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APOSTILA ESTATISTICA COMPLETA

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U N I V E R S I D A D E D E S O R O C A B A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E S T A T Í S T I C A 
G E R A L 
E 
A P L I C A D A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E N G E N H A R I A S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOME DO(A) ALUNO(A):_____________________________________________________ 
 
CURSO:____________________________________________________ 
 
TURMA:_______ TURNO:________________ SALA:____________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AVALIAÇÕES: 
 
 
1ª) Dia____/____/2012 Páginas:______________________________________ 
 
 
 
 
2ª) Dia____/____/2012 Páginas:______________________________________ 
 
 
 
 
3ª) Dia____/____/2012 Páginas:______________________________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Semestre / 2012 
Prof. Sergio Rocha 
 
 
 1
 
 
 
 
 
 
 
 
S U M Á R I O 
 
 
 
 
 
 
 
pág. 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
 
• O que é Estatística?........................................................................................................................ 3 
 
 
• Ramos da Estatística....................................................................................................................... 3 
 
 
• Usos e abusos da Estatística.......................................................................................................... 4 
 
 
• Análise exploratória dos dados....................................................................................................... 4 
 
 
• Estatística com calculadoras e computadores................................................................................ 4 
 
 
• Arredondamento de dados.............................................................................................................. 5 
 
 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA DESCRITIVA 
 
 
 
• Variáveis quantitativas e qualitativas............................................................................................... 9 
 
 
• Amostras e populações................................................................................................................... 12 
 
 
• Planejamento de experimentos....................................................................................................... 12 
 
 
• Tabelas estatísticas......................................................................................................................... 13 
 
 
• Tabelas de frequências................................................................................................................... 15 
 
 
• Como construir uma tabela de frequências..................................................................................... 15 
 
 
• Frequências relativas e frequências acumuladas............................................................................. 24 
 
 
 
 
 
 
 
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DAS VARIÁVEIS QUALITATIVAS E QUANTITATIVAS 
 
 
 
• Gráfico de Colunas.......................................................................................................................... 26 
 
 
• Gráfico de Colunas no EXCEL........................................................................................................ 26 
 
 
• Diagrama de Pareto........................................................................................................................ 27 
 
 
• Gráfico de Linhas............................................................................................................................ 28 
 
 
• Gráfico de Barras............................................................................................................................ 29 
 
 
• Gráfico Pictórico.............................................................................................................................. 29 
 
 
• Gráfico de Setores........................................................................................................................... 30 
 
 
• Histograma...................................................................................................................................... 31 
 
 
• Polígono de Frequências................................................................................................................. 32 
 
 
 
 
 
 
 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
 
 
• Média aritmética simples.................................................................................................................. 34 
 
 
• Média aritmética ponderada............................................................................................................. 35 
 
 
• Média aritmética para dados tabulados........................................................................................... 36 
 
 
• Mediana para dados não tabulados................................................................................................. 41 
 
 
• Mediana para dados tabulados........................................................................................................ 43 
 
 
• Moda para dados não tabulados...................................................................................................... 46 
 
 
• Moda para dados tabulados............................................................................................................. 47 
 
 
• Análise das medidas de tendência central....................................................................................... 50 
 
 
• Separatrizes: quartis, decis e percentis............................................................................................ 51 
 
 
• Separatrizes para dados tabulados.................................................................................................. 52 
 
 
 
 
 
 
 
MEDIDAS DE DISPERSÃO OU VARIABILIDADE 
 
 
 
• Amplitude......................................................................................................................................... 56 
 
 
• Intervalo semiquartil........................................................................................................................ 56 
 
 
• Desvio médio e desvio padrão (para dados não tabulados)............................................................ 57 
 
 
• Variância.......................................................................................................................................... 57 
 
 
• Cálculo do desvio médio e do desvio padrão pelas FÓRMULAS.................................................... 58 
 
 
• Cálculo da média e do desvio padrão nas CALCULADORAS........................................................ 62 
 
 
• Cálculo de medidas usando o EXCEL............................................................................................. 63 
 
 
• Coeficiente de variação de Pearson................................................................................................. 64 
 
 
• Desvio médio e desvio padrão (para dados tabulados)................................................................... 67 
 
 
• MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE...................................................................................... 70 
 
 
• Assimetria......................................................................................................................................... 70 
 
 
• Curtose.............................................................................................................................................71 
 
 
 
 
 
 
 
PROBABILIDADES 
 
 
 
• Introdução......................................................................................................................................... 79 
 
 
• Probabilidades simples..................................................................................................................... 82 
 
 
• Regra da Adição e da Multiplicação................................................................................................. 82 
 
 
• Diagrama da Árvore.......................................................................................................................... 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
 
 
 
 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
 
 
• Princípio Fundamental da Contagem.............................................................................................. 95 
 
 
• Fatorial............................................................................................................................................ 96 
 
 
• Arranjos simples............................................................................................................................... 96 
 
 
• Permutação simples......................................................................................................................... 97 
 
 
• Combinação simples........................................................................................................................ 97 
 
 
• Combinações complementares........................................................................................................ 99 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS DE PROBABILIDADES 
 
 
 
• Distribuição Binomial........................................................................................................................ 101 
 
 
• Distribuição Hipergeométrica........................................................................................................... 107 
 
 
• Distribuição de Poisson.................................................................................................................... 113 
 
 
 
 
DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUAS DE PROBABILIDADES 
 
 
 
• Distribuição exponencial................................................................................................................... 114 
 
 
• Distribuição uniforme........................................................................................................................ 114 
 
 
• Distribuição normal (ou de Gauss).................................................................................................... 115 
 
 
• O coeficiente z.................................................................................................................................. 116 
 
 
• Como usar a Tabela 1 (Tabela do coeficiente z)............................................................................. 116 
 
 
• Aplicações (Distribuição normal)...................................................................................................... 118 
 
 
 
 
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA 
 
 
 
• Amostragem...................................................................................................................................... 128 
 
 
• Métodos de amostragem probabilística............................................................................................ 128 
 
 
• Métodos de amostragem não probabilística..................................................................................... 130 
 
 
• Distribuição amostral......................................................................................................................... 132 
 
 
• Intervalos de confiança..................................................................................................................... 132 
 
 
• ESTIMAÇÃO..................................................................................................................................... 132 
 
 
• ESTIMATIVA DE UMA MÉDIA POPULACIONAL........................................................................... 133 
 
 
• 1º caso: Estimativa da média (quando o desvio padrão populacional é conhecido)....................... 133 
 
 
• Valor do coeficiente z (para intervalos de confiança)....................................................................... 135 
 
 
• Erro de estimação da média............................................................................................................. 141 
 
 
• Erro padrão da média....................................................................................................................... 141 
 
 
• Fator de correção para população finita........................................................................................... 143 
 
 
• Estimativa da média para população finita (desvio padrão populacional conhecido)....................... 143 
 
 
• Tamanho da amostra (para estimativa da média populacional)....................................................... 146 
 
 
• Tamanho da amostra para população finita...................................................................................... 148 
 
 
• 2º caso: Estimativa da média (quando o desvio padrão populacional é desconhecido).................. 149 
 
 
• Como usar a Tabela 2 (Tabela do coeficiente t).............................................................................. 149 
 
 
• Estimativa da média para população finita (desvio padrão populacional desconhecido)................. 153 
 
 
• ESTIMATIVA DE UMA PROPORÇÃO POPULACIONAL............................................................... 170 
 
 
• Estimativa de uma proporção para população finita......................................................................... 172 
 
 
• Tamanho da amostra (para estimativa de uma proporção populacional)......................................... 173 
 
 
 
 
TESTES DE HIPÓTESES OU DE SIGNIFICÂNCIA 
 
 
 
• Hipóteses estatísticas....................................................................................................................... 181 
 
 
• Níveis de significância....................................................................................................................... 182 
 
 
• Testes unilaterais e bilaterais............................................................................................................ 182 
 
 
• Valor da estatística de teste.............................................................................................................. 184 
 
 
• Testes de hipóteses ou de significância para médias populacionais................................................ 184 
 
 
• Exemplos e exercícios de testes de hipóteses (utilizando o teste bilateral)..................................... 185 
 
 
• Exemplos e exercícios de testes de hipóteses (utilizando o teste unilateral à esquerda)................ 195 
 
 
• Exemplos e exercícios de testes de hipóteses (utilizando o teste unilateral à direita)..................... 199 
 
 
 
 
NOÇÕES DE CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
 
 
 
• Correlação e regressão..................................................................................................................... 203 
 
 
• Correlação linear direta, inversa e nula............................................................................................ 204 
 
 
• Correlação não linear........................................................................................................................ 204 
 
 
• Coeficientede correlação linear simples.......................................................................................... 205 
 
 
• Regressão linear simples.................................................................................................................. 206 
 
 
• Exemplo: correlação linear direta (com gráfico)................................................................................ 207 
 
 
• Exemplo: correlação linear inversa (com gráfico)............................................................................. 209 
 
• Aplicações (correlação linear)........................................................................................................... 211 
 
 
 
 
TABELA 1 (Distribuição Normal Padronizada): coeficiente z.................................................... 225 
 
 
 
 
TABELA 2 (Distribuição de Student): coeficiente t...................................................................... 226 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................................................... 227 
 
 
 3
 
 
I N T R O D U Ç Ã O 
 
 
 
O que é Estatística? 
 
A palavra estatística é derivada da palavra latina status (que significa “estado”). Os primeiros usos da 
estatística envolviam compilação de dados e gráficos que descreviam vários aspectos de um estado ou país. A 
partir de 1662, com a publicação de John Graunt, com a informação estatística sobre nascimentos e mortes, 
iniciaram-se os estudos sobre taxas de mortalidade, doenças, tamanho de populações, renda, taxa de 
desemprego etc. 
Segundo Dugé de Bernonville, a Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve 
para estudar e medir os fenômenos coletivos. 
Também, podemos definir a Estatística como um conjunto de técnicas que permite, de forma sistemática, 
organizar, descrever, analisar e interpretar dados oriundos de estudos ou experimentos, realizados em qualquer 
área do conhecimento. 
R a m o s d a E s t a t í s t i c a 
 
 
A Estatística se divide em três ramos: 
• Estatística Descritiva 
• Teoria da Probabilidade 
• Inferência Estatística 
E s t a t ís t i c a D e s c r i t i v a 
 
 
A Estatística Descritiva compreende a organização, o resumo e, em geral, a simplificação de informações 
que podem ser muito complexas. Ela utiliza números para descrever fatos. Como exemplos, citamos: a média 
industrial, a taxa de desemprego, a durabilidade média de produtos, a média de estudantes etc. 
Aqui se enquadram as medidas de tendência central ou medidas de posição (média aritmética, mediana e 
moda) e as medidas de dispersão ou variabilidade (desvio médio e desvio padrão). 
 
 
T e o r ia d a P r o b a b i l i d a d e 
 
 
A probabilidade é utilizada para se estudar a incerteza oriunda de fenômenos de caráter aleatório. 
 
Fenômeno aleatório: é uma situação ou acontecimento cujos resultados não podem ser previstos com 
certeza. Por exemplo, as condições climáticas, taxa de inflação etc. 
 
A teoria da probabilidade está dentro do que é conhecido como um sistema axiomático: começamos com 
algumas verdades básicas conhecidas e construímos um sistema lógico ao seu redor. Em sua forma mais pura, o 
sistema não tem valor prático. Sua praticidade vem do conhecimento de como utilizar a teoria para produzir 
aproximações práticas. 
 
Por mais potente que seja, é natural que nenhuma estatística vai convencer alguém que uma determinada 
conclusão seja verdadeira. 
 
Uma aplicação importante da teoria é feita nos testes de diagnósticos. A incerteza está presente porque, 
apesar das alegações dos fabricantes, nenhum teste disponível é perfeito. Podemos, por exemplo, concluir que 
cada amostra de sangue cujo resultado seja positivo para o HIV abrigue realmente o vírus? Para responder esta 
questão, precisamos confiar no comportamento de médio e longo prazo dos testes de diagnósticos. A teoria da 
probabilidade nos permite quantificar esse comportamento. 
 
Outras aplicações: 
a) Que garantia temos de que todos os paraquedas irão funcionar corretamente quando acionados? 
b) Que garantia temos do fabricante de latas em conserva de que o produto poderá ser consumido dentro 
da validade especificada? Ele terá o mesmo valor nutritivo? 
c) Que garantia temos de um fabricante de medicamentos de que o produto poderá ser utilizado dentro da 
validade especificada? Ele terá o mesmo efeito desejado? 
 
 
 4
 
 
I n f e r ê n c i a E s t a t í s t i c a 
 
Este é o terceiro ramo da Estatística, no qual envolve a formulação de certos julgamentos sobre um todo 
(população) após examinar apenas uma parte dele (amostra aleatória), isto é, tomar decisões com base em 
dados colhidos de uma amostra. 
A inferência estatística é feita por meio de testes de hipóteses, mas como toda inferência, está sujeita a 
erro. 
A inferência estatística está baseada na Teoria das Probabilidades. 
 
Inferir significa tirar por conclusão; deduzir pelo raciocínio. 
 
 
 
U s o s e A b u s o s d a E s t a t í s t i c a 
 
A Estatística tornou-se uma ferramenta tão importante que nos dias de hoje é utilizada praticamente em 
todos os campos do conhecimento. 
Como exemplos, podemos citar: os fabricantes estão fornecendo melhores produtos a custos menores, 
através dos controles de qualidade; controle de doenças, poluição atmosférica, mais segurança nas empresas e 
nas rodovias, maior produção na agricultura etc. 
Mas, também temos que tomar alguns cuidados para não obter resultados distorcidos, ocasionados por 
descuido ou ignorância, por objetivos pessoais, por alegações enganosas etc. 
 
 
 
A n á l i s e E x p l o r a t ó r i a d o s D a d o s 
 
Ao coletarmos determinados dados em um levantamento, podemos ter um objetivo específico, ou 
simplesmente, estamos fazendo uma observação para saber o que esses dados nos revelam. É importante saber 
que devemos relacionar três características dos dados: 
1ª) A natureza ou forma da distribuição; 
2ª) Um valor representativo (média, mediana, moda); 
3ª) Uma medida de variação (desvio médio, desvio padrão). 
Devemos tomar o cuidado de observar e analisar os dados coletados para evitarmos erros grosseiros que 
poderão prejudicar as nossas conclusões. 
 
Como exemplo, se estivermos coletando os salários dos funcionários de determinada categoria de uma 
empresa, que estão compreendidos numa faixa de R$ 800,00 a R$ 1.500,00, exceto um deles de que foi de R$ 
10.000,00, não podemos simplesmente considerar todos esses valores para obtermos as características dessa 
distribuição; precisamos verificar se esse salário que está muito alto em relação aos demais não foi um erro de 
digitação, ou seja, o salário real poderia ser de R$ 1.000,00 e foi digitado R$ 10.000,00, e isto irá distorcer 
totalmente as nossas conclusões a respeito desses salários. 
 
 
E s t a t í s t i c a c o m C a l c u l a d o r a s e C o m p u t a d o r e s 
 
Todos os estudantes de Estatística percebem a importância e facilidade que as calculadoras proporcionam 
na aprendizagem dos diversos tópicos que são estudados no decorrer do curso. 
Com o advento do computador, diminuímos, e muito, a árdua tarefa de trabalhar com uma grande 
quantidade de números. Podemos citar, entre outros, dois softwares que estão no mercado e que muito nos 
auxiliam: o STATDISK e MINITAB. Mas precisamos tomar alguns cuidados com essa automação, pois ela pode 
levar um indivíduo sem preparo específico a utilizar técnicas inadequadas para resolver determinado tipo de 
problema, logo é necessária a compreensão e domínio dos conceitos básicos da Estatística. 
 
 
C á l c u l o d e M e d i d a s 
 
Antes de iniciar os cálculospara a determinação das medidas necessárias para o desenvolvimento e 
entendimento dos conceitos em Estatística, o estudante deve familiarizar-se com a sua calculadora para 
efetuar os cálculos com mais segurança e rapidez. 
 
 
 5
 
 
A R R E D O N D A M E N T O D E D A D O S 
 
 
 
 
 
 
Critérios para o arredondamento de um dado estatístico 
 
 
 
De acordo com a Resolução 886/66, da Fundação IBGE, o arredondamento é feito da seguinte maneira: 
 
 
1º caso: Arredondamento por falta 
 
Quando o primeiro dígito dos que irão ser eliminados for menor ou igual a quatro (isto é, menor do que 5). 
 
 
Exemplo: 
 Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 
 a) 11,372 Inteiros 11 
 b) 46,8417 Décimos 46,8 
 c) 261,761 Centésimos 261,76 
 
 
 
2º caso: Arredondamento por excesso 
 
Quando o primeiro dígito após aquele que será arredondado for maior ou igual a cinco, seguido por dígitos 
maiores que zero: acrescentar uma unidade no algarismo a ser arredondado. 
 
Exemplo: 
 Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 
 a) 32,827 Inteiros 33 
 b) 16,763 Décimos 16,8 
 c) 23,42502 Centésimos 23,43 
 
 
 
 
3º caso: Caso particular: números terminados em 5 
 
 
Quando o número a ser arredondado for: 
• uma decimal exata 
• terminada em cinco (ou for um cinco seguido somente de zeros) 
• e o arredondamento for feito no dígito imediatamente anterior a esse 5 em que o 
número está terminando 
 
procedemos da seguinte forma: 
 
 
1) NÃO ALTERAR o valor desse dígito, se o mesmo for PAR. 
 
 
2) AUMENTAR em uma unidade se esse dígito for ÍMPAR (ou seja, é o caso geral de arredondamento, pois 
o dígito posterior ao dígito a ser arredondado é igual a 5). 
 
 
CUIDADO para não utilizar o caso particular nos casos gerais! 
 
 
 
Exemplos: Arredondar para centésimos: 
 
 
73,365 ▬►73,36 (como a 2ª decimal é o algarismo 6, que é par, deixar o próprio algarismo 6 na 2ª 
decimal) 
 
 
61,135 ▬►61,14 (como a 2ª decimal é o algarismo 3, que é ímpar, acrescentar uma unidade ao 3, ou 
seja, a 2ª decimal passará a ser 4) 
 
 
ATENÇÃO: Não devemos NUNCA fazer arredondamentos sucessivos. 
 
 
Exemplo: Para arredondar o número 21,74631 para décimos, o número arredondado será 21,7. Agora, se 
alguém arredondar primeiramente para centésimos obterá 21,75, e se arredondar este último para 
décimos, obterá 21,8, e não 21,7, que é o correto. 
 
 
 6
 
 
OUTROS EXEMPLOS DE ARREDONDAMENTOS 
 
 
 
 
 
2. Arredondar os seguintes números: 
 
a) 43,269 para décimos................................... ▬► Resposta: 43,3 
 
b) 6,83172 para milésimos.............................. ▬► Resposta: 6,832 
 
c) 52,7444... para o décimo mais próximo...... ▬► Resposta: 52,7 
 
d) 61,823 para a unidade mais próxima.......... ▬► Resposta: 62 
 
e) 32,3961 para centésimos............................ ▬► Resposta: 32,40 
 
f) 182,71888... para décimos.......................... ▬► Resposta: 182,7 
 
 
3. Arredondar os seguintes números para centésimos: 
 
 
a) 58,7248 ≅ 58,72 (como a 3ª casa decimal é o algarismo 4, que é inferior a 5, devemos manter o 
algarismo 2 na 2ª casa decimal) 
b) 47,2361 ≅ 47,24 (como a 3ª casa decimal é o algarismo 6, que é maior ou igual a 5, devemos aumentar 
o valor do algarismo 3 da 2ª casa decimal em uma unidade, ou seja a 2ª casa 
decimal passará a ser 4) 
c) 27,845 ≅ 27,84 (esse é o caso particular de arredondamento, no qual o número termina em 5 e o 
arredondamento será feito no algarismo 4 que se localiza na casa decimal 
imediatamente anterior a esse 5: como 4 é par, deverá permanecer com o mesmo 
valor) 
 
d) 71,935 ≅ 71,94 (embora esse número termine em cinco e o arredondamento será feito na casa decimal 
imediatamente anterior; este caso particular de arredondamento recai no caso geral 
de arredondamento, pois a casa decimal anterior a esse 5 é o algarismo 3, que é 
ímpar, logo devemos acrescentar uma unidade ao 3) 
 
e) 4,785 ≅ 4,78 (é o caso particular de arredondamento: como o 8 é par, deverá permanecer o 
mesmo 8) 
 
f) 42,375 ≅ 42,38 (é caso particular, mas como antes do 5 aparece o 7, que é ímpar, devemos aplicar o 
caso geral de arredondamento, ou seja, o 7 será aumentado em uma unidade) 
 
g) 6,785... ≅ 6,79 (NÃO é caso particular, pois como aparece o símbolo de reticências após o 5, isso 
significa que esse número continua tendo mais algarismos, ou seja, é o caso geral 
de arredondamento) 
 
h) 17,125 ≅ 17,12 (é caso particular de arredondamento: como 2 é par, deverá permanecer o mesmo 
algarismo 2) 
 
i) 17,125... ≅ 17,13 (NÃO é caso particular, pois como aparece o símbolo de reticências após o 5, isso 
significa que esse número continua tendo mais algarismos, ou seja, é o caso geral 
de arredondamento) 
 
j) 17,1255 ≅ 17,13 (NÃO é caso particular, pois o arredondamento não será feito no último 5, e sim no 
penúltimo 5, logo é o caso geral de arredondamento) 
 
k) 17,125000000 ≅ 17,12 (é caso particular de arredondamento, pois os zeros que aparecem após o 5 
não são considerados) 
 
l) 12,145 ≅ 12,14 (caso particular) 
 
m) 12,14500 ≅ 12,14 (caso particular) 
 
n) 12,1450000000 ≅ 12,14 (caso particular) 
 
o) 12,145... ≅ 12,15 (caso geral) 
 
p) 12,14555 ≅ 12,15 (caso geral) 
 
q) 203,315 ≅ 203,32 (caso particular) 
 
r) 73,3655 ≅ 73,37 (caso geral) 
 
s) 61,1255 ≅ 61,13 (caso geral) 
 
t) 67,3972 ≅ 67,40 (caso geral) 
 
u) 39,6725 ≅ 39,67 
 
v) 82,7295 ≅ 82,73 
 
w) 0,785 ≅ 0,78 
 
x) 122,13777... ≅ 122,14 
 
y) 8,68222... ≅ 8,68 
 
z) 1,615... ≅ 1,62 
 
 
 7
 
 
A l g a r i s m o s s i g n i f i c a t i v o s 
 
 
Os algarismos significativos (ou dígitos significativos) de um número são os algarismos separados dos zeros 
necessários para a localização da vírgula. 
 
 
Exemplos 
 
 
1. Quantidade de algarismos significativos dos números: 
a) 2,55 tem 3 algarismos significativos 
 
b) 16,875 tem 5 algarismos significativos 
 
c) 8,701 tem 4 algarismos significativos 
 
d) 0,043 tem 2 algarismos significativos 
 
e) 0,0403 tem 3 algarismos significativos 
 
f) 0,0006 tem 1 algarismo significativo 
 
g) 7,62 tem 3 algarismos significativos 
 
h) 7,6200 tem 5 algarismos significativos 
 
i) 43 tem 2 algarismos significativos 
 
j) 43,0 tem 3 algarismos significativos 
 
k) 1,6x10-3 (notação científica) = 0,0016 tem 2 algarismos significativos 
 
l) 1,600x10-3 (notação científica) = 0,001600 tem 4 algarismos significativos 
 
m) 2,8100 tem 5 algarismos significativos 
 
n) 2810000 na notação científica: 2,81X106 tem 3 algarismos significativos 
 
o) 2810000 na notação científica: 2,8100X106 tem 5 algarismos significativos 
 
2. Arredondar os seguintes números: 
a) 43,341 para 3 algarismos significativos................... ▬► Resposta: 43,3 
 
b) 14,62 para 2 algarismos significativos..................... ▬► Resposta: 15 
 
c) 8,27481 para 4 algarismos significativos................. ▬► Resposta: 8,275 
 
d) 0,01953 para 2 algarismos significativos................. ▬► Resposta: 0,020 
 
 
 
 
E X E R C Í C I O S (arredondamento de dados) 
 
 
1. Fazer o arredondamento dos seguintes números: 
 
 Número a arredondar Arredondamento para Número arredondado 
a) 53,479 Inteiros 
b) 26,571 Décimos 
c) 152,9838 Centésimos 
d) 31,834 Décimos 
e) 65,0921 Centésimos 
f) 16,504 Inteiros 
g) 27,587 Centésimos 
h) 37,6032 Centésimos 
i) 44,964 Décimos 
j) 315,500 Inteiros 
k) 316,500 Inteiros 
l) 316,750 Décimos 
m) 316,705 Centésimos 
n) 316,735 Centésimos 
o) 4,972618 Milésimosp) 10,739274 Décimos de milésimos 
q) 81,938372 Milésimos 
r) 0,0034186 Décimos de milésimos 
s) 0,00083724 Centésimos de milésimos 
 
Respostas: a) 53; b) 26,6; c) 152,98; d) 31,8; e) 65,09; f) 17; g) 27,59; h) 37,60; i) 45,0; j) 316; k) 316; 
l) 316,8; m) 316,70; n) 316,74; o) 4,973; p) 10,7393; q) 81,938; r) 0,0034; s) 0,00084 
 
 
 8
 
 
2. Indicar como cada um dos seguintes valores seria arredondado: 
 
 
 Números para arredondar Respostas 
a) 12357 (para a dezena mais próxima) 
b) 5789 (para a centena mais próxima) 
c) 6501 (para o milhar mais próximo) 
d) 130,055 (para a unidade mais próxima) 
e) 28,65 (para o décimo mais próximo) 
f) 28,655 (para o décimo mais próximo) 
g) 19,95 (para o décimo mais próximo) 
h) 32,505 (para o centésimo mais próximo) 
i) 325,455 (para o centésimo mais próximo) 
j) 32,505 (para o décimo mais próximo) 
k) 32,505 (para a unidade mais próxima) 
l) 5,825 (para o centésimo mais próximo) 
m) 5,825... (para o centésimo mais próximo) 
n) 2995,00 (para a dezena mais próxima) 
o) 265,31 (para a dezena mais próxima) 
p) 265,0 (para a dezena mais próxima) 
q) 48,85002 (para o décimo mais próximo) 
 
Respostas: a) 12360; b) 5800; c) 7000; d) 130; e) 28,6; f) 28,7; g) 20,0; h) 32,50; i) 325,46; 
j) 32,5; k) 33; l) 5,82; m) 5,83; n) 3.000; o) 270; p) 260; q) 48,9 
 
 
 
3. Indicar como cada um dos seguintes valores seria arredondado: 
 
 Números para arredondar Respostas 
a) 57,8755 (para quatro dígitos significativos) 
b) 24,54 (para três dígitos significativos) 
c) 92,445 (para quatro dígitos significativos) 
d) 8,875 (para três dígitos significativos) 
e) 15,05 (para a primeira decimal) 
f) 113,35 (para a primeira decimal) 
g) R$ 63,50 (ao real mais próximo) 
h) R$ 64,50 (ao real mais próximo) 
i) R$ 64,51 (ao real mais próximo) 
j) 0,05050 (para um dígito significativo) 
k) 0,05150 (para um dígito significativo) 
l) 0,05150 (para dois dígitos significativos) 
m) 0,05049 (para dois dígitos significativos) 
n) 0,05050 (para dois dígitos significativos) 
o) 0,05051 (para dois dígitos significativos) 
 
Respostas: a) 57,88; b) 24,5; c) 92,44; d) 8,88; e) 15,0; f) 113,4; g) R$ 64; h) R$ 64; i) R$ 65; 
j) 0,05; k) 0,05; l) 0,052; m) 0,050; n) 0,050; o) 0,051 
 
 
 9
 
 
E S T A T Í S T I C A D E S C R I T I V A 
 
(1º ramo da Estatística) 
 
 
 
 
 
V A R I Á V E I S Q U A N T I T A T I V A S E Q U A L I T A T I V A S 
 
 
 
 
Ao fazermos um levantamento de um conjunto de dados, a questão inicial é a de como tratar os valores, 
numéricos ou não, a fim de se extrair informações a respeito de uma ou mais características de interesse. Cada 
uma das características obtidas, tais como o peso, altura, idade, sexo, número de filhos, religião, salário, nível de 
educação etc., é denominada de variável. 
 
 
 
V a r i á v e l a l e a t ó r i a: é aquela cujos valores são determinados por processos acidentais, ao acaso, 
que não estão sob o controle do observador. 
Por exemplo, ao jogarmos um dado para o ar, a variável aleatória é o resultado possível nessa jogada, isto 
é, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6, mas não podemos predizer qual será esse resultado. 
 
 
 
As variáveis de natureza numéricas são denominadas quantitativas, e as não numéricas, qualitativas. 
 
 
 
 
 
VARIÁVEIS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUANTITATIVAS 
(numéricas) 
 
QUALITATIVAS 
(categorizadas) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Discreta 
 
Contínua 
 
Ordinal 
 
Nominal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V A R I Á V E I S Q U A N T I T A T I V A S 
 
 
 
 
As variáveis quantitativas podem ser subdivididas em discretas e contínuas: 
 
 
( I ) V a r i á v e i s q u a n t i t a t i v a s d i s c r e t a s: Quando os valores podem ser contados. São as 
observações que podem ser feitas somente em pontos isolados ao longo de uma escala de valores. 
Exemplos 
 
• Número de peças defeituosas encontradas em um lote 
• Número de residências que possuem energia elétrica 
• Número de caminhões que chegam, por hora, em um depósito 
• Quantidade de peças defeituosas produzidas por uma máquina 
• Número de mudas de árvores plantadas no mês passado em determinada cidade 
• Quantidade de pessoas que trabalham em determinada obra 
• Capacidade máxima de passageiros (trem, ônibus, avião, navio) 
• Número de alunos numa sala de aula 
• Número de alunos que possuem computadores em casa 
• Número de artigos defeituosos produzidos 
• Número de clientes cadastrados 
• Número de computadores em um laboratório 
• Número de conveniados de um Plano de Saúde 
• Número de experiências realizadas em um laboratório 
• Número de jogos empatados 
 
 
 10
 
 
• Número de filhos de um casal 
• Número de funcionários de uma empresa 
• Número de máquinas de uma empresa 
• Número de pacientes atendidos em certo dia num pronto-socorro 
• Número de partidas de futebol 
• Número de pessoas por domicílio 
• Número de pessoas que tomaram vacina contra a gripe 
• Número de unidades estocadas de um artigo 
• Quantidade de anúncios publicados em um jornal 
• Quantidade de comprimidos em uma caixa de remédios 
• Quantidade de frutas em uma caixa 
• Quantidade de notas fiscais expedidas em certo dia 
 
 
 
 
(II) V a r i á v e i s q u a n t i t a t i v a s c o n t í n u a s: Quando se pode tomar qualquer valor de um 
determinado intervalo de números reais, ou seja, a variável pode assumir um valor em qualquer ponto 
fracionário ao longo de um intervalo especificado de valores. 
 
 
 
Exemplos 
 
• Altura média que certo tipo de planta atinge após três meses de seu plantio 
• Capacidade média de passageiros (trem, ônibus, avião, navio) 
• Comprimento do veículo (ônibus, avião, navio) 
• Consumo médio de água por residência em certa cidade 
• Consumo médio de combustível de um automóvel 
• Diâmetro de um rolamento 
• Duração média de uma conversa telefônica 
• Estatura das pessoas 
• Gasto médio com transporte para se deslocar até o local de trabalho 
• Idade em meses e dias 
• Média de clientes atendidos por dia 
• Número médio de clientes potenciais visitados por vendedores durante o último mês 
• Número médio de pacientes atendidos em certo dia num pronto-socorro 
• Número médio de pessoas por domicílio em uma grande comunidade 
• Peso de cada remessa 
• Peso do conteúdo de um pacote de cereais 
• Peso médio de um grupo de pessoas 
• Salário (diário, semanal, mensal) 
• Tempo decorrido antes da primeira falha de um dispositivo 
• Tempo médio de atendimento dos pacientes de um hospital 
• Tempo médio de efeito de um medicamento 
• Tempo médio diário que os estudantes gastam com o uso de computadores 
• Tempo médio para a realização de uma experiência em um laboratório 
• Tempo médio para executar um programa de computador 
• Tempo médio para fabricar determinado tipo de peça 
 
 
 
Observação: A variável idade, medida em número de anos, pode ser considerada como discreta, porém, se 
medida em meses, ou em dias, pode ser considerada contínua. 
 
 
 
 
V A R I Á V E I S Q U A L I T A T I V A S 
 
 
 
 
As variáveis são qualitativas (ou atributos) quando os possíveis valores que assumem representam 
atributos e/ou qualidades. São classificadas comoordinais ou nominais: 
 
 
 
 
(III) V a r i á v e i s q u a l i t a t i v a s o r d i n a i s: Quando as variáveis têm uma ordenação natural, 
indicando intensidades crescentes de realização. 
 
 
 11
 
 
Exemplos 
 
• Tamanho (pequeno, médio ou grande) 
• Nível de instrução da pessoa, do aluno, do pai, da mãe (Ensino Fundamental, Médio ou Superior) 
• Classe social (baixa, média ou alta; ou A, B, C, D, E) 
• Atuação escolar (fraca, regular, boa ou ótima) 
• Gravidade de uma doença (leve, moderada, severa) 
 
 
 
 
(IV) V a r i á v e i s q u a l i t a t i v a s n o m i n a i s: Quando não é possível estabelecer uma ordem natural 
entre seus valores. 
 
 
Exemplos 
 
• Bairro em que reside 
• Região de procedência 
• Cor de cabelos (castanho, preto, loiro, ruivo) 
• Esporte que pratica (futebol, natação etc.) 
• Estado civil (solteiro, casado etc.) 
• Estado em que nasceu (São Paulo, Rio de Janeiro, Paraná etc.) 
• Fumante (sim ou não) 
• Indicadores de inflação (IPC, dólar oficial etc.) 
• Nacionalidade (brasileiro ou estrangeiro) 
• Religião (católico, evangélico, espírita, outra) 
• Sexo (feminino ou masculino) 
• Time de futebol (Santos, Fluminense etc.) 
• Tipo sanguíneo (A, B, AB, O) 
• Tipos de aplicações em Banco (fundos de investimentos, dólar, poupança etc.) 
• Turma (A, B ou C) 
• Verdadeiro ou falso 
 
 
 
 
E X E M P L O S (variáveis quantitativas e qualitativas) 
 
 
 
1. A tabela abaixo envolve todos os tipos de dados mencionados: 
 
 
População 
Variáveis Quantitativas Variáveis Quantitativas 
 Discretas Contínuas Nominais Ordinais 
 Funcionários de 
uma empresa 
Nº de 
funcionários 
Tempo de serviço 
na empresa Homens Assiduidade 
 
 
 
2. A tabela abaixo corresponde a uma pesquisa realizada com cinco famílias de determinada comunidade: 
 
 
Família Idade do pai 
Grau de 
instrução 
do pai 
Religião Classe 
social 
Renda mensal 
(salário 
mínimo) 
Número de 
filhos em 
idade escolar 
Região de 
procedência 
 1 25 E. Fundam. Católica Baixa 4 3 Interior 
 2 33 E. Médio Africana Média 10 2 Capital 
 3 42 E. Médio Espírita Média 12 3 Outro Estado 
 4 28 Superior Nenhuma Média 16,5 3 Capital 
 5 38 Nenhum Católica Baixa 4 4 Outro Estado 
 
 
Classificando as variáveis da tabela, temos: 
 
 
V a r i á v e l q u a l i t a t i v a: 
 
• Qualitativa nominal: Família, Religião, Região de procedência. 
 
• Qualitativa ordinal: Grau de instrução do pai, Classe social. 
 
 
V a r i á v e l q u a n t i t a t i v a: 
 
• Quantitativa discreta: Idade do pai, Número de filhos. 
 
• Quantitativa contínua: Renda mensal. 
 
 
 12
 
 
A m o s t r a s e P o p u l a ç õ e s 
 
 
 
 
 
Ao fazermos um levantamento com um grande número de dados, dificilmente temos acesso ao todo, que se 
chama população ou universo, então consideramos apenas uma parte dessa população, que se chama 
amostra, e que deve ser aleatória, isto é, todo elemento da população tem a mesma chance que todos os outros 
elementos da população de pertencer a essa amostra. 
 
 
 
Por que se usam amostras? 
 
Resposta: São poucas as razões, mas muito relevantes: 
 
 
 
a) Custo e demora dos levantamentos. 
 
Exemplo 
 
Qual é o peso médio de todos os recém-nascidos vivos no Brasil em determinado ano? 
 
 
 
b) Populações muito grandes. 
 
Exemplo 
 
Quantos peixes têm no mar? 
 
 
 
c) Impossibilidade física de examinar toda a população. 
 
Exemplo 
 
Como uma fábrica faria para testar todos os fósforos por ela produzidos? 
 
 
 
d) Comprovado valor científico das informações coletadas por meio de amostras. 
 
Exemplo 
 
Se um pesquisador quiser estudar os hábitos de consumo de bebidas alcoólicas entre adolescentes de uma 
grande cidade, o melhor que ele pode fazer é uma avaliação criteriosa de uma amostra, ao invés de obter 
uma avaliação sumária de toda a população de adolescentes dessa cidade. 
 
 
 
 
 
P l a n e j a m e n t o d e E x p e r i m e n t o s 
 
 
 
Para o planejamento de um estudo que possa trazer bons resultados, destacamos: 
 
 
a) Definir claramente a população de interesse. 
 
 
b) Identificar com precisão e clareza as questões a serem respondidas. 
 
 
c) Estabelecer um plano de coleta de dados. 
 
 
d) Efetuar a coleta de dados cuidadosamente. 
 
 
e) Analisar os dados obtidos, identificar os possíveis erros e tirar as conclusões. 
 
 
Se os dados amostrais não forem bem coletados de maneira apropriada, eles podem ser de tal modo 
inúteis que nenhuma manipulação estatística poderá salvá-los. 
 
 
 
 
O r g a n i z a ç ã o d e D a d o s 
 
 
 
Após a coleta de um conjunto de dados, a fim de se extrair informações a respeito de uma ou mais 
características de interesse, geralmente fazemos uso de tabelas e gráficos. 
 
Dados brutos: São os dados originais que ainda não se encontram numericamente organizados. 
 
 
ROL: É uma lista em que os valores estão dispostos em ordem crescente ou decrescente. 
 
 
 13
 
 
T A B E L A S E S T A T Í S T I C A S 
 
 
 
Após o término da coleta dos dados de uma pesquisa, devemos apresentar esses dados em tabela (já 
usamos algumas anteriormente). 
Uma tabela é composta de três partes: cabeçalho, corpo e rodapé. 
Cabeçalho: Corresponde ao título, o qual deve explicar o conteúdo da tabela. No exemplo abaixo, de tabela 
histórica, o título é: Censo: População brasileira. 
Corpo: É formado por colunas, nas quais são colocados os dados apurados na pesquisa. No exemplo 
abaixo, de tabela histórica, são as colunas contendo o ano e as respectivas quantidades de pessoas obtidas em 
cada um desses anos. 
Rodapé: Local onde se coloca a fonte dos dados. No exemplo abaixo, de tabela histórica, a fonte é: Censo 
Demográfico do IBGE. 
Essa tabela contém os dados da maneira que foram coletados. 
 
 
 
 
T I P O S D E T A B E L A S E S T A T Í S T I C A S 
 
 
 
1. Tabela Histórica 
 
 
Exemplo: Censo: População brasileira 
 
 
Ano Quantidade 
 
 (em milhões) 
 
 1920 30,6 
 
 1940 41.2 
 
 1950 51,9 
 
 1960 70,2 
 
 1970 93,1 
 
 1980 121.1 
 
 1991 146,8 
 
 2000 166,1 
 
 2010 190,7 
Fonte: Censo Demográfico do IBGE 
 
 
2. Tabela Geográfica 
 
 
Exemplo: Áreas continentais 
 
 Continente Área(106 km²) 
 
 Ásia 43,608 
 
 África 30,335 
 
 América do Norte 23,434 
 
 América do Sul 17,611 
 
 Antártida 13,340 
 
 Europa 10,498 
 
 Oceania 8,923 
 
 América Central 1,915 
Fonte: Atlas Mundial Folha de São Paulo 
 
 
3. Tabela Específica 
 
 
Exemplo: Distribuição da renda na Argentina (2010) 
 
 Classe % da renda 
 
 Pobres 8,2 
 
 Classe média baixa 18,7 
 
 Classe média alta 36,8 
 
 Ricos 36,3 
Fonte: Instituto Nacional de Estatística e Censo 
 
 
 14
 
 
4. Tabela Mista 
 
Exemplo: Área e produção agrícola no Brasil (2009) 
 
 Classe Área Produção 
 
 Norte 3,858 2,2 
 
 Nordeste 1,549 6,8 
 
 Centro-Oeste 1,602 20,0 
 
 Sul/Sudeste 1,503 49,3 
Fonte: IBGE; em milhões de km² e de toneladas 
 
 
 
 
 
5. Tabelas de Dupla Entrada (tabulações cruzadas) 
 
 
Essa tabela contém duas variáveis com dados conjuntos, formando pares de dados. 
 
Exemplos 
 
a) A tabela abaixo apresenta as informações de se ter ou não planos de saúde (variável X) de um grupo de 48 
pessoas, cujas idades (variável Y) estão subdivididas por faixas etárias, em anos: 
 
 X / Y 16 a 25 26 a 35 36 a 45 46 a 55 TotalSim 4 7 4 8 23 
 Não 3 5 10 7 25 
 Total 7 12 14 15 48 
 
 
 
b) A tabela abaixo apresenta as informações sobre os salários (variável X), em reais, por hora, e o tempo de 
serviço (variável Y), em anos, de um grupo de funcionários de uma empresa: 
 
 X / Y < 5 5 | 10 10 |15 15 |20 ≥≥≥≥ 20 Total 
 < 5 32 20 7 2 1 62 
 5 | 10 17 30 25 14 5 91 
 10 | 15 4 7 13 9 7 40 
 ≥≥≥≥ 15 1 2 11 6 5 25 
 Total 54 59 56 31 18 218 
 
 
 
c) Acidentes ciclísticos registrados em determinada cidade, durante o ano de 2011: 
 
 Lesão na 
Cabeça 
Uso de Capacete 
Total 
 Sim Não 
 Sim 22 230 252 
 Não 131 442 573 
 Total 153 672 825 
 
 
 
d) A tabela abaixo mostra um levantamento feito por um hospital para investigar os indivíduos que foram ou não 
vítimas de infarto agudo do miocárdio e se têm ou não diabetes. 
 
 
Diabetes 
Infarto do Miocárdio 
Total 
 Sim Não 
 Sim 46 26 72 
 Não 95 121 216 
 Total 141 147 288 
 
 
 
e) Levantamento feito em uma plantação de tulipas (4 cores) para testar a qualidade das mudas: 
 
 
Resultados amostrais 
Cor 
Total 
 Branca Vermelha Amarela Roxa 
 Floresceram 180 140 70 65 455 
 Não floresceram 20 10 30 15 75 
 Total plantado 200 150 100 80 530 
 
 
 15
 
 
6. T A B E L A S D E F R E Q U Ê N C I A S 
 
 
 
 
 
Uma tabela de frequências relaciona classes (categorias) de valores, juntamente com contagens (ou 
frequências) do número de valores que se enquadram em cada classe. 
 
Na prática, em uma tabela de frequências o número de classes deve variar de 5 a 20. 
 
 
 
Exemplo 
 
 
A tabela abaixo nos dá os tempos, em anos, de trabalho dos funcionários em determinada empresa: 
 
 
Tempo Nº de funcionários 
0 a 5 18 
5 a 10 53 
10 a 15 158 
15 a 20 65 
20 a 25 37 
25 a 30 8 
 
 
 
 
 
Como construir uma tabela de frequências 
 
 
Exemplos 
 
 
❶ A distribuição abaixo fornece os pesos, em kg, de um grupo de 60 pessoas, aleatoriamente escolhidas. 
Fazer o tabulamento desses dados (isto é, construir uma tabela de frequências). 
 
 
39 43 45 50 50 53 54 55 58 59 61 61 63 63 63 64 66 
68 68 68 68 68 70 71 72 72 73 73 73 74 75 75 75 75 
75 76 77 77 78 78 78 79 80 81 81 82 82 82 83 84 84 
84 86 88 90 91 95 96 99 106 
 
 
Solução: Para se construir uma tabela de frequências, um dos procedimentos é feito da seguinte forma: 
 
 
 
1º passo: Determinação do número de classes (k). 
 
 
Como não utilizaremos uma quantidade muito grande de valores no nosso curso, vamos usar SOMENTE 
 
 
a seguinte fórmula prática: Nk = para determinarmos o número de classes de uma tabela de 
 
frequências. Assim, o número de classes, para um total de 60 valores (pesos das 60 pessoas), é: 
 
 
⇒== 746,760k k = 8 classes ▬► ATENÇÃO: FAZER O ARREDONDAMENTO NORMALMENTE 
 
 
 
 
Obs.: Há diversos métodos para se determinar o número de classes de uma tabela de frequências. 
 
 
Além da fórmula acima, destacamos: 
 
a) Regra de Sturges: Nk log3,31 ⋅+= , onde N é o número total de observações. 
 
 
 
b) No livro “The Grouping Data for Graphic Portrayal”, Truman L. Kelley, sugere a seguinte tabela: 
 
N 5 10 25 50 100 200 500 1000 
k 2 4 6 8 10 12 15 15 
 
 
 16
 
 
2º passo: Amplitude (ou intervalo) total (At): é a diferença entre o maior e o menor valor, isto é, 
 
At = 106 – 39 ⇒ At = 67 . 
 
 
 
3º passo: Intervalo de classe ( i ): 
 
375,8
8
67
==i → i = 9 kg ▬► ATENÇÃO: NÃO FAÇA O ARREDONDAMENTO; PEGUE SEMPRE 
O PRÓXIMO INTEIRO 
 
 
 
ATENÇÃO 
Como os pesos da tabela são números inteiros, devemos considerar SEMPRE o 
PRÓXIMO número inteiro, imediatamente superior a 8,375, mesmo que esse quociente tenha 
dado como resultado um número inteiro. 
 
Procedimento análogo deve ser utilizado quando a menor unidade considerada não for 
um número inteiro. 
 
 
 
No exemplo acima, o próximo número inteiro, superior a 8,375, é o 9, portanto, i = 9 , ou seja, NUNCA 
UTILIZE AQUI A REGRA DO ARREDONDAMENTO. 
 
 
 
 
4º passo: EXCESSO: 
 
 
Para encontrar o excesso, basta multiplicar o número de classes (k = 8) pelo intervalo de classe (i = 9) e 
subtrair a amplitude total (At = 67) para encontrar o excesso que aparecerá na construção dos limites das classes 
da tabela de frequências, isto é, 
 
 8 x 9 – 67 = 72 – 67 = 5 
 
 
 
ou seja, temos um excesso de 5 unidades, o qual deve ser repartido entre os dois extremos da distribuição, ou 
seja, o primeiro limite inferior das classes iniciará com 37 (2 unidades antes do 39, que é o menor valor da 
distribuição) e o último limite superior terminará com 109 (ou seja, 3 unidades após 106, que é o maior valor da 
distribuição). 
 
 
 
5º passo: Construir a tabela de frequências dos pesos dessas 60 pessoas: 
 
 L f 
onde, 
 37 |||| 46 3 
 46 |||| 55 4 L = limites das classes: inferior (à esquerda) e 
superior (à direita) 
 55 |||| 64 8 
 64 |||| 73 11 
 73 |||| 82 19 f = frequências absolutas das classes, isto é, 
quantidade de pessoas em cada uma das 
faixas de pesos 
 82 |||| 91 10 
 91 |||| 100 4 
 100 |||| 109 1 
 N = 60 N = número total de pessoas 
 
 
 17
 
 
Observações: 
 
 
1) O símbolo |||| no intervalo 64 |||| 73 da tabela acima indica que a contagem das pessoas de 64 a 73 kg 
inclui as de 64 kg e exclui as de 73 kg. 
 
2) Em todas as tabelas de frequências que desenvolveremos em nossas aplicações utilizaremos esse tipo de 
intervalo ( |||| ), por ser o mais prático e mais utilizado. 
 
3) Os outros três tipos de intervalos utilizados nas tabelas de frequências são: 
 
a) Intervalo fechado em ambas as extremidades, isto é, fechado à esquerda e fechado à direita ( |||||||| ): inclui os 
valores que aparecem em cada um dos extremos. 
 
 
Exemplos 
 
 
 L f ou L f ou L f 
 37 |||||||| 45 3 37 |||||||| 45,5 3 36,5 |||||||| 45,5 3 
 46 |||||||| 54 4 46 |||||||| 54,5 4 45,5 |||||||| 54,5 4 
 55 |||||||| 63 8 55 |||||||| 63,5 8 54,5 |||||||| 63,5 8 
 64 |||||||| 72 11 64 |||||||| 72,5 11 63,5 |||||||| 72,5 11 
 73 |||||||| 81 19 73 |||||||| 81,5 19 72,5 |||||||| 81,5 19 
 82 |||||||| 90 10 82 |||||||| 90,5 10 81,5 |||||||| 90,5 10 
 91 |||||||| 99 4 91 |||||||| 99,5 4 90,5 |||||||| 99,5 4 
 100 |||||||| 108 1 100 |||||||| 108,5 1 99,5 |||||||| 108,5 1 
 
 
 
b) Intervalo aberto em ambas as extremidades (  ): exclui os valores que aparecem em cada um dos 
extremos. 
 
Exemplo: L f 
 36,5 
 
45,5 3 
 45,5  54,5 4 
 54,5 
 
63,5 8 
 63,5  72,5 11 
 72,5  81,5 19 
 81,5  90,5 10 
 90,5 
 
99,5 4 
 99,5  108,5 1 
 
 
 
c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita ( |||| ): exclui o valor da esquerda e inclui o valor da direita (é 
semelhante ao que utilizaremos em todas as nossas aplicações). 
 
Exemplo: L f 
 36 
|||| 45 3 
 45 
|||| 54 4 
 54 
|||| 63 8 
 63 
|||| 72 11 
 72 
|||| 81 19 
 81 
|||| 90 10 
 90 
|||| 99 4 
 99 
|||| 108 1 
 
 
 18
 
 
❷ A distribuição abaixo nos dá o tempo, em minutos, que 55 alunos aleatoriamente selecionados gastaram 
para desenvolver certa experiência em um laboratório. Fazer o tabulamento desses dados (isto é, construir 
 
uma tabela de frequências). 
 
 
20 23 25 27 27 28 28 28 30 31 31 32 32 32 33 
 
34 35 36 36 3636 37 37 37 38 38 38 39 40 40 
 
41 41 41 41 41 41 42 43 45 45 45 46 48 48 48 
 
48 49 49 50 52 52 54 55 56 60 
 
 
Solução: 
 
 
Número de classes: 416,755 ==k
 
⇒ k = 7 classes. 
 
 
Amplitude total: At = 60 – 20 ⇒ At = 40 . min 
 
Intervalo de classe: 714,5
7
40
==i → i = 6 . min 
Excesso: 7⋅⋅⋅⋅6 – 40 = 42 – 40 = 2 unidades, ou seja, o 1º limite inferior das classes iniciará com 19 (ou seja, 1 
unidade antes do 20) e o último limite superior terminará com 61 (ou seja, 1 unidade após o 60). 
 
 
A tabela de frequências dos tempos para a realização dessa experiência pelos 55 alunos é: 
 
 
 
 L f 
 19 |||| 25 2 
 25 |||| 31 7 
 31 |||| 37 12 
 37 |||| 43 16 
 43 |||| 49 9 
 49 |||| 55 6 
 55 |||| 61 3 
 
 N = 55 
❸ A distribuição abaixo nos dá o tempo, em segundos, que 80 computadores aleatoriamente escolhidos 
gastaram desde que foram ligados até estarem prontos para uso. Fazer o tabulamento desses dados. 
 
79 83 65 79 84 80 85 100 75 85 83 85 79 61 93 85 
89 79 75 122 73 79 90 81 50 87 79 70 79 84 78 77 
74 96 85 79 86 86 68 79 86 83 95 71 92 40 89 100 
91 85 136 83 85 55 118 48 91 60 76 46 99 79 103 63 
60 87 72 100 96 73 78 84 85 89 80 125 85 83 85 90 
 
Solução: 
 
Número de classes: 94,880 ==k
 
⇒ k = 9 classes 
 
Amplitude total: At = 136 – 40 ⇒ At = 96 segundos 
Intervalo de classe: 667,10
9
96
==i
 
→ i = 11 segundos 
Excesso: 9⋅⋅⋅⋅11 – 96 = 99 – 96 = 3 unidades, ou seja, o 1º limite inferior das classes será igual a 39 (uma unidade 
antes do menor valor: 40) e o último limite superior será 138 (duas unidades após o maior valor: 136). 
 
Tabela de frequências: 
 
 RESPOSTA: 
 L Contagem (para obter as frequências absolutas): L f 
39 |||| 50 ||| 39 |||| 50 3 
50 |||| 61 |||| 50 |||| 61 4 
61 |||| 72 ||||| | 61 |||| 72 6 
72 |||| 83 ||||| ||||| ||||| ||||| ||| 72 |||| 83 23 
83 |||| 94 ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| ||||| || 83 |||| 94 32 
94 |||| 105 ||||| ||| 94 |||| 105 8 
105 |||| 116 105 |||| 116 0 
116 |||| 127 ||| 116 |||| 127 3 
127 |||| 138 | 127 |||| 138 1 
 
 
 N = 80 
 
 
 19
 
 
E X E R C Í C I O S (tabelas de frequências) 
 
 
 
Dadas as distribuições abaixo, fazer o tabulamento dos dados (isto é, construir uma tabela de 
frequências): 
 
1) Consumo de energia elétrica, em kWh, que 63 residências aleatoriamente selecionadas em um bairro 
de baixa renda de determinada localidade gastaram durante o mês passado: 
 60 62 65 65 66 68 70 70 72 73 74 74 74 75 76 77 77 77 
 80 80 81 81 81 81 83 85 86 86 86 87 87 88 89 89 89 89 
 89 90 90 91 91 91 91 91 93 93 95 96 96 98 98 100 101 101 
 102 103 103 105 107 108 110 111 113 
 
 
Solução: 
 
Número de classes (k): Tabela de frequências: 
 
 
 
 
 
 L f 
Amplitude: |||| 
 
 
 |||| 
Intervalo de classe (i): |||| 
 
 
 |||| 
 
 
 |||| 
Excesso: |||| 
 
 
 |||| 
1º intervalo de classe: Começar com ______ |||| 
Último intervalo de classe: Terminar com ______ N = 
 
 
 
 
 
 
2) Força de ruptura, em libras, por polegada quadrada, para uma amostra de 70 garrafas descartáveis 
de refrigerante, de 300 ml cada: 
 53 55 58 60 60 62 65 66 68 68 68 69 70 70 72 73 
 73 75 76 76 76 78 78 78 78 79 80 80 80 80 80 80 
 80 81 81 83 83 84 84 84 85 85 86 86 86 88 90 93 
 93 95 95 97 98 98 100 106 106 107 109 109 112 115 116 116 
 118 120 121 121 124 126 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20
 
 
3) Número de chamadas telefônicas recebidas, por hora, em uma central de atendimento, para uma 
amostra de 40 horas aleatoriamente escolhidas: 
 72 60 53 64 73 57 59 71 53 68 75 63 68 71 60 63 66 70 58 67 
 55 64 49 60 70 62 59 58 65 64 69 63 61 82 63 74 68 76 66 59 
 
Obs.: Veja a tabulação que foi feita no exemplo 3 (dos computadores), cujos dados estão fora de ordem (não 
precisa colocar os dados em ordem). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Quantidade diária de reclamações de clientes recebidas pelo setor de atendimento ao cliente de 
um fabricante de computadores, durante um período de 45 dias aleatoriamente escolhidos: 
 81 83 85 85 86 89 90 92 93 95 96 96 98 101 101 101 
 102 103 103 103 103 104 104 105 106 106 106 106 107 107 108 110 
 111 112 112 113 114 115 115 115 116 117 118 120 122 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 21
 
 
5) Número diário de peças defeituosas produzidas por certa máquina: 
 40 44 47 48 50 53 53 56 58 59 61 61 63 63 63 64 64 65 66 
 67 68 69 69 71 71 71 71 71 72 72 73 73 74 74 74 74 74 75 
 75 75 76 77 77 77 77 77 78 78 80 81 82 86 88 89 91 95 99 
 102 107 112 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Idades, em anos, de um grupo de pessoas aleatoriamente escolhidas: 
 18 18 18 18 19 19 19 20 20 20 21 21 21 21 22 22 
 23 24 25 25 26 28 29 30 30 30 30 32 33 35 36 36 
 36 36 37 37 37 37 37 37 37 37 38 38 39 39 39 39 
 40 40 42 42 42 42 42 43 43 43 44 45 45 45 45 46 
 46 48 49 50 50 50 53 56 57 60 68 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 22
 
 
7) Número diário de clientes de um banco atendidos por determinado caixa, durante um período 
de 52 dias aleatoriamente escolhidos: 
 45 150 100 125 75 150 55 50 125 75 150 45 50 95 30 80 
 50 75 60 75 165 50 55 100 70 80 47 90 100 125 170 130 
 150 50 75 130 125 95 65 15 120 50 60 130 100 65 75 47 
 100 60 80 70 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Salários, em reais, dos funcionários de determinada empresa: 
 350 390 460 470 480 500 500 500 520 570 600 630 650 650 
 650 650 660 680 680 700 700 700 700 700 730 730 750 750 
 780 800 810 820 840 840 850 880 900 920 930 930 940 940 
 950 950 950 950 970 980 980 980 980 980 1000 1000 1000 1000 
 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1020 1020 1020 1030 1030 1040 1050 
 1050 1050 1050 1050 1050 1050 1060 1070 1090 1100 1100 1100 1100 1100 
 1100 1100 1100 1100 1100 1100 11301130 1150 1150 1150 1180 1200 1210 
 1380 1400 1400 1440 1450 1490 1500 1790 
 
 Obs.: Considerar múltiplos de 10 para o intervalo de classe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 23
 
 
9) Número de horas de uso do computador pessoal durante uma semana, por um grupo de pessoas: 
 0,7 1,0 1,2 1,5 2,1 2,5 2,6 3,0 3,1 3,1 3,3 3,4 3,5 3,5 3,6 3,7 
 3,7 3,9 3,9 4,0 4,1 4,1 4,1 4,2 4,3 4,4 4,7 4,8 5,4 5,6 5,7 5,7 
 5,7 5,9 5,9 6,1 6,1 6,1 6,7 6,8 7,2 7,6 8,8 9,2 9,5 10,3 10,4 10,8 
 11,1 12,1 12,9 13,7 14,9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
1) L f 
 
2) L f 
 
3) L f 
 
4) L f 
 
5) L f 
59 | 66 4 50 | 60 3 48 | 54 3 81 | 87 5 36 | 46 2 
66 | 73 5 60 | 70 9 54 | 60 7 87 | 93 3 46 | 56 5 
73 | 80 9 70 | 80 14 60 | 66 13 93 | 99 5 56 | 66 11 
80 | 87 11 80 | 90 20 66 | 72 11 99 | 105 10 66 | 76 22 
87 | 94 17 90 | 100 8 72 | 78 5 105 | 111 9 76 | 86 11 
94 | 101 6 100 | 110 6 78 | 84 1 111 | 117 9 86 | 96 5 
101 | 108 7 110 | 120 5 117 | 123 4 96 | 106 2 
108 | 115 4 120 | 130 5 106 | 116 2 
 
 
6) L f 
 
7) L f 
 
8) L f 9) L 
 
 f 
16 | 22 14 12 | 35 2 320 | 470 3 0,5 | 2,6 6 
22 | 28 7 35 | 58 12 470 | 620 8 2,6 | 4,7 20 
28 | 34 8 58 | 81 16 620 | 770 17 4,7 | 6,8 13 
34 | 40 19 81 | 104 8 770 | 920 9 6,8 | 8,9 4 
40 | 46 15 104 | 127 5 920 | 1070 40 8,9 | 11,0 5 
46 | 52 7 127 | 150 3 1070 | 1220 21 11,0 | 13,1 3 
52 | 58 3 150 | 173 6 1220 | 1370 0 13,1 | 15,2 2 
58 | 64 1 1370 | 1520 7 
64 | 70 1 1520 | 1670 0 
 1670 | 1820 1 
 
 
 
 24
 
 
Frequências Relativas e Frequências Acumuladas 
 
 
 
 
 
E X E M P L O (frequências absolutas, relativas e acumuladas) 
 
 
 
Dada a tabela de frequências dos pesos de um grupo de 60 pessoas (1º exemplo de tabulamento): 
 
 
 
 L f 
 37 |||| 46 3 
 46 |||| 55 4 
 55 |||| 64 8 
 64 |||| 73 11 
 73 |||| 82 19 
 82 |||| 91 10 
 91 |||| 100 4 
 100 |||| 109 1 
 N = 60 
 
 
Determine: 
 
 
a) a frequência absoluta relativa de cada classe (fr); 
 
b) a frequência absoluta percentual de cada classe (fp); 
 
c) a frequência acumulada de cada classe (F); 
 
d) a frequência acumulada relativa de cada classe (Fr); 
 
e) a frequência acumulada percentual de cada classe (Fp). 
 
 
Solução: 
 
 
a) Para determinar a frequência absoluta relativa de cada classe (fr), basta dividir a frequência absoluta de 
cada classe pelo total das frequências absolutas dessas classes (N). 
 
 
a) Para determinar a frequência absoluta percentual de cada classe (fp), basta dividir a frequência absoluta de 
cada classe pelo total das frequências absolutas (N), e multiplicar cada resultado por 100. 
 
 
c) Para determinar a frequência acumulada de uma classe (F), basta somar a frequência absoluta dessa classe 
com as frequências absolutas das classes anteriores, ou somar a frequência absoluta dessa classe com a 
frequência acumulada da classe anterior. 
 
 
d) Para determinar a frequência acumulada relativa de uma classe (Fr), basta dividir a frequência acumulada 
dessa classe pelo total das frequências absolutas (N). 
 
 
e) Para determinar a frequência acumulada percentual de uma classe (Fp), basta dividir a frequência 
acumulada dessa classe pelo total das frequências absolutas (N), e multiplicar cada resultado por 100. 
 
 
A seguinte tabela nos dá os resultados pedidos: 
 a) b) c) d) e) 
 
 L f fr fp (%) F Fr Fp (%) 
 37 |||| 46 3 0,050 5,0 3 0,050 5,0 
 46 |||| 55 4 0,067 6,7 7 0,117 11,7 
 55 |||| 64 8 0,133 13,3 15 0,250 25,0 
 64 |||| 73 11 0,183 18,3 26 0,433 43,3 
 73 |||| 82 19 0,316 31,6 45 0,750 75,0 
 82 |||| 91 10 0,167 16,7 55 0,917 91,7 
 91 |||| 100 4 0,067 6,7 59 0,983 98,3 
 100 |||| 109 1 0,017 1,7 60 1,000 100% 
 
 N = 60 1,000 100,0 
 
 
 25
 
 
E X E R C Í C I O (frequências absolutas, relativas e acumuladas) 
 
 
 
 
A tabela de frequências abaixo corresponde às produções médias diárias de um grupo de operários durante 
certo período: 
 
 
 L f 
 50 |||| 60 3 
 60 |||| 70 9 
 70 |||| 80 14 
 80 |||| 90 20 
 90 |||| 100 8 
 100 |||| 110 6 
 110 |||| 120 5 
 120 |||| 130 5 
 
 N = 70 
 
 
Determine: 
 
 
a) a frequência absoluta relativa de cada classe (fr); 
 
b) a frequência absoluta percentual de cada classe (fp); 
 
c) a frequência acumulada de cada classe (F); 
 
d) a frequência acumulada relativa de cada classe (Fr); 
 
e) a frequência acumulada percentual de cada classe (Fp). 
 
 
 
Solução: 
 
 
 a) b) c) d) e) 
 L f fr fp (%) F Fr Fp (%) 
 50 |||| 60 3 
 60 |||| 70 9 
 70 |||| 80 14 
 80 |||| 90 20 
 90 |||| 100 8 
 100 |||| 110 6 
 110 |||| 120 5 
 120 |||| 130 5 
 
 N = 70 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
 
a) 0,043; 0,129; 0,200; 0,286; 0,114; 0,086; 0,071; 0,071 
 
b) 4,3; 12,9; 20,0; 28,6; 11,4; 8,6; 7,1; 7,1 
 
c) 3; 12; 26; 46; 54; 60; 65; 70 
 
d) 0,043; 0,171; 0,371; 0,657; 0,771; 0,857; 0,929; 1,000 
 
e) 4,3; 17,1; 37,1; 65,7; 77,1; 85,7; 92,9; 100,0 
 
 
 26
 
 
Representação Gráfica das Variáveis Qualitativas e Quantitativas 
 
 
 
Gráfico é a representação visual do fenômeno, em termos de sua evolução ou das relações entre as 
variáveis nele envolvidas. 
 
G r á f i c o d e C o l u n a s 
 
 
Exemplo: Construir o gráfico de colunas referente às quantidades de 5 tipos de veículos vendidos durante 
certo período, em uma grande cidade, conforme tabela abaixo: 
 
 Veículos Vendas 
 Corsa 550 
 Pálio 400 
 Uno 1.100 
 Gol 1.600 
 Fóx 750 
 
Solução: Vendas 
 
 
1600 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1100 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 750 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 550 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4000 
 CORSA PÁLIO UNO GOL FÓX 
 
 
 
 
 
 
 
Tipos de Veículos 
 
 
 
 
 
 
IMPORTANTE: A construção de um gráfico requer “prática” e “bom senso”. 
 
 
 
 
 
 
Gráfico de Colunas no EXCEL 
 
 
 
Exemplo: Considerando a mesma tabela anterior, construir o gráfico de colunas no EXCEL. 
 
 
 
 
 
Veículos Vendas 
Corsa 550 
Pálio 400 
Uno 1.100 
Gol 1.600 
Fóx 750 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0
500
1000
1500
2000
Corsa Pálio Uno Gol Fóx
Vendas
 27
 
 
D i a g r a m a d e P a r e t o 
 
 
 
 
 
 
Um diagrama de Pareto é um gráfico em colunas para dados qualitativos, com colunas ordenadas de 
acordo com as frequências (absolutas ou relativas). 
 
 
Exemplo 
 
 
A tabela abaixo apresenta uma amostra de 150 componentes localizados incorretamente em um processo de 
montagem em eletrônica, pelos inspetores de qualidade, e as respectivas causas detectadas. Construir o gráfico 
de Pareto para esses dados. 
 
Legenda Causas Quantidade 
I Dimensões incorretas 41 
II Partes danificadas 32 
III Máquina 20 
IV Parte enferrujada 17 
V Fora de ordem 11 
VI Solda desalinhada 9 
VI Pintura danificada 8 
VI Parte errada produzida 4 
IX Pintura da base danificada 3 
X Porosidade na fundição 3 
XI Procedimento impróprio 2 
 
Total 150 
 
 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
 
25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 
 
 I II III IV V VI VII VIII IX X XI 
 
 
 
 
 28
 
 
G R Á F I C O D E L I N H A S 
 
 
 
Exemplos 
 
 
Dadas as tabelas 1 e 2 abaixo, referentes às produções mensais, em milhares, de dois tipos diferentes de 
peças, construir um gráfico de linhas para cada tabela: 
 
 
 
TABELA 1 TABELA 2 
 
Mês Quantidade Mês Quantidade 
 
Jan 120 Jan 1040 
 
Fev 90 Fev 1060 
 
Mar 165 Mar 1020 
 
Abr 60 Abr 1100 
 
Mai 105 Mai 1140 
 
Jun 120 Jun 1220 
 
Jul 150 Jul 1160 
 
Ago 75 Ago 1180 
 
Set 30 Set 1080 
 
Out 120 Out 1060 
 
Nov 180 Nov 1120 
 
Dez 135 Dez 1100 
 
 
 
 
O gráfico de linhas para os dados da Tabela 1 é: 
 
 
 
 
 
 
 
E o gráfico de linhas para os dados da Tabela 2 é: 
 
 
 
 
 
 
 29
 
 
G r á f i c o d e B a r r a s 
 
 
 
Exemplo: Construir o gráfico de barras referente às quantidades de 4 tipos de revistas mais vendidas durante 
certo período em uma cidade, por uma distribuidora, conforme tabela abaixo: 
 
 
Revistas Quantidades 
 
VEJA 600 
 
ISTO É 2.000 
 
ÉPOCA 1.600 
 
GALILEU 3.000 
Solução: 
 
 Revistas 
 
 
 
 
 
VEJA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISTO É 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ÉPOCA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 GALILEU 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 600 1.600 2.000 3.000 
 
 
 
 
 
Quantidades Vendidas 
 
 
 
 
G r á f i c o P i c t ó r i c o (Pictograma) 
 
 
Esses gráficos são construídos a partir de figuras. São gráficos muito comuns em jornais e revistas, e têm a 
finalidade de despertar a atenção das pessoas. 
 
 
Exemplo: Dada a tabela abaixo, referente às quantidades aproximadas de telefones instalados em todo o 
território nacional, construir um gráfico pictórico. 
 
Anos Nº de telefones fixos 
1975 10.000.000 
1980 20.000.000 
1985 40.000.000 
1990 70.000.000 
1995 80.000.000 
2000 100.000.000 
2005 130.000.000 
 
 
Solução: 
 
Anos Número de telefones fixos 
 
LEGENDA 
 
� = 10.000.000 
1975 � 
1980 �� 
1985 ���� 
1990 ������� 
1995 �������� 
2000 ���������� 
2005 ������������� 
 
 
 30
 
 
 
 
 
 
G r á f i c o d e S e t o r e s 
 
 
 
 
 
 
 
O gráfico de setores (disco, circular, pizza), é um diagrama de área. Consiste em repartir um círculo em 
setores circulares correspondentes às proporções de cada valor. 
 
 
 
 
Exemplo 
 
 
 
 
 
Construir o gráfico de setores referente aos gastos, em milhares de reais, com propaganda nos meios de 
comunicação de determinada empresa, conforme tabela abaixo: 
 
 
 
 
 
 Veiculação Valor 
 Televisão 500 
 Radio 160 
 Jornal 320 
 Outdoor 150 
 Internet 120 
 Outros 250 
 Total 1500 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Despesas com Propaganda
33%
11%
21%
10%
8%
17%
Televisão
Rádio
Jornal
Outdoor
Internet
Outros
 31
 
 
H i s t o g r a m a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Um histograma é um diagrama de barras de uma distribuição de frequências. 
 
 
 
 
 
Exemplo 
 
 
 
 
A tabela abaixo apresenta o tempo, em minutos, gasto pelos vendedores de um centro comercial para 
atendimento de um grupo de clientes aleatoriamente escolhidos. Construir o histograma para os dados dessa 
tabela. 
 
 
 L f 
 10 |||| 20 2 
 20 |||| 30 10 
 30 |||| 40 13 
 40 |||| 50 16 
 50 |||| 60 6 
 60 |||| 70 8 
 70 |||| 80 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Histograma 
 
 
f 
 
 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 13

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