Noções de Geometria Plana - Atividade

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Universidade Federal do Amazonas – UFAM 
Av. Gal. Rodrigo Octavio Jordão Ramos, 3000 – Coroado 
Manaus/ AM 
2015 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS – UFAM 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS - ICE 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA – DM 
DAMSON LUCAS DE OLIVEIRA RIBEIRO – 21205249 
CURSO: IE07 – MATEMÁTICA LICENCIATURA TURNO: NOTURNO 
DISCIPLINA: IEM800 – LABORATÓRIO DE ENSINO 
DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL 
PROFESSORA: ANA ACÁCIA PEREIRA VALENTE 
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ATIVIDADE DE GEOMETRIA 
1) Quais as definições dos seguintes entes geométricos? 
a) ponto, reta e plano: 
* O ponto não tem dimensão e não pode ser dividido. Por ele passa um 
número infinito de retas e planos; 
* A reta é uma região contínua que tem comprimento, mas não tem altura 
nem profundidade. Ela contém inúmeros pontos e por ela passa um número 
infinito de planos; 
* O plano é uma região contínua que tem comprimento e altura, mas não tem 
profundidade. Dado um ponto qualquer do plano, por ele não passam retas 
tangentes. 
b) ponto médio de um segmento: um ponto não–extremo pertinente ao 
segmento que o divide em dois segmentos congruentes. 
c) bissetriz de uma região angular: semi–reta interna à região angular, com 
origem no vértice desta, que a divide em duas regiões angulares congruentes. 
d) perpendicular a um segmento: reta concorrente ao segmento que forma um 
ângulo de 90°. 
e) mediatriz de um segmento: reta perpendicular ao segmento e que contém 
seu ponto médio. 
2) Faça desenhos que evidencie os seguintes casos de congruência entre 
triângulos. 
 
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a) caso LLL: b) caso LAL: 
 
c) caso ALA: d) caso LAAO: 
 
3) Enuncie: 
a) o Teorema de Tales: Se duas retas concorrem em todo um feixe de retas 
paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma destas retas é 
sempre igual à razão entre os segmentos respectivos e correspondentes da 
outra. 
b) o Teorema de Pitágoras: Num triângulo retângulo, a medida da hipotenusa 
elevada ao quadrado é sempre igual à soma das medidas dos catetos elevadas 
ao quadrado. 
4) O que é: 
a) um paralelogramo? Um quadrilátero convexo no qual dois lados opostos 
são paralelos e congruentes. 
b) um retângulo? É um paralelogramo que possui todos os ângulos 
congruentes. 
c) um losango? É um paralelogramo que possui todos os lados congruentes. 
5) Quais das sentenças abaixo são verdadeiras? 
( V ) Dois triângulos equiláteros quaisquer são semelhantes. 
( F ) Dois triângulos retângulos são semelhantes se os catetos de um são 
proporcionais aos catetos do outro. 
( F ) Num triângulo qualquer cada lado é maior que a soma dos outros dois. 
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( F ) Se as diagonais de um quadrilátero se interceptam nos seus pontos médios, 
então esse quadrilátero é um retângulo. 
( V ) Se pelo ponto médio do lado AB de um triângulo ABC traçarmos uma reta 
paralela ao lado BC, então esta reta interceptará o lado AC no seu ponto médio. 
( V ) Todo quadrado é um losango. 
( V ) Todo quadrado é um retângulo. 
( V ) Todo retângulo é um paralelogramo. 
( V ) Todo triângulo equilátero é isóceles. 
( V ) Se as diagonais de um quadrilátero convexo se interceptam 
perpendicularmente e são congruentes, então o quadrilátero é um quadrado. 
( V ) Duplicando-se a base de um retângulo, a área torna-se o dobro da área do 
retângulo original. 
6) O que é um polígono regular? 
É um polígono convexo que possui todos os lados congruentes e todos os 
ângulos congruentes. 
7) De acordo com a definição dada acima, um polígono regular pode ser não– 
–convexo? 
Não, pois se os lados (ainda que fossem congruentes) formassem uma 
região poligonal côncava (ou não–convexa), pelo menos três ângulos internos 
não seriam congruentes aos demais. 
8) Qual a definição de ângulo interno de um polígono? 
Um ângulo em que o vértice dele é o vértice do polígono e que as semi-
retas dele contém os lados do polígono. 
9) Prove que a soma dos ângulos internos de um polígono regular qualquer de 
n–lados obedece à expressão Sn = (n – 2)180°. 
Seja A1A2...An um polígono regular de n–lados. Por um vértice qualquer 
Am traçamos todas as diagonais possíveis, formando (n – 2) triângulos, pois 
temos (n – 3) diagonais em Am. Assim a soma total é igual à soma dos ângulos 
internos de cada triângulo formado. Logo: 
Sn = (n – 2)180°. 
10) Prove que a medida do ângulo interno de um polígono regular de n–lados 
obedece à expressão âi = 
(ܖ	ି	૛)૚ૡ૙°
ܖ
. 
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Como, por hipótese, o polígono é regular, ele possui todos os ângulos 
internos congruentes. Assim, basta dividir a soma dos ângulos internos Sn pelo 
números de ângulos n. Logo: 
âi = 
ୗ୬
୬
 = (୬	ି	ଶ)ଵ଼଴°
୬
 
11) Qual a definição de diagonal de um polígono? 
Segmento interno ao polígono no qual as extremidades são dois lados não-
consecutivos do polígono. 
12) Lembrando que triângulos, quadriláteros, pentágonos e hexágonos 
apresentam números de diagonais respectivamente iguais a 0, 2, 5 e 9, use o 
Princípio Fundamental da Contagem para deduzir a expressão que dá o 
número de diagonais de um polígono de n–lados. 
Seja A1A2...An um polígono de n–lados. Pelo vértice A1 podemos construir 
(n – 1) segmentos com extremidades nos outros vértices, da forma A1Ai ; i = 
{1,...,n}, i ≠ 1. Dois destes segmentos são os lados comuns a A1 – A1A2 e AnA1 
– de forma que temos, partindo de A1, (n – 3) diagonais. Pelo PFC, temos: 
n – vértices (n – 3) diagonais TOTAL DE DIAGONAIS 
A1 A1A3, ..., A1An-1 
2d 
(onde d é o número de diagonais) 
A2 A2A4, ..., A2An 
... ... 
An AnAn-2, ..., AnA2 
 
Observe que nas diagonais formadas AiAj ; com i, j = {1, ...,n}, existem 
diagonais AiAj = AjAi, resultando no dobro de diagonais existentes. Assim, o 
número de diagonais é dado pela expressão 2d = (n – 3).n. Logo: 
d = 
(୬	ି	ଷ)୬
ଶ
 
13) O que é apótema de um polígono regular? 
Segmento com uma extremidade no centro do polígono regular e a outra 
extremidade no ponto médio de um dos lados. 
14) Qual é (em função de um lado L do polígono regular): 
a) o apótema do triângulo equilátero? 
a3 = 
௅√3
଺
 
b) o apótema do quadrado? 
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a4 = 
௅
ଶ
 
c) o apótema do hexágono regular? 
a6 = 
௅√3
ଶ
 
 
15) Prove que a área de um polígono regular pode ser dada pela expressão 
Sn = pn.an 
onde: 
an = apótema do polígono regular 
pn = semiperímetro. 
Um polígono de n–lados pode ser dividido em n–triângulos equiláteros de 
base m e altura igual ao apótema a. Então: 
Aréa do polígono Sn = Soma das áreas dos n–triângulos 
A área Sn = n.(m.a/2). Como n.m = Pn (perímetro do polígono), implica 
que n.m/2 = Pn/2 = pn (semiperímetro). Logo: 
Sn = semiperímetro.apótema = pn.an 
*