Matemática I 2012 2 Seção (6)

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2012/2
Seção 6
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Matemática I
Prof. Gerson Lachtermacher, Ph.D.
2012/2
Seção 6
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Função Exponencial
Equações Exponenciais
Inequações Exponenciais
Função Logarítmica
Equações Logarítmicas
Inequações Logarítmicas
Conteúdo da Seção
2012/2
Seção 6
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A função exponencial tem a seguinte forma... 
em que:
a e b são números (constantes) reais positivos e a é chamado de base com... 
x é um número real denominado expoente (variável).
O gráfico da função varia de acordo com o valor da base (a), podendo ser decrescente ou crescente.
Função Exponencial - Forma Geral
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Seção 6
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Função Exponencial 
Representação Gráfica base > 1
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Seção 6
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Função Exponencial 
Representação Gráfica 0 < base < 1
Para qualquer base, 
o valor da função no
ponto x = 0 é igual a 1
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Função Exponencial 
Representação Gráfica base = 1
y = 1x  y=1
Para base = 1, a função é 
uma função constante
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Seção 6
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Função Exponencial - Representação Gráfica
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Função Exponencial - Representação Gráfica
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Função Exponencial - Representação Gráfica
2012/2
Seção 6
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Função Exponencial - Representação Gráfica
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Seção 6
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Função Exponencial - Representação Gráfica
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Desejamos investir uma quantia em dinheiro durante um único período de capitalização a uma taxa de remuneração (juros) predeterminada.
Seja...
C = Capital Inicial Investido(Principal)
r = Taxa de juros expressa em decimal
M = Saldo (Montante), após adicionarmos os juros
Função Exponencial
Aplicações - Matemática Financeira
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Para calcularmos o Montante no fim de um único período de aplicação ( M1 ), temos que adicionar ao Capital Inicial ( C ) os juros proporcionados pelo investimento nesse período (Juros1).
Matematicamente, temos...
Função Exponencial - Juros Compostos
2012/2
Seção 6
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Se decidirmos reaplicar por mais um período, teríamos...
Em função do Capital Inicial, teríamos...
Função Exponencial - Juros Compostos
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Seção 6
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Se decidirmos reaplicar por mais um período, teríamos...
Em função do Capital Inicial, teríamos...
Função Exponencial - Juros Compostos
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Generalizando, para n períodos temos...
Função Exponencial - Juros Compostos
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A filial brasileira do LCL Bank oferece uma opção de investimento com remuneração anual de 15% a.a. Qual o montante de um investimento de R$1.000,00 por um prazo de 5 anos?
Caso LCL Bank
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Capital = R$1.000,00
Taxa de juros= 15% a.a. = 0,15 a.a
Período de Aplicação = 5 anos
Caso LCL Bank - Solução
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São equações em que as incógnitas aparecem no expoente.
Exemplo...
Equações Exponenciais
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Resolva as seguintes equações exponenciais.
 
 
Equações Exponenciais - Exercícios
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Seção 6
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Solução 1)
Conferindo 
Equações Exponenciais - Exercícios
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Solução 2)
Comprovação
Equações Exponenciais - Exercícios
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São inequações em que as incógnitas aparecem no expoente.
Exemplo...
Inequações Exponenciais
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Resolva as seguintes equações exponenciais.
1)
Equações Exponenciais - Exercícios
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Solução 1)
Conferindo 
Equações Exponenciais - Exercícios
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Seção 6
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Dado um número real positivo y, seu logaritmo na base b é o número real x, tal que:
Função Logarítmica - Logaritmo
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Sejam 0 < b < 1 e x > 0 e y > 0 
Função Logarítmica - Propriedades dos Logaritmos
2012/2
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Calcule os valores das seguintes expressões, 
	sabendo que
 
 
 
Função Logarítmica
Operações com Logaritmos - Exercícios
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Função Logarítmica
Operações com Logaritmos - Exercícios
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Exemplo
Função Logarítmica
Logaritmo: Mudança de Base
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Dado , com , chamamos Função Logarítmica de base a a função
Pela definição de logaritmo, o conjunto Imagem da Função Logarítmica são os Reais maiores que zero.
Função Logarítmica
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Seção 6
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Função Logarítmica
Representação Gráfica base > 1
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Seção 6
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Função Logarítmica
Representação Gráfica 0 < base < 1
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Função Logarítmica
Representação Gráfica
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Função Logarítmica
Representação Gráfica
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Função Logarítmica 
Representação Gráfica
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Função Logarítmica 
Função Exponencial - Representação Gráfica
y=x
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O logaritmo neperiano, denotado por ln, é o logaritmo na base e
O número irracional e, conhecido como número neperiano, vale aproximadamente 2,71828...
Função Logarítmica
Logaritmo Neperiano
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Função Logarítmica
Logaritmo Neperiano
y = ln(x)
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A função exponencial de base neperiana é definida como
Gráfico:
Funções Exponencial e Logarítmica Base Neperiana
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Funções Exponencial e Logarítmica Base Neperiana
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Função Exponencial
Base Neperiana - Gráfico
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Função Logarítmica
Base Neperiana - Gráfico
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Logaritmo Neperiano - Representação Gráfica
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A LCL Móveis Ltda. modelou as funções de oferta e demanda de seu sofá mais vendido. Essas funções são utilizadas para determinar o ponto de equilíbrio de mercado. Dadas as funções abaixo, determine o ponto de equilíbrio, sendo x a quantidade (em milhares de unidades), e y o preço (em milhares de reais). Esboce o gráfico da oferta e da demanda e faça sua interpretação econômica.
Caso LCL Móveis Ltda. 
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No ponto de equilíbrio de mercado, a demanda e a oferta têm preços e quantidades iguais.
Ponto de equilíbrio: x = 2 e y = 81.  
Caso LCL Móveis Ltda. - Ponto de Equilíbrio 
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O gráfico das funções de oferta e demanda no mesmo sistema de eixos
Caso LCL Móveis Ltda. - Representação Gráfica
Oferta
Demanda
Ponto de Equilíbrio
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A análise econômica do problema:
		 excesso de demanda
 	x = 2	 oferta = demanda
 	x > 2	 excesso de oferta
Caso LCL Móveis Ltda. - Interpretação Econômica 
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Caso LCL Móveis Ltda. - Interpretação Econômica
Oferta
Demanda
Excesso
Demanda
Excesso
Oferta
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Seção 6
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A LCL Pesquisa Ltda. foi contratada para estimar a quantidade de cabeças de gado necessária para alimentar a população brasileira no ano de 2020. A população brasileira, levantada pelo censo 2000 do IBGE, era de 169.799.170 pessoas e uma taxa de crescimento populacional de 2% ao ano é esperada para de 2000 a 2020. Em 2004, o rebanho brasileiro era de 150.000.000 cabeças e FAO sugere uma relação de 1,0 cabeça de gado por habitante/ano. Calcule a taxa de crescimento anual do rebanho a partir de 2004, necessária para que a relação recomendada seja alcançada em 2020.
Caso LCL Pesquisas Ltda.
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Seção 6
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Como a taxa de crescimento populacional é de 2% ao ano, a população pode ser estimada pela equação abaixo:
Caso LCL Pesquisas Ltda. 
Modelo de Crescimento Populacional
2012/2
Seção 6
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A taxa de crescimento, r, do rebanho é a variável que desejamos encontrar.
O modelo de crescimento do rebanho é dado por:
Caso LCL Pesquisas Ltda. 
Modelo de Crescimento do Rebanho
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Seção 6
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No ponto de equilíbrio a população em 2020 deve manter a relação de 1,0 com o
tamanho do rebanho.
Logo,
Caso LCL Pesquisas Ltda. - Ponto de Equilíbrio
2012/2
Seção 6
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Caso LCL Pesquisas Ltda. 
Ponto de Equilíbrio - Solução
2012/2
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CD-ROM do Livro-texto 1 – Matemática I
Capítulo 6 – Funções Exponenciais e Logarítmicas
Exercícios
Exercício Conceitual
Exercícios Propostos
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Respostas
5
Log10 30= LOg10 (3 * 10)= Log10 3 +Log10 10=0,477+1=1,477
Log10 50= LOg10 (5 * 10)= Log10 5 +Log10 10=0,6989+1=1,6989
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Sugestão: Até aqui foram apresentadas as operações e várias representações gráficas dos logaritmos. Seria bom que antes de se iniciar um novo conteúdo, algum exercício recomendado ao final dessa seção fosse feito antes do final da mesma. 
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