mtm122 lista 2 complementar

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Universidade Federal de Ouro Preto
Departamento de Matema´tica
MTM122 - CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Lista de Exerc´ıcios 21 Complementar
1. Derive:
(a) y = 3x6 + 9x− 3 (b) y = x− 58 (c) y = 10 7
√
x6 − 4√
2x
(d) y = x4
5
√
x3 +
2
x6
√
x
Respostas: (a) 18x5 + 9; (b) −5
8
x−
13
8 ; (c)
60
7 7
√
x
+
2
x
√
2x
; (d)
23
5
x3
5
√
x3 − 13
x7
√
x
2. Identifique o seguinte limite com uma derivada e calcule-o, lim
h→0
1− cos(h)
h
.
Resposta: 0
3. Calcule lim
x→3
x3000 − 33000
x− 3 . Como esse limite se relaciona com uma derivada?
Resposta: 3000 · 32999
4. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = x
5
2 −√x, no ponto de abscissa x = 64.
Resposta: 20479x− 16y − 786496 = 0
5. Determine a equac¸a˜o da reta r tangente ao gra´fico de y = x2+3x+1 e que e´ paralela a` reta de equac¸a˜o y = 4x+7.
Resposta: 16x− 4y + 3 = 0
6. Determine as retas tangentes horizontais ao gra´fico de equac¸a˜o y =
x3
3
− 5x
2
2
+ 6x+ 1.
Resposta: y =
17
3
e y =
11
2
7. Determine a equac¸a˜o da reta r que passa pelo ponto (2,−1) e que e´ paralela a` reta tangente ao gra´fico de
y = 3x2 − 2x+ 5 no ponto de abcissa x = 7.
Resposta: y = 40x− 81
8. Determine a equac¸a˜o da reta perpendicular a` reta tangente ao gra´fico de y = x
5
2 − √x, no ponto de abscissa
x = 64.
Resposta: 16x+ 20479y = 670893064
9. Calcule a derivada das func¸o˜es, simplificando quando poss´ıvel:
(a) f(x) = 3x6 − 2x.
(b) g(x) =
x+ 2
x2 − 4 .
(c) h(x) = (x− 3)6.
(d) f(x) =
x
x+
√
x+
5
√
x2
.
(e) g(x) = ln(xx).
(f) f(x) = ex cos(x)− ex sen(x).
(g) h(x) =
ln(x)
x
.
(h) g(x) = 2 sen(x) cos(x).
Respostas: (a) 18x5−2; (b) − 1
(x− 2)2 ; (c) 6(x−3)
5; (d)
5 10
√
x+ 6
10(
5
√
x3 + 10
√
x+ 1)2
5
√
x2
; (e) ln(x)+1; (f) −2ex sen(x);
(g)
1− ln(x)
x2
; (h) 2 cos(2x)
10. Usando as regras do produto, do quociente e as identidades trigonome´tricas verifique as igualdades a seguir:
1Esta lista foi elaborada em parceria com a professora Monique Rafaella Anunciac¸a˜o de Oliveira - DEMAT/UFOP
(a) [tg(x)]
′
= sec2(x).
(b) [cotg(x)]
′
= − cossec2(x).
(c) [sec(x)]
′
= sec(x) tg(x).
(d) [cossec(x)]
′
= − cossec(x) cotg(x).
11. Calcule as derivadas a seguir usando a regra da cadeia:
(a) g(x) =
(
2x− 1
x2 − x+ 1
)4
.
(b) f(x) = tg2(x4).
(c) h(x) = 2 sen2
(
cos(x3)
)
.
(d) f(x) =
cos(3x)
sen2(x)− 1 .
(e) h(x) =
x4
3
√
2x4 + 1
.
(f) g(x) =
√
x+ x tg
(√
1/x
)
.
Respostas: (a)
4(2x− 1)3(2x2 − 2x− 1)
(x2 − x+ 1)5 ; (b) 8x
3 tg(x4) sec2(x4); (c) −12x2 sen(cos(x3)) cos(cos(x3)) sen(x3);
(d)
3 sen(3x) cos(x)− 2 cos(3x) sen(x)
cos3(x)
; (e)
4x3(4x4 + 3)
3(2x4 + 1)4/3
; (f)
tg(
√
1/x)− 12
√
1/x sec2(
√
1/x) + 1
2
√
x+ x tg(
√
1/x)
12. Usando a igualdade ab = eb ln(a) e a regra da cadeia calcule a derivada das func¸o˜es:
(a) 3x.
(b) −10x.
(c) xx.
(d) x
√
x.
(e) [cos(x)]x.
(f) xcos(x).
(g) [cos(x)]
sen(x)
.
(h) xx
x
.
Respostas: (a) 3x ln(3); (b) −10x ln(10); (c) xx[ln(x) + 1]; (d) x
√
x−1/2[ln(x) + 2]
2
;
(e) [cos(x)]x[ln(cos(x))−x tg(x)]; (f) xcos(x)−1[cos(x)−x ln(x) sen(x)]; (g) [cos(x)]sen(x)[cos(x) ln(cos(x))−sen(x) tg(x)];
(h) xx
x+x−1[x ln2(x) + x ln(x) + 1]
13. Ache a equac¸a˜o da reta tangente a` curva x3 + y3 = 19 no ponto (−2, 3).
Resposta: 4x+ 9y − 19 = 0
14. Calcule as derivadas:
(a) y = arctg [sen(x)]. (b) y = arccos
[
cos2(x)
]
. (c) y = earcsen(2x).
Respostas: (a)
cos(x)
sen2(x) + 1
; (b)
sen(2x)√
1− cos4(x) ; (c)
2earcsen(2x)√
1− 4x2
15. Ache
dy
dx
por derivac¸ao impl´ıcita:
(a) sec2(x) + tg2(y) = 4.
(b) y cos(x) + x sen(y) = 1.
(c) cossec
(
x2 − y2)+ sec (x2 + y2) = xy.
(d) y =
arcsen(x)
arccos(x)
.
(e) y = arctg[2x cos(x)].
(f) y = arctg(
√
x+
√
2x).
Respostas: (a) y′ = − sec
2(x) tg(x)
tg(y) sec2(y)
; (b) y′ =
y sen(x)− sen(y)
cos(x) + x cos(y)
;
(c) y′ =
y + 2x cossec(x2 − y2) cotg(x2 − y2)− 2x sec(x2 + y2) tg(x2 + y2)
2y cossec(x2 − y2) cotg(x2 − y2) + 2y sec(x2 + y2) tg(x2 + y2)− x ; (d)
arcsen(x) + arccos(x)√
1− x2 arccos2(x) ;
(e)
2[cos(x)− x sen(x)]
4x2 cos2(x) + 1
; (f)
1 +
√
2x
2
√
2x(x+
√
2x)(x+
√
2x+ 1)
16. Considere a curva ln
∣∣∣x+√x2 − 25∣∣∣+ y − ln(5) = 0.
(a) Verifique que o ponto (−13, ln(5)) pertence a esta curva.
(b) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a curva neste ponto.
Resposta: (b) x+ 12y − 12 ln(5) + 13 = 0
17. Considere a curva y cos (pixy)− ln (xy)2 + xy = 0.
(a) Verifique que o ponto (1, 1) pertence a esta curva.
(b) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a curva neste ponto.
Resposta: (b) x+ 3y − 4 = 0
18. Verifique:
(a) {ln [sec(x) + tg(x)]}′ = sec(x).
(b) {ln [cossec(x) + cotg(x)]}′ = cossec(x).
(c) [log10(x)]
′
=
log10(e)
x
.
(d) [loga(x)]
′
=
loga(e)
x
, para qualquer valor de a > 0
fixo.
19. Derive:
(a) y =
log10(x)
x
.
(b) y = log4
(
x+ 1
x− 1
)
.
(c) y = log16 [log4 (2x+ 1)].
(d) y = [ln(x)]
ln(x) − [log2e(x)]log2e(x).
(e) 2xy − ex sen(x)+cos(x) + 2 = 0.
Respostas: (a)
1− ln(x)
x2 ln(10)
; (b)
2
(1− x2) ln(4) ; (c)
2
(2x+ 1) ln(16) ln(2x+ 1)
;
(d)
[ln(x)]ln(x)[ln(ln(x)) + 1]
x
− [log2e(x)]
log2e(x)[ln(log2e(x)) + 1]
x[ln(2) + 1]
; (e)
[x2 cos(x)− 1]ex sen(x)+cos(x) + 2
2x2
20. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = 4 arccos(2x) no ponto de abscissa x = 1/4.
Resposta: 48x+
√
3y − 4pi
√
3− 12 = 0
21. Determine a equac¸a˜o da reta paralela a` reta tangente ao gra´fico de yx = log4(x) no ponto de abscissa x = 1/4 e
passando pela origem.
Resposta: y =
16[1 + ln(4)]
ln(4)
x
22. Determine os valores de b para que a reta tangente a` curva
√
xy + x+ y + b
[
cos
(pixy
2
)]
+ x+ 1 = 0 no ponto
(1, 1) tenha inclinac¸a˜o zero.
Resposta:
4− 3pi
pi
;−4 + 3pi
pi
23. Calcule a derivada indicada:
(a) y = −15x12 + 5x10 − 9x6 − x5 + x4 − 289x3 − 102x2 + 2x− 167, d
49y
dx49
.
(b) y = sen(x),
d133y
dx133
.
(c) y = sen(x),
dny
dxn
com n = 4k, k ∈ Z.
(d) y = sen(x),
dny
dxn
com n = 4k + 1, k ∈ Z
(e) y = sen(x),
dny
dxn
com n = 4k + 2, k ∈ Z
(f) y = sen(x),
dny
dxn
com n = 4k + 3, k ∈ Z
(g) y = cos(x),
dny
dxn
com n = 4k, k ∈ Z.
(h) y = cos(x),
dny
dxn
com n = 4k + 1, k ∈ Z
(i) y = cos(x),
dny
dxn
com n = 4k + 2, k ∈ Z
(j) y = cos(x),
dny
dxn
com n = 4k + 3, k ∈ Z
(k) y =
1
x
,
dny
dxn
.
Respostas: (a) 0; (b) cos(x); (c) sen(x); (d) cos(x); (e) − sen(x); (f) − cos(x); (g) cos(x); (h) − sen(x);
(i) − cos(x); (j) sen(x); (k) (−1)
nn!
xn+1
24. Calcule a n-e´sima derivada de ln(x). Existe alguma semelhanc¸a com o item (23k) do exerc´ıcio anterior?
Resposta:
(−1)n−1(n− 1)!
xn
25. Encontre
d2y
dx2
:
(a) y = arctg(arcsen(x)).
(b) y = ln(sec(x) + tg(x)).
(c) y = xx.
(d) y = xx
x
.
(e) y = arcsen(
√
1− x2).
(f) y = arcsen(e2x − 1).
Respostas: (a)
x[1 + arcsen2(x)]− 2√1− x2 arcsen(x)
[1 + arcsen2(x)
√
1− x2]2√1− x2 ; (b) sec(x) tg(x); (c) x
x
{
[ln(x) + 1]2 +
1
x
}
;
(d) xx
x
xx
{
xx[ln(x)(ln(x) + 1)]2 + ln(x+ 1)[ln(x)(ln(x) + 1) +
1
x
] +
1
x
[2 ln(x) + 1− 1
x
]
}
; (e)
−
√
x2
(1− x2)3/2 ;
(f)
4
√−e2x(e2x − 2)
(e2x − 2)2