Lista de Exercícios para Prova substitutiva de Cálculo II

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CÁLCULO II – MATEMÁTICA PARFOR 
 
LISTA DE EXERCICIOS PARA A PROVA SUBSTITUTIVA 
 
 
01) Determine as Primitivas das funções abaixo: 
 
 a) 
 dxx
32
 Resposta: 
c
x

2
4 
b) 
  dxxx )3(
2
 Resposta: 
c
xx

2
3
3
23 
c) 
  dxx)5(
 Resposta: 
c
x
x 
2
5
2 
d) 
 dxx
5
 Resposta: 
cx ||ln5
 
e) 
 




 dx
x
x
62
 Resposta: 
cx
x
 ||ln6
3
3 
f) 
  dxxx ))cos()(sen(
 Resposta: 
cxx  )sen()cos(
 
g) 
 





 dxxx
x
5
1 2
3
 Resposta: 
c
xx
x


2
5
32
1 23
2
 
h) 
 dxx 
3
 Resposta: 
c
x

3/44
3
 
i) 
 







dxx
x
2
21
1
 Resposta: 
c
x
xarctg 
3
)(
3 
j) 
 dxe
x2
 Resposta: 
cex 2
 
k) 
  dxex
x)5)(sen(
 Resposta: 
cex x  5)cos(
 
l) 
 dx
x2
 Resposta: 
c
x

)2ln(
2
 
m) 
  dxxxx )53(
24
 Resposta: 
cxxx  235
2
1
3
5
5
3
 
n) 


dx
x
x 1
 Resposta: 
cx
x
 2/1
2/3
2
3
2
 
o) 


dx
x
x
2
2 43
 Resposta: 
c
x
x 
4
3
 
p) 
 dx
x2
1
 Resposta: 
c
x

1
 
q) 
 dx
x3
1
 Resposta: 
c
x


22
1
 
r) 
 dx
x32
1
 Resposta: 
c
x


24
1
 
s) 
dxx 
3 2

 Resposta:
cx 3/5
5
3
 
 
 
 
02) Utilizando o método de substituição: 
 
 
a) Calcular 
 dxxx
32 sen.3
 
 
 
 
b) Calcular 
  dxxx
102 )32.(
 
 
 
c) Calcular 
 

dx
xx
x
63
2
)13(
1
 
 
 
d) Calcular 
 dxx
senx
3cos
 
 
 
e) Calcular 
 dxex
x32
 
 
 
f) Calcular 
 dxxxsen cos
5
 
 
 
g) Calcular 
 
dx
x
x
3
2
1
 
 
 
h) Calcular 
 dxxxsen cos
3
 
 
 
i) Calcular 

 dxex x
2
 
 
 
 
 
03) Calcule as integrais: 
a) 
  dxx34
1
 Resposta: 
cx  |34|ln
3
1
 
b) 
  dxx5
1
 Resposta: 
cx  |5|ln
 
c) 
 dxe
x2
 Resposta: 
ce x 2
2
1
 
d) 

 dxe x 32
 Resposta: 
ce x 32
2
1
 
e) 
 dxxe
x )cos()sen(
 Resposta: 
ce x )sen(
 
f) 


dx
x
x
13
2
 Resposta: 
  cx  2/13 1
3
2
 
g) 


dx
x
x)ln(1
 Resposta: 
cx  2/3))ln(1(
3
2
 
h) 
  dxx
32 )13(
 Resposta: 
  cx  42 13
24
1
 
i) 
 
dx
x
x
32
4
2
 Resposta: 
cx  )32ln( 2
 
j) 
   dxxx 21
22
 Resposta:  
c
x


3
1
32 
k) 
dxx 155 
 Resposta: 
  cx  2/315
3
2
 
l) 
dxx 12 
 Resposta: 
  cx  2/312
3
1
 
m) 
  dxx
4)13(3
 Resposta: 
c
x


5
)13( 5
 
n) 
  dxxxx ))(12(
2
 Resposta: 
c
xx


2
)( 22
 
o) 
dxxx 23 32 
 Resposta: 
c
x


2/3
)2( 2/33
 
p) 
 

dx
x
x
22)21(
4
 Resposta: 
c
x



)21(
1
2
 
q) 
  dxxx 10)15(
22
 Resposta: 
c
x


3
)15( 32
 
r) 


dx
x
x
12
 Resposta: 
cx 12
 
s) 
  dxxx 3)3(
23
 Resposta: 
c
x


2
)3( 23
 
 
 
 
 
04 ) Utilizando o método de Integração por Partes: 
 
 Calcule: 
 
a) 
 dxxxcos
 
b) 
  xdxx 3
2
 
c) 
 dxxe
x
 
d) 
 dxxln
 
e) 
 dxxx ln
 
f) 
 dxxarctg )(
 
g) 
 xsenxdx
 
h) 
  dxex
x)73(
 
i) 

 dxxe x
 
j) 
  dxxx cos)35(
 
k) 
 dxxx ln
2
 
l) 
 dxxx ln
 
m) 
 dxex
x2
 
n) 
 dxxx cos
2
 
 
 
05) Utilizando a Integral para o Cálculo de Áreas: 
 
 
a)Calcular a área determinada pelas curvas de equações y = x
2
 – 3x – 4 ; y = 0 ; x = 0 e 
x = 5. 
 R: 
.a.u
6
73
 
b)Calcular a área compreendida entre a curva y = x
2
, o eixo x, e as ordenadas 
correspondentes às abcissas x = 0 e x = 2. 
R: 
.a.u
3
8
 
c)Calcule a área compreendida entre os gráficos das funções
xy 
 ; y = 0 e a reta x = 4 
R: 
.a.u
3
16
 
d)Calcule a área compreendida entre a curva y = 5x + 1, o eixo x e as retas x = – 3 e x = 
1. 
R: 23,2 u. a. 
e) Calcular a área entre as curvas y = – x2 + 4 e y = 1 no intervalo [–1, 1]. 
R: 
.a.u
3
16
 
 f) Calcular a área entre as curvas y = x
2
 – 4 e y = x – 3 . 
R: 1,86 u.a. 
 
g) Calcule a área compreendida entre os gráficos das funções 
xey 
 ; 
xy 
 ; 
0x
 e 
1x
. 
R: e-1,5 u.a. 
h) Calcule a área compreendida entre os gráficos das funções: 
3xy 
 ; 
22 xxy 
 ; entre 
os pontos (0,0) e (1,1). 
R: 
..
3
1
au 
i) Calcule a área compreendida entre os gráficos das funções: 
)(xseny 
 ; 
)cos(xy 
 ; 
entre os valores de x; x=0 até x=
2

. 
R: 2
2
-2 u.a 
 j) Calcule a área compreendida entre os gráficos das funções: 
1 xy
 ; e 
622  xy
. 
R: 18 
 
 
06) Utilizando a Técnica de Frações parciais, calcule: 
 
a) 
 
dx 
4
1
2x
 
 
b) 
dx
xx 
 
)4(
1
2
 
 
c) 
 
dx 
2
1
2 xx
 
 
d) 
 

dx 
6
67
2 xx
x
 
 
e) 
 

dx 
2
1
23 xxx
x
 
 
f) 
 

dx 
4
25
2x
x
 
 
g) 
 

dx 
)2(
76
2x
x
 
 
h) 
 

dx 
32
342
2
23
xx
xxx
 
 
i) 
 
dx 
62
2
xx
x
.. 
 
j) 
 

dx 
2
24
23 xxx
x
.. 
 
l) 
 

dx 
13
23
2
xx
xx
.. 
 
m) 
 

dx 
4
126
3
2
xx
xx
 
 
n) 
 

dx 
232
12
23
2
xxx
xx
 
 
o) 
 

dx 
4
42
3
2
xx
xx
 
 
p) 
 

dx 
42
3
2 xx
x
 
 
q) 
 

dx 
)2)(5(
9
xx
x
 
 
 
07) Utilizando o 1º Teorema Fundamental do Cálculo, calcule: 
 
a)
dxx3
1
0
2
 
b) 
 
2
1
2 )3( dxxx
 
c) 
 
2
01
)3( dxxx
 
d) 

2
1
5
dx
x
 
e) 
 
2
1
2 5 dx
x
x
 
f) 
g) 
 
2
1
2
3
5
1
xdxx
x
 
h) 
dxx 3
3
1

 
i) 
 







3
1
2
21
1
dxx
x
 
j) 
dxex2
1
0

 
 
 
 
08) Utilizando a Integral Definida no cálculo do comprimento de arco: 
 
a) Calcule o comprimento de arco do gráfico da função 
f
 definida por 2
3( )f x x
 entre 
os pontos 
(8,3)
e 
(27,8).
Resp.:
19,65
. 
 
b) Calcule o comprimento do arco da curva y = 
2/3x
 de x=0 a x=5. (resp: 
27
335
unid.) 
c) Calcular o comprimento de arco da curva dada pela função y = x+1 no intervalo [0, 2]. 
 
d) Calcular o comprimento de arco da curva dada pela função y = 2x no intervalo [0, 1]. 
e) Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função 
2
2
1
xy 
 no intervalo 
 [-1, 1]. 
f) Calcule o comprimento de arco da curva dada pela função 
xxy 2
2
1 2 
 no intervalo[-1, 2]. 
g) Calcular o comprimento de arco da curva 
3 2xy 
; entre os pontos (8,4) e (27,9). 
Resp: 
)10168517(
27
5

u.c. 
h) Calcular o comprimento de arco da curva 
2
4
8
1
4 x
x
y 
; para valores de x ; [1 , 2]. 
Resp: 123/32 
 
 
09) Calcule as integrais impróprias abaixo: 
 
 
 
a) 


1 xx
dx
 Resp: 2 b) 



3
2 9x
dx
 Resp: 
12

 
c) 



0
2 23xx
dx
 Resp: 
2ln
 
 
 
d) 


0
84 dxe x
 Resp: 
divegente,
 e) 



1
41 x
xdx
 Resp: 
8

 
 f)


e
xx
dx
ln
 Resp: 
diverg,
 
 
g) 



 21 x
dx
 Resp: 

 h) 


0
dxxex
 Resp: 
1
 i) 




0 1
x
x
e
dxe
 Resp: 
2
 
 
j) 

2
0
cos

dx
senx
x Resp: 
2
 l) 


1
3x
dx
 m) 


1
x
dx
 
 
n) 


1 x
dx
 o) 


0
dx)xcos(
 p) 



1
x dxxe
2
 
 
q) 


1 2
1
dx
x
 Resp: 1 
 
 
10) Determine se a integral abaixo converge ou diverge. No caso de convergência, ache seu 
valor: 
 
(a) 


5
3x
dx
 (c) 
dx
x
xln
e


 (e) 


0
3 1x
dx
 
(b) 


0
2
3
dx
e
x
x
 (d) 



0
3
2
1x
dxx
 (f) 



1
22 )x1(
xdx
 
 
 
 
 
 
Resp: 
(a) 1/50 (c)  (e)  
(b) 1/3 (d)  (f) ¼ 
 
 
11) Para que valores de p a integral 


1
x
dx
p
 converge ? 
Resp: . 







1pdiverge
1pconverge
x
dx
1
p
 
 
12) Para que valores de p a integral 


1
2-px
dx
 converge ? 
 
13) Determine se a primeira integral converge ou diverge, comparando com a segunda: 
 
 
 (a) 



1
4x1
dx
 e 


1
4x
dx
 
(b) 


2
3 2 1x
dx
 e 


2
3 2x
dx
 
(c) 
dx
xln
1
2


 e 
dx
x
1
2


 
(d) 



1
x dxe
2
 e 



1
xdxe
 
 
 
Resp: 
(a) Converge (c) Diverge 
(b) Diverge (d) Converge 
 
 
 
 
14)Calcule: 
 
a) 
;
1
;;
1
1
lim 2
1 






 


 t
t
t
t
t
t
 
 
b) 
;;
1
;
3
lim 3
2
0 





 

t
t
e
t
ttg t
t
 
 
 
c) 
;2;
)cos(
;
4
8
lim
2
3
2 










t
t
t
t
t
t
 
 
 
 
14,5) Calcule as integrais impróprias abaixo: 
a) 
dx
x
x




1
22 )1(
 
 
b) 



3
2 9x
dx
 
 
c) 
dx
xx
x



2
)2)(1(
 
 
d) 
dtee tt


1
2 )(
 
 
e) 
dtet t

1
3.
 
 
15) Dada as funções  ttetsentF tt 31,,;3)(  e   jtittG )3()( 22 ; calcule as derivadas 
abaixo: 
 
a) 

)(aF
dt
d
 
b) 

)1(F
dt
d
 
c) 

)4(G
dt
d
 
d) 
)(
2
aF
dt
d
 
e) 
)(
3
aG
dt
d
 
 
 
15)Calcule as integrais : 
a)   dtktjit ]4[
2
1
0
 
 
b)   dtkejit
t ]4[
1
0
 
 
c)  dtkeit
t ][
1
0
 
 
d)   dtktji ])2(23[
4
1
 
 
16) Determine o comprimento de arco das seguintes curvas: 
 (a) 
10),,sen,cos()( 

tetetetr ttt 
 
 (b) 
  20,cos1sen)(   tktjtittr 
 
 (c) 
0,2
3
 zxy
 de 
)0,0,0(0P
 a 
)0,8,4(1P 
 (d) 
31,, 23  ttytx
 
 
 (e) Hélice circular 
)sen2,4,cos2()( ttttr 
 de 
)0,0,2(0P
 a 
)2,2,0(1 P
. 
 
(f) um arco da ciclóide 
 jtitttr )cos1(2)sen(2)( 
 
(g) 
)2,cos,sen()( tttr 
 para 
 2,0t 
 
(h) para 
 ,0t 
 
(i) 
 jtittr )2()13()(
 para 
 2,0t
 
Respostas: 
 
a) b) 
 e) f) g) 
 i) 
 
17) Reparametrizar pelo comprimento de arco a curva
)sen,cos()(: tRtRtrC 
 , 
20  t
. 
Resp.: 
 
18) Reparametrizar pelo comprimento de arco a curva dada por
)sen,cos()( tetetr tt
 , 
0t
. 
Resp.: 
 
18) Reparametrize pelo comprimento de arco as seguintes curvas dadas: 
a) 
)4,cos4()(: sentttrC 
 , 0t 
b) 
)2,4,4()(: ttttrC 

 , 0t 
c) 
)3,4,34()(: 4ttttrC 

 , 0t 
d) 
));(2);cos(2()(: tsenttrC 

 0t 
e) 
);2;13()(: 

tttrC 0t 
f) 
);2);2();2(cos()(: ttsenttrC 

 0t 
g) 
);;8
3
2
;2()(: 23 ttttrC 
 0t 
h) 
););();cos(()(: ttt etsenetetrC 

 0t