Aulas teoricas 2 e 3

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Prof. Donizete dos Reis Pereira 
Hidrodinâmica 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA 
Campus Florestal 
AGF 351 – Hidráulica, Irrigação e Drenagem 
Aula teórica 2: 
 
1. Classificação dos condutos hidráulicos 
Tendo em vista a pressão de funcionamento, os condutos hidráulicos podem ser 
classificados em: 
 
Condutos forçados: 
São aqueles nos quais a pressão interna é diferente da pressão atmosférica 
local. 
 - As seções transversais são sempre fechadas e o fluido circulante enche-as 
completamente. 
- O movimento pode ser efetuado em qualquer sentido do conduto. 
 
Condutos livres: 
O líquido escoante apresenta superfície livre, na qual atua a pressão 
atmosférica local. 
- A seção, não necessariamente, apresenta perímetro fechado. Quando isso 
ocorre, para satisfazer a condição de superfície livre de pressão, a seção 
transversal funciona parcialmente cheia. 
- O movimento se faz no sentido decrescente das cotas topográficas. 
 
2. Classificação do escoamento 
 Permanente: 
 
 É aquele cujas características (velocidade, pressão, massa específica), em 
cada seção do conduto, não variam ao longo do tempo. 
 
 Permanente e uniforme: 
 
 - Quando a velocidade não varia ao longo do conduto. 
 - Ex: Água escoando por um canal longo, de seção constante e vazão 
constante. 
 
 Permanente e não-uniforme: 
 
 - Quando a velocidade varia ao longo do conduto. 
 - Ex: Água escoando por um conduto de seção crescente e vazão constante. 
 Água escoando na crista de um vertedor de barragem. 
 
2. Classificação do escoamento 
 
 Variado ou não permanente: 
 
 É aquele cujas características (velocidade, pressão, massa específica), em 
cada seção do conduto, variam ao longo do tempo. 
 Ex: Uma onda de cheia em um curso d’água natural. 
 Uma onda de maré. 
 
 Não permanente e uniforme: 
 - Quando a velocidade não varia ao longo do conduto. 
 
 Não permanente e não-uniforme: 
 - Quando a velocidade varia ao longo do conduto. 
 
 
 
 
3.Equação da continuidade 
 
 
“Expressa o princípio de conservação de massa” 
 
 
 
A1 
V1 
A2 
V2 
M1 M2 
Na condição de escoamento permanente: 
 
- A quantidade de massa (M1) que entra na seção 1 do conduto, por unidade de 
tempo, é igual à quantidade de massa (M2) que sai na seção 2, isto é: 
M1 = M2 ou ρ1A1V1 = ρ2A2V2 
 
Ai = área da seção transversal “i” do conduto 
Vi = velocidade média na seção transversal “i” do conduto 
ρi = massa específica do líquido na seção transversal “i” do conduto 
 
3.Equação da continuidade 
 
 
“Expressa o princípio de conservação de massa” 
 
 
 
A1 
V1 
A2 
V2 
M1 M2 
M1 = M2 ou ρ1A1V1 = ρ2A2V2 
 
Considerando o líquido incompressível, ρ1 = ρ2, a equação anterior reduz a: 
A1V1 = A2V2 (Equação da continuidade ou de conservação de massa) 
 
Genericamente: A1V1 = A2V2 = ...... = AnVn 
 
4. Teorema de Bernoulli 
 
 Energia em um líquido escoante 
 
 
O escoamento se processa de um ponto de maior energia para um ponto de 
menor energia. 
 
 Energia Equação Energia por 
unidade de peso 
(carga) 
Posição 
Cinética 
Pressão 
mgZEg 
2
2
1
mvEc 
pVoEp 
Z
mg
mgZ
Peso
Eg

g
v
mg
mv
Peso
Ec
22
1 22


p
Vo
pVo
Peso
Ep

Posição ou gravitacional (g). 
 
4. Teorema de Bernoulli 
 
 Energia em um líquido escoante 
 
 
Representação gráfica: 
 z
g
vp
E 
2
2

 
4. Teorema de Bernoulli 
 
 
 
 
Representação gráfica: equação de Bernoulli aplicada aos fluidos ideais 
2
2
22
1
2
11
21
22
z
g
vp
z
g
vp
EE  Linha Piezométrica Linha de Carga 
 
4. Teorema de Bernoulli 
 
 
 
 
Representação gráfica: equação de Bernoulli aplicada aos fluidos reais hfEEhfEE  2121
hfz
g
vp
z
g
vp
 2
2
22
1
2
11
22 
Para que se desloque da seção 1 para a seção 2 , irá consumir energia para vencer as 
resistências ao escoamento entre as seções 1 e 2. Portanto, a carga total em 2 será menor do 
que em 1, e essa diferença é a energia dissipada sob forma de calor. Como a energia calorífica 
não tem qualquer utilidade no escoamento do líquido, diz-se que essa parcela é a perda de 
carga ou de energia, simbolizada comumente por hf. 
 
 
 
 
 
Cálculo da perda de carga 
Exemplo 1. Qual a perda de carga para vencer as resistências ao escoamento em um 
trecho do conduto de 100 mm instalado conforme figura abaixo. A pressão na seção 1 
é de 0,2 MPa e na 2, igual a 0,15 MPa. A velocidade média do escoamento é de 
1,5 m s-1. 
Plano de referência 
Z2 =17 m 
 
 
D =100 mm 
Z1 =18 m 
2 
1 
Solução 
Aplicando o teorema de Bernoulli aos 
pontos 1 e 2 do conduto, teremos: p1
g
+
v1
2
2g
+ z1 =
p2
g
+
v2
2
2g
+ z2 +hf
 
 
 
 
 
Cálculo da perda de carga 
Solução: 
Aplicando o teorema de Bernoulli aos 
pontos 1 e 2 do conduto, teremos: 
hfz
g
vp
z
g
vp
 2
2
22
1
2
11
22 
g
v
g
v
22
2
2
2
1 
hf 17
000.10
000.150
18
000.10
000.200
em que: 
p1 =0,2 MPa = 200.000 Pa = 200.000 N m
-2 
p2 =0,15 MPa = 150.000 Pa = 150.000 N m
-2 
Como D é constante, então v1 = v2 ou 
 = 10.000 N m-3 
 
ou 20 + 18 = 15 + 17 + hf 
 
 
Portanto, hf = 6 m.c.a 
•Plano de referência 
•Z2 =17 m 
 
 
•D =100 mm 
•Z1 =18 m 
•2 
•1 
 
 
 
 
 
Regimes de escoamento 
 
 
 
 
Corte representativo do esquema experimental de Reynolds, mostrando o líquido contraste em 
regime laminar (a) e em turbulento (b). 
 
 
 
 
 
Regimes de escoamento 
 
 
 
 
Corte representativo do esquema experimental de Reynolds, mostrando o líquido 
contraste em regime laminar (a) e em turbulento (b). 
Com suas experiências, Reynolds distinguiu, inicialmente, duas velocidades: 
Velocidade crítica superior: 
 É aquela na qual ocorre a passagem do regime laminar para o turbulento. 
 
Velocidade crítica inferior: 
 É aquela na qual ocorre a passagem do regime turbulento para o laminar. 
Número de Reynolds: υ
Dv
R e
 
 
 
 
 
Regimes de escoamento 
 
 
 
 
Os regimes de escoamento são caracterizados pelos limites: 
 se Re  2.000  regime laminar 
 
 se Re  4.000  regime turbulento 
 
 se 2.000  Re  4.000 zona de transição 
 
 
 
 No regime laminar a perda de carga independe da rugosidade das paredes 
(atrito externo), dependendo somente do atrito interno (viscosidade). 
 
 No regime turbulento a perda de carga depende dos dois tipos de atritos. 
 
 
 
 
 
J =
hf
L
Tipos de Perdas de Cargas: 
 
Perda de Carga Contínua (hf): 
- É aquela que acontece em um trecho retilíneo de um conduto. 
 
Perda de Carga Localizada ou Acidental (ha): 
- É aquela que ocorre em peças colocadas ao longo de um 
conduto. 
 
Perda de Carga Unitária (J): 
- É a perda de carga contínua que ocorre por unidade de 
comprimento da tubulação. 
 
5. Cálculo dos condutos forçados 
 
Perda de carga contínua 
 
Estudando o comportamento dos fluidos em escoamento, 
Darcy (Hidráulico Suíço) e outros, concluíram que a perda de 
carga contínua era: 
 
- Diretamente proporcional ao comprimento do conduto; 
- Proporcional a uma potência da velocidade; 
- Inversamente proporcional a uma potência do diâmetro; 
- Função da natureza das paredes, no caso do regime turbulento; 
- Independenteda pressão sob a qual o líquido escoa; 
- Independente da posição da tubulação e do sentido de 
escoamento. 
 
 
Cálculo da Perda de Carga Contínua: 
Hazen -Williams: 
J = perda de carga que ocorre em um metro de canalização 
retilínea (m m-1). 
 
Q = a vazão escoada (m3 s-1) 
 
D = diâmetro interno da canalização (m). 
 
C = coeficiente que depende da natureza das paredes (Tabela 2) 
87,485,1
85,1641,10
DC
Q
J 
85,1
87,4
641,10 






C
Q
D
L
hf
 
 
Cálculo da Perda de Carga Contínua: 
Hazen -Williams: 
J =
10,641Q1,85
C1,85D4,87 hf =10,641
L
D4,87
Q
C
æ
è
ç
ö
ø
÷
1,85
v = velocidade média do escoamento (m s-1). 
54,063,2279,0 JCDQ 
54,063,0355,0 JCDv 
 
 
 
 
Ferro fundido e aço galvanizado: 
 e 
Plásticos e cobre: 
25,1
75,1
00092,0
D
v
J 
75,4
75,1
001404,0
D
Q
J 
Flamant: 
75,4
75,1
000826,0
D
Q
J 
 
 
Darcy-Weisbach ou Equação Universal: 
 
Tanto para regime turbulento quanto laminar. 
 
A todos os diâmetros de canalizações. 
52
28
gD
fQ
J


f é um coeficiente que depende do material 
(rugosidade), do diâmetro do conduto e do regime de 
escoamento. 
f é tabelado ou determinado no diagrama de Moody. 
gD
fv
J
2
2

 
 
 
 
Diagrama de Moody: 
 
 
Cálculo da perda de carga localizada: 
Fórmula de Borda-Belanger: 
é a perda de carga causada por uma peça especial (m) 
K é um coeficiente que depende de cada peça e diâmetro (Tabela 
5) 
 
O Valor de K depende o regime de escoamento. 
Para escoamento plenamente turbulento (Re  50.000), o valor de 
K para as peças especiais é praticamente constante, e são os valores 
encontrados nas tabelas e ábacos. 
 
Dh=K
v2
2g
 
 
 
 
Método dos comprimentos virtuais: 
A perda de carga que ocorre em uma peça especial pode 
ser equivalente à perda que ocorre ao longo de uma 
canalização retilínea de comprimento Lf . 
 
Pergunta-se: - Que comprimento de uma canalização 
provocaria a mesma perda 
Para saber basta igualar a equação de perda de carga 
localizada, com a de perda de carga contínua. Portanto: 
hf =
f v2
D2g
L fDh=K
v2
2 g
 
 
Método dos comprimentos virtuais: 
f v2
D2g
L f = K
v2
2g
L f =
K
f
D
Como hf deve-se igualar a Δh, ou seja: 
Na Tabela 6 são apresentados alguns valores de Lf 
 
 
 
 
Método dos diâmetros equivalentes: 
Este método é uma particularidade do anterior. 
 
De acordo com a equação anterior, o comprimento 
 
fictício depende do diâmetro e da relação 
 
Por conseguinte, o comprimento fictício poderá ser expresso em 
um número de diâmetros: 
L f =
K
f
D
L f = n D
f
K
n = representa o comprimento fictício de cada peça, expressa em 
número de diâmetros (Tabela 7) 
 
 
 
 
Problemas práticos 
Nos problemas de condutos forçados, são quatro os elementos 
hidráulicos: 
 Q - vazão 
 v - velocidade de escoamento 
 J - perda de carga unitária 
 D - diâmetro da canalização 
Na solução dos problemas têm-se disponíveis duas equações: 
Q= A1v1 = A2v2 = ... = Anvn
J = b
Qm
Dn
(Eq. da Continuidade) 
(Eq. Genérica da perda de carga) 
 
 
Tipos de problemas 
Tipo 
Elementos 
conhecidos 
Elementos 
 incógnitos 
1 D e J Q e V 
2 D e V Q e J 
3 D e Q V e J 
4 J e V Q e D 
5 V e Q D e J 
6 J e Q D e V 
 
 
Tabela 8 - Valores de velocidades médias 
recomendados em projetos de condução de água. 
Características da condução Faixa de valores 
recomendados 
 
Água com material em 
suspensão 
v  0,60 m s-1 
Instalações de recalque 0,55 v  2,40 m s-1 
Faixa mais usual 1,00 v  2,00 m s-1 
 
 
EXEMPLO 3. Dimensionar um conduto forçado em 
ferro fundido novo que deverá escoar a vazão de 30 L s-1 
com perda de carga máxima de 0,002 m m-1. 
Solução: 
 Ferro fundido novo 
 Q = 30 L s-1 = 0,03 m3 s-1 
 J = 0,002 m m-1 
 Qual o valor de D? 
 
 
A) Utilizando a fórmula de Hazen-Willians 
Ferro fundido novo : C = 130 (Tabela 02) 
 
 
A) Utilizando a fórmula de Hazen-Willians 
Obs: O diâmetro calculado (D = 241 mm) está entre os 
diâmetros comerciais de 200 e 250 mm. 
 
200 mm → maior perda de carga ou menor vazão. 
 
250 mm → menor perda de carga ou maior vazão . 
 
250 mm: Tecnicamente recomendado, mas de maior 
custo. 
 
 
Observação: considerando que a água escoará a uma 
temperatura de 20 oC, o número de Reynolds será: 
Como o diâmetro calculado é superior a 50 mm e o 
regime de escoamento é plenamente turbulento, então o 
uso da fórmula de Hazen-Williams é correto. 
 
 
B) Utilizando a fórmula de Flamant 
Ferro fundido novo: 
Análise: Idem caso anterior 
 
 
C) Utilizando a fórmula de Darcy-Weisbach 
No cálculo da rugosidade relativa e do número de 
Reynolds precisamos conhecer “D”, o qual consiste 
na incógnita do nosso problema. 
Para usarmos o diagrama de Moody, precisamos da 
rugosidade relativa e do número de Reynolds. 
Da tabela 4: “e” varia de 0,26 a 1 mm. 
Por segurança, usaremos o valor de e = 1mm. 
D =
8 fQ2
p 2gJ
é
ë
ê
ù
û
ú
1
5
J =
8 fQ2
p 2gD5
 
 
Desta forma resolveremos o problema por tentativa e 
erro, assumindo, inicialmente, D = 150 mm: 
Rugosidade relativa: 
Velocidade: 
Número de Reynolds: 
e
D
=
1
150
= 0,0067
v =
4Q
pD2 =
4(0,03)
p (0,152 ) =1, 70ms
-1
Re =
vD
u =
(1, 70)(0,15)
1,011´10-6
= 252225
 
 
 
 f =0,032 
 
 
Aplicando-se a equação de Darcy-Weisbach 
Como este valor é diferente do valor assumido 
inicialmente (D =150 mm), devemos refazer os 
cálculos utilizando-se o diâmetro comercial mais 
próximo, isto é: D = 250 mm 
mmmD 260260,0
)002,0)(81,9(
)03,0)(032,0(8 5
1
2
2











 
 
Desta forma para D = 250 mm: 
Nova rugosidade relativa: 
Nova velocidade: 
Novo número de Reynolds: 
e
D
=
1
250
= 0,004
v =
4Q
pD2 =
4(0,03)
p (0,252 ) = 0,61ms
-1
Re =
vD
u =
(0,61)(0,25)
1,011´10-6
=150840
 
 
 
 f =0,029 
 
 
Aplicando-se novamente a equação de Darcy-
Weisbach 
Neste caso, o valor calculado na segunda tentativa 
(255 mm) já está bem próximo do valor comercial 
(250 mm). 
Portanto, o diâmetro deverá ser de 250 mm. 
D =
8(0,029)(0,032 )
p 2(9,81)(0,002) = 0,255m = 255mm
 
 Obs: Os valores dos diâmetros calculados 
usando as três equações foram bem próximos, 
uma vez que as restrições ao uso das equações 
de Hazen-Williams e Flamant foram atendidas. 
 
 
Exemplo 6. Calcular a perda de carga total em um trecho 
de uma canalização de alumínio, que conduz 20 L s-1, 
numa extensão de 1200 m. 
O diâmetro da canalização é 150 mm e ao longo do 
trecho têm-se as seguintes peças especiais, com seus 
respectivos números: 
Peça especial 
Número de 
peças 
Curva de 90º 2 
Cotovelo de 90º 3 
Curva de 45º 2 
Curva de 30º 2 
Válvula de retenção 2 
Registros de gaveta 2 
Medidor venturi 1 
 
 
Resolução no quadro 
Peça especial 
Número de 
peças K n K 
Curva de 90º 2 0,4 0,8 
Cotovelo de 90º 3 0,9 2,7 
Curva de 45º 2 0,2 0,4 
Curva de 30º 2 0,2 0,4 
Válvula de retenção 2 2,5 5 
Registros de gaveta 2 0,2 0,4 
Medidor venturi 1 2,5 2,5 
ΣK 12,2 
Somatório de K para utilização de Borda-BelangerSomatório de Lf para utilização do método dos 
comprimentos virtuais 
Peça especial 
Número de 
peças Lf n Lf 
Curva de 90º 2 2,5 5 
Cotovelo de 90º 3 4,3 12,9 
Curva de 45º 2 1,1 2,2 
Curva de 30º 2 1,1 2,2 
Válvula de retenção 2 13 26 
Registros de gaveta 2 1,1 2,2 
Medidor venturi 1 13 13 
ΣLf 63,5 
 
 
Somatório de nd para utilização do método dos 
diâmetros equivalentes 
Peça especial 
Número de 
peças nd n nd 
Curva de 90º 2 30 60 
Cotovelo de 90º 3 45 135 
Curva de 45º 2 15 30 
Curva de 30º 2 15 30 
Válvula de retenção 2 100 200 
Registros de gaveta 2 8 16 
Medidor venturi 1 100 100 
Σnd 571 
 
 
Exemplo 4a. De um reservatório de nível constante parte 
uma canalização de 200 mm de diâmetro, de ferro 
fundido, com extensão de 1600 m. A cota do nível da 
água no reservatório é de 650 m e a outra extremidade do 
conduto, que descarrega na atmosfera, é de 595 m. 
Determinar a vazão escoada. 
 
 
Exemplo 4b. Resolver o problema anterior considerando 
a necessidade de se ter uma pressão de 30 mca na 
extremidade inferior da adutora, necessária para fazer 
funcionar uma linha de aspersão, conforme mostra a 
figura abaixo. 
 
Perguntas?