Matemática Básica22

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Logaritmos 
 
 
Logaritmos 
Leonhard Euler John Napier 
 
 
Logaritmos 
 
 
Logaritmos 
y x b log 
Base do logaritmo 
Logaritmando Logaritmo 
0 
 
x 0 1 
 
b 
Condição de Existência 
 
 
y x b 
 
log 
 
x b 
y 
 
Logaritmos 
y x b 
 
log 
Base do logaritmo 
Logaritmando Logaritmo 
 
 
Logaritmos 
y 
 
8 log 2 8 2 
 
y 
3 
 
y 
8 log 2 
3 8 log 
2 
y x b 
 
log 
Base do logaritmo 
Logaritmando Logaritmo 
 
 
Logaritmos 
 
 
Logaritmos 
 
 
Logaritmos 
 
 
Logaritmos 
 
 
Logaritmos 
 
 
Logaritmos 
 
 
Logaritmos 
 
 
Logaritmos 
Consequência da definição 
0 1 log 1 b P 
1 log 2 b P b 
n b P 
n 
b 
log 3 
c a c a P b b log log 4 
a b P 
a b 
 
log 
5 
 
 
Logaritmos 
Propriedades Operátórias 
b a b a P c c c log log log 1 
b a 
b 
a 
P c c c log log log 2 
 
 
 
 
 
 
a n a P b 
n 
b log log 3 
 
 
Logaritmos 
 
 
Logaritmos 
 
 
Logaritmos 
 
 
Logaritmos 
Mudança de Base 
b 
a 
a 
c 
c
 
b log 
log 
log 
 
b a 
b 
a 
a 
c c 
c 
c
 
b 
log log 
log 
log 
log 
 
 
 
Logaritmos 
 
 
Logaritmos 
 
 
Logaritmos 
 
 
Logaritmos 
 
 
Logaritmos 
 
 
Logaritmos 
 
 
Logaritmos 
 
 
Logaritmos 
UDESC 2006 ( - 1) Se , e , 
pode - se afirmar que: 
3 log 
 
b a 4 log c a x c 
b 
a 
log 
x 
c 
b 
a 
log c b 
c 
b 
a a a log log log 
4 3 log 
 c 
b 
a 
1 log 
 c 
b 
a 
c 
b 
a 
 
 
1 
b 
c 
a 
 
 
 
Logaritmos 
( UDESC 2007 - 2 ) A expressão que representa a 
solução da equação 11 x – 130 = 0 é : 
130 
11 x log 
 
11 
130 x log 
 
130 
11 
log 
x 
 
130 
11 
x log 
 
 
 
11 
 130 log x 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
b 
c 
c a b loga 
 
11130 
x 
 
130 
11 
a 
b 
cx 
 
 
 
11 
130 x log 
 
11 
130 x log 
 
 
 
Função Logarítmica 
Definição 
R R f 
 
* 
: x x f b log 
* 
 
R Domínio 
R f 
 
Im 
Imagem R 
*
 
 
 
R f D 
 
 
Função Logarítmica 
Representação Gráfica 
x x f 2 log 
1 x 
y 
1 
2 
1 
 
2 
1 
0 
 
 
Função Logarítmica 
x x g 
2 
1 log 
1 
2 
x 
y 
1 
 
1 
0 
Representação Gráfica 
 
 
Função Logarítmica 
x x g 
2 
1 log 
1 
2 
x 
y 
1 
 
1 
1 x 
y 
1 
2 
1 
 
2 
1 
0 0 
x x f 2 log 
1 
 
b 
Crescente 
1 0 
 
b 
e Decrescent 
Representação Gráfica 
 
 
Função Exponencial 
x 
y 
1 
y = a x 
a > 1 
y = a x 
0 < a 
 
1 
Ex: 
y = 2 x 
Ex: 
y = (1/2 ) x 
 
 
Função Logarítmica 
x 
y 
1 
y = log a x 
a > 1 
y = log a x 
 < a 0 
 
1 
y = log 2 x 
y = log 1 / 2 x 
 
 
Função Inversa 
x 
y 
1 
y = log a x 
y = a x 
y = x 
f(x) = a x 
f - 1 ( x) = log a x 
a > 1 
 
Crescente 
1 
 
 
Função Inversa 
x 
y 
1 
y = log a x 
y = a x 
y = x 
1 
f(x) = a x 
f - 1 ( x) = log a x 
 < a 0 
 
1 
Decrescente 
 
 
Exercício 
( UDESC 2007 - 2 ) A expressão que representa a 
inversa da função 
3 
1 log fx x 
 
é : 
1 
31 
x 
f x 
 
1 
31 
x 
f x 
 
1 
31 x f x 
 
1 
31 
x 
x f 
 
 
1 
1 
3 
x 
log x f 
 
 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
3 
1 log x y 
 
1 3 
3 1 
1 3 
y 
x 
x 
x 
y 
y 
 
 
 
1 
31 
x 
f x 
 
 
 
Equação Logarítmica 
x g x f x g x f b b log log 
5 3 log 2 x 
3 2 
5 
 
x 
x 
 
3 32 
35 
 
x 
0 3 
 
x 
3 
 
x 
 
 
35 
 
 
S 
 
 
Equação Logarítmica 
x g x f x g x f b b log log 
2 9 5 log 1 x x 
9 5 1 
2 
 
x x 
9 5 1 2 2 
 
x x x 
0 9 5 
 
x 
5 
9 
 
x 
0 1 
 
x 1 
 
x 
1 1 
 
x 2 
 
x 
0 10 7 
2 
 
x x 
2 1 x 5 1 x 
 
5 
 
S 
 
 
Equação Logarítmica 
x g x f x g x f b b log log 
8 log 4 log 3 log 5 5 5 x x 
0 3 
 
x 3 
 
x 
0 4 
 
x 4 
 
x 
4 1 x 
3 
 
x 
 
4 
 
S 
8 log 4 3 log 5 5 x x 
8 12 2 
 
x x 
0 20 
2 
 
x x 5 2 x 
0 20 
2 
 
x x 
 
 
Exercício 
2006 ( UDESC - 2) O valor de x que torna a expressão 
2 5 log 
2 
4 
1 
x 
2 
2 
5 
4 
1 
 
 
 
 
 
 
 
x 
0 5 
 
x 
9 
 
x 
verdadeira é: 
2 5 log 
2 
4 
1 
x 
25 10 16 
2 
 
x x 
9 10 
2 
 
x x 
1 1 x 9 2 x 
5 
 
x 
C.E 
 
 
Exercício 
( UDESC 2006 - 1) Se 
 
 , então o valor de 
x é: 3 
5 
2 log log 8 8 x x 
2 3 
5 
2 8 x 
 
3 
5 
2 log log 8 8 x x 3 
5 
2 log 8 x x 
2 3 
5 
3 
2 2 x 
 
2 5 2 2 x 
 
2 
16 x 
 
2 
2 32 x 
 
4 
 
x 
0 
 
x 
C.E 
4 
 
x 
 
 
Inequação Logarítmica 
x g x f b b log log 
1 
 
b 
x g x f 
 
1 0 
 
b 
x g x f 
 
5 log 3 log 2 2 x 
5 3 
 
x 
8 
 
x 
0 3 
 
x 
C.E 
3 
 
x 
 
3 / 
 
x R x S 
 
, 3 S 
 
 
Inequação Logarítmica 
x g x f b b log log 
1 
 
b 
x g x f 
 
1 0 
 
b 
x g x f 
 
2 log 8 2 log 
3 
2 
3 
2 
x x 
2 8 2 
 
x x 
6 
 
x 
0 8 2 
 
x 
C.E 
4 
 
x 
0 2 
 
x 
2 
 
x 
I II 
4 
 
x II I 
 
 
Inequação Logarítmica 
3 4 log 3 log 2 2 x x 
8 12 2 
 
x x 
3 
2 2 2 log 4 3 log x x 
3 
2 2 2 log 4 3 log x x 
0 20 
2 
 
x x 
5 1 x 
4 2 x 
x 5 
 
– – – – – – 
+ + + 
4 
+ + + 
4 5 
 
x 
 
 
Inequação Logarítmica 
3 4 log 3 log 2 2 x x 
x 5 
 
– – – – – – 
+ + + 
4 
+ + + 
4 5 
 
x 
0 3 
 
x 
C.E 
3 
 
x 
0 4 
 
x 
4 
 
x 
3 
 
x 
 
4 3 / 
 
x R x S 
0 20 
2 
 
x x 
 
 
Inversa 
Funções inversas 
◼ De modo análogo, de todas as possíveis bases “a” para o logaritmo, 
veremos que a escolha mais conveniente é a “e” . 
◼ A função logarítmica y = log a x é a inversa da função y = a 
x . Seu gráfico é 
a reflexão de y = a x com relação a reta y = x . 
◼ Enquanto y = a x é uma função que cresce muito rapidamente, y = log a x é 
uma função de crescimento muito lento . 
 
 
Exemplo 
Uma aplicação da função logarítmica 
◼ A escala Richter é uma escala logarítmica de medição da 
energia liberada pelos terremotos sob a forma de ondas 
que se propagam pela crosta terrestre . Nela é usado o 
logaritmo decimal ; 
◼ Os valores desta escala são chamados de magnitudes ; 
◼ Durante um terremoto um sismógrafo registra essa 
magnitude durante um certo intervalo de tempo ; 
 
 
Exemplo 
◼ Essa magnitude pode ser calculada a partir da seguinte equação : 
◼ Onde : 
M s : magnitude na escala Richter ; 
A : amplitude do movimento da onda ( registrada em micrômetros) ; 
f : freqüência da onda ( medida em hertz) . 
30 , 3 ) . ( log 10 f A M s 
 
Exemplo 
◼ Suponha que para um certo terremoto foi registrada a amplitude 
A = 1000 m e uma freqüência de 0,1 Hz. A magnitude desse 
terremoto é
: 
Ms log10(A.f ) 3,30 
Ms log10(1000.0,1) 3,30 
Ms log10100 3,30 
Ms 2 3,30 
Ms 5,33 
◼ Para se ter uma idéia, uma magnitude de 9 graus provocaria a 
destruição total das construções de uma grande cidade. 
 
◼ Como a escala é de base 10, um tremor de magnitude 8 seria 10 
vezes menor em relação à magnitude de intensidade 9. Ou seja, a 
cada grau a menos, a energia liberada diminui 10 vezes. 
◼ O valor acima é considerado moderado. 
 
 
Exemplo 
O record é de 9 , 5 graus, registrado no terremoto que atingiu o Chile, no 
século XX . 
 
 
Exemplo 
Funções inversas 
◼ A vida média do estrôncio - 90 
 90 Sr, é de 25 anos. Isso significa que 
a metade de qualquer quantidade de 90 Sr vai se desintegrar em 25 
anos. 
◼ Considere que uma amostra de 90 Sr tem uma massa de 24 mg. 
Como a massa de 24 mg se reduz a metade a cada 25 anos, 
então: 
) 24 .( 2 ) 24 .( 
2 
1 
.... ) ( 
) 24 ( 
2 
1 
) 24 ( 
2 
1 
. 
2 
1 
) 50 ( 
2 
1 
) 75 ( 
) 24 ( 
2 
1 
) 24 ( 
2 
1 
. 
2 
1 
) 25 ( 
2 
1 
) 50 ( 
) 24 ( 
2 
1 
) 0 ( 
2 
1 
) 25 ( 
24 ) 0 ( 
25 
25 
3 2 
2t 
t t m 
m m 
m m 
m m 
m 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 
Funções inversas 
◼ Portanto, a função para este caso é: 
◼ Como a função logarítmica inversa dessa função é: 
◼ Se quisermos saber, por exemplo, o tempo necessário para que uma massa de 5 
mg se desintegre, basta substituir m por 5 na fórmula: 
25 2 . 24 ) ( 
t 
t m 
 
 
) ln 24 ( ln 
2 ln 
25 
) ( 1 m m f 
 
 
anos f 
f 
m m f 
6 , 56 
693 , 0 
225 , 39 
693 , 0 
) 609 , 1 178 , 3 .( 25 
) 5 ( 
) 5 ln 24 ( ln 
2 ln 
25 
) 5 ( 
) ln 24 ( ln 
2 ln 
25 
) ( 
1 
1 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funções Logaritmos Neperianos 
2 ) depois, deslocamos 2 unidades para a direita, obtendo o gráfico 
y = ln(x - 2) ; 
 
 
Funções Logaritmos Neperianos 
3) desloque novamente para baixo de uma unidade para obter 
y = ln(x - 2) - 1 ; 
 
 
 
Métodos de Cálculo I 
 
Assíntotas 
◼ Definição: A reta x=a é chamada assíntota vertical da curva y=f(x) 
se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita: 
lim f (x) 
x a 
lim f (x) 
x a 
lim f (x) 
x a 
lim f (x) 
x a 
lim f (x) 
x a 
 
 
 
lim f (x) 
x a 
Métodos de Cálculo I 
 
Exemplos 
 
 
 
 
lim f (x) 
x a 
Métodos de Cálculo I 
 
x 
y 
x=a 
 
 
 
◼ Um outro exemplo de uma função cujo gráfico tem uma assíntota 
vertical é a função logaritmo natural y=lnx. 
 
◼ O eixo y funciona como uma assíntota. 
Métodos de Cálculo I 
 
 
 
 
◼ Em contrapartida, o gráfico da função exponencial y=ex tem o eixo x como 
assíntota horizontal. 
lim ex 0 
x 
◼ Para basta tomar t=1/x pois sabemos que quando lim ex 
0 
x 
x 0-, t - , portanto: 
1 
 
 
 
 
lim ex lim et 0 x 0
 t 
 
 
Exercícios 
 
 
Responda 
a) Quando uma função logarítmica é considerada crescente? E 
decrescente? 
b) Qual o domínio? E qual a imagem de uma função logarítmica? 
c) Em que quadrantes se localiza o gráfico de uma função 
logarítmica? 
d) Qual a condição de existência de uma função logarítmica ? 
 
 
Respostas 
Decrescente se Crescente se 
2 y - 1 
 
 
Exercícios 
 O número de bactérias de uma cultura, t horas 
após o início de certo experimento, é dado pela 
expressão N = 1200.2 0 ,4.t . Nessas condições, 
quanto tempo após o início do experimento a 
cultura terá 38400 bactérias? 
 
Exercícios 
 Numa certa cultura, há 1000 bactérias num 
determinado instante. Após 10 min, existem 4000. 
Quantas bactérias existirão em 1h, sabendo que 
elas aumentam segundo a fórmula P = P0.ekt, em 
que P é o número de bactérias, t é o tempo em 
horas e k é a taxa de crescimento? 
 
 
Exercícios 
 Estima - se que a população de uma certa cidade 
cresça 3% a cada 8 anos. Qual será o crescimento 
estimado para um período de 24 anos? 
 
 
Exercícios 
 Resolva a equação 3 x = 5. 
 Dados log2 = 0,3; log3 = 0,48 e log5 = 0,7; resolva 
a equação 5 2 x – 7 . 5 
x + 12 = 0. 
 
Exercícios 
Sabemos que o número de bactérias numa cultura, 
depois de um tempo t, é dado por 
N = N0 . er.t, 
em que N0 é o número inicial (quando t = 0) e r a taxa 
de crescimento relativo. 
 
Em quanto tempo o número de bactérias dobrará se a 
taxa decrescimento é de 5% ao minuto? 
 
 
Exercícios 
Em quantos anos 500g de uma substância 
 
radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3% ao 
ano, se reduzirão a 100g? 
Use Q = Q 0 . e 
- r.t , em que Q é a massa da substância, 
r é a taxa e t é o tempo em anos. 
 
Exercícios 
 Segundo o Banco Mundial, a previsão do 
crescimento demográfico na América Latina, no 
período de 2004 à 2020, é de 1,2% ao ano, 
aproximadamente. Em quantos anos a população 
da América Latina vai dobrar se a taxa de 
crescimento continuar a mesma? 
 
 
Exercícios 
 Uma pessoa coloca R$ 1.000,00 num fundo de 
aplicação que rende, em média, 1,5% ao mês. Em 
quantos meses essa pessoa terá no mínimo R$ 
1.300,00 ? Use uma calculadora para fazer os 
cálculos. 
 
Exercícios 
 O dono de uma concessionária de veículos usa a 
expressão V = 40 000.(0,96)t para calcular, em 
reais, o valor de um certo tipo de automóvel após t 
anos de uso. Para o cálculo do valor de um 
automóvel de outra marca, é usada a expressão V1 
= 50000.(0.9)t. Usando logaritmos, determine após 
 
quanto tempo os veículos terão o mesmo valor de 
mercado.