Operações com Números Complexos

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Disciplina: Variáveis Complexas
Professor: Anderson Brasil
Período: 2/2013
1 Operações com Números Complexos
Exercício 1. Seja z1=2+3i, z2=4− i, z3=5− 2i e z4=3− 4i. Determine:
a) z1+ z2;
b) z3− z4;
c) z1 · z2;
d) z3 · z4;
e) z2
2;
f)
z1
z2
;
g)
z2
z3
;
h)
z3
z4
;
i)
z4
z1
;
j) Determine o valor de
z1
z4
de duas formas diferentes. Primeiro, calcule diretamente. Depois, cal-
culando o inverso de
z1
z4
(que já calculado no item i).
k) z1
−2;
Exercício 2. Seja w1 = 1 + i e w2 = 1− i, calcule Re[w1], Re[w2] e Re[w1 · w2]. Conclua que Re[w1 ·
w2] não necessariamente é Re[w1] ·Re[w2].
Exercício 3. Mostre, através de um contra-exemplo, que Im[w1 ·w2] não necessariamente é Im[w1] ·
Im[w2].
Exercício 4. Calcule o módulo dos números z1, z2, z3 e z4 da primeira questão.
Exercício 5. Mostre que |z1 · z2|= |z1| · |z2|.
Exercício 6. Represente no plano de Argand-Gauss os seguintes subconjuntos de C:
a) {z ∈C| |z |=3};
b) {z ∈C| |z |< 5};
c) {z ∈C| |z |6 5};
d) {z ∈C| |z − 3|< 2};
e) {z ∈C| |z − 2i|< 1};
f) {z ∈C| |z −w |< 2}, aonde w=2+3i;
g){z ∈C| 3<Re[z |< 4};
h) {z ∈C| 2< Im[z]< 3};
i) {z ∈C|Re[z]< 1 }⋂ {z ∈C| |z |< 2};
Exercício 7. Determine o número complexo z tal que 2z+ z¯ = 6.
Exercício 8. Determine o conjunto de soluções em C da equação z+2z¯ =4+ i.
Exercício 9. Mostre que se z é um número complexo então z + z¯ é um número real e z − z¯ é um
imaginário puro.
Exercício 10. Determine o número complexo z que satisfaz à equação iz+2z¯ +1− i = 0.
Exercício 11. Encontre todas as soluções da equação z2=−16+ 30i.
Exercício 12. Calcule as raízes quadradas de 5− 12i.
Exercício 13. Se z = x + iy, define-se a função exponencial complexa como exp (z) = excos(y) + i ·
exsen(y), aonde e designa o número de Euler.
a) Prove que exp (z) = ez,∀z ∈R (isto é, a função exponencial complexa é uma generalização da
função exponencial real);
b) Prove que exp (z1) · exp (z2)= exp (z1+ z2), ∀z1, z2∈C;
c) Prove que para todo número complexo z vale que |exp (z)|6 e|z|.
Exercício 14. Exercícios do Iezzi: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 30, 31, 32, 33, 35, 37,
38, 41, 42, 43, 46, 47, 48, 52, 61, 64, 66, 67, 68, 69, 73.
Soluções: 1)a) 6 + 2i; b) 2 + 2i; c) 11+ 10i; d) 7− 26i; e) 15− 8i; f) 5
17
+
14
17
i; g)
22
29
+
3
29
i; h)
23
25
+
14
25
i; i)
−6
13
−
17
13
i; j)
−6
25
+
17
25
i; k) − 5
169
− 12
169
i; 2) Re[w1] = 1, Re[w2] = 1 e Re[w1 ·w2] = 2; 3) w1= i e w2= i; 4) |z1|= 13
√
;|z2|=
17
√
; |z3|= 29
√
; |z4|= 5; 7) z = 2; 8) z = 4
3
− i; 10) z =−1− i; 11) z = 3+ 5i e z =−3− 5i; 12) z = 3− 2i e z =−
3+ 2i.
2 A Forma Polar e a Primeira Fórmula de Moivre
Exercício 15. Represente cada um dos números abaixo no plano de Argand-Gauss e escreva-os na
forma polar:
2 A Forma Polar e a Primeira Fórmula de Moivre 1
a) −i;
b) −7;
c) 1+ i;
d) − 3√ − i;
e) −3+ 3i;
f) −3− 3i;
g) 4− 3√ · 4i;
h) 5i;
Exercício 16. Encontrar todos os argumentos possíveis para cada um dos números do exercício 15.
Exercício 17. Seja z1 um número complexo situado sobre a semi-reta (t, t), t > 0 e z2 um número
complexo situado sobre a semi-reta (t,−t), t < 0. Quais das seguintes afirmações necessariamente são
verdadeiras:
a) z1 · z2 é um número real puro;
b) Re[z1 · z2]< 0;
c) z1+ z2 é um número imaginário puro;
d) Im[z1+z2] >0;
e) z1 · z2� 0;
Exercício 18. Seja z � 0 e z= ρ · cis(θ). Qual é a representação polar de z¯? E de 1/z? Conclua que
z¯ e
1
z
tem sempre o mesmo argumento.
Exercício 19. Utilize a definição de exponencial complexa do exercício 13, para concluir que para
todo θ ∈ R, tem-se cis(θ) = exp (iθ). OBS: Na maior parte dos cursos superiores de variáveis com-
plexas não direcionados à licenciatura, é comum a não-utilização do símbolo cis, utilizando-se esta
função exp no seu lugar.
Exercício 20. Seja z = −5 − 5i. Calcule z2 de duas formas diferentes: primeiramente, através do
cálculo direto de z · z e em seguida através da fórmula de Moivre.
Exercício 21. Calcule a décima potência de cada um dos números do exercício 15.
Exercício 22. Exercícios do Iezzi: 45, 49, 50, 56, 62, 77, 78, 79, 80, 82, 84, 96.
Soluções (corrigido versão 2): 15) a) cis
(−p
2
)
(ou cis
(
3pi
2
)
); b) 7 · cis(pi) (ou 7 · cis(−pi)); c) 2√ · cis( pi
4
)
; d) 2 ·
cis
(
7pi
6
)
(ou 2 · cis
(
−−5p
6
)
); e) 3 2
√ · cis
(
3pi
4
)
; f) 3 · 2√ · cis
(
5pi
4
)
(ou 3 2
√ · cis
(
−3pi
4
)
); g) 8 · cis(−pi
3
)
(ou 8 ·
cis
(
5pi
3
)
); h) 5 · cis( pi
2
)
; 16) Para todo m ∈ Z: a) −p
2
+ 2pim (ou
3pi
2
+ 2pim); b) pi + 2pim (ou −pi + 2pim); c) pi
4
+
2pim;d)
7pi
6
+ 2pim (ou −5p
6
+ 2pim); e)
3pi
4
+ 2pim; f)
5pi
4
+ 2pim (ou
−3pi
4
+ 2pim); g) −pi
3
+ 2pim (ou
5pi
3
+ 2pim); h)
pi
2
+ 2pim; 17) A única falsa é c; 18) z¯ =ρ · cis(−θ) e 1
z
=
1
ρ
· cis(−θ); 20) 50i; 21) a) −1; b) 710; c) 32i; d) 512−
512 · 3√ · i ; e) −310 · 25 · i; f) 310 · 25 · i; g)−229+229 · 3√ · i; h) −510;