Distribuição muiltinomial

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Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Centro de Cieˆncias e Tecnologia - CCT
Unidade Acadeˆmica de Estat´ıstica
Distribuic¸a˜o multinomial
Alunos:Alan da Silva e Paulo Ricardo Peixoto de Alencar
Disciplina: Probabilidade I
Campina Grande - PB, 4 de junho de 2016
1 A distribuic¸a˜o multinomial
A distribuic¸a˜o multinomial e´ uma extensa˜o da distribuic¸a˜o binomial. O
experimento binomial passa a ser multinomial quando em cada evento ou
tentativa , tivermos mais de dois poss´ıveis resultados de interesse. Podemos
citar como exemplo um evento que tem mais de treˆs poss´ıveis resultados,
como a classificac¸a˜o de um produto em: normal, defeituoso ou recupera´vel.
Um experimento multinomial tem as seguintes caracter´ısticas:
• O experimento consiste de n tentativas repetidas.
• Cada tentativa tem um nu´mero discreto resultados poss´ıveis.
• Em qualquer tentativa dada, a probabilidade de que um particular
resultado ocorrera´ e´ constante.
• As tentativas sa˜o independentes
• Cada tentativa pode ter dois ou mais resultados poss´ıveis.
1.1 A func¸a˜o de probabiidade
Considere um experimento dividido em n ensaios independentes, no qual
cada ensaio resulta em um nu´mero finito k de valores poss´ıveis com proba-
bilidades p1, p2, . . . , pk (de modo que pi ≥ 0 para i = 1, . . . , k e
k∑
i=1
pi =
1).Tomando a varia´vel aleato´ria Xi que representa o nu´mero de vezes que o
ı´ndice i foi observado nos n ensaios, o vetor X = (X1, . . . , Xk) segue uma
distribuic¸a˜o multinomial com paraˆmetros n e p onde p = (p1, . . . , pk).
Com isso, sua distribuic¸a˜o de probabilidade e´ dada por
P (X1 = n1, ..., Xk = nk) =
n!
n1!× ...× nk! × p
n1
1 × pn22 × ...× pnkk
Denotamos X ∼Multi(n, p1, . . . , pk).
1.2 Func¸a˜o geradora de momentos, esperanc¸a e variaˆncia
Se X ∼ Multi(n, p1, · · · , pk) enta˜o sua func¸a˜o geradora de momentos e´
dada por:
MX(t) = E
(
etX
)
=
∑
x
etxP [X = k] =
n∑
j1
· · ·
n∑
jk
etj1 · · · etjk n!
j1! · · · jk p
j1
1 · · · pjkk =
(
n∑
i=1
pie
ti
)n
.
O valor esperado do nu´mero de vezes em que o ı´ndice i e´ observado e´
dado por
E(Xi) = npi
1.2.1 Demonstrac¸a˜o
O teorema dos coeficientes multinomiais nos garante que:
x1 + x2 + x3 + . . . + xi = n, i ≥ 0
observe que podemos ver o teorema escrito da seguinte forma
Y (1) = n− x1 = x2 + x3 + . . . + xk
Y (2) = n− x2 = x1 + x3 + . . . + xk
...
Y (k) = n− xk = x1 + x2 + . . . + xk−1
podemos generalizar essa expressa˜o e escreveˆ-la da seguinte forma∑
j 6=xi
xj
como queremos mostrar a esperanc¸a da distribuic¸a˜o multinomial de um certo
paraˆmetro xk podemos demonstrar a esperanc¸a de xk considerando apenas
ele o paraˆmetro de interesse, ou seja, o sucesso, e os demais paraˆmetros
consideraremos como fracasso. Em consequeˆncia disso, passamos a ter que
demonstrar uma distribuic¸a˜o binomial, logo percebemos o motivo de termos
escrito as expresso˜es a cima.
E(Xk) =
n∑
k=0
xk
(
n
xk
)
pxkk (1− pk)n−xk =
n∑
k=0
xk
n!
xk!(n− xk)!p
xk
k (1− pk)n−xk =
quando k=0 a parcela correspondete no somato´rio e´ nula. Dessa forma,
podemos escrever o seguinte:
E(Xk) =
n∑
k=1
xk
n!
xk(xk − 1)!(n− xk)!p
xk
k (1− pk)n−xk
e como xk 6= 0 podemos efetuar a divisa˜o
E(Xk) =
n∑
k=1
n!
(xk − 1)!(n− xk)!p
xk
k (1−pk)n−xk =
n∑
k=1
n(n− 1)!
(xk − 1)!(n− xk)!(pk×p
xk−1
k )(1−pk)n−xk
= npk
n∑
k=1
(n− 1)!
(xk − 1)!(n− xk)!p
xk−1
k (1−pk)n−xk = npk
n∑
k=1
(
n− 1
xk − 1
)
pxk−1k (1−pk)n−xk
vamos agora, fazer a mudanc¸a de varia´vel q = k − 1⇐⇒ k = q + 1, dai
npk
n−1∑
q=0
(
n− 1
xq
)
pqq(1− pq)(n−(q+1)) = npk
n−1∑
q=0
(
n− 1
xq
)
pqq(1− pq)(n−1−q)
sabemos que este somato´rio e´ equivalente a soma das probabilidades, ou
seja, e´ igual a 1. Portanto, o que nos resta e´ o valor esperado da distribuic¸a˜o
multinomial do paraˆmetro xk
E(Xk) = npk
e a variaˆncia
V ar(Xk) = npk(1− pk)
.
1.2.2 Demonstrac¸a˜o
V ar(Xk) = E(X
2
k)− E2(Xk)
De maneira ana´loga a demonstrac¸a˜o da esperanc¸a, vamos achar E(X2k).
E(X2k) =
n∑
xk=0
x2k
(
n
xk
)
pxkk (1− pk)n−xk =
n∑
xk=0
x2k
n!
xk!(n− xk)!p
xk
k (1− pk)n−xk
=
n∑
xk=1
x2k
n!
xk(xk − 1)!(n− xk)!p
xk
k (1−pk)n−xk =
n∑
xk=1
xk
n!
(xk − 1)!(n− xk)!p
xk
k (1−pk)n−xk
=
n∑
xk=1
xk
n(n− 1)!
(xk − 1)!(n− xk)!(pk × p
xk−1
k )(1− pk)n−xk
= npk
n∑
xk=1
xk
(n− 1)!
(xk − 1)!(n− xk)!p
xk−1
k (1− pk)n−xk
usando novamente q = k − 1⇐⇒ k = q + 1, temos
= npk
n−1∑
q=0
(xq+1)
(n− 1)!
xq!(n− 1− xq)!p
q
q(1−pq)n−1−q = npk
n−1∑
q=0
(xq+1)
(
n− 1
xq
)
pqq(1−pq)n−1−q
= npk
n−1∑
q=0
xq
(
n− 1
xq
)
pqq(1− pq)n−1−q + npk
n−1∑
q=0
(
n− 1
xq
)
pqq(1− pq)n−1−q
dai temos que o primeiro somato´rio e´ igual (n − 1)pk e o segundo e´ igual a
pk. Colocando npk em evideˆncia temos:
E(X2k) = npk[(n− 1)pk − 1] = n2p2k − np2k + npk
e substituindo,
V ar(Xk) = n
2p2k + npk − (npk)2 = npk − np2k = npk(1− pk)
1.3 Exemplos de aplicac¸a˜o da distribuic¸a˜o multinomi-
nal
1.3.1 Exemplo 1
Os seguintes eventos podem ocorrer com um pacote enviado pelo correio:
chegar em perfeito estado, chegar danificado ou perder-se pelo caminho. As
probabilidades desses eventos sa˜o, respectivamente 0,7, 0,2 e 0,1. Foram
enviados recentemente 10 pacotes pelo correio. Qual a probabilidade de 6
chegarem corretamente ao destino, 2 serem perdidos e os outros 2 avariados?
Soluc¸a˜o
Primeiramente deve-se definir quais sa˜o as varia´veis aleato´rias do pro-
blema
n1: nu´mero de pacotes que chegaram corretamente e sem danos (6)
n2: nu´mero de pacotes que chegaram avariados (2)
n3: nu´mero de pacotes que se perderam pelo caminho (2)
Enta˜o ,n1 + n2 + n3 = n = 10 , logo a probabilidade sera´:
P (n1 = 6, n2 = 2, n3 = 2) =
10!
6!× 2!× 2! .× (0, 7)
6 × (0, 2)2 × (0, 1)2 = 0, 059
1.3.2 Exemplo 2
Na inspec¸a˜o de qualidade de um produto sa˜o utilizadas quatro categorias
para classificac¸a˜o: conforme, aproveita´vel, recicla´vel e refugado. As probabi-
lidades de pertencer a cada um dos grupos sa˜o, respectivamente: p1 = 0,70
, p2 = 0,15 , p3 = 0,10 e p4= 0,05. Em um lote de 10 unidades, qual a
probabilidade de se encontrar seis unidades conformes, duas aproveita´veis,
uma recicla´vel e uma refugada?
Soluc¸a˜o
n1= 6 unidades conformes
n2= 2 unidades aproveita´veis
n3= 1unidade recicla´vel
n4= 1 unidade refugada
P (n1 = 6, n2 = 2, n3 = 1, n4 = 1) =
10!
6!×2!×1!×1!× (0, 70)6× (0, 15)2× (0, 10)1×
(0, 05)1 = 0, 0334
2 Refereˆncias bibliogra´ficas
HOEL, Paul G. Introduc¸a˜o a` teoria da probabilidade. 4a ed. Rio de Janeiro,
Intercieˆncia, 1978.
FELLER, William. Introduac¸a˜o a teoria das probabilidades e suas aplicac¸o˜es
Parte 1 - Espac¸os amostrais discretos. 2a ed. Sa˜o Paulo, Edgard Blu¨cher,
1976.