Lista de exercicios da Unidade 2

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Lista de exercícios da Unidade 2 
 
Seção 2.1 
 
1) O gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1 está mostrado na 
figura ao lado. 
Encontre 𝛿 de modo que 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 e 
|𝑓(𝑥) − 3| < 0,4. 
 
 
Nos exercícios 2 e 3, encontre o limite L. 
Encontre 𝛿 > 0 de modo que |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 0,01 enquanto 0 < |𝑥 − 𝑐| < 𝛿. 
2) lim
𝑥→2
(3 𝑥 + 2) 3) lim
𝑥→2
(𝑥2 − 3) 
 
4) Considere a função 𝑓(𝑥) =
|𝑥+1|−|𝑥−1|
𝑥
. 
Estime lim
𝑥→0
|𝑥+1|−|𝑥−1|
𝑥
 tanto numérica quanto graficamente. 
 
Seção 2.2 
 
1) Determine o limite (se existir). 
(a) lim
𝑥→−1
2 𝑥2 − 𝑥 − 3
𝑥+1
 (b) lim
𝑥→2
𝑥 − 2
𝑥2− 4𝑥 +4
 (c) lim
𝑥→2
|𝑥 − 2|
𝑥−2
 
 
(d) lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑓(𝑥) = {
1
3
 𝑥 − 2 , 𝑥 ≤ 3
−2 𝑥 + 5 , 𝑥 > 3
 (e) lim
∆𝑥→0
2 (𝑥 + ∆𝑥)−2 𝑥
∆𝑥
 
 
(f) lim
∆𝑥→0
√𝑥+2+∆𝑥−√𝑥+2
∆𝑥
 (g) lim
∆𝑡→0
(𝑡 + ∆𝑡)2 −5 (𝑡+ ∆𝑡)−(𝑡2−5 𝑡)
∆𝑡
 
 
 
Nos exercícios 2 a 20, determine o limite das funções trigonométricas (se eles existirem). 
 
2) 
lim
𝑥→0
sen 𝑥
5 𝑥
 
 
3) 
lim
𝑥→0
3 (1 − cos 𝑥)
𝑥
 
 
4) 
lim
𝑥→0
sen2 𝑥
𝑥
 
 
5) 
lim
𝑥→
𝜋
2
cos 𝑥
𝑐𝑜𝑡 𝑥
 
 
6) 
lim
𝑥→
𝜋
4
 
1 − tan 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥 − cos 𝑥
 
 
7) 
lim
𝑥→0
sen 2 𝑥
𝑠𝑒𝑛 3𝑥
 
 
8) 
lim
𝑥→0
tan2 𝑥
𝑥
 
 
9) 
lim
ℎ→0
(1 − cos ℎ)2
ℎ
 
10) 
lim
𝑥→0
(1 − cos 𝑥)
𝑥2
 
11) 
lim
𝑥→
𝜋
2
 
𝜋
2 − 𝑥
cos 𝑥
 
12) 
lim
𝑥→0
 
3 𝑥2
1 − cos2
𝑥
2
 
13) 
lim
∆ 𝑥→0
sen[(𝜋 6⁄ ) + ∆ 𝑥] −
1
2⁄
∆ 𝑥
 
14) 
lim
∆ 𝑥→0
cos[𝜋 + ∆ 𝑥] + 1
∆ 𝑥
 
15) 
lim
𝑥→0
sen2 𝑥
𝑥
 
16) 
lim
𝑥→0
2 tan2 𝑥
𝑥2
 
17) 
lim
𝑥→0−
cos2 𝑥
𝑥
 
18) 
lim
𝑥→0+
csc 2 𝑥
𝑥
 
19) 
lim
𝑥→0
1 − cos 𝑥
𝑥2
 
20) 
lim
𝑥→0
1 − cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 (𝑥)
 
 
 
Nos exercícios 21 a 23, encontre o limite da função. Confirme resultado com apoio gráfico. 
21) lim
𝑥→0
𝑥2+3 𝑥
𝑥
 22) lim
𝑥→−1
𝑥2− 1
𝑥 + 1
 23) lim
𝑥→2
𝑥3− 8
𝑥 − 2
 
 
Nos exercícios 24 a 27 , encontre o limite (se existir). Se o limite não existe, explique porque? 
24) lim
𝑥 → −3−
𝑥
√𝑥2 − 9
 25) lim
𝑥 → 4−
√𝑥 − 2
𝑥 − 4
 
26) lim
𝑥 → 0−
|𝑥|
𝑥
 27) lim
𝑥 → 4+
4 − 𝑥
𝑥2 − 16
 
 
 
Seção 2.3 
 
1) Determine os limites no infinito. 
 
(a) lim
𝑥→+∞
2 𝑥 + 1
5 𝑥 − 2
 (b) lim
𝑥→+∞
𝑥 + 4
3 𝑥2 − 5
 (c) lim
𝑦→+∞
√𝑦2 + 4
𝑦 + 4
 
 
(d) lim
𝑥→−∞
4 𝑥3+ 2 𝑥2− 5
8 𝑥3 + 5 𝑥 + 2
 (e) lim
𝑥→+∞
(√𝑥2 + 1 − 𝑥) 
 
2) Determine os limite infinitos 
 
(a) lim
𝑡→2− 
𝑡+2
𝑡2−4
 (b) lim
𝑡→2+ 
𝑡+2
𝑡2−4
 (c) lim
𝑥→4− 
√16− 𝑥2
𝑥−4
 
 
(d) lim
𝑠→2
 (
1
𝑠−2
− 
3
𝑠2−4
) 
 
Nos exercícios 3 a 8, encontre as assíntotas verticais (se existirem) do gráfico das funções. 
3) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑥2 − 4
 4) 𝑔(𝑡) =
𝑡 − 1
𝑡2 + 1
 5) 𝑓(𝑥) =
3
𝑥2 + 𝑥 − 2
 
6) ℎ(𝑥) =
𝑥2 − 9
𝑥3 + 3 𝑥2 − 𝑥 − 3
 7) ℎ(𝑡) =
𝑡2 − 2 𝑡
𝑡4 − 16
 8) 𝑔(𝜃) =
tan 𝜃
𝜃
 
 
9) Uma companhia queima carvão para gerar eletricidade. O custo C, em dólares, para remover p % 
dos poluentes do ar na emissão pela chaminé é modelado por: 
𝐶 =
80.000 𝑝
100 − 𝑝
 , 0 ≤ 𝑝 < 100 . 
a) encontre o custo para se remover 15 % dos poluentes. 
b) encontre o custo para se remover 50 % dos poluentes. 
c) encontre o custo para se remover 90 % dos poluentes. 
d) encontre o limite de C quando p se aproxima de 100 pela esquerda e interprete o significado do 
resultado. 
 
Seção 2.4 
 
Nos exercícios 1 e 3, discuta a continuidade de cada função. 
1) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥2 − 4
 2) 𝑓(𝑥) =
𝑥2 − 1
𝑥 + 1
 3) 𝑓(𝑥) = {
𝑥 , 𝑥 < 1
2 , 𝑥 = 1
2 𝑥 − 1 𝑥 > 1
 
 
 
Nos exercícios 4 e 7, discuta a continuidade da função no intervalo fechado. 
4) 𝑔(𝑥) = √49 − 𝑥2 [−7 , 7] 5) 𝑓(𝑡) = 3 − √9 − 𝑡2 [−3 , 3] 
6) 𝑓(𝑥) = {
3 − 𝑥 , 𝑥 ≤ 0
3 +
1
2
 𝑥 , 𝑥 > 0
[−1 , 4] 
7) 𝑔(𝑥) =
1
𝑥2 − 4
[−1 , 2] 
 
8) Determine o valor da constante a e b, nos exercícios abaixo, para que as funções sejam contínuas 
para qualquer valor real de x. 
a) 𝑓(𝑥) = {
3 𝑥3 , 𝑥 ≤ 1
𝑎 𝑥 + 5 , 𝑥 > 1
 b) 𝑓(𝑥) = {
2 , 𝑥 ≤ −1
𝑎 𝑥 + 𝑏 , −1 < 𝑥 < 3
−2 , 𝑥 ≥ 3
 
c) 𝑔(𝑥) = {
𝑥2 − 𝑎2
𝑥 − 𝑎
 , 𝑥 ≠ 𝑎
8 , 𝑥 = 𝑎
 d) 𝑔(𝑥) = {
4 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
 , 𝑥 < 0
𝑎 − 2 𝑥 , 𝑥 ≥ 0