y, -z). a) ache N(f), em seguida
exiba uma base e a dimensão de N(f). b) ache Im(f), seguida exiba uma base e a dimensão
de Im(f).
11. Seja uma base B = {v1, v2, v3} de ℝ3, onde v1 = (1, 2, 3) , v2 = (2, 5, 3) e v3 = (1, 0, 10). 
Determine T : ℝ3→ℝ2 sabendo que T(v1) = (1, 0) , T(v2) = (1, 0) e T(v3) = (0, 1). Calcule 
T(1, 1, 1).
12. Seja T : ℝ4→ℝ3 uma transformação linear tal que T(e1) = (1, -2, 1) , T(e2) = (-1, 0, -1) , 
T(e3) = (0, -1, 2) e T(e4) = (1, -3, 1) , sendo {e1, e2, e3, e4} a base canônica de ℝ4. Ache N(T) 
e Im (T). 
13. Seja a transformação linear T : ℝ3→ℝ2 definida por T(x, y, z) = (2x + y – z, x + 2y) e as 
bases [V’] = {(1, 0, 0) , (2, -1, 0) , (0, 1, 1)} de ℝ3 e [W’] = {(-1, 1) , (0, 1)} de ℝ2. 
Determine a matriz associada a T considerando as bases V’ e W’.
14. a) Ache uma transformação linear T: ℝ2→ℝ3 tal que T(1,1) = (3,2,1) e T(0,-2) = (0,1,0); b)
ache T(1,0) e T(0,1); c) ache a matriz canônica de T
15. Seja A=[3 12 51 −1] matriz canônica de uma transformação linear T : ℝ2→ℝ3 se: 
T(v) = (2, 4, -2) calcule v.
16. Seja T: ℝ2→ℝ2 tal que a matriz de T é M=[−1 −20 1 ] Ache os vetores u e v tais que:
(a) T(u) = u e (b) T(v) = -v
17. Sejam, T: ℝ2→ℝ3, uma transformação linear. E = {(1,-1), (0,2)} e F= {(1,0,-1), (0,1,2),
(1,2,0)} bases de ℝ2 e ℝ3 respectivamente. Sendo [T ]F
E=[1 01 10 −1] , ache T(x,y)
18. Ache Im (T) , dim Im (T) , N(T) e dim N(T) se T é dado pela matriz A=[1 2 −12 0 11 −2 2 ]
19. Seja T : Mn×n→Mn×n definida por T(A) = A – At com A ∈ Mn×n . Ache N(T) e Im (T) 
20. Seja V o espaço vetorial dos polinômios em ℝ e T : V→V o operador derivada terceira, é 
dizer T [ f ( t)]=d
3f
dt ³
. Ache N(T).
21. Determine o operador linear T : ℝ2→ℝ2 cujos valores próprios são λ1 = 1 e λ2 = 3 
associados aos vetores próprios v1 = (1, -1) e v2 = (0, 1) , respectivamente.
22. Os vetores v1 = (1, 1) e v2 = (2, -1) são vetores próprios de um operador linear T : ℝ2→ℝ2 ,
associados a λ1 = 5 e λ2 = -1 , respectivamente. Determinar a imagem do vetor v = (4, 1) por
esse operador.
23. Seja A=(1 −12 −1) . Determine os autovalores de A e os respectivos autovetores. (Supondo
que A seja uma matriz sobre o corpo complexo ℂ).
24. Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza
A e calcular P-1AP.
a) A=[2 43 1] b) A=[9 14 6 ] c) A=[5 −11 3] d) A=(1 42 3)
e) A=[ 1 2 1−1 3 10 2 2] f) A=[
1 0 0
−2 3 −1
0 −4 3 ] g) A=[
2 3 −1
0 1 −4
0 0 3 ]
h) A=[1 −2 −20 1 00 2 3 ] i) A=[
3 0 −2
−5 1 5
2 0 −1]