Física 3-04
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Física 3-04


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1 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 3 \u2013 Questões 4 
 Questão 1
 
As condições típicas relativas a um relâmpago 
são aproximadamente as seguintes: (a) Diferença 
de potencial entre os pontos de descarga é de \u373\u372\ub3d\ufffd\u738. (b) Carga total transferida é de 30 C. Que 
quantidade de gelo a \u372\u528 seria possível derreter se 
toda a energia liberada pudesse ser usada para 
esse fim? 
Resolução: 
A energia liberada é dada por: 
 \u739 \ud4c \u74d\ud6b \ubdc\u738 \ud46 \ubd9\u738\ud6f\ufffd\ufffd\u739 \ud4c \u375\u372 \u3ae \u373\u372\ub3d\u72c 
(1.1) 
 
Utilizando o resultado de (1.1) para a quantidade 
de calor para fundir o gelo, teremos: 
 \u733 \ud4c \u749\u72e\ubd9\ufffd \ufffd\u375\u372 \u3ae \u373\u372\ub3d \ud4c \u749 \u3ae \u375\u375\u376\u1e1\u376\ufffd \u5f5 \u749 \u606 \u37a\u37b\u1e1\u379 \u3ae \u373\u372\ub3a\u743 
(1.2) 
 
Ou seja, cerca de 90 toneladas. 
 
 Questão 2
 
Uma carga q é distribuída uniformemente ao 
longo de uma esfera isolante de raio R. Determinar 
o potencial elétrico para: (a) todos os pontos no 
exterior da esfera, isto é, para r > R. (b) todos os 
pontos situados no interior da esfera, ou seja, para 
r < R. 
Resolução: 
a) Seja r a distância do centro da esfera até o 
ponto em questão. Assim, teremos para r >R: 
 \u738 \ud4c \u373\u376\u7e8\u7f3\ub34 \u3ae \u74d\u74e 
(2.1) 
b) Para essa parte, tomaremos o potencial a partir 
do campo elétrico. Assim, teremos: 
 \ube5\u738 \ud4c \ud46\udb1 \u727\u122c\u526 \u3ae \u740\u526\u748\ube5\ubb6 
(2.2) 
Mas: \u727\u122c\u526 \u3ae \u740\u526\u748 \ud4c \u727\ufffd\u740\u748\ufffd\u73f\u74b\u74f\ufffd\u7e8 \ud4c \ud46\u727\u740\u748 \ud4c \u727\ufffd\u740\u74e. 
 
Assim, teremos para (2.2): 
 \ube5\u738 \ud4c \ud46\udb1 \u727\ubd8\ubeb\ube7\ufffd\u740\u74e\ubcb\ubb6 \ud46\udb1 \u727\ubdc\ube1\ube7\ufffd\u740\u74e\ube5\ubcb \ufffd \ufffd \ube5\u738 \ud4c \ud46 \u74d\u376\u7e8\u7f3\ub34 \u1248\udb1 \u740\u74e\u74e\ub36\ubcb\ubb6 \ud46\udb1 \u74e\ufffd\u740\u74e\u734\ub37\ube5\ubcb \u1249\ufffd\ufffd \u5f5 \ube5\u738 \ud4c \ud46 \u74d\u74e\ub36\u37a\u7e8\u7f3\ub34\u734\ub37 \ud45 \u375\u74d\u37a\u7e8\u7f3\ub34\u734 
(2.3) 
 
 Questão 3
 
Um cilindro dielétrico de raio b e comprimento 
infinito possui uma densidade de cargas 
volumétrica \u7e9 constante. Determine a diferença de 
potencial entre um ponto da superfície do cilindro 
e um ponto situado a uma distância d da superfície 
do cilindro e localizado: (a) no exterior do 
cilindro, (b) no interior do cilindro. 
Resolução: 
a) Da lei de Gauss, podemos obter a expressão do 
campo elétrico na parte externa do cilindro. Tal 
expressão é dada por: 
 \u727 \ud4c \u373\u374\u7f3\ub34 \u3ae \u7e9\u73e\ub36\u74e 
(3.1) 
 
A diferença de potencial entre os dois pontos 
solicitados será dado por: 
 \u738\u123a\u73e\u123b \ud46 \u738\u123a\u73e \ud45 \u740\u123b \ud4c \ud46\udb1 \u727\ufffd\u740\u74e\ubd5\ubd5\ub3e\ubd7 
(3.2) 
 
Utilizando a equação (3.1) em (3.2), e integrando, 
teremos: \u738\u123a\u73e\u123b \ud46 \u738\u123a\u73e \ud45 \u740\u123b \ud4c \ud46\u7e9\u73e\ub36\u374\u7f3\ub34 Ž \u74e\u201\ubd5\ub3e\ubd7\ubd7 \ufffd \ufffd\u5f5 \u738\u123a\u73e\u123b \ud46 \u738\u123a\u73e \ud45 \u740\u123b \ud4c \u7e9\u73e\ub36\u374\u7f3\ub34 \u3ae \u748\u74a \u73e \ud45 \u740\u73e 
(3.3) 
 
 
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2 
b) Novamente, utilizando a lei de Gauss, temos 
para a intensidade do campo elétrico na parte 
interna: 
 \u727 \ud4c \u7e9\u74e\u374\u7f3\ub34 
(3.4) 
 
Agora, de forma similar a equação (3.2), teremos: 
 \u738\u123a\u73e \ud46 \u740\u123b \ud46 \u738\u123a\u74e\u123b \ud4c \ud46\udb1 \u727\ufffd\u740\u74e\ubd5\ub3f\ubd7\ubd5 
(3.5) 
 
Utilizando a equação (3.4) em (3.5), e integrando, 
teremos: 
 \u738\u123a\u73e \ud46 \u740\u123b \ud46 \u738\u123a\u73e\u123b \ud4c \ud46\u7e9\u74e\ub36\u376\u7f3\ub34\u1264\ubd5\ubd5\ub3f\ubd7 \ufffd \u5f5 \u738\u123a\u73e \ud46 \u740\u123b \ud46 \u738\u123a\u73e\u123b \ud4c \u7e9\u376\u7f3\ub34 \u123e\u123a\u73e \ud46 \u740\u123b\ub36 \ud46 \u73e\ub36\u123f 
(3.6) 
 
 Questão 4
 
Uma esfera dielétrica possui uma carga total Q. 
No interior da esfera existe uma distribuição de 
cargas com densidade volumétrica variável dada 
por: \u7e9 \ud4c \u724\u74e, onde B é uma constante com 
dimensão de \u123e\u73f\u73d\u74e\u743\u73d \u72e\ub38\u3a4 \u123f e r é a distância variável 
de cada elemento de carga até o centro da esfera. 
Determine: (a) a carga total Q em função de B e do 
raio R da esfera, (b) o potencial para os pontos 
(r>R), (c) o potencial para os pontos do interior 
da esfera (r < R). 
Resolução: 
a) A carga total será dada por: 
 \u733 \ud4c \udb1\u7e9\ufffd\u740\u738 \u1e2 \ufffd\u740\u738 \ud4c \u376\u7e8\u74e\ub36\u740\u74e 
(4.1) 
 
Utilizando a expressão da densidade, teremos: 
 \u733 \ud4c \u376\u7e8\u724\udb1 \u74e\ub37\ufffd\u740\u74e\ubcb\ub34 \ufffd\ufffd \u5f5 \u733 \ud4c \u7e8\u724\u734\ub38 
(4.2) 
b) r > R: 
Da lei de Gauss, a expressão do campo elétrico, 
para essa região, será dada por: 
 \u727 \ud4c \u724\u376\u7e8\u7f3\ub34 \u3ae \u734\ub38\u74e\ub36 
(4.3) 
 
Agora, conforme as expressões de (3.2) e (3.5), 
teremos: \ube5\u738 \ud46 \ubb6\u738 \ud4c \ud46\udb1 \u727\ufffd\u740\u74e\ube5\ubb6 \ufffd \ube5\u738 \ud46 \ubb6\u738 \ud4c \ud46\u724\u734\ub38\u376\u7f3\ub34 \udb1 \u740\u74e\u1b4\u74e\u1b4 \ub36\ube5\u1b4\ubb6 \ufffd\ufffd\ufffd \ube5\u738 \ud46 \ubb6\u738 \ud4c \ud46\u724\u734\ub38\u376\u7f3\ub34 \ud64\ud46\u373\u74e\u1b4 \ud68\ubb6\ube5 
(4.4) 
 
Lembrando que o potencial no infinito será nulo, 
então, temos: 
 \ube5\u738 \ud4c \u724\u734\ub38\u376\u7f3\ub34\u74e 
(4.5) 
c) r < R: 
Vamos utilizar novamente a lei de Gauss, porém, 
temos que determinar a carga dentro da esfera de 
raio r. Logo: 
 \u1216\u733 \ud4c \u376\u7e8\u724\udb1 \u74e\u1b4 \ufffd\ub37\u740\u74e\u1b4\ube5\ub34 \ufffd\ufffd \u5f5 \u1216\u733 \ud4c \u7e8\u724\u74e\ub38 
(4.6) 
 
Com a carga dada por (4.6) e utilizando a lei de 
Gauss, temos para o campo elétrico: 
 \u727 \ud4c \u724\u74e\ub36\u376\u7f3\ub34 
(4.7) 
 
Por meio do campo elétrico pode-se determinar a 
diferença de potencial do ponto localizado em r e 
um ponto na superfície. Logo: 
 \ube5\u738 \ud46 \ubcb\u738 \ud4c \ud46 \u724\u376\u7f3\ub34\udb1 \u74e\ub36\u1216 \ufffd\u740\u74e\u1b4\ube5\ubcb \ufffd\ufffd \u5f5 \ube5\u738 \ud46 \ubcb\u738 \ud4c \u724\u373\u374\u7f3\ub34 \u123a\u734\ub37 \ud46 \u74e\ub37\u123b 
(4.8) 
 
 
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3 
Utilizando a expressão (4.5), temos para o 
potencial na superfície (com relação ao infinito): 
 \ubcb\u738 \ud4c \u724\u734\ub37\u376\u7f3\ub34 
(4.9) 
 
Substituindo (4.9) em (4.8), temos: 
 \ube5\u738 \ud4c \u724\u123a\u376\u734\ub37 \ud46 \u74e\ub37\u123b\u373\u374\u7f3\ub34 
(4.10) 
 
 Questão 5
 
A densidade de carga de uma superfície plana é \u7ea \ud4c \u373\u1e1\u372 \ud48 \u373\u372\ub3f\ub3b\ufffd\u725 \u3ae \u749\ub3f\ub36. Qual é a separação entre 
duas superfícies equipotenciais correspondentes a 
uma diferença de potencial de 5,0 V? 
Resolução: 
A diferença de potencial entre duas superfícies 
planas pode ser expressa por: 
 \ub35\u738 \ud46 \ub36\u738 \ud4c \ud46\udb1 \u727\ufffd\u740\u74e\ube5\uc2e\ube5\uc2d 
(5.1) 
 
O campo elétrico, para esse caso, de acordo com a 
lei de Gauss (ver Física 3 \u2013 03) será: 
 \u727 \ud4c \u374\u7f3\u7ea\ub34 
(5.2) 
 
Assim, utilizando (5.2) em (5.1), e integrando, 
teremos: 
 \ub35\u738 \ud46 \ub36\u738 \ud4c \u374\u7f3\u7ea\ub34 \u3ae \u740\ub35\ub36 
(5.3) 
 
Substituindo os valores fornecidos, temos: 
 \u377 \ud4c \u373\u372\ub3f\ub3b\u374 \u3ae \u37a\u1e1\u37a\u377 \u3ae \u373\u372\ub3f\ub35\ub36 \u3ae \u740\ub35\ub36\ufffd\ufffd \u5f5 \u740\ub35\ub36 \ud4c \u37a\u1e1\u37a\u377 \u3ae \u373\u372\ub3f\ub38\u749 
(5.4) 
 
Cerca de 0,89 mm. 
 Questão 6
 
Considere uma carga puntiforme de \u74d \ud4c \u37a\u372\u372\ufffd\u74c\u725. (a) Calcule os raios das superfícies 
equipotenciais correspondentes a \ub35\u738 \ud4c \u373\u372\ufffd\u738 e \ub36\u738 \ud4c \u374\u372\ufffd\u738. (b) Calcule a distância entre as 
superfícies equipotenciais mencionadas no item 
(a). (c) Ache a distância entre a superfície 
equipotencial \ub37\u738 \ud4c \u377\u372\ufffd\u738 e \ub38\u738 \ud4c \u378\u372\ufffd\u738. (d) Obtenha 
uma expressão para a distância \u3bf\u74e entre duas 
superfícies equipotenciais em função da diferença 
de potencial \u3bf\u738 entre as mesmas superfícies. 
Resolução: 
a) Utilizando os dados fornecidos no enunciado, 
teremos: 
 \u74e\ub35 \ud4c \u373\u376\u7e8\u7f3\ub34 \u3ae \u738\u74d\ub35 \u59c \u74e\ub35 \ud4c \u37b \u3ae \u373\u372\ub3d \u3ae \u37a\u372\u372 \u3ae \u373\u372\ub3f\ub35\ub36\u373\u372 \ufffd\ufffd \u5f5 \u74e\ub35 \ud4c \u372\u1e1\u379\u374\ufffd\u749 
(6.1) 
 \u74e\ub36 \ud4c \u373\u376\u7e8\u7f3\ub34 \u3ae \u738\u74d\ub36 \u59c \u74e\ub36 \ud4c \u37b \u3ae \u373\u372\ub3d \u3ae \u37a\u372\u372 \u3ae \u373\u372\ub3f\ub35\ub36\u374\u372 \u5f5 \u74e\ub36 \ud4c \u372\u1e1\u375\u378\ufffd\u749 
(6.2) 
 
b) Utilizando (6.1) e (6.2), temos: 
 \u740\ub35\ub36 \ud4c \u372\u1e1\u375\u378\ufffd\u749 
(6.3) 
 
c) Também, dos resultados de (6.1) e (6.2), temos: 
 \u74e\ub37 \ud4c \u74e\ub35\u377 \u1e2\ufffd\u74e\ub38 \ud4c \u74e\ub35\u378 
(6.4) 
 
Logo, 
 \u74e\ub37 \ud46 \u74e\ub38 \ud4c \u372\u1e1\u372\u374\u376\ufffd\u749 
(6.5) 
 
d) Da expressão do potencial, com relação ao 
infinito, temos: 
 \u3bf\u738 \ud4c \u74d\u376\u7e8\u7f3\ub34 \u3ae \u123a\ud46\u3bf\u74e\u123b\u74e\ub35\u74e\ub36 
(6.6) 
 
 
 
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4 
Se \u74e\ub35 \ud4e \u74e\ub36, teremos: \u3bf\u738 \ud4c \ud46 \u74d\u376\u7e8\u7f3\ub34 \u3ae \u3bf\u74e\u74e\ub36 
(6.7) 
 
Em que \u74e\ub36 \ud4e \u74e\ub35\u74e\ub36. A expressão (6.7) também pode 
ser obtida a partir da diferenciação da expressão 
do potencial: 
 \u738 \ud4c \u373\u376\u7e8\u7f3\ub34 \u3ae \u74d\u74e \u59c \u740\u738\u740\u74e \ud4c \ud46 \u373\u376\u7e8\u7f3\ub34 \u3ae \u74d\u74e\ub36 
(6.8) 
 
Fazendo \u740\u738 \ud4e \u3bf\u738 e \u740\u74e \ud4e \u3bf\u74e, a expressão (6.8) se 
torna idêntica a expressão (6.7). 
 
 Questão 7
 
Determinar a expressão de \ubba\u738 \ud46 \ubbb\u738 para a 
situação descrita na figura abaixo. Verifique se o 
resultado que você obteve se reduz aos valores 
esperados para os casos \u740 \ud4c \u372 e \u74d \ud4c \u372. 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
Pelo princípio da superposição, podemos 
determinar os potenciais em A e em B. Assim, 
teremos: 
 \ubba\u738 \ud4c \u74d\u376\u7e8\u7f3\ub34 \ud6c\u373\u73d \ud46 \u373\u123a\u740 \ud45 \u73d\u123b\ud70 
(7.1) 
 \ubbb\u738 \ud4c \u74d\u376\u7e8\u7f3\ub34 \ud6c \u373\u123a\u740 \ud45 \u73d\u123b \ud46 \u373\u73d\ud70 
(7.2) 
 
A diferença de potencial será então: 
 \ubba\u738 \ud46 \ubbb\u738 \ud4c \u74d\u376\u7e8\u7f3\ub34 \ud6c\u374\u73d \ud46 \u374\u123a\u740 \ud45 \u73d\u123b\ud70\ufffd\ufffd \u5f5 \ubba\u738 \ud46 \ubbb\u738 \ud4c \u74d\u374\u7e8\u7f3\ub34 \u3ae \u740\u73d\u123a\u740 \ud45 \u73d\u123b 
(7.3) 
 Questão 8
 
Mostre que \u738\u123a\u74e\u123b, supondo r >> a, para pontos 
situados no eixo vertical da figura representada 
abaixo, vale 
 \u738 \ud4c \u373\u376\u7e8\u7f3\ub34 \ud6c\u74d\u74e \ud45 \u374\u73d\u74d\u74e\ub36 \ud70 
 
Seria possível prever este resultado 
antecipadamente? 
 
Resolução: 
A princípio, poderíamos imaginar o potencial 
gerado por três cargas no ponto P. Em vez disso, 
vamos pensar que o potencial em P é gerado por 
uma carga +q, que dista r do ponto P e o potencial 
gerado por um dipolo, cujo centro dista r do ponto 
P. Assim, teremos: 
 \ubc9\u738 \ud4c \ube3\u738 \ud45 \u738 \ud4c \u373\u376\u7e8\u7f3\ub34 \ud6c\u374\u73d\u74d \u3ae \u73f\u74b\u74f\ufffd\u7e0\u74e\ub36 \ud45 \u74d\u74e\ud70 
(8.1) 
 
Em (8.1) p representa o dipolo e \u7e0 é o ângulo 
entre a direção da reta que passa pelo centro do 
dipolo e o ponto P e a o eixo do dipolo. Neste caso \u7e0 \ud4c \u372\u3b9 \u59c \u73f\u74b\u74f\u7e0 \ud4c \u373. Logo: 
 \ubc9\u738 \ud4c \u373\u376\u7e8\u7f3\ub34 \ud6c\u374\u73d\u74d\u74e\ub36 \ud45 \u74d\u74e\ud70 
(8.2) 
 
 Questão 9
 
Disco carregado. Calcular o potencial elétrico 
nos pontos do eixo