Oscilações e Movimento Harmônico Simples

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OSCILAÇÕES
O movimento harmônico simples 
De um modo geral, chamamos de oscilações aquela classe de movimento que se repete no tempo, quer seja de uma maneira ordenada ou não. O movimento que se repete regularmente com o passar do tempo é chamado de periódico e o intervalo decorrente entre duas situações equivalentes é o período do movimento. O estudo de oscilações é uma parte importante da mecânica devido à frequência com que este tipo de evento ocorre. O simples balançar das folhas de uma árvore, as ondas de rádio, o som e a luz são exemplos típicos onde o movimento oscilatório acontece. Dentre estes movimentos, aquele chamado de harmônico é o mais simples, porém, é um dos mais importantes devido à sua vasta aplicabilidade. No estudo do movimento harmônico simples (MHS) nós vamos considerar apenas o caso unidimensional, onde a posição de um corpo em relação à posição de equilíbrio é dada por uma expressão do tipo:
onde A é a amplitude do movimento, φ é a fase e ω0 é a frequência natural ou frequência de ressonância do sistema. A e φ dependem das condições iniciais do movimento enquanto que ω0 é uma grandeza intrínseca ao sistema, que está relacionada com o período pela expressão: 
onde f = 1/T é a frequência em Hertz (Hz) e ω0 tem dimensões de rad/s.
Um gráfico da função x(t) está mostrado na Fig.1. Um exemplo simples do MHS é a projeção (ou a sombra) de um corpo em movimento circular uniforme sobre o eixo x. 
Fig. 1 - Movimento harmônico simples.
O MHS é caracterizado por ter funções bem comportadas (analíticas) tanto em x(t) como em v(t) e a(t). De fato, estas grandezas são sempre contínuas, com derivadas também contínuas. Isto já não ocorre, por exemplo, para uma partícula oscilando no interior de uma caixa unidimensional de comprimento L, mostrada na Fig. 2. Neste caso, x(t) é uma função periódica e triangular, apresentando nos pontos x = 0 e x = L descontinuidade na derivada primeira, já que a velocidade troca de sinal devido à colisão com a parede. 
Fig. 2 – Movimento periódico de uma partícula dentro de uma caixa.
Voltando ao caso do MHS, onde x(t) = Acos(ω0t + φ), podemos encontrar v(t) e a(t) através da operação de diferenciação: 
de onde vemos que a velocidade está 90o fora de fase com a posição e que a aceleração é proporcional ao deslocamento, porém com a sentido oposto. Da 2 a lei de Newton, temos:
 
que é a força encontrada num oscilador harmônico simples (sistema massamola). Sempre que a força é proporcional e oposta ao deslocamento temos a ocorrência do MHS. A constante k é denominada constante de mola ou constante de força do oscilador e a freqüência natural de oscilação do sistema, ω0 = k m , é completamente independente da amplitude e fase do movimento. A velocidade máxima que um corpo em MHS pode atingir é max A 0 v = ω , de onde vemos que quanto maior for a amplitude do movimento, maior será a velocidade máxima. Da maneira que escrevemos x(t) e v(t), notamos que para t = 0 temos x(0) = x0 = Acosφ e v(0) = v0 = -Aω0senφ. Assim, expandindo o co-seno existente em x(t) temos: 
que é a solução mais geral para o movimento de um oscilador harmônico simples sujeito às condições iniciais x(0) = x0 e v(0) = v0.
Oscilações forçadas 
Vamos analisar agora o caso de um sistema massa-mola com frequência de ressonância ω0 submetido a uma força externa do tipo: 
A equação diferencial que descreve o movimento é: 
Como o sistema está sendo forçado a uma frequência ω, ele oscilará nesta frequência, porém a amplitude do movimento não aumentará, pois o trabalho realizado por F é nulo em cada período. Podemos tentar uma solução do tipo x(t) = Asenωt. Substituindo na equação diferencial, encontramos o valor de A dado por: 
Quando ω0 < ω, A é negativo e isto indica que a resposta do sistema está 180o fora de fase com o estímulo. A potência fornecida pela força F é: 
Quando calculamos a potência fornecida ao sistema durante um período completo temos: 
O gráfico da amplitude de movimento como função de ω está mostrado na Fig. 3. Podemos ver que A tende a infinito quando ω → ω0. Porém, na prática isto não acontece porque forças dissipativas impedem que isto aconteça. A equação diferencial para um sistema massa-mola amortecido sujeito a uma força do tipo F(t) = F0 senωt é: 
Fig. 3 – Amplitude do movimento forçado sem atrito como função da frequência de excitação.
Novamente o sistema é obrigado a oscilar com frequência ω, porém, devido ao termo de amortecimento, pode haver uma parte da solução que esteja fora de fase com F(t). Portanto, vamos supor que a solução seja do tipo:
Substituindo na equação diferencial obtemos: 
Como esta igualdade deve ser válida para qualquer instante de tempo, devemos ter: 
de onde podemos encontrar os valores de A1 e A2 e, conseqüentemente, x(t). A solução pode ser colocada na forma: 
Vemos agora que próximo da ressonância (ω ≅ ω0), a amplitude do movimento fica limitada ao valor bω F0 e, portanto, não diverge. Um gráfico desta amplitude está mostrado na Fig. 4. 
Fig. 4 – Amplitude do movimento forçado com atrito como função da frequência de excitação. 
A solução que acabamos de encontrar é a chamada solução particular da equação diferencial. Existem também a solução da equação homogênea que é chamada de transiente e que desaparece com o passar do tempo. A solução geral da equação diferencial é dada por: 
RESSONÂNCIA
A ressonância é a condição na qual uma força dependente do tempo consegue transmitir grandes quantidade de energia para um objeto que está oscilando, levando a um movimento de grande amplitude. Na ausência de amortecimento, a ressonância ocorre quando a frequência da força se iguala à frequência natural com que o objeto irá oscilar. 
O movimento harmônico simples é o movimento oscilatório que ocorre quando uma força restauradora da forma F = -kx atua sobre um objeto, na ausência de forças de dissipação e de forças de excitação. Um registro gráfico da posição em função do tempo para um objeto em movimento harmônico simples é senoidal. A amplitude A do movimento é a distância máxima que o objetivo se afasta da sua posição de equilíbrio.
Movimento Harmônico Amortecido
O movimento harmônico amortecido é o movimento no qual a amplitude da oscilação diminui com o passar do tempo. O amortecimento crítico é o grau mínimo de amortecimento que elimina quaisquer oscilações no movimento até o objeto voltar à sua posição de equilíbrio. 
Movimento Harmônico Forçado e Ressonância
O movimento harmônico forçado ocorre quando uma força de excitação atua sobre um objeto junto com a força restauradora. Ressonância é a condição na qual a força de excitação consegue transmitir grandes quantidades de energia a um objeto que está oscilando, levando a um movimento de grande amplitude. Na ausência de amortecimento, a ressonância ocorre quando a frequência da força de excitação coincide com uma frequência natural na qual o objetivo oscila.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
www.fotonica.ifsc.usp.br/ebook/book3/Capitulo9.pdf
https://www.mar.mil.br/dhn/dhn/ead/pages/fisica/.../explica.htm