Lista de exercicios da Unidade 3

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Lista de exercícios da Unidade 3 
 
1) Use a definição de limite para determinar a derivada da função. 
(a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4 (b) ℎ(𝑡) = √𝑡 − 1 (c) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥+2
 
 
2) Determine a inclinação da reta tangente à curva de f no ponto indicado usando a definição. 
(a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1 em (-3 , 4) (b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2 𝑥 em (1 , 3) 
 
3) Determine a equação da reta tangente, usando definição de derivada, à curva de f no ponto 
indicado. Em seguida, verifique se o resultado está correto plotando f e a reta tangente. 
(a) 𝑓(𝑥) =
1
2
 𝑥2 em (2 , 2) (b) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 1 em (4 , 3) 
 
4) Determine a equação da reta tangente usando definição à curva de f e paralela à reta dada. 
(a) 𝑓(𝑥) = −
1
4
𝑥2 reta: 𝑥 + 𝑦 = 0 (b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 reta: 𝑥 + 2 𝑦 − 6 = 0 
 
5) Use um programa de plotagem para traçar a curva da função f no intervalo [-2 , 2]. Complete a 
tabela, estimando graficamente o valor da função e da inclinação da curva da função nos pontos 
indicados. Em seguida, determine as inclinações analiticamente e compare os resultados com os 
obtidos graficamente. 
x -2 - 3/2 -1 - 1/2 0 1/2 1 3/2 2 
f (x) 
f '(x) 
 
(a) 𝑓(𝑥) =
1
4
 𝑥3 (b) 𝑓(𝑥) = −
3
2
 𝑥2 
 
6) Determine a derivada da função f. Em seguida, use um programa de plotagem para traçar o gráfico 
de f e sua derivada na mesma janela de observação. O que a interseção da derivada com o eixo x 
revela a respeito da curva de f ? 
(a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 (b) 𝑓(𝑥) = 2 + 6𝑥 − 𝑥2 
 
7) Determine a derivada da função. 
(a) 𝑠(𝑡) = 𝑡3 − 2 𝑡 + 4 (b) 𝑦 = 4 𝑡
4
3 (c) 𝑔(𝑥) = 4 √𝑥
3
+ 2 
 
8) Determine a derivada da função no ponto indicado. 
(a) 𝑓(𝑡) = 4 −
4
3 𝑡
 em (
1
2
 ,
4
3
) (b) 𝑦 = 3 𝑥 (𝑥2 −
2
𝑥
) em (2 , 18) 
(c) 𝑦 = (2 𝑥 + 1)2 em (0 , 1) 
9) Determine 𝑓′(𝑥). 
(a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 −
4
𝑥
 (b) 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥2 + 1) (c) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 4)(2 𝑥2 − 1) 
(d) 𝑓(𝑥) =
2 𝑥3−4 𝑥2+3
𝑥2
 
 
10) Escreva a equação da reta normal à curva da função no ponto indicado. 
(a) 𝑦 = −2 𝑥4 + 5 𝑥2 − 3 ; (1 , 0) (b) 𝑓(𝑥) = √𝑥
3
+ √𝑥
5
 ; (1 , 2) 
(c) 𝑓(𝑥) =
1
√𝑥2
3 ; (−1 , 1) 
 
11) Determine o(s) ponto(s) em que a curva da função dada possui uma tangente horizontal. 
(a) 𝑦 = −𝑥4 + 3 𝑥2 − 1 (b) 𝑦 =
1
2
 𝑥2 + 5 𝑥 (c) 𝑦 = 𝑥3 + 𝑥 
 
12) A altura (em metros) de um corpo arremessado verticalmente para cima a partir do solo, com 
uma velocidade inicial de 60 metros por segundo, é dada por 𝑠 = −4,9 𝑡2 + 60 𝑡, onde t é o tempo 
(em segundos). 
(a) Qual é a velocidade do corpo após 1 segundo? 
(b) Durante que intervalo de tempo a velocidade do corpo está diminuindo? 
(c) Durante que intervalo de tempo a velocidade do corpo está aumentando? 
 
13) Um carro de corrida viaja em uma pista retilínea com velocidade constante, percorrendo 
0,75 Km em 20 segundos. O percurso de volta ao ponto de partida é feito em 25 segundos. 
(a) Qual é a velocidade média do carro em metros por segundo na primeira metade do percurso? 
(b) Qual é a velocidade média para o percurso total? 
 
14) Um automóvel viaja 25.000 Km em um ano e faz x Km com um litro de gasolina. O preço 
médio do litro de gasolina é de R$ 2,00. Determine o gasto anual C com combustível em função de 
x e use essa função para completar a tabela. 
x 10 15 20 25 30 35 40 
C 
𝑑𝐶
𝑑𝑥
 
 
Quem se beneficiaria mais de um aumento de 1 Km por litro na eficiência do motor: o motorista de 
um carro que faz 15 Km/l ou o de um que faz 35 Km/l? Justifique sua resposta. 
 
15) Determine o valor da derivada das funções no ponto indicado. 
(a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2(3𝑥3 − 1) ; (1 , 2) (b) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 1)(2𝑥 + 5) ; (-1 , 6) 
(c) 𝑔(𝑥) = (𝑥2 − 2𝑥 + 1)(𝑥3 − 1) ; (1 , 0) (d) ℎ(𝑥) =
𝑥
𝑥−5
 ; (6 , 6) 
(e) 𝑓(𝑡) =
𝑡2−1
𝑡+4
 ; (1 , 0) (f) 𝑔(𝑥) =
4𝑥−5
𝑥2−1
 ; (0 , 5) 
16) Determine as derivadas das funções. 
(a) 𝑓(𝑥) = (𝑥3 − 3𝑥)(2𝑥2 + 3𝑥 + 5) (b) 𝑓(𝑥) = √𝑥
3
 (√𝑥 + 3) 
(c) 𝑓(𝑥) =
𝑥3+3𝑥+2
𝑥2−1
 (d) 𝑓(𝑥) = (𝑥5 − 3𝑥) (
1
𝑥2
) 
(e) 𝑔(𝑥) = (
𝑥−3
𝑥+4
) (𝑥2 + 2𝑥 + 1) (f) 𝑓(𝑥) = (3𝑥3 + 4𝑥) (𝑥 − 5) (𝑥 + 1) 
 
17) Escreva a equação da reta tangente à curva das funções abaixo no ponto indicado. Em seguida, 
use um programa de plotagem para traçar a curva e a reta tangente na mesma janela de observação. 
(a) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥2 − 3𝑥 + 2) ; (0 , -2) (b) 𝑓(𝑥) = (
𝑥+5
𝑥−1
) (2𝑥 + 1) ; (0 , -5) 
 
18) Determine o(s) ponto(s) em que o gráfico da função f possui uma tangente horizontal. 
(a) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑥−1
 (b) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑥2+1
 (c) 𝑓(𝑥) =
𝑥4+3
𝑥2+1
 
 
19) A temperatura T de um alimento guardado em uma geladeira é modelada pela função 
𝑓(𝑡) = 10 (
4𝑡2+16𝑡+75
𝑡2+4𝑡+10
), onde t é o tempo (em horas). Qual é a temperatura inicial do alimento? 
Determine a taxa de variação de T em relação a t, (a) para t = 1; (b) para t = 3; (c) para t = 10. 
 
20) O modelo 𝑓(𝑡) =
𝑡2−𝑡+1
𝑡2+1
 é utilizado para descrever o teor de oxigênio em um lago, onde t é o 
tempo (em semanas) após o início do despejo de dejetos orgânicos no lago. Determine a taxa de 
variação de f em relação a t, (a) para t = 0,5; (b) para t = 2; (c) para t = 8. 
 
21) Use a Regra da Potência Generalizada para determinar a derivada da função. 
(a) ℎ(𝑡) = (1 − 𝑡2)3 (b) 𝑠(𝑡) = √2𝑡2 + 5𝑡 + 2 (c) 𝑦 = √3𝑥3 + 4𝑥
3
 
 
22) Escreva a equação da reta tangente à curva das funções no ponto (2 , f(2)). Use um programa 
de plotagem para verificar se o resultado está correto traçando os gráficos da função e da tangente 
na mesma janela de observação. 
(a) 𝑓(𝑥) = 2 (𝑥2 − 1)3 (b) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 2𝑥 + 1 
 
23) Determine a derivada das funções. 
(a) 𝑦 = (
3𝑥+2
2𝑥+1
)
5
 (b) 𝑦 = (3𝑥2 + 1)3 (𝑥 − 𝑥2)2 
(c) 𝑓(𝑥) = 5√𝑥2 + 3 (d) 𝑔(𝑡) =
𝑡2
√𝑡3+3
3 
 
 
 
24) Um estudo de impacto ambiental revela que a concentração P de um certo poluente no ar, em 
partes por milhão, pode ser modelada pela equação 𝑃 = 0,25√0,5𝑛2 + 5𝑛 + 25, onde n é o número 
de residentes, em milhares de pessoas. Determine a taxa de aumento da concentração do poluente 
para uma população de 12.000 habitantes. 
 
25) O número N de bactérias em uma cultura após t dias é modelado pela função 
𝑁 = 400 [1 − 
3
(𝑡2+2)2
]. Complete a tabela. A que conclusão se pode chegar com base nesses 
resultados? 
t (dias) 0 1 2 3 4 
𝑑𝑁
𝑑𝑡⁄ 
 
26) Determine a derivada segunda das funções: 
(a) 𝑔(𝑡) =
1
√𝑡
3 (b) 𝑓(𝑥) = 4 (𝑥
2 − 1)2 (c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 √𝑥
3
 
(d) 𝑔(𝑡) =
4
(𝑡+2)2
 (e) ℎ(𝑠) = 𝑠3 (𝑠2 − 2 𝑠 + 1) 
 
27) Determine o valor indicado nas equações abaixo. 
(a) 𝑔(𝑡) = 5 𝑡4 + 10 𝑡2 + 3 𝑔′′(2) 
(b) 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥
2
 𝑓′′′(−5) 
(c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 (3 𝑥2 + 3 𝑥 − 4) 𝑓′′′(−2) 
 
28) Determine a derivada segunda e resolva as equações 𝑓′′(𝑥) = 0. 
(a) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3) (𝑥 − 4) (𝑥 + 5) (b) 𝑓(𝑥) = 3 𝑥4 − 18 𝑥2 
(c) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥2+3
 (d) 𝑓(𝑥) = 𝑥 √4 − 𝑥2 
 
29) Uma bola é arremessada para cima, a partir do solo, com uma velocidade inicial de 40 metros 
por segundo. 
(a) Escreva a função posição da bola. 
(b) Escreva as funções velocidade e aceleração da bola. 
(c) Em que instante a bola atinge o ponto mais alto de sua trajetória? A que altura se encontra nesse 
momento? 
(d) Qual é a velocidade da bola no momento em que atinge o solo? Qual é a relação entre essa 
velocidade e a velocidade inicial?30) A velocidade de um automóvel (em metros por segundo) é modelada pela função 
𝑑
𝑑𝑡
𝑠 =
30 𝑡
𝑡+10
. 
Complete a tabela, calculando a velocidade e a aceleração do automóvel a intervalos de 10 segundos 
durante o primeiro minuto de viagem. Que conclusão se pode extrair da tabela? 
 
t (s) 0 10 20 30 40 50 60 
v (m/s) 
𝑑
𝑑𝑡
𝑣 (𝑚/𝑠2) 
 
31) Um carro está se movendo a 20 metros por segundo quando o motorista pisa no freio. A função 
posição do carro é 𝑠(𝑡) = −2,5 𝑡2 + 20 𝑡, onde s á a distância em metros e t é o tempo em segundos. 
Complete a tabela, calculando posição, velocidade e aceleração do veículo para os valores dados de 
t. Que conclusão se pode extrair da tabela? 
 
t (s) 0 1 2 3 4 5 6 
s (t) 
v (m/s) 
𝑎(𝑡) (𝑚/𝑠2) 
 
32) Um corpo é arremessado para cima do alto de um edifício de 20 metros, com uma velocidade 
inicial de 15 metros por segundo. 
(a) Escreva a função posição do corpo. 
(b) Escreva as funções velocidade e aceleração do corpo. 
(c) Em que instante o corpo atinge o solo? 
(d) Em que instante a velocidade do corpo é zero? 
(e) Qual é a altura máxima atingida pelo corpo? 
(f) Use um programa de plotagem para traçar gráficos da posição, da velocidade e da aceleração do 
corpo na mesma janela de observação. Descreva, em um parágrafo, a relação entre essas três 
funções. 
 
33) Determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥⁄ para as equações abaixo. 
(a) 𝑦2 = 1 − 𝑥2 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 (b) 𝑥 𝑦2 + 4 𝑥 𝑦 = 10 (c) 
2−𝑥
𝑦−3
= 5 
(d) 
𝑥 𝑦 − 𝑦2
𝑦−𝑥
= 1 
 
 
 
34) Determine, por derivação implícita, o valor da derivada no ponto indicado. 
(a) 𝑥3 − 𝑥 𝑦 + 𝑦2 = 4 (4 , 0) (b) √𝑥 𝑦 = 𝑥 − 2 𝑦 (4 , 1) 
(c) (𝑥 + 𝑦)3 = 𝑥3 + 𝑦3 (−1 , 1) 
 
35) Determine 
𝑑𝑦
𝑑𝑥⁄ implicitamente e explicitamente e mostre que os resultados são equivalentes. 
Determine a inclinação da reta tangente no ponto mostrado na figura. 
(a) 3 𝑥2 − 2 𝑦 + 5 = 0 (b) 4 𝑥2 + 2 𝑦 − 1 = 0 
 
 
36) Seja x o número de unidades de mão de obra e y o capital investido em um processo de 
fabricação. Quando 135.540 unidades são produzidas, a relação entre mão de obra e capital pode 
ser modelada pela equação 100 𝑥0,75 𝑦0,25 = 135.540. Determine a taxa de variação de y em 
relação a x para x = 1500 e y = 1000. 
 
37) O número y de casos de AIDS conhecidos nos USA entre 1985 e 1998 pode ser modelado pela 
equação √𝑦 − 78 = −0,222 𝑡3 + 5,52 𝑡2 − 20,2 𝑡, onde t = 5 representa 1985. 
(a) Use um programa de plotagem para traçar a curva do modelo e descreva o resultado. 
(b) Use a curva para determinar o ano em que o número de casos conhecidos aumentou mais 
depressa. 
(c) Complete a tabela para confirmar sua estimativa. 
t 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 
y 
𝑦′ 
 
38) Determine os valores indicados de 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 e 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 nas condições informadas. 
(a) 𝑦 = 𝑥2 − √𝑥 
 Calcular Dado 
a.1 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 x = 4 , 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 8 
a.2 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 x = 16 , 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 12 
 
 
(b) 𝑥2 + 𝑦2 = 25 
 Calcular Dado 
b.1 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 x = 3 , y = 4 , 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 8 
b.2 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 x = 4 , y = 3 , 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= −2 
 
39) O raio r de um círculo está aumentando à taxa de 2 centímetros por minuto. Determine a taxa 
de variação da área no instante em que (a) r = 6 cm; (b) r = 24 cm. 
 
40) O raio r de uma esfera está aumentando à taxa de 2 centímetros por minuto. Determine a taxa 
de variação da área de superfície no instante em que (a) r = 6 cm ; (b) r = 24 cm. 
 
41) Uma escada de 7,5 metros está apoiada em uma casa (veja 
figura). A base da escada é afastada da casa à taxa de 0,6 m/s. Com 
que velocidade o alto da escada está descendo ao longo da parede no 
instante em que a base da escada se encontra: 
(a) a 2,1 m; 
(b) a 4,5 m; 
(c) a 7,2 m da casa? 
 
42) Um barco é puxado por um guincho que se encontra em um 
ancoradouro, 3,6 metros acima do convés do barco (veja a figura). O 
guincho está puxando a corda à taxa de 1,2 metros por segundo. 
Determine a velocidade do barco no instante em que o comprimento 
da corda entre o guincho e o barco é de 3,9 metros. 
 
 
 
 
43) Um avião que se encontra a 9,6 Km de altura passa diretamente 
acima de uma antena de radar (veja a figura). Quando o avião está 
a 16 Km de distância (s = 16), o radar detecta que a distância s está 
variando à taxa de 384 Km/h. Qual é a velocidade do avião? 
 
 
 
44) Um tanque tem a forma de um cone invertido, tendo uma altura de 
16 m e raio da base de 4 m. O tanque se enche de água à razão de 2 
m3/min. Com que velocidade sobe o nível da água, quando a água está 
a 5 m de profundidade? 
 
 
 
 
45) Um tanque horizontal tem 16 m de comprimento e suas extremidades têm a forma de trapézios 
isósceles com 4 m de altura, base menor igual a 4 m e base maior igual a 6 m. A água está sendo 
despejada no tanque à razão de 10 m3/min. Com que velocidade aumenta o nível da água quando a 
água estiver a 2 m do fundo? 
 
46) Dois carros, um dirigindo-se para o leste à razão de 72 Km/h e 
o outro dirigindo-se para o sul à razão de 54 Km/h estão viajando 
em direção à interseção de duas rodovias. A que razão os carros 
aproximam-se um do outro, no instante em que o primeiro estiver 
a 400 m e o segundo estiver a 300 m da interseção? 
 
 
47) Um automóvel que viaja à razão de 30 m/s, aproxima-se de um cruzamento. Quando o 
automóvel está a 120 m do cruzamento, um caminhão que viaja à razão de 40 m/s atravessa o 
cruzamento. O automóvel e o caminhão estão em rodovias que formam ângulos retos uma com a 
outra. Com que rapidez se separam, o automóvel e o caminhão, 2 s depois que o caminhão passou 
pelo cruzamento? 
 
48) Um reservatório tem 12 m de comprimento e seus extremos são da forma de um triângulo 
isósceles invertido, tendo 3 m de altura e 3 m de base. Enche-se o reservatório com água à razão de 
2 m3/min. Com que rapidez aumenta o nível de água quando está a 1 m de fundo? 
 
49) Um homem de 2 m de altura caminha em direção a um edifício à razão de 3 m/s. Se existe uma 
lâmpada sobre o chão a 10 m do edifício, com que rapidez a sombra do homem diminui, quando ele 
está a 3 m de distância deste? 
 
50) Acumula-se areia em um monte de forma cônica, à razão de 10 dm3/min. Se a altura do monte 
é sempre igual a duas vezes o raio da base, a que razão cresce a altura do monte quando esta é igual 
a 8 dm? 
 
51) Um recipiente cheio de água com a forma de um cone invertido, está sendo esvaziado à razão 
de 6 cm3/min. A altura do cone é 24 cm e o raio da base é 12 cm. Encontre a rapidez com que baixa 
o nível da água, quando está a 10 cm do fundo. 
 
52) Despeja-se água num recipiente de forma cônica, à razão de 8 cm3/min. O cone tem 20 cm de 
profundidade e 10 cm de diâmetro em sua parte superior. Se existe um furo na base, e o nível da 
água está subindo à razão de 1 mm/min, quando a água estiver a 16 cm do fundo, com que 
velocidade a água estará escoando?